2021年九年级数学中考一轮复习专题突破训练（选择题专项）：轴对称之线段最短问题（二） 19页

2021 年九年级数学中考一轮复习专题突破训练（选择题专项）： 轴对称之线段最短问题（二） 1．如图，菱形 ABCD 的边长为 6，∠ABC＝120°，M 是 BC 边的一个三等分点，P 是对角 线 AC 上的动点，当 PB+PM 的值最小时，PM 的长是（ ） A． B． C． D． 2．平面直角坐标系 xOy 中，已知 A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，﹣1）三点，D（1，m） 是一个动点，当△ACD 的周长最小时，△ABD 的面积为（ ） A． B． C． D． 3．如图，正△ABC 的边长为 2，过点 B 的直线 l⊥AB，且△ABC 与△A′BC′关于直线 l 对称，D 为线段 BC′上一动点，则 AD+CD 的最小值是（ ） A．4 B．3 C．2 D．2+ 4．如图，直线 l 外不重合的两点 A、B，在直线 l 上求作一点 C，使得 AC+BC 的长度最短， 作法为： ① 作点 B 关于直线 l 的对称点 B′； ② 连接 AB′与直线 l 相交于点 C，则点 C 为所求作的点．在解决这个问题时没有运用到的知识或方法是（ ） A．转化思想 B．三角形的两边之和大于第三边 C．两点之间，线段最短 D．三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角 5．如图，四边形 ABCD 中，∠C＝50°，∠B＝∠D＝90°，E、F 分别是 BC、DC 上的点， 当△AEF 的周长最小时，∠EAF 的度数为（ ） A．50° B．60° C．70° D．80° 6．如图，抛物线 y＝ x2+bx﹣2 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 交于 C 点，且 A（﹣1，0）， 点 M（m，0）是 x 轴上的一个动点，当 MC+MD 的值最小时，m 的值是（ ） A． B． C． D． 7．如图所示，四边形 OABC 为正方形，边长为 6，点 A，C 分别在 x 轴，y 轴的正半轴上， 点 D 在 OA 上，且 D 的坐标为（2，0），P 是 OB 上的一动点，试求 PD+PA 和的最小值 是（ ） A．2 B． C．4 D．6 8．如图所示，正方形 ABCD 的面积为 12，△ABE 是等边三角形，点 E 在正方形 ABCD 内， 在对角线 AC 上有一点 P，使 PD+PE 的和最小，则这个最小值为（ ） A．2 B．2 C．3 D． 9．如图，直线 l 是一条河，P，Q 两地相距 8 千米，P，Q 两地到 l 的距离分别为 2 千米，5 千米，欲在 l 上的某点 M 处修建一个水泵站，向 P，Q 两地供水．现有如下四种铺设方 案，图中实线表示铺设的管道，则铺设的管道最短的是（ ） A． B． C． D． 10．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AD 是∠BAC 的平分线．若 P， Q 分别是 AD 和 AC 上的动点，则 PC+PQ 的最小值是（ ） A． B．4 C． D．5 11．如图，MN 是半径为 1 的 ⊙ O 的直径，点 A 在 ⊙ O 上，∠AMN＝30°，点 B 为劣弧 AN 的中点．P 是直径 MN 上一动点，则 PA+PB 的最小值为（ ） A． B．1 C．2 D．2 12．如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB 的顶点 A 在 x 轴的正半轴上．顶点 B 的坐标为 （3， ），点 C 的坐标为（ ，0），点 P 为斜边 OB 上的一个动点，则 PA+PC 的最小 值为（ ） A． B． C． D．2 13．如图，四边形 ABCD 中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在 BC、CD 上分别找一点 M、N，使△AMN 周长最小时，则∠AMN+∠ANM 的度数为（ ） A．130° B．120° C．110° D．100° 14．如图，菱形 ABCD 中，AB＝2，∠A＝120°，点 P，Q，K 分别为线段 BC，CD，BD 上 的任意一点，则 PK+QK 的最小值为（ ） A．1 B． C．2 D． +1 15．如图，正方形 ABCD 的边长是 4，∠DAC 的平分线交 DC 于点 E，若点 P、Q 分别是 AD 和 AE 上的动点，则 DQ+PQ 的最小值（ ） A．2 B．4 C．2 D．4 16．如图，在矩形 ABCD 中，AB＝6，BC＝8，点 E 是 BC 中点，点 F 是边 CD 上的任意一 点，当△AEF 的周长最小时，则 DF 的长为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 17．已知直角梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，BC＝DC＝5，点 P 在 BC 上移 动，则当 PA+PD 取最小值时，△APD 中边 AP 上的高为（ ） A． B． C． D．3 18．如图，点 P 是边长为 1 的菱形 ABCD 对角线 AC 上一个动点，点 M，N 分别为 AB，BC 边上的中点，则 MP+NP 的最小值是（ ） A．2 B．1 C． D． 19．如图，正方形 ABCD 的面积为 12，△ABE 是等边三角形，点 E 在正方形 ABCD 内，在 对角线 AC 上有一点 P，使 PD+PE 最小，则这个最小值为（ ） A． B．2 C．2 D． 20．如图，点 P 是∠AOB 内任意一点，OP＝5cm，点 M 和点 N 分别是射线 OA 和射线 OB 上的动点，△PMN 周长的最小值是 5cm，则∠AOB 的度数是（ ） A．25° B．30° C．35° D．40° 参考答案 1．解：如图，连接 DP，BD，作 DH⊥BC 于 H． ∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AC⊥BD，B、D 关于 AC 对称， ∴PB+PM＝PD+PM， ∴当 D、P、M 共线时，P′B+P′M＝DM 的值最小， ∵CM＝ BC＝2， ∵∠ABC＝120°， ∴∠DBC＝∠ABD＝60°， ∴△DBC 是等边三角形，∵BC＝6， ∴CM＝2，HM＝1，DH＝3 ， 在 Rt△DMH 中，DM＝ ＝ ＝2 ， ∵CM∥AD， ∴ ＝ ＝ ＝ ， ∴P′M＝ DM＝ ． 故选：A． 2．解：由题可得，点 C 关于直线 x＝1 的对称点 E 的坐标为（2，﹣1）， 设直线 AE 的解析式为 y＝kx+b，则 ， 解得 ， ∴y＝﹣ x﹣ ， 将 D（1，m）代入，得 m＝﹣ ﹣ ＝﹣ ， 即点 D 的坐标为（1，﹣ ）， ∴当△ACD 的周长最小时，△ABD 的面积＝ ×AB×|﹣ |＝ ×4× ＝ ． 故选：C． 3．解：连接 CC′，如图所示． ∵△ABC、△A′BC′均为正三角形， ∴∠ABC＝∠A′＝60°，A′B＝BC＝A′C′， ∴A′C′∥BC， ∴四边形 A′BCC′为菱形， ∴点 C 关于 BC'对称的点是 A'， ∴当点 D 与点 B 重合时，AD+CD 取最小值， 此时 AD+CD＝2+2＝4． 故选：A． 4．解：∵点 B 和点 B′关于直线 l 对称，且点 C 在 l 上， ∴CB＝CB′， 又∵AB′交 l 与 C，且两条直线相交只有一个交点， ∴CB′+CA 最短， 即 CA+CB 的值最小， 将轴对称最短路径问题利用线段的性质定理两点之间，线段最短，体现了转化思想，验 证时利用三角形的两边之和大于第三边． 故选：D． 5．解：作 A 关于 BC 和 CD 的对称点 A′，A″，连接 A′A″，交 BC 于 E，交 CD 于 F， 则 A′A″即为△AEF 的周长最小值．作 DA 延长线 AH， ∵∠C＝50°， ∴∠DAB＝130°， ∴∠HAA′＝50°， ∴∠AA′E+∠A″＝∠HAA′＝50°， ∵∠EA′A＝∠EAA′，∠FAD＝∠A″， ∴∠EAA′+∠A″AF＝50°， ∴∠EAF＝130°﹣50°＝80°， 故选：D． 6．解：∵点 A（﹣1，0）在抛物线 y＝ x2+bx﹣2 上， ∴ ×（﹣1）2+b×（﹣1）﹣2＝0， ∴b＝﹣ ， ∴抛物线的解析式为 y＝ x2﹣ x﹣2， ∴顶点 D 的坐标为（ ，﹣ ）， 作出点 C 关于 x 轴的对称点 C′，则 C′（0，2），OC′＝2 连接 C′D 交 x 轴于点 M， 根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC+MD 的值最小． 设抛物线的对称轴交 x 轴于点 E． ∵ED∥y 轴， ∴∠OC′M＝∠EDM，∠C′OM＝∠DEM ∴△C′OM∽△DEM． ∴ ＝ ， 即 ＝ ， ∴m＝ ． 故选：B． 7．解：连接 CD，交 OB 于 P．则 CD 就是 PD+PA 和的最小值． ∵在直角△OCD 中，∠COD＝90°，OD＝2，OC＝6， ∴CD＝ ＝2 ， ∴PD+PA＝PD+PC＝CD＝2 ． ∴PD+PA 和的最小值是 2 ． 故选：A． 8．解：设 BE 与 AC 交于点 F（P′），连接 BD， ∵点 B 与 D 关于 AC 对称， ∴P′D＝P′B， ∴P′D+P′E＝P′B+P′E＝BE 最小． 即 P 在 AC 与 BE 的交点上时，PD+PE 最小，为 BE 的长度； ∵正方形 ABCD 的面积为 12， ∴AB＝2 ． 又∵△ABE 是等边三角形， ∴BE＝AB＝2 ． 故所求最小值为 2 ． 故选：A． 9．解：A、PQ+QM＝8+2＝10km； B、∵QM+PM＝P′Q，P′Q2＝82﹣（5﹣2）2+（5+2）2＝104 ， ∴P′Q＝2 km＞10km； C、QM+PR＝5+ ＞10； D、PM+QM＝5+ ＞10． 综上所述，A 选项铺设的管道最短． 故选：A． 10．解：如图，过点 C 作 CM⊥AB 交 AB 于点 M，交 AD 于点 P，过点 P 作 PQ⊥AC 于点 Q， ∵AD 是∠BAC 的平分线． ∴PQ＝PM，这时 PC+PQ 有最小值，即 CM 的长度， ∵AC＝6，BC＝8，∠ACB＝90°， ∴AB＝ ＝ ＝10． ∵S△ABC＝ AB•CM＝ AC•BC， ∴CM＝ ＝ ＝ ， 即 PC+PQ 的最小值为 ． 故选：C． 11．解：作点 B 关于 MN 的对称点 B′，连接 OA、OB、OB′、AB′， 则 AB′与 MN 的交点即为 PA+PB 的最小时的点，PA+PB 的最小值＝AB′， ∵∠AMN＝30°， ∴∠AON＝2∠AMN＝2×30°＝60°， ∵点 B 为劣弧 AN 的中点， ∴∠BON＝ ∠AON＝ ×60°＝30°， 由对称性，∠B′ON＝∠BON＝30°， ∴∠AOB′＝∠AON+∠B′ON＝60°+30°＝90°， ∴△AOB′是等腰直角三角形， ∴AB′＝ OA＝ ×1＝ ， 即 PA+PB 的最小值＝ ． 故选：A． 12．解：法一： 作 A 关于 OB 的对称点 D，连接 CD 交 OB 于 P，连接 AP，过 D 作 DN⊥OA 于 N， 则此时 PA+PC 的值最小， ∵DP＝PA， ∴PA+PC＝PD+PC＝CD， ∵B（3， ）， ∴AB＝ ，OA＝3，∠B＝60°，由勾股定理得：OB＝2 ， 由三角形面积公式得： ×OA×AB＝ ×OB×AM， ∴AM＝ ， ∴AD＝2× ＝3， ∵∠AMB＝90°，∠B＝60°， ∴∠BAM＝30°， ∵∠BAO＝90°， ∴∠OAM＝60°， ∵DN⊥OA， ∴∠NDA＝30°， ∴AN＝ AD＝ ，由勾股定理得：DN＝ ， ∵C（ ，0）， ∴CN＝3﹣ ﹣ ＝1， 在 Rt△DNC 中，由勾股定理得：DC＝ ＝ ， 即 PA+PC 的最小值是 ， 法二： 如图，作点 C 关于 OB 的对称点 D，连接 AD，过点 D 作 DM⊥OA 于 M． ∵AB＝ ，OA＝3 ∴∠AOB＝30°， ∴∠DOC＝2∠AOB＝60° ∵OC＝OD ∴△OCD 是等边三角形 ∴DM＝CD•sin60°＝ ，OM＝CM＝CD•cos60°＝ ∴AM＝OA﹣OM＝3﹣ ＝ ∴AD＝ ＝ 即 PA+PC 的最小值为 故选：B． 13．解：作 A 关于 BC 和 CD 的对称点 A′，A″，连接 A′A″，交 BC 于 M，交 CD 于 N， 则 A′A″即为△AMN 的周长最小值．∵∠DAB＝120°， ∴∠AA′M+∠A″＝60°， ∵∠MA′A＝∠MAA′，∠NAD＝∠A″， 且∠MA′A+∠MAA′＝∠AMN，∠NAD+∠A″＝∠ANM， ∴∠AMN+∠ANM＝∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″＝2（∠AA′M+∠A″）＝2× 60°＝120°， 故选：B． 14．解：∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AD∥BC， ∵∠A＝120°， ∴∠B＝180°﹣∠A＝180°﹣120°＝60°， 作点 P 关于直线 BD 的对称点 P′，连接 P′Q，P′C，则 P′Q 的长即为 PK+QK 的最 小值，由图可知，当 P′Q⊥AB 时 PK+QK 的值最小， 在 Rt△BCP′中， ∵BC＝AB＝2，∠B＝60°， ∴P′Q＝CP′＝BC•sinB＝2× ＝ ． 故选：B． 15．解：作 D 关于 AE 的对称点 D′，再过 D′作 D′P′⊥AD 于 P′， ∵DD′⊥AE， ∴∠AFD＝∠AFD′， ∵AF＝AF，∠DAE＝∠CAE， ∴△DAF≌△D′AF， ∴D′是 D 关于 AE 的对称点，AD′＝AD＝4， ∴D′P′即为 DQ+PQ 的最小值， ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴∠DAD′＝45°， ∴AP′＝P′D′， ∴在 Rt△AP′D′中， P′D′2+AP′2＝AD′2，AD′2＝16， ∵AP′＝P′D'， 2P′D′2＝AD′2，即 2P′D′2＝16， ∴P′D′＝2 ，即 DQ+PQ 的最小值为 2 ． 故选：C． 16．解：作点 E 关于直线 CD 的对称点 E′，连接 AE′交 CD 于点 F， ∵在矩形 ABCD 中，AB＝6，BC＝8，点 E 是 BC 中点， ∴BE＝CE＝CE′＝4， ∵AB⊥BC，CD⊥BC， ∴ ＝ ，即 ＝ ，解得 CF＝2， ∴DF＝CD﹣CF＝6﹣2＝4． 故选：D． 17．解：过点 D 作 DE⊥BC 于 E， ∵AD∥BC，AB⊥BC， ∴四边形 ABED 是矩形， ∴BE＝AD＝2， ∵BC＝CD＝5， ∴EC＝3， ∴AB＝DE＝4， 延长 AB 到 A′，使得 A′B＝AB，连接 A′D 交 BC 于 P，此时 PA+PD 最小，即当 P 在 AD 的中垂线上，PA+PD 取最小值， ∵B 为 AA′的中点，BP∥AD ∴此时 BP 为△AA′D 的中位线， ∴BP＝ AD＝1， 根据勾股定理可得 AP＝ ＝ ， 在△APD 中，由面积公式可得 △APD 中边 AP 上的高＝2×4÷ ＝ ． 故选：C． 18．解：作点 M 关于 AC 的对称点 M′，连接 M′N 交 AC 于 P，此时 MP+NP 有最小值． ∵菱形 ABCD 关于 AC 对称，M 是 AB 边上的中点， ∴M′是 AD 的中点， 又 N 是 BC 边上的中点， ∴AM′∥BN，AM′＝BN， ∴四边形 AM′BN 是平行四边形， ∴PN∥AB， 又 N 是 BC 边上的中点， ∴PN 是△CAB 的中位线， ∴P 是 AC 中点， ∴PM∥BN，PM＝BN， ∴四边形 PMBN 是平行四边形， ∵BM＝BN， ∴平行四边形 PMBN 是菱形． ∴MP+NP＝BM+BN＝BC＝1． 故选：B． 19．解：由题意，可得 BE 与 AC 交于点 P． ∵点 B 与 D 关于 AC 对称， ∴PD＝PB， ∴PD+PE＝PB+PE＝BE 最小． ∵正方形 ABCD 的面积为 12， ∴AB＝2 ． 又∵△ABE 是等边三角形， ∴BE＝AB＝2 ． 故所求最小值为 2 ． 故选：B． 20．解：分别作点 P 关于 OA、OB 的对称点 C、D，连接 CD， 分别交 OA、OB 于点 M、N，连接 OC、OD、PM、PN、MN，如图所示： ∵点 P 关于 OA 的对称点为 D，关于 OB 的对称点为 C， ∴PM＝DM，OP＝OD，∠DOA＝∠POA； ∵点 P 关于 OB 的对称点为 C， ∴PN＝CN，OP＝OC，∠COB＝∠POB， ∴OC＝OP＝OD，∠AOB＝ ∠COD， ∵△PMN 周长的最小值是 5cm， ∴PM+PN+MN＝5， ∴DM+CN+MN＝5， 即 CD＝5＝OP， ∴OC＝OD＝CD， 即△OCD 是等边三角形， ∴∠COD＝60°， ∴∠AOB＝30°； 故选：B．