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  • 2021-11-11 发布

数学华东师大版九年级上期中测试题

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期中测试题 一.选择题(共 10 小题,满分 40 分,每小题 4 分) 1.如果 y= +3,那么 yx 的算术平方根是( ) A.2 B.3 C.9 D.±3 2.下列式子中,为最简二次根式的是( ) A. B. C. D. 3.一元二次方程 x2﹣5x﹣6=0 的根是( ) A.x1=1,x2=6 B.x1=2,x2=3 C.x1=1,x2=﹣6 D.x1=﹣1,x2=6 4.用配方法解方程 x2﹣ x﹣1=0 时,应将其变形为( ) A.(x﹣ )2= B.(x+ )2= C.(x﹣ )2=0 D.(x﹣ )2= 5.下列线段中,能成比例的是( ) A.3 cm,6 cm,8 cm,9 cm B.3 cm,5 cm,6 cm,9 cm C.3 cm,6 cm,7 cm,9 cm D.3 cm,6 cm,9 cm,18 cm 6.如图,已知 AD 为△ABC 的角平分线,DE∥AB 交 AC 于 E,如果 = , 那么 等于( ) A. B. C. 7.关于 x 的一元二次方程 x2﹣(k+3)x+k=0 的根的情况是( ) A.有两不相等实数根 B.有两相等实数根 C.无实数根 D.不能确定 8.某药品经过两次降价,每瓶零售价由 168 元降为 108 元,已知两次降价的百分率相同, 设每次降价的百分率为 x,根据题意列方程得( ) A.168(1+x)2=108 B.168(1﹣x)2=108 C.168(1﹣2x)=108 D.168(1﹣x2)=108 9.已知关于 x 的一元二次方程 x2+2x+a﹣1=0 有两根为 x1 和 x2,且 x1 2﹣x1x2=0,则 a 的值是 ( ) A.a=1 B.a=1 或 a=﹣2 C.a=2 D.a=1 或 a=2 10.将三角形纸片△ABC 按如图所示的方式折叠,使点 B 落在边 AC 上,记为点 B′,折痕为 EF.已知 AB=AC=6,BC=8,若以 点 B′,F,C 为顶点的三角形与△ABC 相似,那么 BF 的长度 是( ) A. B.4 C. 或 2 二.填空题(共 6 小题,满分 24 分,每小题 4 分) 11.计算: = . 12.已知 = ,则 = . 13.若 m 是方程 2x2﹣3x﹣1=0 的一个根,则 6m2﹣9m+2015 的值为 . 14.如图,在四边形 ABCD 中,点 E、F 分别是边 AB、AD 的中点,BC=15,CD=9,EF=6,∠AFE=50°, 则∠ADC 的度数为 . 15.如图,点 G 为△ABC 的重心,GE∥BC,BC=12,则 GE= . 16.如图所示,已知点 F 的坐标为(3,0),点 A,B 分别是某 函数图象与 x 轴、y 轴的交点,点 P 是此图象上的一动点.设 点 P 的横坐标为 x,PF 的长为 d,且 d 与 x 之间满足关系:d=5 ﹣ x(0≤x≤5),则下列结论: ①AF=2; ②S△POF 的最大值是 6; ③当 d= 时,OP= ; ④OA=5. 其中正确的有 (填序号). 三.解答题(共 9 小题,满分 86 分) 17.(8 分)计算: ﹣( )﹣1+ ﹣(π﹣3.14)0+|2 ﹣4|. 18.(8 分)解方程:2(x﹣3)=3x(x﹣3). 19.(8 分)先化简,再求值:( ﹣ ) ,其中 a=17﹣12 ,b=3+2 20.(8 分)如图,△ABC 三个顶点分别为 A(0,﹣3),B(3,﹣2),C(2,﹣4),正 方形网格中,每个小正方形的边长是 1 个单位长度. (1)画出△ABC 向上平移 6 个单位得到的△A1B1C1; (2)以点 C 为位似中心,在网格中画出△A2B2C2,使△A2B2C2 与△ABC 位似,且△A2B2C2 与△ ABC 的位似比为 2:1. 20.(8 分)已知关于 x 的方程 x2+2(a﹣1)x+a2﹣7a﹣4=0 的两根为 x1,x2,且满足 x1x2 ﹣3x1﹣3x2﹣2=0,求 a 的值. 21.(10 分)如图,一条河的两岸 BC 与 DE 互相平行,两岸各有一排景观灯(图中黑点代 表景观灯),每排相邻两景观灯的间隔都是 10m,在与河岸 DE 的距离为 16m 的 A 处(AD ⊥DE)看对岸 BC,看到对岸 BC 上的两个景观灯的灯杆恰好被河岸 DE 上两个景观灯的灯 杆遮住.河岸 DE 上的两个景观灯之间有 1 个景观灯,河岸 BC 上被遮住的两个景观灯之 间有 4 个景观灯,求这条河的宽度. 23.(10 分)为迎接 G20 杭州峰会的召开,某校八年级(1)(2)班准备集体购买一种 T 恤衫参加一项社会活动.了解到某商店正好有这种 T 恤衫的促销,当购买 10 件时每件 140 元,购买数量每增加 1 件单价减少 1 元;当购买数量为 60 件(含 60 件)以上时,一律 每件 80 元. (1)如果购买 x 件(10<x<60),每件的单价为 y 元,请写出 y 关于 x 的函数关系式; (2)如果八(1)(2)班共购买了 100 件 T 恤衫,由于某种原因需分两批购买,且第一批 购买数量多于 30 件且少于 60 件.已知购买两批 T 恤衫一共花了 9200 元,求第一批 T 恤 衫的购买数量. 24.(13 分)在一个三角形中,如果一个角是另一个角的 2 倍,我们称这种三角形为倍角 三角形.如图 1,倍角△ABC 中,∠A=2∠B,∠A、∠B、∠C 的对边分别记为 a,b,c, 倍角三角形的三边 a,b,c 有什么关系呢?让我们一起来探索. (1)我们先从特殊的倍角三角形入手研究.请你结合图形填空: 三三角形角形 角的已知量 图 2 ∠A=2∠B=90° 图 3 ∠A=2∠B=60° (2)如图 4,对于一般的倍角△ABC,若∠CAB=2∠CBA,∠CAB、∠CBA、∠C 的对边分别记 为 a,b,c,a,b,c,三边有什么关系呢?请你作出猜测,并结合图 4 给出的辅助线提 示加以证明; (3)请你运用(2)中的结论解决下列问题:若一个倍角三角形的两边长为 5,6,求第三 边长. (直接写出结论即可) 25.(13 分)正方形 ABCD 的边长为 3,点 E,F 分别在射线 DC,DA 上运动,且 DE=DF.连 接 BF,作 EH⊥BF 所在直线于点 H,连接 CH. (1)如图 1,若点 E 是 DC 的中点,CH 与 AB 之间的数量关系是 ; (2)如图 2,当点 E 在 DC 边上且不是 DC 的中点时,(1)中的结论是否成立?若成立给出 证明;若不成立,说明理由; (3)如图 3,当点 E,F 分别在射线 DC,DA 上运动时,连接 DH,过点 D 作直线 DH 的垂线, 交直线 BF 于点 K,连接 CK,请直接写出线段 CK 长的最大值. 参考答案: 一.选择题 1. 【分析】根据二次根式中的被开方数必须是非负数列出不等式,求出 x、y 的值,根据算术 平方根的概念解答即可. 【解答】解:由题意得,x﹣2≥0,2﹣x≥0, 解得,x=2, ∴y=3, 则 yx=9, 9 的算术平方根是 3. 故选:B. 2. 【分析】利用最简二次根式定义判断即可. 【解答】解:A、原式=2,不符合题意; B、原式为最简二次根式,符合题意; C、原式= ,不符合题意; D、原式= ,不符合题意, 故选:B. 3. 【分析】本题应对原方程进行因式分解,得出(x﹣6)(x+1)=0,然后根据“两式相乘值 为 0,这两式中至少有一式值为 0.”来解题. 【解答】解:x2﹣5x﹣6=0 (x﹣6)(x+1)=0 x1=﹣1,x2=6 故选:D. 4. 【分析】本题要求用配方法解一元二次方程,首先将常数项移到等号的右侧,将等号左右两 边同时加上一次项系数一半的平方,即可将等号左边的代数式写成完全平方形式. 【解答】解:∵x2﹣ x﹣1=0, ∴x2﹣ x=1, ∴x2﹣ x+ =1+ , ∴(x﹣ )2= . 故选:D. 5. 【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积,则四条线段叫成比例线段.对 选项一一分析,排除错误答案. 【解答】解:A、∵3×9≠6×8,故此选项错误; B、∵3×9≠5×6,故此选项错误; C、∵3×9≠6×7,故此选项错误; D、∵3×18=6×9,故此选项正确; 故选:D. 6. 【分析】由平行线分线段成比例定理得出 = ,再由角平分线性质即可得出结论. 【解答】解:∵DE∥AB, ∴ = , ∵AD 为△ABC 的角平分线, ∴ = ; 故选:B. 7. 【分析】先计算判别式得到△=(k+3)2﹣4×k=(k+1)2+8,再利用非负数的性质得到△>0, 然后可判断方程根的情况. 【解答】解:△=(k+3)2﹣4×k=k2+2k+9=(k+1)2+8, ∵(k+1)2≥0, ∴(k+1)2+8>0,即△>0, 所以方程有两个不相等的实数根. 故选:A. 8. 【分析】设每次降价的百分率为 x,根据降价后的价格=降价前的价格(1﹣降价的百分率), 则第一次降价后的价格是 168(1﹣x),第二次后的价格是 168(1﹣x)2,据此即可列方 程求解. 【解答】解:设每次降价的百分率为 x,根据题意得: 168(1﹣x)2=108. 故选:B. 9. 【分析】根据 x1 2﹣x1x2=0 可以求得 x1=0 或者 x1=x2,所以①把 x1=0 代入原方程可以求得 a=1; ②利用根的判别式等于 0 来求 a 的值. 【解答】解:解 x1 2﹣x1x2=0,得 x1=0,或 x1=x2, ①把 x1=0 代入已知方程,得 a﹣1=0, 解得:a=1; ②当 x1=x2 时,△=4﹣4(a﹣1)=0,即 8﹣4a=0, 解得:a=2. 综上所述,a=1 或 a=2. 故选:D. 10. 【分析】根据折叠得到 BF=B′F,根据相似三角形的性质得到 = ,设 BF=x,则 CF=8 ﹣x,即可求出 x 的长,得到 BF 的长,即可选出答案. 【解答】解:∵△ABC 沿 EF 折叠 B 和 B′重合, ∴BF=B′F, 设 BF=x,则 CF=8﹣x, ∵当△B′FC∽△ABC, ∴ = , ∵AB=6,BC=8, ∴ = , 解得:x= , 即:BF= , 当△FB′C∽△ABC, , , 解得:x=4, 当△ABC∽△CB′F 时,同法可求 B′F=4, 故 BF=4 或 , 故选:D. 二.填空题 11. 【分析】原式利用平方根的定义化简即可得到结果. 【解答】解:原式=3. 故答案为:3 12. 【分析】根据比例的性质,可得 a、b 间的关系,根据分式的性质,可得答案. 【解答】解:由比例的性质,得 b= a. = = = = , 故答案为: . 13. 【分析】根据一元二次方程的解的定义即可求出答案. 【解答】解:由题意可知:2m2﹣3m﹣1=0, ∴2m2﹣3m=1 ∴原式=3(2m2﹣3m)+2015=2018 故答案为:2018 14. 【分析】连接 BD,根据三角形中位线定理得到 EF∥BD,BD=2EF=12,根据勾股定理的逆定理 得到∠BDC=90°,计算即可. 【解答】解:连接 BD, ∵E、F 分别是边 AB、AD 的中点, ∴EF∥BD,BD=2EF=12, ∴∠ADB=∠AFE=50°, BD2+CD2=225,BC2=225, ∴BD2+CD2=BC2, ∴∠BDC=90°, ∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=140°, 故答案为:140°. 15. 【分析】首先根据 G 点为△ABC 的重心,判断出 AG:AD=2:3;然后根据平行线的性质,判 断出 = ,即可求出 GE 的值是多少. 【解答】解:∵点 G 点为△ABC 的重心, ∴CD= BC= ×12=6; ∴AG:GD=2:1, ∴AG:AD=2:3, 又∵GE∥BC, ∴ = , ∴GE= CD= =4. 故答案为:4. 16. 【分析】当 P 和 A 重合时,PF=AF,则 x﹣3=5﹣ x,求得 OA=5,进一步求得 AF=2,即可判 断①④;当 P 和 B 重合时△POF 的面积最大,此时 x=0,代入 d=5﹣ x,求得 BF 的长, 求得 S△POF 的最大值,即可判断②;把 d= 代入 d=5﹣ x 求得点 P 的横坐标为 3,证得 PF⊥OA,然后根据勾股定理即可求得 OP 的长,即可判断③. 【解答】解:当 P 和 A 重合时,PF=AF, ∴x﹣3=5﹣ x, ∴x=5, ∴OA=5,AF=OA﹣OF=5﹣3=2,故①④正确; ∵OF=3 是定值, ∴当 P 和 B 重合时△POF 的面积最大, 把 x=0 代入 d=5﹣ x 得 d=5,则此时,BF=5, ∴OB= =4, ∴S△POF 的最大值= OF•OB= ×3×4=6,故②正确; 当 d= 时,则 =5﹣ x,解得 x=3, ∵F(3,0), ∴PF⊥OA, ∴OP= = = ,故③错误. 故答案为①②④. 三.解答题 17. 【分析】根据零指数幂的意义、负整数指数幂的意义和绝对值的意义计算. 【解答】解:原式=2 ﹣2+ ﹣1+4﹣2 = . 18. 【分析】移项后提取公因式 x﹣3 后利用因式分解法求得一元二次方程的解即可. 【解答】解:2(x﹣3)=3x(x﹣3), 移项得:2(x﹣3)﹣3x(x﹣3)=0, 整理得:(x﹣3)(2﹣3x)=0, x﹣3=0 或 2﹣3x=0, 解得:x1=3 或 x2= . 19. 【分析】将原式利用二次根式的性质和运算法则化简为 ,由 a=17﹣12 =(3﹣2 ) 2、b=3+2 =( +1)2,代入计算可得. 【解答】解:原式=( ﹣ )• =[ ﹣ ]• = • = , ∵a=17﹣12 =32﹣2× ×(2 )2=(3﹣2 )2, b=3+2 =( )2+2 +1=( +1)2, ∴原式= = = = . 20. 【分析】(1)分别作出点 A、B、C 向上平移 6 个单位得到的对应点,再顺次连接可得; (2)根据位似变换的定义作出点 A、B 的对应点,再顺次连接可得. 【解答】解:(1)如图所示,△A1B1C1 即为所求; (2)如图所示,△A2B2C2 即为所求. 21. 【分析】由根与系数的关系可用 a 表示出 x1+x2 和 x1x2 的值,利用条件可得到关于 a 的方程, 可求得 a 的值,再利用根的判别式进行取舍. 【解答】解: ∵方程 x2+2(a﹣1)x+a2﹣7a﹣4=0 的两根为 x1,x2, ∴△≥0,即 4(a﹣1)2﹣4(a2﹣7a﹣4)≥0,解得 a≥﹣1, 由根与系数的关系可得 x1+x2=﹣2(a﹣1),x1x2=a2﹣7a﹣4, ∵x1x2﹣3x1﹣3x2﹣2=0, ∴a2﹣7a﹣4﹣3×[﹣2(a﹣1)]﹣2=0,解得 a=4 或 a=﹣3, ∵a≥﹣1, ∴a=4. 22. 【分析】根据相似三角形的性质,列出式子构建方程即可解决问题; 【解答】解:由题意:AD⊥DE,DE∥BC,DE=20m,BC=50m,AD=16m, ∴AB⊥BC,△ADE∽△ABC, ∴ = , ∴ = , ∴AB=40(m), ∴BD=AB﹣AD=40﹣16=24(m), 答:这条河的宽度为 24m. 23. 【分析】(1)若购买 x 件(10<x<60),每件的单价=140﹣(购买数量﹣10),依此可得 y 关于 x 的函数关系式; (2)设第一批购买 x 件,则第二批购买(100﹣x)件,分两种情况:①当 30<x≤40 时, 则 60≤100﹣x<100;②当 40<x<60 时,则 40<100﹣x<60;根据购买两批 T 恤衫一 共花了 9200 元列出方程求解即可. 【解答】解:(1)购买 x 件(10<x<60)时,y=140﹣(x﹣10)=150﹣x. 故 y 关于 x 的函数关系式是 y=150﹣x. (2)设第一批购买 x 件,则第二批购买(100﹣x)件. ①当 30<x≤40 时,则 60≤100﹣x<100,则 x(150﹣x)+80(100﹣x)=9200, 解得 x1=30(舍去),x2=40; ②当 40<x<60 时,则 40<100﹣x<60, 则 x(150﹣x)+(100﹣x)[150﹣(100﹣x)]=9200, 解得 x=30 或 x=70,但 40<x<60,所以无解; 答:第一批购买数量为 40 件. 24. 【分析】(1)图 2 的三角形,显然是等腰直角三角形,可设斜边 c 为 2,那么 a=b= ,即 可求得 、 的值,图 3 的解法同上. (2)由(1)的结论,可猜测 a、b、c 的等量关系应该是 ,可通过构造相似三角形 来证明;延长 CA 至 D,是得 AD=AB;那么∠CAB=2∠A=2∠CBA,再加上公共角∠C,即可 证得△CBD∽△CAB,由此得到所求的结论. (3)将已知的边长代入(2)的结论进行计算即可. 【解答】解:(1) 三角形 角的已知量 图 2 ∠A=2∠B=90° 图 3 ∠A=2∠B=60° ;(2 分) (2)猜测 a,b,c 的关系是 延长 CA 至 D,使 AD=AB(如图 4); ∵AD=AB,∴∠D=∠ABD, ∴∠CAB=∠D+∠ABD=2∠D, ∵∠CAB=2∠CBA, ∴∠D=∠CBA, 又∵∠C=∠C, ∴△CBD∽△CAB, ∴ 即 . (3)①当 a=5,b=6 时, 由(2)得: ,解得 c=﹣ (不合题意舍去); ②当 a=6,b=5 时, ,解得 c= ; ③当 a=5,c=6 时, ,解得 b= ﹣3(负值舍去); ④当 a=6,c=5 时, ,解得 b=4(负值舍去); ⑤当 b=5,c=6 时, ,解得 a= (负值舍去); ⑥当 b=6,c=5 时, ,解得 a= (负值舍去). 综上可知:第三边的长为 或 或 或 4 或 . 25. 【分析】(1)首先根据全等三角形判定的方法,判断出△ABF≌△CBE,即可判断出∠1=∠2; 然后根据 EH⊥BF,∠BCE=90°,可得 C、H 两点都在以 BE 为直径的圆上,判断出∠4=∠ HBC,即可判断出 CH=BC,最后根据 AB=BC,判断出 CH=AB 即可. (2)首先根据全等三角形判定的方法,判断出△ABF≌△CBE,即可判断出∠1=∠2;然后根 据 EH⊥BF,∠BCE=90°,可得 C、H 两点都在以 BE 为直径的圆上,判断出∠4=∠HBC,即 可判断出 CH=BC,最后根据 AB=BC,判断出 CH=AB 即可. (3)首先根据三角形三边的关系,可得 CK<AC+AK,据此判断出当 C、A、K 三点共线时, CK 的长最大;然后根据全等三角形判定的方法,判断出△DFK≌△DEH,即可判断出 DK=DH, 再根据全等三角形判定的方法,判断出△DAK≌△DCH,即可判断出 AK=CH=AB;最后根据 CK=AC+AK=AC+AB,求出线段 CK 长的最大值是多少即可. 【解答】解:(1)如图 1,连接 BE, , 在正方形 ABCD 中, AB=BC=CD=AD,∠A=∠BCD=∠ABC=90°, ∵点 E 是 DC 的中点,DE=DF, ∴点 F 是 AD 的中点, ∴AF=CE, 在△ABF 和△CBE 中, ∴△ABF≌△CBE, ∴∠1=∠2, ∵EH⊥BF,∠BCE=90°, ∴C、H 两点都在以 BE 为直径的圆上, ∴∠3=∠2, ∴∠1=∠3, ∵∠3+∠4=90°,∠1+∠HBC=90°, ∴∠4=∠HBC, ∴CH=BC, 又∵AB=BC, ∴CH=AB. 故答案为:CH=AB. (2)当点 E 在 DC 边上且不是 DC 的中点时,(1)中的结论 CH=AB 仍然成立. 如图 2,连接 BE, , 在正方形 ABCD 中, AB=BC=CD=AD,∠A=∠BCD=∠ABC=90°, ∵AD=CD,DE=DF, ∴AF=CE, 在△ABF 和△CBE 中, ∴△ABF≌△CBE, ∴∠1=∠2, ∵EH⊥BF,∠BCE=90°, ∴C、H 两点都在以 BE 为直径的圆上, ∴∠3=∠2, ∴∠1=∠3, ∵∠3+∠4=90°,∠1+∠HBC=90°, ∴∠4=∠HBC, ∴CH=BC, 又∵AB=BC, ∴CH=AB. (3)如图 3, , ∵CK≤AC+AK, ∴当 C、A、K 三点共线时,CK 的长最大, ∵∠KDF+∠ADH=90°,∠HDE+∠ADH=90°, ∴∠KDF=∠HDE, ∵∠DEH+∠DFH=360°﹣∠ADC﹣∠EHF=360°﹣90°﹣90°=180°, ∠DFK+∠DFH=180°, ∴∠DFK=∠DEH, 在△DFK 和△DEH 中, ∴△DFK≌△DEH, ∴DK=DH, 在△DAK 和△DCH 中, ∴△DAK≌△DCH, ∴AK=CH 又∵CH=AB, ∴AK=CH=AB, ∵AB=3, ∴AK=3,AC=3 , ∴CK=AC+AK=AC+AB= , 即线段 CK 长的最大值是 .