2021年中考数学专题复习 专题15 线段垂直平分线问题（学生版） 7页

专题 15 线段垂直平分线问题 1. 线段的垂直平分线定义 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线． 2.线段垂直平分线的做法 求作线段 AB 的垂直平分线. 作法：(1)分别以点 A，B 为圆心，以大于 AB/2 的长为半径作弧，两弧相交于 C，D 两点； 说明：作弧时的半径必须大于 AB/2 的长，否则就不能得到两弧的交点了． (2)作直线 CD，CD 即为所求直线． 说明：线段的垂直平分线的实质是一条直线. 3.线段垂直平分线的性质： (1)线段的垂直平分线定理：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. (2)线段的垂直平分线逆定理：与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 说明：线段的垂直平分线定理也就是线段垂直平分线的性质，是证明两条线段相等的常用方法之一．同时 也给出了引辅助线的方法，“线段垂直平分线，常向两端把线连”.就是遇见线段的垂直平分线，画出到线 段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件． 到线段两个端点距离相等的所有点组成了线段的垂直平分线.线段的垂直平分线可以看作是与这条线 段两个端点的距离相等的所有点的集合． 4.三角形的外心 三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心—— 外心. 说明： (1)三角形三条边的垂直平分线必交于一点(三线共点)，该点即为三角形外接圆的圆心. (2)锐角三角形的外心在三角形内部；钝角三角形的外心在三角形外部；直角三角形的外心在斜边上，与 斜边中点重合. (3)外心到三顶点的距离相等. 5.尺规作图 线段的垂直平分线作图题是初中数学中不可缺少的一类试题，它要求写出“已知，求作，作法和画图”， 画图必须保留痕迹，在现行的教材里，一般不要求写出作法，但是必须保留痕迹.证明过程一般不用写出来. 最后要点题即“xxx 即为所求”. 6.中考出现考查线段的垂直平分线问题的基本类型 类型一：线段的垂直平分线定理。 类型二：线段的垂直平分线的逆定理。 类型三：线段的垂直平分线定理与逆定理的综合应用。 类型四：尺规作图。 【例题 1】(2020•枣庄)如图，在△ABC 中，AB 的垂直平分线交 AB 于点 D，交 BC 于点 E，连接 AE．若 BC＝6， AC＝5，则△ACE 的周长为( ) A．8 B．11 C．16 D．17 【对点练习】(2019 湖南湘西州)如图，在△ABC 中，∠C＝90°，AC＝12，AB 的垂直平分线 EF 交 AC 于点 D， 连接 BD，若 cos∠BDC＝ ，则 BC 的长是( ) A．10 B．8 C．4 D．2 【例题 2】(2020•南京)如图，线段 AB、BC 的垂直平分线 11、l2 相交于点 O，若∠1＝39°，则∠AOC＝ ． 【对点练习】(2020 毕节市模拟)等腰△ABC 的底角为 72°，腰 AB 的垂直平分线交另一腰 AC 于点 E，垂足 为 D，连接 BE，则∠EBC 的度数为 ． 【例题 3】(2020 连云港模拟)如图，已知 AB=AC,∠ABD=∠ACD，求证：AD 是线段 BC 的垂直平分线． CB A D 【对点练习】(2019 广西百色)如图，菱形 ABCD 中，作 BE⊥AD、CF⊥AB，分别交 AD、AB 的延长线于点 E、F． (1)求证：AE＝BF； (2)若点 E 恰好是 AD 的中点，AB＝2，求 BD 的值． 【例题 4】(2019 广西北海)如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝4，观察图中尺规作图的痕 迹，则 AD 的长是( ) A． B．4 C． D．2 【对点练习】电信部门要修建一座电视信号发射塔 P，按照设计要求，发射塔 P 到两城镇 A、B 的距离必须 相等，到两条高速公路 m 和 n 的距离也必须相等．请在图中作出发射塔 P 的位置．(尺规作图，不写作法， 保留作图痕迹) 一、选择题 1．(2020•湘西州)如图，PA、PB 为圆 O 的切线，切点分别为 A、B，PO 交 AB 于点 C，PO 的延长线交圆 O 于 点 D．下列结论不一定成立的是( ) A．△BPA 为等腰三角形 B．AB 与 PD 相互垂直平分 C．点 A、B 都在以 PO 为直径的圆上 D．PC 为△BPA 的边 AB 上的中线 2.如图，△ABC 中 AC＞BC，边 AB 的垂直平分线与 AC 交于点 D，已知 AC=5，BC=4，则△BCD 的周长是( ) A．9 B．8 C．7 D．6 3．(2019 广西梧州)如图，DE 是△ABC 的边 AB 的垂直平分线，D 为垂足，DE 交 AC 于点 E，且 AC＝8，BC＝5， 则△BEC 的周长是( ) A．12 B．13 C．14 D．15 二、填空题 4．(2020 长春模拟)如图，在△ABC 中，∠B=30°，ED 垂直平分 BC，ED=3．则 CE 长为 ． 5．(2020 莱芜模拟)如图，在△ABC 中，AB=BC，∠B=120°，AB 的垂直平分线交 AC 于点 D．若 AC=6cm， 则 AD= cm． 6．在△ABC 中，分别以点 A 和点 B 为圆心，大于 AB 的长为半径画弧，两弧相交于 M，N，作直线 MN，交 BC 于点 D，连接 AD．如果 BC＝5，CD＝2，那么 AD＝ ． 三、解答题 7.如图，△ABC 中，BC=7，AB 的垂直平分线分别交 AB、BC 于点 D、E，AC 的垂直平分线分别交 AC、BC 于点 F、G．求△AEG 的周长． 8.如图，P 是∠MON 的平分线上的一点，PA⊥OM,PB⊥ON,垂足分别为 A、B．求证：PO 垂直平分 AB． 9.已知：如图，AB=AC，DB=DC，E 是 AD 上一点． 求证：BE=CE． 10.如图，在△ABC 中，AB=AC，∠A=120°，AB 的垂直平分线 MN 分别交 BC、AB 于点 M、N. 求证：CM=2BM. 11.(2019 内蒙古赤峰)已知：AC 是▱ ABCD 的对角线．(1)用直尺和圆规作出线段 AC 的垂直平分线，与 AD 相 交于点 E，连接 CE．(保留作图痕迹，不写作法)； (2)在(1)的条件下，若 AB＝3，BC＝5，求△DCE 的周长．