数学华东师大版九年级上期中测试题 16页

期中测试题 一．选择题（共 10 小题，满分 40 分，每小题 4 分） 1．如果 y= +3，那么 yx 的算术平方根是（ ） A．2 B．3 C．9 D．±3 2．下列式子中，为最简二次根式的是（ ） A． B． C． D． 3．一元二次方程 x2﹣5x﹣6=0 的根是（ ） A．x1=1，x2=6 B．x1=2，x2=3 C．x1=1，x2=﹣6 D．x1=﹣1，x2=6 4．用配方法解方程 x2﹣ x﹣1=0 时，应将其变形为（ ） A．（x﹣ ）2= B．（x+ ）2= C．（x﹣ ）2=0 D．（x﹣ ）2= 5．下列线段中，能成比例的是（ ） A．3 cm，6 cm，8 cm，9 cm B．3 cm，5 cm，6 cm，9 cm C．3 cm，6 cm，7 cm，9 cm D．3 cm，6 cm，9 cm，18 cm 6．如图，已知 AD 为△ABC 的角平分线，DE∥AB 交 AC 于 E，如果 = ， 那么 等于（ ） A． B． C． 7．关于 x 的一元二次方程 x2﹣（k+3）x+k=0 的根的情况是（ ） A．有两不相等实数根 B．有两相等实数根 C．无实数根 D．不能确定 8．某药品经过两次降价，每瓶零售价由 168 元降为 108 元，已知两次降价的百分率相同， 设每次降价的百分率为 x，根据题意列方程得（ ） A．168（1+x）2=108 B．168（1﹣x）2=108 C．168（1﹣2x）=108 D．168（1﹣x2）=108 9．已知关于 x 的一元二次方程 x2+2x+a﹣1=0 有两根为 x1 和 x2，且 x1 2﹣x1x2=0，则 a 的值是 （ ） A．a=1 B．a=1 或 a=﹣2 C．a=2 D．a=1 或 a=2 10．将三角形纸片△ABC 按如图所示的方式折叠，使点 B 落在边 AC 上，记为点 B′，折痕为 EF．已知 AB=AC=6，BC=8，若以 点 B′，F，C 为顶点的三角形与△ABC 相似，那么 BF 的长度 是（ ） A． B．4 C． 或 2 二．填空题（共 6 小题，满分 24 分，每小题 4 分） 11．计算： = ． 12．已知 = ，则 = ． 13．若 m 是方程 2x2﹣3x﹣1=0 的一个根，则 6m2﹣9m+2015 的值为 ． 14．如图，在四边形 ABCD 中，点 E、F 分别是边 AB、AD 的中点，BC=15，CD=9，EF=6，∠AFE=50°， 则∠ADC 的度数为 ． 15．如图，点 G 为△ABC 的重心，GE∥BC，BC=12，则 GE= ． 16．如图所示，已知点 F 的坐标为（3，0），点 A，B 分别是某 函数图象与 x 轴、y 轴的交点，点 P 是此图象上的一动点．设 点 P 的横坐标为 x，PF 的长为 d，且 d 与 x 之间满足关系：d=5 ﹣ x（0≤x≤5），则下列结论： ①AF=2； ②S△POF 的最大值是 6； ③当 d= 时，OP= ； ④OA=5． 其中正确的有 （填序号）． 三．解答题（共 9 小题，满分 86 分） 17．（8 分）计算： ﹣（ ）﹣1+ ﹣（π﹣3.14）0+|2 ﹣4|． 18．（8 分）解方程：2（x﹣3）=3x（x﹣3）． 19．（8 分）先化简，再求值：（ ﹣ ） ，其中 a=17﹣12 ，b=3+2 20．（8 分）如图，△ABC 三个顶点分别为 A（0，﹣3），B（3，﹣2），C（2，﹣4），正 方形网格中，每个小正方形的边长是 1 个单位长度． （1）画出△ABC 向上平移 6 个单位得到的△A1B1C1； （2）以点 C 为位似中心，在网格中画出△A2B2C2，使△A2B2C2 与△ABC 位似，且△A2B2C2 与△ ABC 的位似比为 2：1． 20．（8 分）已知关于 x 的方程 x2+2（a﹣1）x+a2﹣7a﹣4=0 的两根为 x1，x2，且满足 x1x2 ﹣3x1﹣3x2﹣2=0，求 a 的值． 21．（10 分）如图，一条河的两岸 BC 与 DE 互相平行，两岸各有一排景观灯（图中黑点代 表景观灯），每排相邻两景观灯的间隔都是 10m，在与河岸 DE 的距离为 16m 的 A 处（AD ⊥DE）看对岸 BC，看到对岸 BC 上的两个景观灯的灯杆恰好被河岸 DE 上两个景观灯的灯 杆遮住．河岸 DE 上的两个景观灯之间有 1 个景观灯，河岸 BC 上被遮住的两个景观灯之 间有 4 个景观灯，求这条河的宽度． 23．（10 分）为迎接 G20 杭州峰会的召开，某校八年级（1）（2）班准备集体购买一种 T 恤衫参加一项社会活动．了解到某商店正好有这种 T 恤衫的促销，当购买 10 件时每件 140 元，购买数量每增加 1 件单价减少 1 元；当购买数量为 60 件（含 60 件）以上时，一律 每件 80 元． （1）如果购买 x 件（10＜x＜60），每件的单价为 y 元，请写出 y 关于 x 的函数关系式； （2）如果八（1）（2）班共购买了 100 件 T 恤衫，由于某种原因需分两批购买，且第一批 购买数量多于 30 件且少于 60 件．已知购买两批 T 恤衫一共花了 9200 元，求第一批 T 恤 衫的购买数量． 24．（13 分）在一个三角形中，如果一个角是另一个角的 2 倍，我们称这种三角形为倍角 三角形．如图 1，倍角△ABC 中，∠A=2∠B，∠A、∠B、∠C 的对边分别记为 a，b，c， 倍角三角形的三边 a，b，c 有什么关系呢？让我们一起来探索． （1）我们先从特殊的倍角三角形入手研究．请你结合图形填空： 三三角形角形 角的已知量 图 2 ∠A=2∠B=90° 图 3 ∠A=2∠B=60° （2）如图 4，对于一般的倍角△ABC，若∠CAB=2∠CBA，∠CAB、∠CBA、∠C 的对边分别记 为 a，b，c，a，b，c，三边有什么关系呢？请你作出猜测，并结合图 4 给出的辅助线提 示加以证明； （3）请你运用（2）中的结论解决下列问题：若一个倍角三角形的两边长为 5，6，求第三 边长． （直接写出结论即可） 25．（13 分）正方形 ABCD 的边长为 3，点 E，F 分别在射线 DC，DA 上运动，且 DE=DF．连 接 BF，作 EH⊥BF 所在直线于点 H，连接 CH． （1）如图 1，若点 E 是 DC 的中点，CH 与 AB 之间的数量关系是 ； （2）如图 2，当点 E 在 DC 边上且不是 DC 的中点时，（1）中的结论是否成立？若成立给出 证明；若不成立，说明理由； （3）如图 3，当点 E，F 分别在射线 DC，DA 上运动时，连接 DH，过点 D 作直线 DH 的垂线， 交直线 BF 于点 K，连接 CK，请直接写出线段 CK 长的最大值． 参考答案： 一．选择题 1． 【分析】根据二次根式中的被开方数必须是非负数列出不等式，求出 x、y 的值，根据算术 平方根的概念解答即可． 【解答】解：由题意得，x﹣2≥0，2﹣x≥0， 解得，x=2， ∴y=3， 则 yx=9， 9 的算术平方根是 3． 故选：B． 2． 【分析】利用最简二次根式定义判断即可． 【解答】解：A、原式=2，不符合题意； B、原式为最简二次根式，符合题意； C、原式= ，不符合题意； D、原式= ，不符合题意， 故选：B． 3． 【分析】本题应对原方程进行因式分解，得出（x﹣6）（x+1）=0，然后根据“两式相乘值 为 0，这两式中至少有一式值为 0．”来解题． 【解答】解：x2﹣5x﹣6=0 （x﹣6）（x+1）=0 x1=﹣1，x2=6 故选：D． 4． 【分析】本题要求用配方法解一元二次方程，首先将常数项移到等号的右侧，将等号左右两 边同时加上一次项系数一半的平方，即可将等号左边的代数式写成完全平方形式． 【解答】解：∵x2﹣ x﹣1=0， ∴x2﹣ x=1， ∴x2﹣ x+ =1+ ， ∴（x﹣ ）2= ． 故选：D． 5． 【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．对 选项一一分析，排除错误答案． 【解答】解：A、∵3×9≠6×8，故此选项错误； B、∵3×9≠5×6，故此选项错误； C、∵3×9≠6×7，故此选项错误； D、∵3×18=6×9，故此选项正确； 故选：D． 6． 【分析】由平行线分线段成比例定理得出 = ，再由角平分线性质即可得出结论． 【解答】解：∵DE∥AB， ∴ = ， ∵AD 为△ABC 的角平分线， ∴ = ； 故选：B． 7． 【分析】先计算判别式得到△=（k+3）2﹣4×k=（k+1）2+8，再利用非负数的性质得到△＞0， 然后可判断方程根的情况． 【解答】解：△=（k+3）2﹣4×k=k2+2k+9=（k+1）2+8， ∵（k+1）2≥0， ∴（k+1）2+8＞0，即△＞0， 所以方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 8． 【分析】设每次降价的百分率为 x，根据降价后的价格=降价前的价格（1﹣降价的百分率）， 则第一次降价后的价格是 168（1﹣x），第二次后的价格是 168（1﹣x）2，据此即可列方 程求解． 【解答】解：设每次降价的百分率为 x，根据题意得： 168（1﹣x）2=108． 故选：B． 9． 【分析】根据 x1 2﹣x1x2=0 可以求得 x1=0 或者 x1=x2，所以①把 x1=0 代入原方程可以求得 a=1； ②利用根的判别式等于 0 来求 a 的值． 【解答】解：解 x1 2﹣x1x2=0，得 x1=0，或 x1=x2， ①把 x1=0 代入已知方程，得 a﹣1=0， 解得：a=1； ②当 x1=x2 时，△=4﹣4（a﹣1）=0，即 8﹣4a=0， 解得：a=2． 综上所述，a=1 或 a=2． 故选：D． 10． 【分析】根据折叠得到 BF=B′F，根据相似三角形的性质得到 = ，设 BF=x，则 CF=8 ﹣x，即可求出 x 的长，得到 BF 的长，即可选出答案． 【解答】解：∵△ABC 沿 EF 折叠 B 和 B′重合， ∴BF=B′F， 设 BF=x，则 CF=8﹣x， ∵当△B′FC∽△ABC， ∴ = ， ∵AB=6，BC=8， ∴ = ， 解得：x= ， 即：BF= ， 当△FB′C∽△ABC， ， ， 解得：x=4， 当△ABC∽△CB′F 时，同法可求 B′F=4， 故 BF=4 或 ， 故选：D． 二．填空题 11． 【分析】原式利用平方根的定义化简即可得到结果． 【解答】解：原式=3． 故答案为：3 12． 【分析】根据比例的性质，可得 a、b 间的关系，根据分式的性质，可得答案． 【解答】解：由比例的性质，得 b= a． = = = = ， 故答案为： ． 13． 【分析】根据一元二次方程的解的定义即可求出答案． 【解答】解：由题意可知：2m2﹣3m﹣1=0， ∴2m2﹣3m=1 ∴原式=3（2m2﹣3m）+2015=2018 故答案为：2018 14． 【分析】连接 BD，根据三角形中位线定理得到 EF∥BD，BD=2EF=12，根据勾股定理的逆定理 得到∠BDC=90°，计算即可． 【解答】解：连接 BD， ∵E、F 分别是边 AB、AD 的中点， ∴EF∥BD，BD=2EF=12， ∴∠ADB=∠AFE=50°， BD2+CD2=225，BC2=225， ∴BD2+CD2=BC2， ∴∠BDC=90°， ∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=140°， 故答案为：140°． 15． 【分析】首先根据 G 点为△ABC 的重心，判断出 AG：AD=2：3；然后根据平行线的性质，判 断出 = ，即可求出 GE 的值是多少． 【解答】解：∵点 G 点为△ABC 的重心， ∴CD= BC= ×12=6； ∴AG：GD=2：1， ∴AG：AD=2：3， 又∵GE∥BC， ∴ = ， ∴GE= CD= =4． 故答案为：4． 16． 【分析】当 P 和 A 重合时，PF=AF，则 x﹣3=5﹣ x，求得 OA=5，进一步求得 AF=2，即可判 断①④；当 P 和 B 重合时△POF 的面积最大，此时 x=0，代入 d=5﹣ x，求得 BF 的长， 求得 S△POF 的最大值，即可判断②；把 d= 代入 d=5﹣ x 求得点 P 的横坐标为 3，证得 PF⊥OA，然后根据勾股定理即可求得 OP 的长，即可判断③． 【解答】解：当 P 和 A 重合时，PF=AF， ∴x﹣3=5﹣ x， ∴x=5， ∴OA=5，AF=OA﹣OF=5﹣3=2，故①④正确； ∵OF=3 是定值， ∴当 P 和 B 重合时△POF 的面积最大， 把 x=0 代入 d=5﹣ x 得 d=5，则此时，BF=5， ∴OB= =4， ∴S△POF 的最大值= OF•OB= ×3×4=6，故②正确； 当 d= 时，则 =5﹣ x，解得 x=3， ∵F（3，0）， ∴PF⊥OA， ∴OP= = = ，故③错误． 故答案为①②④． 三．解答题 17． 【分析】根据零指数幂的意义、负整数指数幂的意义和绝对值的意义计算． 【解答】解：原式=2 ﹣2+ ﹣1+4﹣2 = ． 18． 【分析】移项后提取公因式 x﹣3 后利用因式分解法求得一元二次方程的解即可． 【解答】解：2（x﹣3）=3x（x﹣3）， 移项得：2（x﹣3）﹣3x（x﹣3）=0， 整理得：（x﹣3）（2﹣3x）=0， x﹣3=0 或 2﹣3x=0， 解得：x1=3 或 x2= ． 19． 【分析】将原式利用二次根式的性质和运算法则化简为 ，由 a=17﹣12 =（3﹣2 ） 2、b=3+2 =（ +1）2，代入计算可得． 【解答】解：原式=（ ﹣ ）• =[ ﹣ ]• = • = ， ∵a=17﹣12 =32﹣2× ×（2 ）2=（3﹣2 ）2， b=3+2 =（ ）2+2 +1=（ +1）2， ∴原式= = = = ． 20． 【分析】（1）分别作出点 A、B、C 向上平移 6 个单位得到的对应点，再顺次连接可得； （2）根据位似变换的定义作出点 A、B 的对应点，再顺次连接可得． 【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1 即为所求； （2）如图所示，△A2B2C2 即为所求． 21． 【分析】由根与系数的关系可用 a 表示出 x1+x2 和 x1x2 的值，利用条件可得到关于 a 的方程， 可求得 a 的值，再利用根的判别式进行取舍． 【解答】解： ∵方程 x2+2（a﹣1）x+a2﹣7a﹣4=0 的两根为 x1，x2， ∴△≥0，即 4（a﹣1）2﹣4（a2﹣7a﹣4）≥0，解得 a≥﹣1， 由根与系数的关系可得 x1+x2=﹣2（a﹣1），x1x2=a2﹣7a﹣4， ∵x1x2﹣3x1﹣3x2﹣2=0， ∴a2﹣7a﹣4﹣3×[﹣2（a﹣1）]﹣2=0，解得 a=4 或 a=﹣3， ∵a≥﹣1， ∴a=4． 22． 【分析】根据相似三角形的性质，列出式子构建方程即可解决问题； 【解答】解：由题意：AD⊥DE，DE∥BC，DE=20m，BC=50m，AD=16m， ∴AB⊥BC，△ADE∽△ABC， ∴ = ， ∴ = ， ∴AB=40（m）， ∴BD=AB﹣AD=40﹣16=24（m）， 答：这条河的宽度为 24m． 23． 【分析】（1）若购买 x 件（10＜x＜60），每件的单价=140﹣（购买数量﹣10），依此可得 y 关于 x 的函数关系式； （2）设第一批购买 x 件，则第二批购买（100﹣x）件，分两种情况：①当 30＜x≤40 时， 则 60≤100﹣x＜100；②当 40＜x＜60 时，则 40＜100﹣x＜60；根据购买两批 T 恤衫一 共花了 9200 元列出方程求解即可． 【解答】解：（1）购买 x 件（10＜x＜60）时，y=140﹣（x﹣10）=150﹣x． 故 y 关于 x 的函数关系式是 y=150﹣x． （2）设第一批购买 x 件，则第二批购买（100﹣x）件． ①当 30＜x≤40 时，则 60≤100﹣x＜100，则 x（150﹣x）+80（100﹣x）=9200， 解得 x1=30（舍去），x2=40； ②当 40＜x＜60 时，则 40＜100﹣x＜60， 则 x（150﹣x）+（100﹣x）[150﹣（100﹣x）]=9200， 解得 x=30 或 x=70，但 40＜x＜60，所以无解； 答：第一批购买数量为 40 件． 24． 【分析】（1）图 2 的三角形，显然是等腰直角三角形，可设斜边 c 为 2，那么 a=b= ，即 可求得 、 的值，图 3 的解法同上． （2）由（1）的结论，可猜测 a、b、c 的等量关系应该是 ，可通过构造相似三角形 来证明；延长 CA 至 D，是得 AD=AB；那么∠CAB=2∠A=2∠CBA，再加上公共角∠C，即可 证得△CBD∽△CAB，由此得到所求的结论． （3）将已知的边长代入（2）的结论进行计算即可． 【解答】解：（1） 三角形 角的已知量 图 2 ∠A=2∠B=90° 图 3 ∠A=2∠B=60° ；（2 分） （2）猜测 a，b，c 的关系是 延长 CA 至 D，使 AD=AB（如图 4）； ∵AD=AB，∴∠D=∠ABD， ∴∠CAB=∠D+∠ABD=2∠D， ∵∠CAB=2∠CBA， ∴∠D=∠CBA， 又∵∠C=∠C， ∴△CBD∽△CAB， ∴ 即 ． （3）①当 a=5，b=6 时， 由（2）得： ，解得 c=﹣ （不合题意舍去）； ②当 a=6，b=5 时， ，解得 c= ； ③当 a=5，c=6 时， ，解得 b= ﹣3（负值舍去）； ④当 a=6，c=5 时， ，解得 b=4（负值舍去）； ⑤当 b=5，c=6 时， ，解得 a= （负值舍去）； ⑥当 b=6，c=5 时， ，解得 a= （负值舍去）． 综上可知：第三边的长为 或 或 或 4 或 ． 25． 【分析】（1）首先根据全等三角形判定的方法，判断出△ABF≌△CBE，即可判断出∠1=∠2； 然后根据 EH⊥BF，∠BCE=90°，可得 C、H 两点都在以 BE 为直径的圆上，判断出∠4=∠ HBC，即可判断出 CH=BC，最后根据 AB=BC，判断出 CH=AB 即可． （2）首先根据全等三角形判定的方法，判断出△ABF≌△CBE，即可判断出∠1=∠2；然后根 据 EH⊥BF，∠BCE=90°，可得 C、H 两点都在以 BE 为直径的圆上，判断出∠4=∠HBC，即 可判断出 CH=BC，最后根据 AB=BC，判断出 CH=AB 即可． （3）首先根据三角形三边的关系，可得 CK＜AC+AK，据此判断出当 C、A、K 三点共线时， CK 的长最大；然后根据全等三角形判定的方法，判断出△DFK≌△DEH，即可判断出 DK=DH， 再根据全等三角形判定的方法，判断出△DAK≌△DCH，即可判断出 AK=CH=AB；最后根据 CK=AC+AK=AC+AB，求出线段 CK 长的最大值是多少即可． 【解答】解：（1）如图 1，连接 BE， ， 在正方形 ABCD 中， AB=BC=CD=AD，∠A=∠BCD=∠ABC=90°， ∵点 E 是 DC 的中点，DE=DF， ∴点 F 是 AD 的中点， ∴AF=CE， 在△ABF 和△CBE 中， ∴△ABF≌△CBE， ∴∠1=∠2， ∵EH⊥BF，∠BCE=90°， ∴C、H 两点都在以 BE 为直径的圆上， ∴∠3=∠2， ∴∠1=∠3， ∵∠3+∠4=90°，∠1+∠HBC=90°， ∴∠4=∠HBC， ∴CH=BC， 又∵AB=BC， ∴CH=AB． 故答案为：CH=AB． （2）当点 E 在 DC 边上且不是 DC 的中点时，（1）中的结论 CH=AB 仍然成立． 如图 2，连接 BE， ， 在正方形 ABCD 中， AB=BC=CD=AD，∠A=∠BCD=∠ABC=90°， ∵AD=CD，DE=DF， ∴AF=CE， 在△ABF 和△CBE 中， ∴△ABF≌△CBE， ∴∠1=∠2， ∵EH⊥BF，∠BCE=90°， ∴C、H 两点都在以 BE 为直径的圆上， ∴∠3=∠2， ∴∠1=∠3， ∵∠3+∠4=90°，∠1+∠HBC=90°， ∴∠4=∠HBC， ∴CH=BC， 又∵AB=BC， ∴CH=AB． （3）如图 3， ， ∵CK≤AC+AK， ∴当 C、A、K 三点共线时，CK 的长最大， ∵∠KDF+∠ADH=90°，∠HDE+∠ADH=90°， ∴∠KDF=∠HDE， ∵∠DEH+∠DFH=360°﹣∠ADC﹣∠EHF=360°﹣90°﹣90°=180°， ∠DFK+∠DFH=180°， ∴∠DFK=∠DEH， 在△DFK 和△DEH 中， ∴△DFK≌△DEH， ∴DK=DH， 在△DAK 和△DCH 中， ∴△DAK≌△DCH， ∴AK=CH 又∵CH=AB， ∴AK=CH=AB， ∵AB=3， ∴AK=3，AC=3 ， ∴CK=AC+AK=AC+AB= ， 即线段 CK 长的最大值是 ．