备考2021年九年级中考数学复习满分突破训练：几何专项——《等腰性质综合》（三） 15页

备考 2021 年中考数学复习满分突破训练：几何专项—— 《等腰性质综合》（三） 1．如图，在△ABC 中，AB＝AD，CB＝CE． （1）当∠ABC＝90°时（如图①），∠EBD＝ °； （2）当∠ABC＝n°（n≠90）时（如图②），求∠EBD 的度数（用含 n 的式子表示）． 2．某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：设∠BAC＝θ（0°＜θ＜90°）．现把小 棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别落在射线 AB、AC 上． 活动一：如图甲所示，从点 A1 开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在端点处互相 垂直．（A1A2 为第 1 根小棒） 数学思考： （1）小棒能无限摆下去吗？答： ．（填“能”或“不能”） （2）设 AA1＝A1A2＝A2A3，求θ的度数； 活动二：如图乙所示，从点 A1 开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中 A1A2 为第一根 小棒，且 A1A2＝AA1． 数学思考： （3）若已经摆放了 3 根小棒，则θ1＝ ，θ2＝ ，θ3＝ ；（用含θ 的式子表示） （4）若只能摆放 5 根小棒，求θ的范围． 3．如图，△ABC 中，∠ABC＝∠ACB，点 D 在 BC 所在的直线上，点 E 在射线 AC 上， 且 AD＝AE，连接 DE． （1）如图①，若∠B＝∠C＝35°，∠BAD＝80°，求∠CDE 的度数； （2）如图②，若∠ABC＝∠ACB＝75°，∠CDE＝18°，求∠BAD 的度数； （3）当点 D 在直线 BC 上（不与点 B、C 重合）运动时，试探究∠BAD 与∠CDE 的 数量关系，并说明理由． 4．问题：如图，在△ABD 中，BA＝BD．在 BD 的延长线上取点 E，C，作△AEC，使 EA＝EC．若∠BAE＝90°，∠B＝45°，求∠DAC 的度数． 答案：∠DAC＝45°． 思考：（1）如果把以上“问题”中的条件“∠B＝45°”去掉，其余条件不变，那么∠ DAC 的度数会改变吗？说明理由． （2）如果把以上“问题”中的条件“∠B＝45°”去掉，再将“∠BAE＝90°”改为 “∠BAE＝n°”，其余条件不变，求∠DAC 的度数． 5．如图，AB＝AC＝AD，且 AD∥BC． （1）∠C 和∠D 有怎样的数量关系？证明你的结论； （2）若 E、F、G 是 BC、BD、AB 的中点，连接 EF、GF、EG． ①若∠D＝35°，求∠GEF； ②若 AB＝10，EF＝8，求点 G 到 EF 的距离． 6．如图，点 D 是△ABC 边 AC 上一点，AD＝AB，过 B 点作 BE∥AC，且 BE＝CD，连 接 CE 交 BD 于点 O，连接 AO． （1）求证：AO 平分∠BAC； （2）若∠ADB＝70°，求∠ABE 的度数． 7．如图 1，在△ABC 中，AB＝AC，DE 垂直平分 AB，BE⊥AC，垂足为 E． （1）求∠BAC 的度数； （2）如图 2，若 AF⊥BC，垂足为 F，连接 EF，求∠EFC 的度数． 8．综合与实践： 问题情境： 已知在△ABC 中，∠BAC＝100°，∠ABC＝∠ACB，点 D 为直线 BC 上的动点（不 与点 B，C 重合），点 E 在直线 AC 上，且 AE＝AD，设∠DAC＝n． （1）如图 1，若点 D 在 BC 边上，当 n＝36°时，求∠BAD 和∠CDE 的度数； 拓广探索： （2）如图 2，当点 D 运动到点 B 的左侧时，其他条件不变，试猜想∠BAD 和∠CDE 的数量关系，并说明理由； （3）当点 D 运动点 C 的右侧时，其他条件不变，请直接写出∠BAD 和∠CDE 的数量 关系． 9．如图，在△ABC 中，∠ABC＝∠ACB，E 为 BC 边上一点，以 E 为顶点作∠AEF，∠ AEF 的一边交 AC 于点 F，使∠AEF＝∠B． （1）如果∠ABC＝40°，则∠BAC＝ ； （2）判断∠BAE 与∠CEF 的大小关系，并说明理由； （3）当△AEF 为直角三角形时，求∠AEF 与∠BAE 的数量关系． 10．已知△ABC，AB＝AC，D 为直线 BC 上一点，E 为直线 AC 上一点，AD＝AE，设∠ BAD＝α，∠CDE＝β， （1）如图 1，若点 D 在线段 BC 上，点 E 在线段 AC 上．∠ABC＝60°，∠ADE＝70°， 则α＝ °；β＝ °． （2）如图 2，若点 D 在线段 BC 上，点 E 在线段 AC 上，则α，β之间有什么关系式？ 说明理由． （3）是否存在不同于（2）中的α，β之间的关系式？若存在，请写出这个关系式（写出 一种即可），说明理由；若不存在，请说明理由． 参考答案 1．解：（1）∵AB＝AD，CB＝CE， ∴∠ABD＝∠ADB＝ （180°﹣∠A），∠CBE＝∠CEB＝ （180°﹣∠C）， ∵∠ABC＝90°， ∴∠A+∠C＝90°， ∴△BDE 中，∠DBE＝180°﹣（∠ADB+∠CEB） ＝180°﹣ （180°﹣∠A）﹣ （180°﹣∠C） ＝ （∠A+∠C） ＝ ×90° ＝45°， 故答案为：45． （2）∵AB＝AD，CB＝CE， ∴∠ABD＝∠ADB＝ （180°﹣∠A），∠CBE＝∠CEB＝ （180°﹣∠C）， ∵∠ABC＝n°， ∴∠A+∠C＝180°﹣n°， ∴△BDE 中，∠DBE＝180°﹣（∠ADB+∠CEB） ＝180°﹣ （180°﹣∠A）﹣ （180°﹣∠C） ＝ （∠A+∠C） ＝ ×（180°﹣n°） ＝90°﹣ n°． 2．解：（1）∵根据已知条件∠BAC＝θ（0°＜θ＜90°）小棒两端能分别落在两射线上， ∴小棒能继续摆下去． 故答案为：能； （2）∵A1A2＝A2A3，A1A2⊥A2A3， ∴∠A2A1A3＝45°， ∴∠AA2A1+∠θ＝45°， ∵∠AA2A1＝∠θ， ∴∠θ＝22.5°； （3）∵A1A2＝AA1 ∴∠A1AA2＝∠AA2A1＝θ ∴∠A2A1A3＝θ1＝θ+θ ∴θ1＝2θ 同理可得：θ2＝3θ θ3＝4θ． 故答案为：2θ，3θ，4θ； （4）由题意得： ， ∴15°≤θ＜18°． 3．解：（1）∵∠B＝∠C＝35°， ∴∠BAC＝110°， ∵∠BAD＝80°， ∴∠DAE＝30°， ∴∠ADE＝∠AED＝75°， ∴∠CDE＝180°﹣35°﹣30°﹣75°＝40°； （2）∵∠ACB＝75°，∠CDE＝18°， ∴∠E＝75°﹣18°＝57°， ∴∠ADE＝∠AED＝57°， ∴∠ADC＝39°， ∵∠ABC＝∠ADB+∠DAB＝75°， ∴∠BAD＝36°； （3）设∠ABC＝∠ACB＝y°，∠ADE＝∠AED＝x°，∠CDE＝α，∠BAD＝β ①如图 1，当点 D 在点 B 的左侧时，∠ADC＝x°﹣α， ∴ ， （1）﹣（2）得 2α﹣β＝0， ∴2α＝β； ②如图 2，当点 D 在线段 BC 上时，∠ADC＝x°+α， ∴ ， （2）﹣（1）得α＝β﹣α， ∴2α＝β； ③如图 3，当点 D 在点 C 右侧时，∠ADC＝x°﹣α， ∴ ， （2）﹣（1）得 2α﹣β＝0， ∴2α＝β． 综上所述，∠BAD 与∠CDE 的数量关系是 2∠CDE＝∠BAD． 4．解：（1）∠DAC 的度数不会改变； ∵EA＝EC， ∴∠EAC＝∠C，①， ∵BA＝BD， ∴∠BAD＝∠BDA ， ∵∠BAE＝90°， ∴∠B＝90°﹣∠AED＝90°﹣2∠C， ∴∠BAD＝ （180°﹣∠B）＝ [180°﹣（90°﹣2∠C）]＝45°+∠C， ∴∠DAE＝90°﹣∠BAD＝90°﹣（45°+∠C）＝45°﹣∠C，② 由①，②得，∠DAC＝∠DAE+∠CAE＝45°﹣∠C+∠C＝45°； （2）设∠ABC＝m°， 则∠BAD＝ （180°﹣m°）＝90°﹣ m°，∠AEB＝180°﹣n°﹣m°， ∴∠DAE＝n°﹣∠BAD＝n°﹣90°+ m°， ∵EA＝EC， ∴∠CAE＝ AEB＝90°﹣ n°﹣ m°， ∴∠DAC＝∠DAE+∠CAE＝n°﹣90°+ m°+90°﹣ n°﹣ m°＝ n°． 5．（1）解：∠C＝2∠D． 证明：∵AB＝AD， ∴∠D＝∠ABD， ∵AD∥BC， ∴∠D＝∠DBC， ∴∠D＝∠ABD＝∠DBC， ∵AB＝AC， ∴∠C＝∠ABC＝∠ABD+∠DBC＝2∠D； （2）解：①连接 AE，AF，如图 2， ∵在△ABC 中，AB＝AC，E 为 BC 的中点， ∴AE⊥BC（三线合一）， 同理 AF⊥BD， ∴△ABE 和△ABF 都为直角三角形， ∵G 为两直角三角形斜边的中点， ∴EG＝FG＝ AB＝GB＝GA， ∴△GEF 是等腰三角形， 由（1）可知∠C＝2∠D＝2×35°＝70°， ∴∠AGE＝2∠ABC＝2×70°＝140°，∠AGF＝2∠ABD＝2×35°＝70°， ∴EGF＝∠AGE﹣∠AGF＝140°﹣70°＝70°， ∴∠GEF＝ （180°﹣∠EGF）＝55°； ②取 EF 的中点 H，连接 GH， 由①可知 GE＝GF，在 ∴GE＝ AB＝ ×10＝5，EH＝ EF＝ ×8＝4，且 GH⊥EF（三线合一）， ∴GE2＝EH2+GH2， 即 52＝42＝GH2， 即点 G 到 EF 的距离为 3． 6．解：（1）∵BE∥AC， ∴∠E＝∠DCO， 在△BOE 和△DOC 中， ， ∴△BOE≌△DOC（AAS）， ∴BO＝OD， ∵AB＝AD， ∴AO 平分∠BAC； （2）∵AB＝AD， ∴∠ABD＝∠ADB＝70°， ∴∠BAD＝180°﹣70°﹣70°＝40°， ∵BE∥AC， ∴∠ABE＝∠BAD＝40°． 7．解：（1）∵DE 垂直平分 AB， ∴AE＝BE， ∵BE⊥AC， ∴△ABE 为等腰直角三角形， ∴∠BAC＝45°； （2）∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C， ∵∠ABC+∠C+∠BAC＝180°， ∴∠ABC＝∠C＝67.5°， ∵AF⊥BC，AB＝AC， ∴F 为 BC 为 BC 的中点， ∴EF＝BF＝CF， ∴∠CEF＝∠C＝67.5°， ∵∠C+∠CEF+∠CFE＝180°， ∴∠CFE＝45°． 8．解：（1）∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝100°﹣36°＝64°． ∵在△ABC 中，∠BAC＝100°，∠ABC＝∠ACB， ∴∠ABC＝∠ACB＝40°， ∴∠ADC＝∠ABC+∠BAD＝40°+64°＝104°． ∵AE＝AD， ∴∠ADE＝∠AED． ∵∠DAC＝36°， ∴∠ADE＝∠AED＝72°． ∴∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝104°﹣72°＝32°． （2）∠BAD＝2∠CDE．理由如下： 在△ABC 中，∠BAC＝100°， ∴∠ABC＝∠ACB＝40°． 在△ADE 中，∠DAC＝n， ∴ ． ∵∠ACB＝∠CDE+∠E， ∴ ＝ ． ∵∠BAC＝100°，∠DAC＝n， ∴∠BAD＝n﹣100°． ∴∠BAD＝2∠CDE． （3）∠BAD＝2∠CDE，理由如下： 如图③，在△ABC 中，∠BAC＝100°， ∴∠ABC＝∠ACB＝40°， ∴∠ACD＝140°． 在△ADE 中，∠DAC＝n， ∴∠ADE＝∠AED＝ ． ∵∠ACD＝∠CDE+∠AED， ∴∠CDE＝∠ACD﹣∠AED＝140°﹣ ＝ ， ∵∠BAC＝100°，∠DAC＝n， ∴∠BAD＝100°+n， ∴∠BAD＝2∠CDE． 9．解：（1）∵在△ABC 中，∠ABC＝∠ACB，∠ABC＝40°， ∴∠ACB＝40°， ∴∠BAC＝180°﹣40°﹣40°＝100°， 故答案为：100°． （2）∠BAE＝∠FEC； 理由如下： ∵∠B+∠BAE＝∠AEC，∠AEF＝∠B， ∴∠BAE＝∠FEC； （3）如图 1，当∠AFE＝90°时， ∵∠B+∠BAE＝∠AEF+∠CEF， ∠B＝∠AEF＝∠C， ∴∠BAE＝∠CEF， ∵∠C+∠CEF＝90°， ∴∠BAE+∠AEF＝90°， 即∠AEF 与∠BAE 的数量关系是互余； 如图 2，当∠EAF＝90°时， ∵∠B+∠BAE＝∠AEF+∠1， ∠B＝∠AEF＝∠C， ∴∠BAE＝∠1， ∵∠C+∠1+∠AEF＝90°， ∴2∠AEF+∠1＝90°， 即 2∠AEF 与∠BAE 的数量关系是互余． 10．解：（1）∵AB＝AC，∠ABC＝60°， ∴∠BAC＝60°， ∵AD＝AE，∠ADE＝70°， ∴∠DAE＝180°﹣2∠ADE＝40°， ∴α＝∠BAD＝60°﹣40°＝20°， ∴∠ADC＝∠BAD+∠ABD＝60°+20°＝80°， ∴β＝∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝10°， 故答案为：20，10； （2）设∠ABC＝x，∠AED＝y， ∴∠ACB＝x，∠AED＝y， 在△DEC 中，y＝β+x， 在△ABD 中，α+x＝y+β＝β+x+β， ∴α＝2β； （3）①当点 E 在 CA 的延长线上，点 D 在线段 BC 上， 如图 1 设∠ABC＝x，∠ADE＝y， ∴∠ACB＝x，∠ACE＝y， 在△ABD 中，x+α＝β﹣y， 在△DEC 中，x+y+β＝180°， ∴α＝2β﹣180°， ②当点 E 在 CA 的延长线上，点 D 在 CB 的延长线上， 如图 2，同①的方法可得α＝180°﹣2β．