寒假课程 【精品讲义】人教版 九年级 数学 总复习 第六讲 反比例函数与一次函数的综合（教师版） 14页

反比例函数与一次函数 1 第六讲 反比例函数与一次函数的综合 明确目标﹒定位考点 反比例函数是初中代数的主要版块之一。中考主要考查反比例函数的图像及性质，反比例函数与一 次函数的综合，反比例函数与几何图形的综合。占比 12 分左右。 热点聚焦﹒考点突破 考点 1 一次函数与反比例函数的交点 【例 1】已知一次函数 6y kx  的图像与反比例函数 2ky x   的图像交于 A、B 两点，点 A 的横坐标为 2． （1）求 k 的值和点 A 的坐标； （2）判断点 B 的象限，并说明理由． 【变式训练 1】如图，一次函数 5 kxy （ k为常数，且 0k ）的图像与反比例函数 x y 8  的图像 交于  bA ,2 ， B两点.（1）求一次函数的表达式； （2）若将直线 AB 向下平移 )0( mm 个单位长度后与反比例函数的图像有且只有一个公共点，求m的值. A B O y x 【规律方法】 反比例函数与一次函数的交点的横纵坐标即两个解析式组成的方程组的解。 反比例函数与一次函数 2 考点 2一次函数、反比例函数与不等式 【例 2】如图，一次函数 y kx b  的图象与反比例函数 my x  的图象相交于 A、B 两点。（1）根据图象， 分别写出 A、B 的坐标；（2）求出两函数解析式； （3）根据图象回答：当 x为何值时，一次函数的函数值大于反比例函数的函数值 【变式训练 2】一次函数 y1=﹣ x﹣1与反比例函数 y2= 的图象交于点 A（﹣4，m）． （1）观察图象，在 y轴的左侧，当 y1＞y2时，请直接写出 x的取值范围； （2）求出反比例函数的解析式． 【规律方法】比较函数值的大小，上大下小。 考点 3 面积问题 反比例函数与一次函数 3 【例 3】如图，一次函数 y=kx+b 与反比例函数 my x  的图象交于 A（2，3），B（﹣3，n）两点． （1）求反比例函数的解析式； （2）过点 B作 BC⊥x轴，垂足为 C，点 P是反比例函数图象上任意一点，连接 PC，PB，求当△PBC的 面积等于 5时，点 P的坐标． 【变式训练 3】（2014•黑龙江大庆）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 y=ax+b 的图 象与 x轴相交于点 A（﹣2，0），与 y轴交于点 C，与反比例函数 ky x  在第一象限内的图象 交于点 B（m，n），连结 OB．若 S△AOB=6，S△BOC=2． （1）求一次函数的表达式； （2）求反比例函数的表达式． 【规律方法】解决反比例函数背景下的面积问题，掌握 k的几何含义及求面积的分割法等式关键。 归纳总结﹒思维升华 一、 待定系数法求解析式 反比例函数与一次函数 4 对于反比例函数 x ky  有一个待定系数 k，因此只要在函数图象上找一个点的坐标代入解出 k值，回代 即可得反比例函数解析式。 对于一次函数 bkxy  有两个待定系数 k和b，因此需要在函数图象上找两个点的坐标代入解方程组得 到 k和b的值，然后回代才能得到此一次函数解析式。 二、 交点问题 求反比例函数与一次函数（正比例函数）的交点，一般是将反比例函数和一次函数解析式看做关于 x和 y 的二元方程联立成方程组       x my bkxy 求解，次方程组的解即交点对应的坐标。 三、 面积问题 在坐标系中求图形面积时，一般用割补法，尽量用与坐标轴垂直或平行的线作为底或者高，这样才能较 好地将点的坐标与线段长度之间进行转化。 四、 函数值大小比较 一般是以函数图像的交点及坐标轴为临界，取相同的 x 值后比较对应的 y 值大小。 专题训练﹒对接中考 一、 选择题。 反比例函数与一次函数 5 1．在同一直角坐标系中，函数 y=kx+1 与 y=﹣ （k≠0）的图象大致是（ ） A． B． C． D． 2．如图，一次函数 y1=k1x+b（k1、b为常数，且 k1≠0）的图象与反比例函数 y2= （k2为常数，且 k2≠0） 的图象都经过点 A（2，3）．则当 x＞2时，y1与 y2的大小关系为（ ） A. y1＞y2 B. y1=y2 C. y1＜y2 D. 以上说法都不对 3．如图，过点 O作直线与双曲线 y= （k≠0）交于 A、B两点，过点 B作 BC⊥x轴于点 C，作 BD⊥y轴 于点 D．在 x轴上分别取点 E、F，使点 A、E、F在同一条直线上，且 AE=AF．设图中矩形 ODBC的面 积为 S1，△EOF的面积为 S2，则 S1、S2的数量关系是（ ） A．S1=S2 B. 2S1=S2 C. 3S1=S2 D. 4S1=S2 二、 填空题。 1.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 xy 2 3  与双曲线 x y 6  相交于 A，B两点，C是第一象限内双 曲线上一点，连接CA并延长交 y轴于点 P，连接 BP，BC .若△ PBC的面积是 20，则点C的坐标为 反比例函数与一次函数 6 ________ 2．如图，一次函数 y=kx﹣1的图象与 x轴交于点 A，与反比例函数 y= （x＞0）的图象交于点 B，BC垂 直 x轴于点 C．若△ABC的面积为 1，则 k的值是 _____． 三、解答题。 1.如图所示，直线 AB与 x轴交于点 A，与 y轴交于点 C（0，2），且与反比例函数 8y x   的图象在第二 象限内交于点 B，过点 B作 BD⊥x轴于点 D，OD=2． （1）求直线 AB的解析式； （2）若点 P是线段 BD上一点，且△PBC的面积等于 3，求点 P的坐标． 2.如图，已知 A 14, 2      ，B（-1,2）是一次函数 y kx b  与反比例函数 my x  （ 0, 0m m ＜ ）图象的 两个交点，AC⊥x轴于 C，BD⊥y轴于 D。 （1） 根据图象直接回答：在第二象限内，当 x取何值时，一次函数大于反比例函数的值? （2） 求一次函数解析式及 m 的值； 反比例函数与一次函数 7 （3） P 是线段 AB 上的一点，连接 PC，PD，若△PCA 和△PDB 面积相等，求点 P坐标。 3．如图，已知双曲线 y=﹣ 与两直线 y=﹣ x，y=﹣kx（k＞0，且 k≠ ）分别相交于 A、B、C、D四点． （1）当点 C的坐标为（﹣1，1）时，A、B、D三点坐标分别是 A（ ， ），B（ ， ），D （ ， ）． （2）证明：以点 A、D、B、C为顶点的四边形是平行四边形． （3）当 k为何值时，四边形 ADBC是矩形． 作业： 一、 选择题。 1．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数 y1= 的图象与一次函数 y2=kx+b的图象交于 A、B两点．若 y1＜y2，则 x的取值范围是（ ） 反比例函数与一次函数 8 A. 1＜x＜3 B. x＜0或 1＜x＜3 C. 0＜x＜1 D. x＞3或 0＜x＜1 2．如图，正比例函数 y=x与反比例函数 y= 的图象相交于 A、B两点，BC⊥x轴于点 C，则△ABC的面 积为（ ） A．1 B．2 C． 3 2 D． 5 2 3．如图，正比例函数 y1=k1x和反比例函数 y2= 的图象交于 A（1，2），B两点，给出下列结论：①k1 ＜k2；②当 x＜﹣1时，y1＜y2；③当 y1＞y1时，x＞1； ④当 x＜0时，y2随 x的增大而减小．其中正确的有（ ） A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 二、解答题。 1．如图，一次函数 y1=﹣x+2的图象与反比例函数 y2= 的图象相交于 A，B两点，与 x轴相交于点 C．已 知 tan∠BOC= ，点 B的坐标为（m，n）． （1）求反比例函数的解析式； （2）请直接写出当 x＜m时，y2的取值范围． 反比例函数与一次函数 9 [来源:Zxxk.Com] 2． 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知四边形 DOBC是矩形，且 D（0，4），B（6，0）．若反比例函 数 y= （x＞0）的图象经过线段OC的中点A，交DC于点 E，交 BC于点 F．设直线 EF的解析式为 y=k2x+b． （1）求反比例函数和直线 EF 的解析式； （2）求△OEF的面积； （3）请结合图象直接写出不等式 k2x+b﹣ ＞0的解集． 参考答案： 热点聚焦﹒考点突破 【例 1】解：（1）将 与 联立得： 点是两个函数图象交点，将 带入 1式得： 解得 反比例函数与一次函数 10 故一次函数解析式为 ，反比例函数解析式为 将 代入 得， 的坐标为 （2） 点在第四象限，理由如下： 一次函数 经过第一、三、四象限，反比例函数经过第二、四象限， 因此它们的交点都是在第四象限. 【变式训练 1】解：（1） 2 5 8 2 b k b         ，解得：b＝4，k＝ 1 2 ，所以，一次函数为：y＝ 1 2 x＋5 （2）向下平移 m 个单位长度后，直线为： 1 5 2 y x m   ， 8 1 5 2 y x y x m          化为： 21 (5 ) 8 0 2 x m x    ，Δ＝（5－m）2－16＝0，解得：m＝1 或 9 【例 2】解：（1）观图可知，A（-6，-2），B（4,3） （2）把 A（-6，-2），B（4,3）代入 y=kx+b 得： 2 ( 6) 3 4 k b k b       ∴ 1 2 1 k b   ∴一次函数解析式为 1 1 2 y x  把 A（-6，-2）代入 my x  得：m=12，∴反比例函数的解析式为 12y x  （3）解：由图可知，x＞4 或-6＜x＜0 时，一次函数的值大于反比例函数的值。 【变式训练 2】解：（1）在 y轴的左侧，当 y1＞y2时，x＜﹣4； （2）把点 A（﹣4，m）代入 y1=﹣ x﹣1得 m=﹣ ×（﹣4）﹣1=1， 则 A点坐标为（﹣4，1），把 A（﹣4，1）代入 y2= 得 k=﹣4×1=﹣4， 所以反比例函数的解析式为 y2=﹣ ． 【例 3】解：（1）把 x=2.y=3 代入，得3= 2 m ， 6m  ，反比例函数解析式 x y 6  （2）依题意得 6= 2 3 n    ，所以 B（-3，-2）， BC=2 反比例函数与一次函数 11 设 PCB 在 BC 边上的高为 h，则 1 5 2 BC h  ， 5h  所以点 P 的横坐标为-8 或 2，点 P 的坐标为（-8， 3 4  ）或（2，3） 【变式训练 3】解：（1）∵S△AOB=6，S△BOC=2，∴S△AOC=4，∴ 1 2 •2•OC=4，解得 OC=4， ∴C点坐标为（0，4）， 设一次函数解析式为 y=mx+n， 把 A（﹣2，0），C（0，4）代入得 ，解得 ，∴一次函数解析式为 y=2x+4； （2）∵S△BOC=2，∴ 1 2 ×4×m=2，解得 m=1，∴B点坐标为（1，6）， 把 B（1，6）代入 y k x 得 k=1×6=6，∴反比例函数解析式为 6y x  ． 专题训练﹒对接中考 一．选择题。 1.D 2.A 3.B 二．填空题。 1. 14 9( , ) 3 7 2. 解：设 B的坐标是（x， ），则 BC= ，OC=x， ∵y=kx﹣1，∴当 y=0时，x= ，则 OA= ，AC=x﹣ ， ∵△ABC的面积为 1，∴ AC×BC=1，∴ •（x﹣ ）• =1， ﹣ ﹣=﹣1，∴kx=3， ∵解方程组 得： =kx﹣1，∴ =3﹣2=2，x= ， 即 B的坐标是（ ，2）， 把 B的坐标代入 y=kx﹣1得：k=2，故答案为：2． 三．解答题。 1.解：（1）OD=2，B点的横坐标是﹣2，当 x=﹣2时，y=﹣ =4，∴B点坐标是（﹣2，4）， 设直线 AB的解析式是 y=kx+b，图象过（﹣2，4）、（0，2）， ，解得 ，∴直线 AB的解析式为 y=﹣x+2； （2）∵OD=2， 1 3 2PBCS BP OD    ，∴BP=3， PD=BD﹣BP=4﹣3=1，∴P点坐标是（﹣2，1）． 2.解：（1）由图象，当 14  x 时，一次函数值大于反比例函数的值。 反比例函数与一次函数 12 （2）把 A 14, 2      ，B（－1，2）代入 y kx b  得，       2 2 14 bk bk ，解得         2 5 2 1 b k ∴ 一次函数的解析式为 2 5 2 1  xy 把 B（－1，2）代入 my x  得 2m ，即 m 的值为－2。 （3）如图，设 P 的坐标为（ x， 2 5 2 1 x ），由 A、B 的坐标可知 AC= 2 1 ，OC=4，BD=1，OD=2，易知△PCA 的高为 4x ，△PDB 的高 ) 2 5 2 1(2  x ， 由 PDBPCA SS   可得 ) 2 5 2 12(1 2 1)4( 2 1 2 1  xx ， 解得 2 5 x ，此时 4 5 2 5 2 1 x ∴ P点坐标为（ 2 5  ， 4 5 ） P 3.解：（1）∵C（﹣1，1），C，D为双曲线 y=﹣ 与直线 y=﹣kx 的两个交点，且双曲线 y=﹣ 为中心对 称图形，∴D（1，﹣1）， 联立得： ，消去 y得：﹣ x=﹣ ，即 x2=4，解得：x=2或 x=﹣2， 当 x=2时，y=﹣ ；当 x=﹣2时，y= ，∴A（﹣2， ），B（2，﹣ ）； 故答案为：﹣2， ，2，﹣ ，1，﹣1； （2）∵双曲线 y=﹣ 为中心对称图形，且双曲线 y=﹣ 与两直线 y=﹣ x，y=﹣kx（k＞0，且 k≠ ）分 别相交于 A、B、C、D四点，∴OA=OB，OC=OD， 则以点 A、D、B、C为顶点的四边形是平行四边形； （3）若▱ ADBC是矩形，可得 AB=CD， 反比例函数与一次函数 13 联立得： ，消去 y得：﹣ =﹣kx，即 x2= ，解得：x= 或 x=﹣ ， 当 x= 时，y=﹣ ；当 x=﹣ 时，y= ， ∴C（﹣ ， ），D（ ，﹣ ）， ∴CD= =AB= = ， 整理得：（4k﹣1）（k﹣4）=0，解得：k= （不合题意，舍去）或 k=4， 则当 k=4时，▱ ADBC是矩形． 作业： 一．选择题。 1.B 2.A 3.C 解：①正比例函数 y1=k1x和反比例函数 y2= 的图象交于 A（1，2）， ∴k1=2，k2=2，k1=k2，故①错误； ②x＜﹣1时，一次函数图象在下方，故②正确；③y1＞y2时，﹣1＜x＜0或 x＞1，故③错误；④k2=2 ＞0，当 x＜0时，y2随 x的增大而减小，故④正确；故选：C． 二．解答题。 1.解：（1）作 BD⊥x轴于 D，如图， 在 Rt△OBD中，tan∠BOC= = ，∴ = ，即 m=﹣2n， 把点 B（m，n）代入 y1=﹣x+2得 n=﹣m+2， ∴n=2n+2，解得 n=﹣2，∴m=4，∴B点坐标为（4，﹣2）， 把 B（4，﹣2）代入 y2= 得 k=4×（﹣2）=﹣8，∴反比例函数解析式为 y2=﹣ ； （2）当 x＜4，y2的取值范围为 y2＞0或 y2＜﹣2． 2.解：（1）∵四边形 DOBC是矩形，且 D（0，4），B（6，0）， ∴C点坐标为（6，4），∵点 A为线段 OC的中点， ∴A点坐标为（3，2），∴k1=3×2=6， ∴反比例函数解析式为 y= ； 反比例函数与一次函数 14 把 x=6代入 y= 得 x=1，则 F点的坐标为（6，1）； 把 y=4代入 y= 得 x= ，则 E点坐标为（ ，4）， 把 F（6，1）、E（ ，4）代入 y=k2x+b得 ，解得 ， ∴直线 EF的解析式为 y=﹣ x+5； （2）△OEF的面积=S 矩形BCDO﹣S△ODE﹣S△OBF﹣S△CEF =4×6﹣ ×6﹣ ×6﹣ ×（6﹣ ）×（4﹣1）= ； （3）不等式 k2x+b﹣ ＞0的解集为 ＜x＜6．