数学冀教版九年级上册教案26-1锐角三角函数（1） 6页

- 1 - 26.1 锐角三角函数（1） 教学目标 【知识与能力】 1.利用相似的直角三角形,探索直角三角形的锐角固定时,它的对边与邻边的比值是固定值, 引出正切的概念. 2.理解锐角正切的概念并能根据正切的概念进行计算. 3.会计算特殊角的正切值. 【过程与方法】 1.经历从实际问题中抽象出数学模型的过程,探索直角三角形中边角关系的过程,体会现实 生活与数学的联系. 2.经历正切概念的形成过程,培养学生观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力,养成善于观 察、勤于思考的良好习惯,同时培养学生的归纳推理能力. 【情感态度价值观】 1.通过积极参与数学学习活动,体验数学活动中充满着探索与发现,培养学生积极思考,勇于 探索的精神. 2.通过主动探究,合作交流,培养学生的合作意识,同时体验成功的快乐. 教学重难点 【教学重点】 理解正切函数的意义,并会求锐角的正切值. 【教学难点】 理解直角三角形中的锐角,它的对边与邻边的比值是固定值. 课前准备 多媒体课件 教学过程 一、新课导入： 导入一: 【课件展示】 如图所示,小明在距旗杆 4.5 m 的点 D 处,仰视旗杆顶端 A,仰角(∠AOC) 为 50°;俯视旗杆底部 B,俯角(∠BOC)为 18°.旗杆的高约为多少米? - 2 - 【师生活动】 教师展示章前页问题情境并简单说明,学生观察图示,教师引出本章课 题. [导入语] 通过测量仰角、俯角及小明与旗杆的距离,应用以前学过的数学知识,我们还 不能求出旗杆的高度.通过本章的学习,你将能够解决这个问题. 导入二: 复习提问: 1.直角三角形有哪些特殊性质? 2.有一个锐角是 30°的直角三角形有什么特殊性质? 3.有一个锐角是 45°的直角三角形有什么特殊性质? 【师生活动】 学生思考回答,教师点评. 导入三: 【课件展示】 如图所示,轮船在 A 处时,灯塔 B 位于它的北偏东 35°的方向上.轮船向 东航行 5 km 到达 C 处时,轮船位于灯塔的正南方,此时轮船距灯塔多少千米?(结果保留两位 小数) 教师提问: 该实际问题中的已知和所求为图中的哪些角和线段? (事实上,求轮船距灯塔的距离,就是在RtΔABC 中,已知∠C=90°,∠BAC=55°,AC=5 km, 求 BC 长度的问题) 【师生活动】 教师提示学生将实际问题转化为数学问题,学生思考回答,教师点评. [过渡语] 解决此问题,需要用到将要学习的直角三角形边角之间的关系,即锐角三角 函数,今天我们学习第一种锐角三角函数——锐角的正切. [设计意图] 通过章前页问题情境提出如何求得旗杆高度,让学生认识到本章将要学习 的主要内容,激发学生学习和探求新知识的欲望.通过复习和本节课有关的直角三角形的知 识导入新课,为本节课的学习做好铺垫.通过导入三中把实际问题转化为数学问题,让学生初 步感知直角三角形中边角之间存在着某种关系,体会生活与数学之间的密切联系. 二、新知构建： 共同探究 直角三角形中锐角的对边与邻边的比是定值 【课件展示】 如图所示,在 RtΔABC 中和 RtΔA'B'C'中,∠C=∠C'=90°.当∠A=∠A'时, ‴ ‴ 与 ' ‴ ' ' ‴ ' 具有怎 样的关系? - 3 - 思路一 教师引导思考: (1)如何证明线段成比例? (三角形相似) (2)根据已知,你能证明这两个直角三角形相似吗? (∵∠A=∠A',∠C=∠C'=90°,∴RtΔABC∽RtΔA'B'C') (3)由三角形相似的性质可以得到 ‴ ‴ 与 ' ‴ ' ' ‴ ' 之间的关系吗? ∵RtΔABC∽RtΔA'B'C',∴ ‴ ' ‴ ' = ‴ ' ‴ ' ,即 ‴ ‴ = ' ‴ ' ' ‴ ' (4)你能用语言叙述这个结论吗? (当锐角 A 确定时,∠A 的对边与邻边的比值是确定的,与所在三角形的大小无关) 【师生活动】 学生独立思考后,小组合作交流,小组代表展示后,教师作出点评. 思路二 教师展示课件后,小组合作交流,共同探究,写出结论,说明理由.教师对有困难的学生进 行分析指导,对学生的展示进行点评. 解: ‴ ‴ = ' ‴ ' ' ‴ ' . 理由:∵∠A=∠A',∠C=∠C'=90°, ∴RtΔABC∽RtΔA'B'C'. ∴ ‴ ' ‴ ' = ‴ ' ‴ ' ,即 ‴ ‴ = ' ‴ ' ' ‴ ' . 追问:你能用语言叙述这个结论吗? 【师生活动】 学生尝试叙述结论,教师归纳完整. 结论:当锐角 A 确定时,∠A 的对边与邻边的比值是确定的,与所在三角形的大小无关. [过渡语] 在上图中的两个直角三角形中,相等的角所对的直角边与邻边的比值是相等 的,在下图中,上述结论是否还正确呢? 【课件展示】 - 4 - 如图所示,已知∠EAF<90°,BC⊥AF,B'C'⊥AF,垂足分别为 C,C'. ‴ ‴ 与 ' ‴ ' ‴ ' 具有怎样的关 系? 【师生活动】 学生类比上边的思考方法,独立思考后,小组内交流答案,教师及时发现 问题,及时帮助解决问题. 追问:根据以上两个图形中角的对边与邻边的比的探究,你能得到什么结论? 【师生活动】 学生独立思考后回答,教师点评,规范归纳的结论. 【课件展示】 在两个直角三角形中,当一对锐角相等时,这两个直角三角形相似,从而 两条对应直角边的比相等,即当∠A(小于 90°)确定时,以∠A 为锐角的 RtΔABC 的两条直角 边的比 ‴ ‴ 是确定的. [设计意图] 通过教师引导或独立思考后小组合作交流,让学生感知并证明锐角一定时, 它的对边和邻边的比是定值,为引出正切的概念做好铺垫,同时培养学生观察、思考及合作交 流的能力. 形成概念 [过渡语] 在直角三角形中,锐角的度数一定时,它所对的直角边与邻边的比是固定值, 那么这个固定值被定义为什么呢? 【课件展示】 如图所示,在 RtΔABC 中,∠C=90°,我们把∠A 的对边与邻边的比叫做 ∠A 的正切,记作 tan A,即 tan A=∠ 的对边 ∠ 的邻边 = . 大家谈谈: (1)∠A 的正切 tan A 表示的是 tan 与 A 的乘积还是一个整体? (tan A 表示的是一个整体) (2)当∠A 的大小变化时,tan A 是否变化? (tan A 随着∠A 的大小变化而变化) (3)tan A 有单位吗? (tan A 是一个比值,没有单位) (4)∠B 的正切怎么表示?tan A 与 tan B 之间有怎样的关系? tan = ‴ ‴ = , tan · tan = 1(5)要求一个锐角的正切值,我们需要知道直角三角形中的哪些边? (需要知道这个锐角的对边和邻边) (6)若知道直角三角形的斜边和一直角边,你能求一个锐角的正切值吗? (根据勾股定理求出另一直角边,再根据正切定义求解) 【师生活动】 学生独立思考,小组合作交流,小组代表回答问题,教师点评. [设计意图] 在解决一系列的问题中,经历建立数学概念的过程,让学生全面理解正切 的概念、写法和意义,教师强调概念中注意的事项,使学生加深对正切概念的理解和掌握. - 5 - 例题讲解 (教材 105 页例 1)在 RtΔABC 中,∠C=90°. (1)如图(1)所示,∠A=30°,求 tan A,tan B 的值. (2)如图(2)所示,∠A=45°,求 tan A 的值. 【师生活动】 学生独立思考完成,小组内交流答案,小组代表板书过程,教师巡视、观 察学生的解答情况,对发现的问题及时解决,并对学生的展示进行点评和规范做题步骤. 解:(1)在 RtΔABC 中, ∵∠A=30°, ∴∠B=60°,且 a= 1 2 c. ∴b= 2 - 2 = 2 - 2 2 = 3 2 c. ∴tan A=tan 30°= = 1 2 c÷ 3 2 c= 3 3 , tan B=tan 60°= = 3 2 c÷ 1 2 c= 3 . (2)在 RtΔABC 中, ∵∠A=45°, ∴a=b. ∴tan A=tan 45°= =1. 这样,就得到 tan 30°= 3 3 ,tan 45°=1,tan 60°= 3 . [设计意图] 学生独立完成该问题的理解和解答,巩固了对正切的概念的理解和应用, 为下节课学习特殊角的三角函数值做好铺垫,同时教师规范学生的解题过程,让学生体会数 学的严谨性,培养学生分析问题和解决问题的能力. [知识拓展] 1.正切是一个比值,没有单位. 2.正切值只与角的大小有关,与三角形的大小无关. 3.tan A 是一个整体符号,不能写成 tan ·A. 4.当用三个字母表示角时,角的符号“∠”不能省略,如 tan∠ABC. 5.tan2A 表示(tan A)2,而不能写成 tan A2. 三、课堂小结： 1.在直角三角形中,当锐角 A 的度数一定时,无论这个直角三角形的大小如何,∠A 的对 边与邻边的比值是一个固定值. 2.正切的定义:在 RtΔABC 中,∠C=90°,我们把锐角 A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正 - 6 - 切,记作 tan A,即 tan A=∠ 的对边 ∠ 的邻边 = .