2021年九年级数学中考一轮复习专题突破训练：几何压轴—圆的综合（含答案） 22页

2021 年九年级数学中考一轮复习专题突破训练： 几何压轴—圆的综合 1．如图，AB 是⊙O 的直径，BM 切⊙O 于点 B，点 P 是⊙O 上的一个动点（点 P 不与 A，B 两 点重合），连接 AP，过点 O 作 OQ∥AP 交 BM 于点 Q，过点 P 作 PE⊥AB 于点 C，交 QO 的延 长线于点 E，连接 PQ，OP，AE． （1）求证：直线 PQ 为⊙O 的切线； （2）若直径 AB 的长为 4． ①当 PE＝ 时，四边形 BOPQ 为正方形； ②当 PE＝ 时，四边形 AEOP 为菱形． 2．已知 AB 是⊙O 的直径，DA 为⊙O 的切线，切点为 A，过⊙O 上的点 C 作 CD∥AB 交 AD 于 点 D，连接 BC、AC． （1）如图①，若 DC 为⊙O 的切线，切点为 C，求∠ACD 和∠DAC 的大小． （2）如图②，当 CD 为⊙O 的割线且与⊙O 交于点 E 时，连接 AE，若∠EAD＝30°，求∠ ACD 和∠DAC 的大小． 3．已知 AB 为⊙O 的直径，点 C 为⊙O 上一点，点 D 为 AB 延长线一点，连接 AC． （Ⅰ）如图①，OB＝BD，若 DC 与⊙O 相切，求∠D 和∠A 的大小； （Ⅱ）如图②，CD 与⊙O 交于点 E，AF⊥CD 于点 F 连接 AE，若∠EAB＝18°，求∠FAC 的 大小． 4．如图，在等腰三角形 ABC 中，AB＝AC，以 AC 为直径的⊙O 分别交 AB、BC 于点 M、N，过 点 C 作⊙O 的切线交 AB 的延长线于点 P． （1）求证：∠CAB＝2∠BCP； （2）若⊙O 的直径为 5，sin∠BCP＝ ，求△ABC 内切圆的半径； （3）在（2）的条件下，求△ACP 的周长． 5．如图，△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，延长 BC 到点 D，使 BD＝BA，P 是 BC 边 上一点．点 Q 在射线 BA 上，PQ＝BP，以点 P 为圆心，PD 长为半径作⊙P，交 AC 于点 E， 连接 PQ，设 PC＝x． （1）AB＝ ，CD＝ ，当点 Q 在⊙P 上时，求 x 的值； （2）x 为何值时，⊙P 与 AB 相切？ （3）当 PC＝CD 时，求阴影部分的面积； （4）若⊙P 与△ABC 的三边有两个公共点，直接写出 x 的取值范围． 6．如图 1，以 AB 为直径作⊙O，点 C 是直径 AB 上方半圆上的一点，连结 AC，BC，过点 C 作∠ACB 的平分线交⊙O 于点 D，过点 D 作 AB 的平行线交 CB 的延长线于点 E． （1）如图 1，连结 AD，求证：∠ADC＝∠DEC． （2）若⊙O 的半径为 5，求 CA•CE 的最大值． （3）如图 2，连结 AE，设 tan∠ABC＝x，tan∠AEC＝y， ①求 y 关于 x 的函数解析式； ②若 ＝ ，求 y 的值． 7．如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的一条弦， ＝ ，CO 的延长线交⊙O 于点 E，交 BD 的延长线于点 F，连接 FA，且恰好 FA∥CD，连接 BE 交 CD 于点 P，延长 BE 交 FA 于点 G，连接 DE． （1）求证：FA 是⊙O 的切线； （2）求证：点 G 是 FA 的中点； （3）当⊙O 的半径为 6 时，求 tan∠FBE 的值． 8．如图 1，Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，P 是斜边 AC 上一个动点，以 BP 为直径作⊙O 交 BC 于点 D，与 AC 的另一个交点为 E（点 E 在点 P 右侧），连结 DE、BE，已知 AB＝3，BC＝6． （1）求线段 BE 的长； （2）如图 2，若 BP 平分∠ABC，求∠BDE 的正切值； （3）是否存在点 P，使得△BDE 是等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的 CP 的长； 若不存在，请说明理由． 9．如图，AB 是半圆 O 的直径，C 是半圆 O 上一点（不与点 A、B 重合），D 是 的中点，DE ⊥AB 于点 E，过点 C 作半圆 O 的切线，交 ED 的延长线于点 F． （1）求证：∠FCD＝∠ADE； （2）填空： ①当∠FCD 的度数为 时，四边形 OADC 是菱形； ②若 AB＝2 ，当 CF∥AB 时，DF 的长为 ． 10．如图，在∠DAM 内部做 Rt△ABC，AB 平分∠DAM，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8，点 N 为 BC 的中点，动点 E 由 A 点出发，沿 AB 运动，速度为每秒 5 个单位，动点 F 由 A 点出 发，沿 AM 运动，速度为每秒 8 个单位，当点 E 到达点 B 时，两点同时停止运动，过 A、E、 F 作⊙O． （1）判断△AEF 的形状为 ，并判断 AD 与⊙O 的位置关系为 ； （2）求 t 为何值时，EN 与⊙O 相切？求出此时⊙O 的半径，并比较半径与劣弧 长度的 大小； （3）直接写出△AEF 的内心运动的路径长为 ；（注：当 A、E、F 重合时，内心就 是 A 点） （4）直接写出线段 EN 与⊙O 有两个公共点时，t 的取值范围为 ． （参考数据：sin37°＝ ，tan37°＝ ，tan74°≈ ，sin74°≈ ，cos74°≈ ） 参考答案 1．（1）证明：∵OQ∥AP， ∴∠EOC＝∠OAP，∠POQ＝∠APO， 又∵OP＝OA， ∴∠APO＝∠OAP， 又∵∠BOQ＝∠EOA＝∠OAP， ∴∠POQ＝∠BOQ， 在△BOQ 与△POQ 中， ， ∴△POQ≌△BOQ（SAS）， ∴∠OPQ＝∠OBQ＝90°， ∵点 P 在⊙O 上， ∴PQ 是⊙O 的切线； （2）解：①∵△POQ≌△BOQ， ∴∠OBQ＝∠OPQ＝90°， 当∠BOP＝90°，四边形 OPQB 为矩形， 而 OB＝OP，则四边形 OPQB 为正方形，此时点 C、点 E 与点 O 重合，PE＝PO＝ AB＝2； ②∵PE⊥AB， ∴当 OC＝AC，PC＝EC，四边形 AEOP 为菱形， ∵OC＝ OA＝1， ∴PC＝ ＝ ＝ ， ∴PE＝2PC＝2 ． 故答案为：2；2 ． 2．解：（1）∵AB 是⊙O 的直径，DA 为⊙O 的切线，切点为 A， ∴DA⊥AB， ∴∠DAB＝90°， ∵DC 为⊙O 的切线，切点为 C， ∴DC＝DA， ∵CD∥AB， ∴∠D+∠DAB＝180°， ∴∠D＝90°， ∴∠ACD＝∠DAC＝45°； （2）∵AB 是⊙O 的直径，DA 为⊙O 的切线，切点为 A， ∴DA⊥AB， ∴∠DAB＝90°， ∠DEA＝∠EAB， ∴∠ADC＝90°， ∵∠EAD＝30°， ∴∠DEA＝60°， ∴∠EAB＝60°， ∴∠BCE＝120°， ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠BCA＝90°， ∴∠ACD＝30°， ∴∠DAC＝60°． 3．解：（Ⅰ）如图①，连接 OC，BC， ∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵DC 与⊙O 相切， ∴∠OCD＝90°， ∵OB＝BD， ∴BC＝ OD＝OB＝BD， ∴BC＝OB＝OC， ∴△OBC 是等边三角形， ∴∠OBC＝∠OCB＝∠COB＝60°， ∴∠BCD＝∠OCA＝30°， ∴∠D＝∠A＝30°； （Ⅱ）如图②，连接 BE， ∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠AEB＝90°， ∵AF⊥CD， ∴∠AFC＝90°， ∵∠ACF 是圆内接四边形 ACEB 的外角， ∴∠ACF＝∠ABE， ∴∠FAC＝∠EAB＝18°， 答：∠FAC 的大小为 18°． 4．解：（1）如图，连接 AN， ∵AC 为直径， ∴AN⊥BC， ∵AB＝AC， ∴AN 平分∠BAC， ∵PC 是圆的切线， ∴∠ACP＝90°， ∵∠NAC+∠ACB＝∠PCB+∠ACB＝90°， ∴∠NAC＝∠BCP， 即∠BAC＝2∠BCP； （2）由（1）知，AN 平分∠BAC，则∠NAC＝∠BCP， 故 sin∠NAC＝sin∠BCP＝ ，则 tan∠NAC＝ ， 在 Rt△NAC 中，AC＝5， NC＝AC•sin∠NAC＝5× ＝ ，同理 AN＝2 ， 则 BC＝2NC＝2 ； S△ABC＝ ×BC•AN＝ 2 ×2 ＝10， 设△ABC 内切圆的半径为 r， 则 S△ABC＝ （AB+AC+BC）•r＝ ×（5+5+2 ）•r＝10， 解得：r＝ ； 故△ABC 内切圆的半径为 ； （3）在△ABC 中，设 AC 边长的高为 h， 则 S△ABC＝ AC•h＝ ×5×h＝10，解得：h＝4， sin∠BAC＝ ＝ ， 在 Rt△ACP 中， ∵sin∠BAC＝ ＝ ， 设 PC＝4m，则 AP＝5m， 则 AC＝3m＝5，解得 m＝ ， △ACP 的周长＝3m+4m+5m＝12m＝20． 5．解：（1）∵△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4， ∴AB＝5， ∵BD＝BA， ∴BD＝5， ∴CD＝1． 故答案为：5，1； 当点 Q 在⊙P 上时，如图 1， PQ＝PD． ∴BP＝PD， 即 4﹣x＝x+1． 解得 x＝ ． （2）作 PF⊥AB 于点 F，当 PF＝PD 时，⊙P 与 AB 相切，如图 2， 则 PF＝PD＝x+1，sinB＝ ＝ ， ∴ ＝ ． 解得 x＝ ． 经检验，x＝ 是分式方程的解，且满足题意． ∴x＝ 时，⊙P 与 AB 相切． （3）如图 3，连接 PE， ∵Rt△PEC 中，PC＝CD＝1，PE＝PD＝1+1＝2， ∴∠EPC＝60°，EC＝ ． ∴S 阴影＝S 扇形 PDE﹣S△PCE ＝ ﹣ ×1× ＝ ﹣ ． （4）由图 2 可知，当 0≤x＜ 时，⊙P 与△ABC 的三边有两个公共点；由图 1 可知，当 ＜x＜4 时，⊙P 与△ABC 的三边有两个公共点． ∴x 的取值范围为：0≤x＜ 或 ＜x＜4． 6．（1）证明：∵AB∥DE， ∴∠ABC＝∠E， ∵∠ADC＝∠ABC， ∴∠ADC＝∠E； （2）解：∵CD 平分∠ACB， ∴∠ACD＝∠DCE， 又∠ADC＝∠E， ∴△ADC∽△DEC， ∴ ， 即 CD2＝CA•CE， 又∵⊙O 的半径为 5， ∴CA•CE＝CD2≤102＝100． 即 CA•CE 的最大值为 100． （3）解：①连接 AD， ∵△ADC∽△DEC， ， ∴y＝tan∠AEC＝ ， 过点 D 作 DF⊥CE，不妨设 EF＝a， ∵∠CED＝∠CBA，∠DCE＝45°， ∴CF＝DF＝ax， ∴CD＝ ax， ∴y＝ ＝ ． ②∵ ， ∴ ， ∴ ＝9：4， 即 x：y＝9：4， 将 y＝ x 代入 y＝ 得， ， 解得，x1＝2，x2＝ ， 当 x＝2 时，y＝ ， 当 x＝ 时，y＝ ， ∴y＝ 或 ． 7．（1）证明：∵AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的一条弦， ＝ ， ∴AB⊥CD， 又∵FA∥CD， ∴FA⊥AB， ∵OA 过 O， ∴FA 是⊙O 的切线； （2）证明：连接 AE， ∵AB 是⊙O 的直径， ∴AE⊥BG， 又∵FA⊥AB， ∴∠GEA＝∠BAG， 又∵∠BGA＝∠EGA， ∴△GAB∽△GEA， ∴ ＝ ， ∴GA2＝GB×EG， ∵FA∥CD， ∴∠C＝∠EFG， 又∵∠C＝∠FBE， ∴∠EFG＝∠FBE， 又∵∠FGE＝∠BGF， ∴△FEG∽△BFG， ∴ ＝ ， ∴GF2＝GB×GE， ∴GF＝GA， ∴G 为 AF 的中点； （3）解：∵FA∥CD， ∴ ＝ ＝ ， 又∵GF＝GA， ∴DP＝HP， 又∵CE 是⊙O 的直径，D 在圆上， ∴CD⊥DE， 又∵AB⊥CD 于点 H，EO＝OC， ∴点 H 是 CD 的中点，AB∥DE， 又∵DP＝HP， ∴DE＝BH， 又∵点 O 是 CE 中点，点 H 是 CD 的中点， ∴OH＝ DE＝ BH， 又∵⊙O 的半径为 6， ∴OH＝2，CH＝ ＝ ＝4 ， ∴tan∠FBE＝tanC＝ ＝ ＝ ． 8．解：（1）∵∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝6， ∴AC＝ ＝ ＝3 ， ∵BP 为⊙O 的直径， ∴∠BEP＝90°， ∴BE⊥AC， ∵S△ABC＝ ×AB×AC， ∴BE＝ ； （2）∵BP 平分∠ABC， ∴∠DBP＝ ∠ABC＝45°， 连接 DP，如图 1， ∵BP 为⊙O 的直径， ∴∠DBP＝∠DPB＝45°， ∴可设 DP＝BD＝x， ∵∠CDP＝∠ABC＝90° ∴PD∥AB， ∴△CPD∽△CAB， ∴ ＝2， ∴CD＝2x， ∴CB＝3x＝6， ∴x＝2， ∴DP＝BD＝2，CD＝4， ∴CP＝ ＝ ＝2 ， ∴CE＝ ＝ ＝ ， ∴tan∠BDE＝tan∠BPE＝ ＝ ＝3． （3）解：存在这样的点 P． 由△DCP∽△BCA，得， ， ∴CP＝ CD， 若△BDE 是等腰三角形，可分三种情况： ①当 BD＝BE 时，BD＝BE＝ ， ∴CD＝BC﹣BD＝6﹣ ， ∴CP＝ ＝3 ﹣3． ②当 BD＝DE 时，此时点 D 是 Rt△CBE 斜边的中点， ∴CD＝ BC＝3， ∴CP＝ ； ③当 DE＝BE 时，作 EH⊥BC 于点 H，则 H 是 BD 的中点， ∵∠ABC＝∠EHC＝90°， ∴EH∥AB， ∴ ， 又∵AE＝AC﹣CE＝3 ﹣ ＝ ， ∴BH＝DH＝ ＝ ， ∴CD＝6﹣ ＝ ， ∴CP＝ ． 综上所述，△BDE 是等腰三角形，符合条件的 CP 的长为 3 ﹣3 或 或 ． 9．（1）证明：连接 OC、AC．如图 1 所示： ∵D 是 的中点， ∴ ＝ ， ∴DA＝DC， ∴∠DAC＝∠DCA． ∵OA＝OC， ∴∠OAC＝∠OCA． ∴∠DAC+∠OAC＝∠DCA+∠OCA， 即∠OAD＝∠OCD． ∵CF 是半圆 O 的切线， ∴CF⊥OC， ∴∠FCD+∠OCD＝90°， ∵DE⊥AB， ∴∠ADE+∠OAD＝90°， ∴∠FCD＝∠ADE． （2）解：①当∠FCD 的度数为 30°时，四边形 OADC 是菱形；理由如下： 连接 OD，如图 2 所示： ∵∠FCD＝30°， ∴∠ADE＝30°， ∵DE⊥AB， ∴∠OAD＝60°， ∵OA＝OD， ∴△OAD 是等边三角形， ∴AD＝OA，∠AOD＝60°， ∵D 是 的中点， ∴ ＝ ， ∴∠AOD＝∠COD＝60°， ∵OC＝OD， ∴△COD 是等边三角形， ∴CD＝OD＝OC， ∴OA＝AD＝CD＝OC， ∴四边形 OADC 是菱形； 故答案为：30°； ②连接 OD，如图 3 所示： ∵AB＝2 ， ∴OA＝OD＝ ， ∵CF∥AB，DE⊥AB， ∴CF⊥EF， ∴∠CFD＝90°＝∠DEA， 在△ADE 和△DCF 中， ， ∴△ADE≌△DCF（AAS）， ∴AE＝DF，DE＝CF， ∵CF 半圆 O 的切线， ∴CF⊥OC， ∴四边形 OCFE 是矩形， ∴CF＝OE， ∴DE＝OE， ∴△ODE 是等腰直角三角形， ∴OE＝ OD＝1， ∴DF＝AE＝OA﹣OE＝ ﹣1； 故答案为： ﹣1． 10．解：（1）过点 E 作 EH⊥AF 于 H，连接 OA、OE、OH，如图 1 所示： ∵∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8， ∴BC＝ ＝ ＝6， 设运动时间为 t，则 AE＝5t，AF＝8t， ∵∠AHE＝∠ACB＝90°，∠EAH＝∠BAC， ∴△EAH∽△BAC， ∴ ＝ ，即： ＝ ， ∴AH＝4t， ∴FH＝AF﹣AH＝8t﹣4t＝4t， ∴AH＝FH， ∵EH⊥AF， ∴△AEF 是等腰三角形， ∴E 为 的中点，∠EAF＝∠EFA， ∵AH＝FH， ∴OH⊥AC， ∴E、H、O 三点共线， ∴∠OAF+∠AOE＝90°， ∵AB 平分∠DAM， ∴∠DAE＝∠EAF＝∠EFA， ∵∠AOE＝2∠EFA， ∴∠AOE＝∠DAE+∠EAF＝∠DAF， ∴∠DAF+∠OAF＝90°＝∠DAO，即 OA⊥AD， ∵OA 为⊙O 的半径， ∴AD 与⊙O 相切； 故答案为：等腰三角形，相切； （2）连接 OA、OF、OE，OE 于 AC 交于 H，如图 2 所示： 由（1）知：EH⊥AC， ∵EN 与⊙O 相切， ∴∠OEN＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴四边形 EHCN 为矩形， ∴EH＝NC， 在 Rt△AHE 中，EH＝ ＝ ＝3t， ∴NC＝3t， ∵点 N 为 BC 的中点， ∴BC＝2NC＝6t， ∵BC＝6， ∴6t＝6， ∴t＝1， ∴AH＝4，EH＝3， 设⊙O 的半径为 x，则 OH＝x﹣3， 在 Rt△AOH 中，由勾股定理得：OA2＝OH2+AH2，即 x2＝（x﹣3）2+42， 解得：x＝ ， ∴⊙O 的半径为 ， ∴OH＝ ， ∴tan∠AOH＝ ＝ ， ∴∠AOH＝74°， ∵∠AOH＝60°时，△AOE 是等边三角形，AE＝OA，74°＞60°， ∴AE＞OA， ∴劣弧 长度的大于半径； （3）当点 E 运动到 B 点时，t＝10÷5＝2， ∴AF＝2×8＝16，AE＝EF＝AB＝10， 此时△AEF 的内心记为 G，当 A、E、F 重合时，内心为 A 点， ∴△AEF 的内心运动的路径长为 AG， 作 GP⊥AE 于 P，GQ⊥EF 于 Q，连接 AG、GF，则 CG＝PG＝NQ，如图 3 所示： S△AEF＝ AF•BC＝ ×16×6＝48， 设 CG＝PG＝NQ＝a， 则 S△AEF＝S△AGF+S△AEB+S△FEG＝ AF•CG+ AE•PG+ EF•GQ＝ ×（16+10+10）a＝48， 解得：a＝ ， 在 Rt△AGC 中，AC2+CG2＝AG2，即 82+（ ）2＝AG， ∴AG＝ ， 故答案为： ； （4）分别讨论两种极限位置， ①当 EN 与⊙O 相切时，由（2）知，t＝1； ②当 N 在⊙O 上，即 ON 为⊙O 的半径， 连接 OA、ON、OE，OE 交 AC 于 H，过点 O 作 OK⊥BC 于 K，如图 4 所示： 则四边形 OKCH 为矩形，OA＝OE＝ON， ∴OH＝CK，AH＝4t，EH＝3t， 设⊙O 的半径为 x， 则在 Rt△AOH 中，AH2+OH2＝OA2，即（4t）2+（x﹣3t）2＝x2， 解得：x＝ t， ∴OH＝CK＝ t﹣3t＝ t， 在 Rt△OKN 中，OK2+KN2＝ON2，即（8﹣4t）2+（3+ t）2＝（ t）2， 解得：t＝ ， ∴线段 EN 与⊙O 有两个公共点时，t 的取值范围为：1＜t≤ ， 故答案为：1＜t≤ ．