中心对称数学教案第一课时 5页

‎23.2 中心对称(1)‎ 第一课时 ‎ 教学内容 ‎ 两个图形关于这个点对称或中心对称、对称中心、关于中心的对称点等概念及其运用它们解决一些实际问题．‎ ‎ 教学目标 ‎ 了解中心对称、对称中心、关于中心的对称点等概念及掌握这些概念解决一些问题．‎ ‎ 复习运用旋转知识作图，旋转角度变化，设计出不同的美丽图案来引入旋转180°的特殊旋转──中心对称的概念，并运用它解决一些实际问题．‎ ‎ 重难点、关键 ‎ 1．重点：利用中心对称、对称中心、关于中心对称点的概念解决一些问题．‎ ‎ 2．难点与关键：从一般旋转中导入中心对称．‎ ‎ 教具、学具准备 ‎ 小黑板、三角尺 ‎ 教学过程 ‎ 一、复习引入 ‎ 请同学们独立完成下题．‎ 如图，△ABC绕点O旋转，使点A旋转到点D处，画出旋转后的三角形，并写出简要作法．‎ ‎ ‎ ‎ 老师点评：分析，本题已知旋转后点A的对应点是点D，且旋转中心也已知，所以关键是找出旋转角和旋转方向．显然，逆时针或顺时针旋转都符合要求，一般我们选择小于180°的旋转角为宜，故本题选择的旋转方向为顺时针方向；已知一对对应点和旋转中心，很容易确定旋转角．如图，连结OA、OD，则∠AOD即为旋转角．接下来根据“任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角”和“对应点到旋转中心的距离相等”这两个依据来作图即可．‎ ‎ 作法：（1）连结OA、OB、OC、OD；‎ ‎ （2）分别以OB、OB为边作∠BOM=∠CON=∠AOD；‎ ‎ （3）分别截取OE=OB，OF=OC；‎ ‎ （4）依次连结DE、EF、FD；‎ 即：△DEF就是所求作的三角形，如图所示．‎ ‎ 二、探索新知 ‎ 问题：作出如图的两个图形绕点O旋转180°的图案，并回答下列的问题：‎ ‎ 1．以O为旋转中心，旋转180°后两个图形是否重合？‎ ‎2．各对称点绕O旋转180°后，这三点是否在一条直线上？‎ 老师点评：可以发现，如图所示的两个图案绕O旋转180°都是重合的，即甲图与乙图重合，△OAB与△COD重合．‎ 5‎ ‎ 像这样，把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心．‎ ‎ 这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．‎ ‎ 例1．如图，四边形ABCD绕D点旋转180°，请作出旋转后的图案，写出作法并回答．‎ ‎ （1）这两个图形是中心对称图形吗？如果是对称中心是哪一点？如果不是，请说明理由．‎ ‎（2）如果是中心对称，那么A、B、C、D关于中心的对称点是哪些点．‎ ‎ 分析：（1）根据中心对称的定义便直接可知这两个图形是中心对称图形，对称中心就是旋转中心．‎ ‎ （3）旋转后的对应点，便是中心的对称点．‎ ‎ 解：作法：（1）延长AD，并且使得DA′=AD ‎ （2）同样可得：BD=B′D，CD=C′D ‎（3）连结A′B′、B′C′、C′D，则四边形A′B′C′D为所求的四边形，如图23-44所示．‎ ‎ 答：（1）根据中心对称的定义便知这两个图形是中心对称图形，对称中心是D点．‎ ‎ （2）A、B、C、D关于中心D的对称点是A′、B′、C′、D′，这里的D′与D重合．‎ 例2．如图，已知AD是△ABC的中线，画出以点D为对称中心，与△ABD成中心对称的三角形．‎ ‎ 分析：因为D是对称中心且AD是△ABC的中线，所以C、B为一对的对应点，因此，只要再画出A关于D的对应点即可．‎ 5‎ ‎ 解：（1）延长AD，且使AD=DA′，因为C点关于D的中心对称点是B（C′），B点关于中心D的对称点为C（B′）‎ ‎ （2）连结A′B′、A′C′．‎ 则△A′B′C′为所求作的三角形，如图所示．‎ ‎ 三、巩固练习 ‎ 教材 练习2．‎ ‎ 四、应用拓展 ‎ 例3．如衅，在△ABC中，∠C=70°，BC=4，AC=4，现将△ABC沿CB方向平移到△A′B′C′的位置．‎ ‎ （1）若平移的距离为3，求△ABC与△A′B′C′重叠部分的面积．‎ ‎（2）若平移的距离为x（0≤x≤4），求△ABC与△A′B′C′重叠部分的面积y，写出y与x的关系式．‎ ‎ 分析：（1）∵BC=4，AC=4‎ ‎ ∴△ABC是等腰直角三角形，易得△BDC′也是等腰直角三角形且BC′=1‎ ‎ （2）∵平移的距离为x，∴BC′=4-x ‎ 解：（1）∵CC′=3，CB=4且AC=BC ‎ ∴BC′=C′D=1‎ ‎ ∴S△BDC`=×1×1=‎ ‎ （2）∵CC′=x，∴BC′=4-x ‎ ∵AC=BC=4‎ ‎ ∴DC′=4-x ‎ ∴S△BDC`=（4-x）（4-x）=x2-4x+8‎ ‎ 五、归纳小结（学生归纳，老师点评）‎ ‎ 本节课应掌握：‎ ‎ 1．中心对称及对称中心的概念；‎ ‎ 2．关于中心的对称点的概念及其运用．‎ ‎ 六、布置作业 ‎ 1．教材 练习1．‎ ‎ 2．选作课时作业设计．‎ 第一课时作业设计 一、选择题 ‎ 1．在英文字母VWXYZ中，是中心对称的英文字母的个数有（ ）个．‎ ‎ A．1 B．‎2 C．3 D．4‎ 5‎ ‎2．下面的图案中，是中心对称图形的个数有（ ）个 ‎ A．1 B．‎2 C．3 D．4‎ ‎ 3．如图，把一张长方形ABCD的纸片，沿EF折叠后，ED′与BC的交点为G，点D、C分别落在D′、C′的位置上，若∠EFG=55°，则∠1=（ ）‎ A．55° B．125° C．70° D．110°‎ ‎ 二、填空题 ‎ 1．关于某一点成中心对称的两个图形，对称点连线必通过_________．‎ ‎ 2．把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形是_________图形．‎ ‎ 3．用两个全等的直角非等腰三角形可以拼成下面图形中的哪几种：_______（填序号）‎ ‎ （1）长方形；（2）菱形；（3）正方形；（4）一般的平行四边形；（5）等腰三角形；（6）梯形．‎ ‎ 三、综合提高题 ‎ 1．仔细观察所列的26个英文字母，将相应的字母填入下表中适当的空格内．‎ A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z 对称 形式 ‎ 轴对称 旋转 对称 中心 对称 只有一条对称轴 有两条对称轴 ‎2．如图，在正方形ABCD中，作出关于P点的中心对称图形，并写出作法．‎ ‎ 3．如图，是由两个半圆组成的图形，已知点B是AC的中点，画出此图形关于点B成中心对称的图形．‎ 答案:‎ 一、1．B 2．D 3．D 二、1．这一点（对称中心） 2．中心对称 3．（1）（4）（5）‎ 三、1．略 ‎ 2．作法：（1）延长CB且BC′=BC；‎ 5‎ ‎（2）延长DB且BD′=DB，延长AB且使BA′=BA；‎ ‎（3）连结A′D′、D′C′、C′B 则四边形A′BC′D′即为所求作的中心对称图形，如图所示．‎ ‎ 3.略.‎ 5‎