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  • 2021-11-11 发布

人教版初中数学九年级下册课件第二十七章小结与复习

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小结与复习 第二十七章 相 似 要点梳理 考点讲练 课堂小结 课后作业 (1) 形状相同的图形 (2) 相似多边形 要点梳理 (3) 相似比:相似多边形对应边的比 1. 图形的相似 ①表象:大小不等, 形状相同. ②实质:各对应角相 等、各对应边成比例. ◑ 通过定义 ◑ 平行于三角形一边的直线 ◑ 三边成比例 ◑ 两边成比例且夹角相等 ◑ 两角分别相等 ◑ 两直角三角形的斜边和一条直角边成比例 (三个角分别相等,三条边成比例) 2. 相似三角形的判定 ◑ 对应角相等、对应边成比例 ◑ 对应高、中线、角平分线的比等于相似比 ◑ 周长比等于相似比 ◑ 面积比等于相似比的平方 3. 相似三角形的性质 (1) 测高 测量不能到达两点间的距离,常构造相似三角形 求解. (不能直接使用皮尺或刻度尺量的) (不能直接测量的两点间的距离) 测量不能到达顶部的物体的高度,通常用“在 同一时刻物高与影长成比例”的原理解决. (2) 测距 4. 相似三角形的应用 (1) 如果两个图形不仅相似,而且对应顶点的连 线相交于一点,那么这样的两个图形叫做位 似图形,这个点叫做位似中心. (这时的相似 比也称为位似比) 5. 位似 (2) 性质:位似图形上任意一对对应点到位似中心 的距离之比等于位似比;对应线段平行或者在 一条直线上. (3) 位似性质的应用:能将一个图形放大或缩小. A B G C ED F ●P B′ A′ C′ D′E′ F′ G′ A′ B′C′ D′ E′ F′ G′ A B G C ED F ●P (4) 平面直角坐标系中的位似 当位似图形在原点同侧时,其对应顶点的坐标的 比为 k;当位似图形在原点两侧时,对应顶点的 坐标的比为-k. 考点讲练 考点一 相似三角形的判定和性质 针对训练 1.如图所示,当满足下列条件之一时,都可判定 △ADC ∽△ACB. (1) ; (2) ; (3) . ∠ACD =∠B ∠ACB =∠ADC B C A D AD AC AC AB  或 AC2 = AD · AB 2. △ABC 的三边长分别为 5,12,13,与它相似的 △DEF 的最小边长为 15,则 △DEF 的其他两条 边长为 .36 和 39 3. 如图,△ABC 中,AB=9,AC=6,点 E 在 AB 上 且 AE=3,点 F 在 AC 上,连接 EF,若 △AEF 与 △ABC 相似,则 AF =    . B C A E 2 或 4.5 4. 如图,在 □ABCD 中,点 E 在边 BC 上,BE : EC =1 : 2,连接 AE 交 BD 于点 F,则 △BFE 的面 积 与 △DFA 的面积之比为 .       1 : 9 5. 如图,CD 是 ⊙ O 的弦,AB 是直径,CD⊥AB, 垂 足为 P,求证:PC2 = PA · PB. B·A C D O P 证明:连接AC,BC. ∵AB是直径, ∴∠ACB=90°, ∴ ∠A + ∠B = 90°. 又 ∵CD⊥AB,∴∠CPB=90°, ∠PCB+∠B=90°. 又 ∠A=∠CPB, ∴ △APC ∽△CPB. ∴ PC2 = AP · PB. AP PC PC PB  ,∴ 例1 如图,△ABC 是一块锐角三角形材料,边 BC =120 mm,高 AD=80 mm,要把它加工成正方形 零件,使正方形的一边在 BC 上,其余两个顶点分 别在 AB、AC 上,这个正方形零件的边长是多少? A B CD E F G H 解:设正方形 EFHG 为加工成的 正方形零件,边 GH 在 BC 上,顶点 E、F 分别在AB、 AC上,△ABC 的高 AD 与边 EF 相交于点 M,设正方形的 边长为 x mm. M ∵ EF//BC, ∴△AEF∽△ABC, 又∵ AM=AD-MD=80-x, 解得 x = 48. 即这个正方形零件的边长是 48 mm. A B CD E F G H M 80 120 80 x x  ,则 .EF AM BC AD ∴ 证明:∵△ABC是等边三角形, ∴∠BAC=∠ACB= 60°, ∠ACF=120°. ∵CE是外角平分线 , ∴∠ACE=60°, ∴∠BAC=∠ACE. 又∵∠ADB=∠CDE, ∴△ABD∽△CED. 例2 如图,△ABC 是等边三角形,CE 是外角平分线 ,点 D 在 AC 上,连接 BD 并延长与 CE 交于点 E. (1) 求证:△ABD ∽△CED; A B C D F E (2) 若 AB = 6,AD = 2CD,求 BE 的长. 解:作 BM⊥AC 于点 M. ∵ AC=AB=6, ∴ AM=CM=3. ∵ AD = 2CD, ∴CD=2,AD=4, MD=1. A B C D F EM 在 Rt△BDM 中, 2 26 3 3 3BM    , 2 2 2 7BD BM MD   , 由(1) △ABD ∽△CED得, BD AD ED CD  ,即 2 7 2 ED  , 7 3 7.ED BE BD ED   ,∴ A B C D F EM 证明:连接AD, ∵∠DAC=∠DEC,∠EBC=∠DEC, ∴∠DAC=∠EBC. ∵AC 是 ⊙ O 的直径, ∴∠ADC=90°,∴∠DCA+∠DAC=90°, ∴∠EBC+∠DCA=90°,∴∠BGC =180°- (∠EBC+∠DCA)=90°,∴AC⊥BH. 例3 已知:在 △ABC 中,以 AC 边为直径的 ⊙ O 交 BC 于点 D,在劣弧上取一点 E 使 ∠EBC =∠DEC ,延长 BE 依次交 AC 于点 G,交 ⊙ O 于 H. (1) 求证:AC⊥BH; A B CD G E O H (2) 若 ∠ABC=45°,⊙ O 的直径等于 10,BD = 8, 求 CE 的长. A B CD G E O H解:∵∠BDA=180°-∠ADC=90°, ∠ABC=45°,∴∠BAD=45°, ∴ BD = AD. ∵ BD = 8,∴ AD = 8. 在 Rt△ADC中,AD = 8,AC = 10, 由勾股定理得 DC = 6,则 BC = BD + DC = 14. ∵∠EBC = ∠DEC,∠BCE = ∠ECD, ∴△BCE∽△ECD,∴BC : CE = CE : CD, 即 CE2 = BC · CD =14×6 = 84,∴ CE = 2. 考点二 相似的应用 例1 如图,某一时刻一根 2 m 长的竹竿 EF 的影长 GE 为 1.2 m,此时,小红测得一棵被风吹斜的柏树 与地面成 30°角,树顶端 B 在地面上的影子点 D 与 B 到垂直地面的落点 C 的距离是 3.6 m,求树 AB 的长. 2m 1.2m3.6m 2m 1.2m3.6m 解:如图,CD=3.6m, ∵△BDC∽△FGE, ∴ BC=6m. 在 Rt△ABC 中, ∵ ∠A=30°, ∴ AB=2BC=12 m, 即树长 AB 是 12 m. BC EF CD GE  ,即 2 3.6 1.2 BC  ,∴ 例2 星期天,小丽和同学们在碧沙岗公园游玩,他们 来到 1928 年冯玉祥将军为纪念北伐军阵亡将士所立 的纪念碑前,小丽问:“这个纪念碑有多高呢?”请 你利用初中数学知识,设计一种方案测量纪念碑的高 度 (画出示意图),并说明理由. 解:如图,线段 AB 为纪念碑,在地面上平放一面镜 子 E,人退后到 D 处,在镜子里恰好看见纪念碑 顶 A. 若人眼距地面距离为 CD,测量出 CD、DE、 BE的长,就可算出纪念碑 AB 的高. 根据 ,即可算出 AB 的高. CD DE AB BE  你还有其他 方法吗? 理由:测量出CD、DE、BE的长,因为∠CED= ∠AEB,∠D=∠B=90°,易得△ABE∽△CDE. 如图,小明同学跳起来把一个排球打在离地 2 m 远的地上,然后反弹碰到墙上,如果她跳起击球时的 高度是 1.8 m,排球落地点离墙的距离是 6 m,假设 球一直沿直线运动,球能碰到墙面离地多高的地方? 针对训练 A B O C D2m 6m 1.8m 解:∵∠ABO=∠CDO=90°, ∠AOB=∠COD, ∴△AOB∽△COD. ∴ AB BO CD DO  ,∴ 1.8 2 6CD  , 解得 CD = 5.4m. 故球能碰到墙面离地 5.4m 高的地方. A B O C D2m 6m 1.8m 考点三 位似的性质及应用 针对训练 1. 在如图所示的四个图形中,位似图形的个数为 ( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 C 2. 已知 △ABC ∽ △A′B′C′,下列图形中, △ABC 和 △A′B′C′ 不存在位似关系的是 ( ) B' A(A') C' B C B' A(A') C' B C B' A(A')C' B C B' A C' B CA' A B C D B 3. 如图,DE∥AB,CE = 3BE,则 △ABC 与 △DEC 是以点 为位似中心的位似图形,其位似比为 ,面积比为 . D A EB C C 4 : 3 16 : 9 4. 在平面直角坐标系中,点 A,B 的坐标分别为(-6, 3),(-12,9),△ABO 和 △A′B′O 是以原点 O 为 位似中心的位似图形. 若点 A′ 的坐标为 (2,-1) 则 点 B′ 的坐标为 . (4,-3) 5. 找出下列图形的位似中心. 6. 如图,下面的网格中,每个小正方形的边长均为 1, 点 O 和 △ABC 的顶点均为小正方形的顶点. A B C (1) 在图中 △ABC 内部作 △A′B′C′,使 △A′B′C′ 和 △ABC 位似,且位似中心为点 O,位似比为 2 : 3. O A′ B′ C′ 解:如图所示. (2) 线段 AA′ 的长度是 . 4 2 3 7. 如图,△ABC 在方格纸中. (1) 请在方格纸上建立平面直角坐标系,使A (2,3), C (6,2),并求出 B 点坐标; 解:如图所示, B (2,1). x y O (2) 以原点 O 为位似中心,位似比为 2,在第一象限内 将 △ABC 放大,画出放大后的图形 △A′B′C′; x y O A′ B′ C′ 解:如图所示. (3) 计算△A′B′C′的面积 S. x y O A′ B′ C′ 解: 1 4 8=16. 2 S    课堂小结 相似 相似图形 位似 相似多边形 相似三角形 性质 平面直角坐标系中的位似 应用 性质 判定 平行线分线段 成比例 定义 定义、判定、性质