2021年中考数学专题复习 专题26 菱形（教师版含解析） 26页

专题 26 菱形问题 1.菱形的定义 ：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 2.菱形的性质 （1）菱形的四条边都相等； (2)菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。 3.菱形的判定定理 (1)一组邻边相等的平行四边形是菱形； (2)对角线互相垂直的平行四边形是菱形； (3)四条边相等的四边形是菱形。 4．菱形的面积：S=ah=mn/2(菱形底边长为 a，高为 h，两条对角线长分别为 m和 n) 【例题 1】(2020•牡丹江)如图，在平面直角坐标系中，O 是菱形 ABCD 对角线 BD 的中点，AD∥x 轴且 AD＝4， ∠A＝60°，将菱形 ABCD 绕点 O 旋转，使点 D 落在 x 轴上，则旋转后点 C 的对应点的坐标是( ) A．(0，2 ) B．(2，﹣4) C．(2 ，0) D．(0，2 )或(0，﹣2 ) 【答案】D 【解析】分点 C 旋转到 y 轴正半轴和 y 轴负半轴两种情况分别讨论，结合菱形的性质求解． 根据菱形的对称性可得：当点 D 在 x 轴上时， A、B、C 均在坐标轴上，如图， ∵∠BAD＝60°，AD＝4， ∴∠OAD＝30°， ∴OD＝2， ∴AO OC， ∴点 C 的坐标为(0， )， 同理：当点 C 旋转到 y 轴正半轴时， 点 C 的坐标为(0， )， ∴点 C 的坐标为(0， )或(0， ). 【对点练习】(2019 泸州)一个菱形的边长为 6，面积为 28，则该菱形的两条对角线的长度之和为( ) A．8 B．12 C．16 D．32 【答案】C 【解析】如图所示： ∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AO＝CO AC，DO＝BO BD，AC⊥BD， ∵面积为 28， ∴ AC•BD＝2OD•AO＝28 ① ∵菱形的边长为 6， ∴OD2 +OA2 ＝36 ②， 由①②两式可得：(OD+AO)2＝OD2+OA2+2OD•AO＝36+28＝64． ∴OD+AO＝8， ∴2(OD+AO)＝16，即该菱形的两条对角线的长度之和为 16． 【例题 2】(2020•营口)如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O，其中 OA＝1，OB＝2，则菱形 ABCD 的面积为 ． 【答案】4 【解析】根据菱形的面积等于对角线之积的一半可得答案． ∵OA＝1，OB＝2， ∴AC＝2，BD＝4， ∴菱形 ABCD 的面积为 ×2×4＝4． 【对点练习】(2019 湖北十堰)如图，已知菱形 ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O，E 为 BC 的中点，若 OE＝3， 则菱形的周长为 ． 【答案】24 【解析】∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝AD，BO＝DO， ∵点 E 是 BC 的中点， ∴OE 是△BCD 的中位线， ∴CD＝2OE＝2×3＝6， ∴菱形 ABCD 的周长＝4×6＝24 【例题 3】(2020•福建)如图，点 E，F 分别在菱形 ABCD 的边 BC，CD 上，且 BE＝DF．求证：∠BAE＝∠DAF． 【答案】见解析。 【解析】根据菱形的性质可得∠B＝∠D，AB＝AD，再证明△ABE≌△ADF，即可得∠BAE＝∠DAF． 证明：四边形 ABCD 是菱形， ∴∠B＝∠D，AB＝AD， 在△ABE 和△ADF 中， ܤ ܤ∠ ∠ ܧܤ ， ∴△ABE≌△ADF(SAS)， ∴∠BAE＝∠DAF． 【对点练习】(2019 湖南岳阳)如图，在菱形 ABCD 中，点 E、F分别为 AD、CD 边上的点，DE＝DF， 求证：∠1＝∠2． 【答案】见解析． 【解析】证明：∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AD＝CD， 在△ADF 和△CDE 中， ， ∴△ADF≌△CDE(SAS)， ∴∠1＝∠2． 一、选择题 1．(2020•黄冈)若菱形的周长为 16，高为 2，则菱形两邻角的度数之比为( ) A．4：1 B．5：1 C．6：1 D．7：1 【答案】B 【解析】如图，AH 为菱形 ABCD 的高，AH＝2，利用菱形的性质得到 AB＝4，利用正弦的定义得到∠B＝30°， 则∠C＝150°，从而得到∠C：∠B 的比值． 如图，AH 为菱形 ABCD 的高，AH＝2， ∵菱形的周长为 16， ∴AB＝4， 在 Rt△ABH 中，sinB ܤ ， ∴∠B＝30°， ∵AB∥CD， ∴∠C＝150°， ∴∠C：∠B＝5：1． 2．(2020•盐城)如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，H 为 BC 中点，AC＝6，BD＝8．则线段 OH 的长为( ) A． B． C．3 D．5 【答案】B 【解析】先根据菱形的性质得到 AC⊥BD，OB＝OD BD＝4，OC＝OA AC＝3，再利用勾股定理计算出 BC， 然后根据直角三角形斜边上的中线性质得到 OH 的长． ∵四边形 ABCD 为菱形， ∴AC⊥BD，OB＝OD BD＝4，OC＝OA AC＝3， 在 Rt△BOC 中，BC 5， ∵H 为 BC 中点， ∴OH BC ． 3．(2020•乐山)如图，在菱形 ABCD 中，AB＝4，∠BAD＝120°，O 是对角线 BD 的中点，过点 O 作 OE⊥CD 于 点 E，连结 OA．则四边形 AOED 的周长为( ) A．9+2 B．9 C．7+2 D．8 【答案】B 【解析】先利用菱形的性质得 AD＝AB＝4，AB∥CD，∠ADB＝∠CDB＝30°，AO⊥BD，利用含 30 度的直角三 角形三边的关系得到 AO＝2，OD＝2 ，然后计算出 OE、DE 的长，最后计算四边形 AOED 的周长． ∵四边形 ABCD 为菱形， ∴AD＝AB＝4，AB∥CD， ∵∠BAD＝120°，∴∠ADB＝∠CDB＝30°， ∵O 是对角线 BD 的中点，∴AO⊥BD， 在 Rt△AOD 中，AO AD＝2， OD OA＝2 ， ∵OE⊥CD，∴∠DEO＝90°， 在 Rt△DOE 中，OE OD ， DE OE＝3， ∴四边形 AOED 的周长＝4+2 3＝9 ． 4．(2020•甘孜州)如图，菱形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，E 为 AB 的中点．若菱形 ABCD 的周长为 32，则 OE 的长为( ) A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解析】由菱形的性质得出 AB＝BC＝CD＝AD＝8，AC⊥BD，则∠AOB＝90°，由直角三角形斜边上的中线性 质即可得出答案． ∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝AD，AC⊥BD， ∴∠AOB＝90°， ∵菱形 ABCD 的周长为 32， ∴AB＝8， ∵E 为 AB 边中点， ∴OE AB＝4． 5．(2020•遵义)如图，在菱形 ABCD 中，AB＝5，AC＝6，过点 D 作 DE⊥BA，交 BA 的延长线于点 E，则线段 DE 的长为( ) A． B． C．4 D． 【答案】D 【解析】由在菱形 ABCD 中，AB＝5，AC＝6，利用菱形的性质以及勾股定理，求得 OB 的长，继而可求得 BD 的长，然后由菱形的面积公式可求得线段 DE 的长．如图． ∵四边形 ABCD 是菱形，AC＝6， ∴AC⊥BD，OA AC＝3，BD＝2OB， ∵AB＝5， ∴OB ܤ 4， ∴BD＝2OB＝8， ∵S 菱形ABCD＝AB•DE AC•BD， ∴DE ܤ ܤ ×× ． 6.(2019 内蒙古赤峰)如图，菱形 ABCD 周长为 20，对角线 AC、BD 相交于点 O，E 是 CD 的中点，则 OE 的长 是( ) A．2.5 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【解析】∵四边形 ABCD 为菱形， ∴CD＝BC 5，且 O为 BD 的中点， ∵E 为 CD 的中点， ∴OE 为△BCD 的中位线， ∴OE CB＝2.5 7.(2019•四川省绵阳市)如图，在平面直角坐标系中，四边形 OABC 为菱形，O(0，0)，A(4，0)，∠AOC=60°， 则对角线交点 E 的坐标为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】过点 E 作 EF⊥x 轴于点 F， ∵四边形 OABC 为菱形，∠AOC=60°， ∴ =30°，∠FAE=60°， ∵A(4，0)， ∴OA=4， ∴ =2， ∴ ，EF= = = ， ∴OF=AO-AF=4-1=3， ∴ ． 8.(2019•四川省广安市)如图，在边长为 3的菱形 ABCD中，  30B ，过点 A作 BCAE  于点 E ， 现将△ABE 沿直线 AE 翻折至△AFE 的位置，AF 与 CD 交于点 G则 CG 等于( ) A. 13  B.1 C. 2 1 D. . 2 3 【答案】A 【解析】因为∠B=30°，AB= 3，AE⊥BC， 所以 BE= 2 3 ，所以 EC= 3 - 2 3 ， 则 CF=3- 3， 又因为 CG∥AB， 所以 CG CF AB BF  , 所以 CG= 13  . 9.(2019 四川省雅安市)如图，在四边形 ABCD 中，AB=CD，AC、BD 是对角线 ，E、F、G、H分别是 AD、BD、 BC、AC 的中点，连接 EF、FG、GH、HE，则四边形 EFGH 的形状是( ) A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【答案】C 【解析】由点 E、F、G、H 分别是任意四边形 ABCD 中 AD、BD、BC、CA 的中点，根据三角形中位线性质，得 EF＝GH＝ AB，EH＝FG＝ CD，又由 AB=CD，得 EF＝FG＝GH＝EH 时，四边形 EFGH 是菱形． ∵点 E、F、G、H 分别是任意四边形 ABCD 中 AD、BD、BC、CA 的中点，∴EF＝GH＝ AB，EH＝FG＝ CD，∵ AB=CD，∴EF＝FG＝GH＝EH 时，四边形 EFGH 是菱形，故选 C． 10. (2019·贵州安顺)如图，在菱形 ABCD 中，按以下步骤作图： ①分别以点 C 和点 D 为圆心，大于 CD 的长为半径作弧，两弧相交于 M、N两点； ②作直线 MN，且 MN 恰好经过点 A，与 CD 交于点 E，连接 BE． 则下列说法错误的是( ) A．∠ABC＝60° B．S△ABE＝2S△ADE C．若 AB＝4，则 BE＝4 D．sin∠CBE＝ 【答案】C 【解析】由作法得 AE 垂直平分 CD，即 CE＝DE，AE⊥CD， ∵四边形 ABCD 为菱形， ∴AD＝CD＝2DE，AB∥DE， 在 Rt△ADE 中，cosD＝ ＝ ， ∴∠D＝60°， ∴∠ABC＝60°，所以 A 选项的结论正确； ∵S△ABE＝ AB•AE，S△ADE＝ DE•AE， 而 AB＝2DE， ∴S△ABE＝2S△ADE，所以 B选项的结论正确； 若 AB＝4，则 DE＝2， ∴AE＝2 ， 在 Rt△ABE 中，BE＝ ＝2 ，所以 C 选项的结论错误； 作 EH⊥BC 交 BC 的延长线于 H，如图， 设 AB＝4a，则 CE＝2a，BC＝4a，BE＝2 a， 在△CHE 中，∠ECH＝∠D＝60°， ∴CH＝a，EH＝ a， ∴sin∠CBE＝ ＝ ＝ ，所以 D 选项的结论正确． 故选：C． 二、填空题 11．(2020•陕西)如图，在菱形 ABCD 中，AB＝6，∠B＝60°，点 E在边 AD 上，且 AE＝2．若直线 l 经过点 E，将该菱形的面积平分，并与菱形的另一边交于点 F，则线段 EF 的长为 ． 【答案】2 ． 【解析】过点 A 和点 E 作 AG⊥BC，EH⊥BC 于点 G 和 H，可得矩形 AGHE，再根据菱形 ABCD 中，AB＝6，∠B ＝60°，可得 BG＝3，AG＝3 EH，由题意可得，FH＝FC﹣HC＝2﹣1＝1，进而根据勾股定理可得 EF 的长． 如图，过点 A 和点 E 作 AG⊥BC，EH⊥BC 于点 G和 H， 得矩形 AGHE， ∴GH＝AE＝2， ∵在菱形 ABCD 中，AB＝6，∠B＝60°， ∴BG＝3，AG＝3 EH， ∴HC＝BC﹣BG﹣GH＝6﹣3﹣2＝1， ∵EF 平分菱形面积， ∴FC＝AE＝2， ∴FH＝FC﹣HC＝2﹣1＝1， 在 Rt△EFH 中，根据勾股定理，得 EF ܧ 2 ． 12．(2020•哈尔滨)如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，点 E 在线段 BO 上，连接 AE，若 CD ＝2BE，∠DAE＝∠DEA，EO＝1，则线段 AE 的长为 ． 【答案】2 ． 【解析】设 BE＝x，则 CD＝2x，根据菱形的性质得 AB＝AD＝CD＝2x，OB＝OD，AC⊥BD，再证明 DE＝DA＝2x， 所以 1+x x，解得 x＝2，然后利用勾股定理计算 OA，再计算 AE 的长． 设 BE＝x，则 CD＝2x， ∵四边形 ABCD 为菱形， ∴AB＝AD＝CD＝2x，OB＝OD，AC⊥BD， ∵∠DAE＝∠DEA， ∴DE＝DA＝2x， ∴BD＝3x， ∴OB＝OD x， ∵OE+BE＝BO， ∴1+x x，解得 x＝2， 即 AB＝4，OB＝3， 在 Rt△AOB 中，OA ， 在 Rt△AOE 中，AE 2 ． 13．(2020•嘉兴)如图，▱ ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，请添加一个条件： ，使▱ ABCD 是菱 形． 【答案】AD＝DC(答案不唯一)． 【解析】根据菱形的定义得出答案即可． ∵邻边相等的平行四边形是菱形， ∴平行四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，试添加一个条件：可以为：AD＝DC. 14.(2019 广西北部湾)如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交与点 O，过点 A 作 AH⊥BC 于点 H，已知 BO=4， S 菱形ABCD=24，则 AH= . 【答案】 24 5 . 【解析】本题考查了菱形的性质、勾股定理以及菱形面积公式，根据菱形面积=对角线积的一半可求 AC，再 根据勾股定理求出 BC，然后由菱形的面积即可得出结果． ∵四边形 ABCD 是菱形， ∴BO=DO=4，AO=CO，AC⊥BD， ∴BD=8. ∵S 菱形ABCD= 1 2 AC×BD=24，∴AC=6，∴OC= 1 2 AC=3， ∴BC= 2 2OB OC =5， ∵S 菱形ABCD=BC×AH=24，∴AH= 24 5 . 15．(2019 内蒙古通辽)如图，在边长为 3的菱形 ABCD 中，∠A＝60°，M是 AD 边上的一点，且 AM＝ AD， N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C．则A′C长度的最小值是 ． 【答案】 ﹣1 【解析】过点 M 作 MH⊥CD 交 CD 延长线于点 H，连接 CM， ∵AM＝ AD，AD＝CD＝3 ∴AM＝1，MD＝2 ∵CD∥AB， ∴∠HDM＝∠A＝60° ∴HD＝ MD＝1，HM＝ HD＝ ∴CH＝4 ∴MC＝ ＝ ∵将△AMN 沿 MN 所在直线翻折得到△A′MN， ∴AM＝A'M＝1， ∴点 A'在以 M为圆心，AM 为半径的圆上， ∴当点 A'在线段 MC 上时，A'C 长度有最小值 ∴A'C 长度的最小值＝MC﹣MA'＝ ﹣1 16．(2019 湖南常德)规定：如果一个四边形有一组对边平行，一组邻边相等，那么称此四 边形为广义菱形．根据规定判断下面四个结论：①正方形和菱形都是广义菱形；②平行四边 形是广义菱形；③对角线互相垂直，且两组邻边分别相等的四边形是广义菱形；④若 M、N 的坐标分别为(0，1)，(0，﹣1)，P 是二次函数 y＝ x2 的图象上在第一象限内的任意一 点，PQ 垂直直线 y＝﹣1于点 Q，则四边形 PMNQ 是广义菱形．其中正确的是 ．(填 序号) 【答案】①②④． 【解析】①根据广义菱形的定义，正方形和菱形都有一组对边平行，一组邻边相等，①正确； ②平行四边形有一组对边平行，没有一组邻边相等，②错误； ③由给出条件无法得到一组对边平行，③错误； ④设点 P(m， m2 )，则 Q(m，﹣1)， ∴MP＝ ＝ ，PQ＝ +1， ∵点 P 在第一象限， ∴m＞0， ∴MP＝ +1， ∴MP＝PQ， 又∵MN∥PQ， ∴四边形 PMNQ 是广义菱形． ④正确； 故答案为①②④． 17.(2019 广西梧州)如图，在菱形 ABCD 中， 2AB  ， 60BAD  ，将菱形 ABCD 绕点 A 逆时针方向旋转， 对应得到菱形 AEFG ，点 E 在 AC 上， EF 与CD交于点 P ，则 DP 的长是 ． 【答案】 3 1 【解析】连接 BD 交 AC 于O ，如图所示： 四边形 ABCD 是菱形， 2CD AB   ， 60BCD BAD    ， 1 30 2 ACD BAC BAD      ，OA OC ， AC BD ， 1 1 2 OB AB   ， 3 3OA OB   ， 2 3AC  ， 由旋转的性质得： 2AE AB  ， 60EAG BAD    ， 2 3 2CE AC AE     ， 四边形 AEFG 是菱形， / /EF AG ， 60CEP EAG    ， 90CEP ACD    ， 90CPE  ， 1 3 1 2 PE CE    ， 3 3 3PC PE   ， 2 (3 3) 3 1DP CD PC        。 三、解答题 18．(2020•滨州)如图，过▱ ABCD 对角线 AC 与 BD 的交点 E 作两条互相垂直的直线，分别交边 AB、BC、CD、 DA 于点 P、M、Q、N． (1)求证：△PBE≌△QDE； (2)顺次连接点 P、M、Q、N，求证：四边形 PMQN 是菱形． 【答案】见解析。 【解析】(1)证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴EB＝ED，AB∥CD， ∴∠EBP＝∠EDQ， 在△PBE 和△QDE 中， hܤܧ∠ hܧ∠ ܤܧ ܧ hܧܤ∠ hܧ∠ ， ∴△PBE≌△QDE(ASA)； (2)证明：如图所示： ∵△PBE≌△QDE， ∴EP＝EQ， 同理：△BME≌△DNE(ASA)， ∴EM＝EN， ∴四边形 PMQN 是平行四边形， ∵PQ⊥MN， ∴四边形 PMQN 是菱形． 19．(2020•郴州)如图，在菱形 ABCD 中，将对角线 AC 分别向两端延长到点 E 和 F，使得 AE＝CF．连接 DE， DF，BE，BF．求证：四边形 BEDF 是菱形． 【答案】见解析。 【解析】四边形 ABCD 是菱形，可得 AB＝BC＝CD＝DA，∠DCA＝∠BCA，∠DAC＝∠BAC，可以证明△CDF≌△ CBF，△DAE≌△BFC，△DCF≌△BEA，进而证明平行四边形 BEDF 是菱形． 证明：∵四边形 ABCD 是菱形， ∴BC＝CD，∠DCA＝∠BCA， ∴∠DCF＝∠BCF， ∵CF＝CF， ∴△CDF≌△CBF(SAS)， ∴DF＝BF， ∵AD∥BC， ∴∠DAE＝∠BCF， ∵AE＝CF，DA＝AB， ∴△DAE≌△BFC(SAS)， ∴DE＝BF， 同理可证：△DCF≌△BEA(SAS)， ∴DF＝BE， ∴四边形 BEDF 是平行四边形， ∵DF＝BF， ∴平行四边形 BEDF 是菱形． 20. (2019•海南省)如图，在边长为 l的正方形 ABCD 中，E 是边 CD 的中点，点 P 是边 AD 上一点(与点 A、D 不重合)，射线 PE 与 BC 的延长线交于点 Q． (1)求证：△PDE≌△QCE； (2)过点 E作 EF∥BC 交 PB 于点 F，连结 AF，当 PB＝PQ 时， ①求证：四边形 AFEP 是平行四边形； ②请判断四边形 AFEP 是否为菱形，并说明理由． 【解析】(1)由四边形 ABCD 是正方形知∠D＝∠ECQ＝90°，由 E 是 CD 的中点知 DE＝CE，结合∠DEP＝∠ CEQ 即可得证； (2)①由 PB＝PQ 知∠PBQ＝∠Q，结合 AD∥BC 得∠APB＝∠PBQ＝∠Q＝∠EPD，由△PDE≌△QCE 知 PE＝QE， 再由 EF∥BQ 知 PF＝BF，根据 Rt△PAB 中 AF＝PF＝BF 知∠APF＝∠PAF，从而得∠PAF＝∠EPD，据此即可 证得 PE∥AF，从而得证； ②设 AP＝x，则 PD＝1﹣x，若四边形 AFEP 是菱形，则 PE＝PA＝x，由 PD2 +DE2 ＝PE2 得关于 x 的方程，解 之求得 x的值，从而得出四边形 AFEP 为菱形的情况． 【解答】(1)∵四边形 ABCD 是正方形，∴∠D＝∠ECQ＝90°， ∵E是 CD 的中点，∴DE＝CE， 又∵∠DEP＝∠CEQ， ∴△PDE≌△QCE(ASA)； (2)①∵PB＝PQ，∴∠PBQ＝∠Q， ∵AD∥BC， ∴∠APB＝∠PBQ＝∠Q＝∠EPD， ∵△PDE≌△QCE，∴PE＝QE， ∵EF∥BQ，∴PF＝BF， ∴在 Rt△PAB 中，AF＝PF＝BF， ∴∠APF＝∠PAF， ∴∠PAF＝∠EPD， ∴PE∥AF， ∵EF∥BQ∥AD， ∴四边形 AFEP 是平行四边形； ②当 AP＝ 时，四边形 AFEP 是菱形． 设 AP＝x，则 PD＝1﹣x， 若四边形 AFEP 是菱形，则 PE＝PA＝x， ∵CD＝1，E 是 CD 中点，∴DE＝ ， 在 Rt△PDE 中，由 PD2 +DE2 ＝PE2 得(1﹣x)2 +( ) 2 ＝x2 ，解得 x＝ ， 即当 AP＝ 时，四边形 AFEP 是菱形． 21. (2019 北京市)如图 1，在菱形 ABCD 中，AC 为对角线，点 E，F分别在 AB，AD 上，BE=DF，连接 EF． (1)求证：AC⊥EF； (2)如图 2，延长 EF 交 CD 的延长线于点 G，连接 BD 交 AC 于点 O，若 BD=4，tanG= 1 2 ，求 AO 的长． 图 1 图 2 【答案】见解析。 【解析】由四边形 ABCD 为菱形易得 AB=AD，AC 平分∠BAD，结合 BE=DF，根据等腰△AEF 中的三线合一，证 得 AC⊥EF.；菱形 ABCD 中有 AC⊥BD，结合 AC⊥EF 得 BD∥EF.进而有 1tan tan 2 2 OC OCODC G OD       ； 得出 OA 的值. (1)证明：∵四边形 ABCD 为菱形 ∴AB=AD，AC 平分∠BAD ∵BE=DF ∴ AB BE AD DF   ∴AE=AF ∴△AEF 是等腰三角形 ∵AC 平分∠BAD ∴AC⊥EF (2)解：∵菱形 ABCD 中有 AC⊥BD，结合 AC⊥EF. ∴BD∥EF. 又∵BD=4，tanG= 1 2 ∴ 1tan tan 2 2 OC OCODC G OD       ∴AO= 1 2 AC =OC=1.