中考数学一轮复习知识点+题型专题讲义10 二次根式（教师版） 15页

专题 10 二次根式 考点总结 【思维导图】 【知识要点】 知识点一 二次根式的有关概念和性质 二次根式概念：一般地，我们把形如 （ ≥0）的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号。 【注意】 1.二次根式 ，被开方数 a 可以是一个具体的数，也可以是代数式。 2.二次根式 是一个非负数。 3.二次根式与算术平方根有着内在联系， （ ≥0）就表示 a 的算术平方根。 二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当 a≧0 时， 有意义，是二次根式，所以要使二次根式 有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。 二次根式的性质： 1．含有两种相同的运算，两者都需要进行平方和开方。 2．结果的取值范围相同，两者的结果都是非负数。 3．当 a≧0 时， 考查题型一 利用二次根式非负性解题 1．（2013·四川中考真题）已知实数 x，y，m 满足 x 2 | 3x y m | 0     ，且 y 为负数，则 m 的取值范围 是（ ） A．m＞6 B．m＜6 C．m＞﹣6 D．m＜﹣6 【答案】A 【解析】 根据算术平方根和绝对值的非负数性质，得： ，解得： x 2{y 6 m     。 ∵y 为负数，∴6﹣m＜0，解得：m＞6。 故选 A。 2．（2016·四川中考真题）若 1a  +b2﹣4b+4=0，则 ab 的值等于（ ） A．﹣2 B．0 C．1 D．2 【答案】D 【解析】 试题分析：由 21 4 4 0a b b     ，得：a﹣1=0，b﹣2=0．解得 a=1，b=2．ab=2．故选 D． 3．（2012·湖北中考真题）若 2 9x y  与|x﹣y﹣3|互为相反数，则 x+y 的值为（ ） A．3 B．9 C．12 D．27 【答案】D 【解析】 依题意得 2 9 3 0x y x y      . 2 9 0, 15 3 0, 12. x y x x y y ，解得          ∴x＋y＝27. 故选 D. 考查题型二 判断二次根式有意义的取值范围 1．（2013·四川中考真题）若代数式 有意义，则实数 x 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 且 【答案】D 【解析】 根据二次根式被开方数必须是非负数和分式分母不为 0 的条件，要使 在实数范围内有意义，必须 且 x≠1。故选 D。 2．（2018·内蒙古中考真题）代数式 13 1x x    中 x 的取值范围在数轴上表示为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 由题意，得：3﹣x≥0 且 x﹣1≠0，解得：x≤3 且 x≠1，在数轴上表示如图： ． 故选 A． 3．（2018·山东中考真题）若式子 2 m 2 (m 1)   有意义，则实数 m 的取值范围是 ( ) A． m 2  B． m 2  且 m 1 C． m 2  D． m 2  且 m 1 【答案】D 【详解】 由题意可知： 2 0 1 0 m m      ∴m≥﹣2 且 m≠1 故选 D． 考查题型三 根据二次根式性质进行化简 1．（2012·湖南中考真题）实数 a、b 在数轴上的位置如图所示，且|a|＞|b|，则化简 2a a b  的结果为（ ） A．2a+b B．-2a+b C．b D．2a-b 【答案】C 【解析】 试题分析：利用数轴得出 a+b 的符号，进而利用绝对值和二次根式的性质得出即可： ∵由数轴可知，b＞0＞a，且 |a|＞|b|， ∴  2a a b a a b b       . 故选 C． 2．（2016·山东中考真题）实数 a，b 在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|+ 2( )a b 的结果是( ) A．﹣2a-b B．2a﹣b C．﹣b D．b 【答案】A 【详解】 由图可知： 0 0a b< >， ， ∴ + 0a b  ， ∴ 2( + ) - 2 -a a b a b a a b      . 故选 A. 3．（2011·北京中考真题）如果 ，则 a 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 试题分析：根据二次根式的性质 1 可知： ，即 故答案为 B. . 4．（2015·湖北中考真题）当 1＜a＜2 时，代数式 2( 2)a  ＋|1－a|的值是( ) A．－1 B．1 C．2a－3 D．3－2a 【答案】B 【解析】 试题解析：∵1＜a＜2， ∴ 2( 2)a  =|a-2|=-（a-2），|a-1|=a-1， ∴ 2( 2)a  +|a-1|=-（a-2）+（a-1）=2-1=1． 故选 A． 5．（2011·四川中考真题）已知 2 5 5 2 3y x x     ，则 2xy 的值为（ ） A． 15 B．15 C． 15 2  D．15 2 【答案】A 【解析】 试题解析：由 2 5 5 2 3y x x     ，得 2 5 0{5 2 0 x x     ，解得 2.5{ 3 x y    ．2xy=2×2.5×（-3）=-15，故选 A． 知识点二 二次根式的运算 二次根式的乘法法则: 【注意】 1、要注意 这个条件，只有 a，b 都是非负数时法则成立。 : 3、乘法交换律在二次根式中仍然适用。 二次根式的乘法法则变形（积的算术平方根）： 化简二次根式的步骤（易错点）： 1.把被开方数分解因式(或因数) ； 2.把各因式(或因数)积的算术平方根化为每个因式(或因数)的算术平方根的积； 3.如果因式中有平方式(或平方数)，应用关系式(√ )^2= （ ≥0）把这个因式(或因数)开出来，将二次根 式化简。 二次根式的除法法则： 【注意】 1、要注意 这个条件，因为 b=0 时，分母为 0，没有意义。 2、在实际解题时，若不考虑 a、b 的正负性，直接得 是错误的。 二次根式的除法法则变形（商的算术平方根）： 二次根式的特点： 1.被开方数不含分母，例： ； 2.被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，例： 。 【二次根式运算中的注意事项】 一般将最后结果化为最简二次根式，并且分母中不含二次根式。 二次根式的加减：先将二次根式化为最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）进 行合并。（合并方法为：将系数相加减，二次根式部分不变），不能合并的直接抄下来。 二次根式比较大小： 1、若 ，则有 ； 2、若 ，则有 ． 3、将两个根式都平方，比较平方后的大小，对应平方前的大小。 二次根式混合运算顺序：先计算括号内，再乘方（开方），再乘除，再加减。 注意：运算结果是根式的，一般应表示为最简二次根式。 考查题型四 二次根式化简的方法 1．（2016·甘肃中考真题）下列根式中是最简二次根式的是 ( ) A． 2 3 B． 3 C． 9 D． 12 【答案】B 【详解】 A． 2 3 = 6 3 ，故此选项错误； B． 3 是最简二次根式，故此选项正确； C． 9 =3，故此选项错误； D． 12 = 2 3 ，故此选项错误； 故选 B． 2．（2018·甘肃中考真题）下列二次根式中，是最简二次根式的是 ( ) A． 18 B． 13 C． 27 D． 12 【答案】B 【详解】 A、 18 3 2 不是最简二次根式，错误； B、 13 是最简二次根式，正确； C、 27 3 3 不是最简二次根式，错误； D、 12 2 3 不是最简二次根式，错误， 故选 B． 3．（2011·广东中考真题）下列二次根式中，最简二次根式的是（ ） A． 1 5 B． 0.5 C． 5 D． 50 【答案】C 【详解】 A、 1 5 = 5 5 ，被开方数含分母，不是最简二次根式；故 A 选项错误； B、 0.5 = 2 2 ，被开方数为小数，不是最简二次根式；故 B 选项错误； C、 5 ，是最简二次根式；故 C 选项正确； D． 50 = 5 2 ，被开方数，含能开得尽方的因数或因式，故 D 选项错误； 故选 C． 考查题型五 二次根式乘除运算的方法 1．（2015·安徽中考真题）计算 × 的结果是（ ） A． B．4 C． D．2 【答案】B 【解析】 试题解析： .故选 B. 2.（2013·海南中考真题）下列各数中，与 的积为有理数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 试题分析：根据实数运算的法则对各选项进行逐一计算作出判断： A、 ，是无理数，故本选项错误； B、 ，是无理数，故本选项错误； C、 ，是有理数，故本选项正确； D、 ，是无理数，故本选项错误。 故选 C。 3．（2018·江苏中考真题）计算： 1 82  =_____． 【答案】2 【详解】 1 82  = 1 82  =2，故答案为：2. 4.（2018·湖南中考真题） 12 3= ________. 【答案】6 【详解】 原式=2 3 × 3 =6．故答案为：6． 5．（2019·安徽中考真题）计算 18 2 的结果是__________. 【答案】3 【详解】 解： 18 2= 9=3 ，故答案为 3 6．（2015·广西中考真题）计算： 1 27=3  _________. 【答案】 【解析】 试题分析：原式= 1 273  = 9 =3．故答案为 3． 7.（2016·山东中考真题）计算： = ． 【答案】12 【解析】 试题分析：直接利用二次根式乘除运算法则化简求出答案． =3 × ÷ =3 =12． 考察题型六 二次根式加减运算的方法 1．（2018·山东中考真题） 12 与最简二次根式 5 1a  是同类二次根式，则 a=_____． 【答案】2 【解析】 详解：∵ 12 与最简二次根式 5 1a  是同类二次根式，且 12 =2 3 ， ∴a+1=3，解得：a=2． 故答案为 2． 2．（2019·江苏中考真题）计算： ． 【答案】 【解析】 3．（2018·黑龙江中考真题）计算 6 5 ﹣10 1 5 的结果是_____． 【答案】 4 5 【解析】 原式=6 5 -10× 5 5 =6 5 -2 5 =4 5 ， 故答案为 4 5 ． 4．（2018·辽宁中考真题）计算： 27 ﹣ 12 =__． 【答案】 3 【解析】 详解：原式=3 3 -2 3 = 3 ．故答案为 3 ． 5．（2018·湖北中考真题）计算 ( 3 2) 3  的结果是_____ 【答案】 2 【详解】    3 2 3  = 3 2 3  = 2 ， 故答案为： 2 . 考查题型七 分母有理化的方法 1．（2015·江苏中考真题）计算 5 15 3  的结果是 ． 【答案】5． 【详解】 5 15 5 15 533    . 故答案为 5. 2．（2019·江苏中考真题）计算 14 28 7  的结果是_____________． 【答案】0 【详解】 解：原式＝2 7 -2 7 ＝0． 故答案为 0． 3．（2015·湖南中考真题）把 进行化简，得到的最简结果是 （结果保留根号）。 【答案】2 【解析】 首先将其进行分母有理数，然后再进行二次根式求和.原式= = + =2 . 4．（2019·山东中考真题）计算： 024 8 ( 3) 2   ＝___________． 【答案】 2 3 1 【详解】 024 8 ( 3) 2 3 2 1 2 3 1 2        . 故答案为 2 3+1. 考查题型八 二次根式混合运算 1．（2019·山东中考真题）计算： 21 3 1| 3 2 |2 2 18          _________． 【答案】 2 4 3 【详解】 解：原式 4 2 3 3 3 2 4 3      ， 故答案为： 2 4 3 ． 2．（2015·辽宁中考真题）计算 2(1 2) 18  的值是__． 【答案】 4 2 ﹣1 【详解】 原式= 2 1 3 2  = 4 2 1 ． 故答案为 4 2 1 ． 3．（2015·内蒙古中考真题）计算： 1( 27 ) 33   = ． 【答案】8． 【解析】 原式= 127 3 33    =9﹣1=8，故答案为 8． 4．（2015·山东中考真题）计算（ + ）（ ﹣ ）的结果为 ． 【答案】﹣1 【解析】 此题是整式的乘法运算，其符合平方差公式 ，因此根据公式可直接计算， . 考查题型九 二次根式化简求值的方法 1．（2014·四川中考真题）已知 ，则 x12+x22= ． 【答案】10． 【解析】 ∵ ， ∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2= ． 2．（2019·山东中考真题）已知 6 2x   ，那么 2 2 2x x 的值是_____． 【答案】4 【详解】 ∵ 6 2x   ， ∴ 2 6x   ， ∴   2 2 2 6x   ， ∴ 2 2 2 2 6x x   ， ∴ 2 2 2 4x x  ， 故答案为：4 3．（2016·湖北中考真题）当 a= ﹣1 时，代数式 的值是 ． 【答案】 【解析】 ∵a= ﹣1， ∴a+b= +1+ ﹣1=2 ，a﹣b= +1﹣ +1=2， ∴ = = = ； 4．（2015·吉林中考真题）先化简，再求值： ，其中 ． 【答案】 ，5． 【解析】 式= = ， 当 时，原式=6﹣1=5． 考查题型十 二次根式比较大小的方法 1．（2018·河南中考模拟）比较大小：2 5 ____3 2 （填“＞”、“＜”或“＝”）． 【答案】＞ 【解析】 详解：∵ 2 5 20  3 2 18 20 18  ， ， ， ∴ 2 5 3 2 ． 2．（2019·陕西中考模拟）比较大小：5 2 _____ 13 ． 【答案】＞ 【详解】 解：∵5 2 = 50 ∴5 2 13＞ ． 故答案为＞． 3．（2019·陕西中考模拟）比较大小： 2 5 ______ 3 2 ． 【答案】  【详解】 2 5 20   ， 3 2 18   ， 2 5 3 2   ， 故答案为：．