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  • 2021-11-11 发布

初中数学青岛九上期末数学试卷

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第 1页(共 16页) 期末数学试卷 一.选择题 1.下列哪个方程是一元二次方程( ) A.2x+y=1 B.x2+1=2xy C.x2+ =3 D.x2=2x﹣3 2.制作一块 3m×2m 长方形广告牌的成本是 120 元,在每平方米制作成本相同的情况下, 若将此广告牌的四边都扩大为原来的 3 倍,那么扩大后长方形广告牌的成本是( ) A.360 元 B.720 元 C.1080 元 D.2160 元 3.把一元二次方程(x+3)(x﹣5)=2 化成一般形式,得( ) A.x2+2x﹣17=0 B.x2﹣8x﹣17=0 C.x2﹣2x=17 D.x2﹣2x﹣17=0 4.sin60°+tan45°的值等于( ) A. B. C. D.1 5.已知 ⊙ P 的半径为 5,点 P 的坐标为(2,1),点 Q 的坐标为(0,6),则点 Q 与 ⊙ P 的 位置关系是( ) A.点 Q 在 ⊙ P 外 B.点 Q 在 ⊙ P 上 C.点 Q 在 ⊙ P 内 D.不能确定 6.已知,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AB=5,BC=3,则 sinA 的值是( ) A. B. C. D. 7.已知两个相似三角形一组对应高分别是 15 和 5,面积之差为 80,则较大三角形的面积为 ( ) A.90 B.180 C.270 D.3600 8.一元二次方程 x2+6x+9=0 的根的情况是( ) A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根 9.如图,AB 是 ⊙ O 的直径,∠BOD=120°,点 C 为 的中点,AC 交 OD 于点 E,OB= 2,则 AE 的长为( ) 第 2页(共 16页) A. B. C. D. 10.已知一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) ① 若方程两根为﹣1 和 2,则 2a+c=0; ② b>a+c,则一元二次方程 ax2+bx+c=0 有两个不相等的实数根; ③ 若 b=2a+3c,则一元二次方程 ax2+bx+c=0 有两个不相等的实数根; ④ 若 m 是方程 ax2+bx+c=0 的一个根,则一定有 b2﹣4ac=(2am+b)2 成立 其中正确的是( ) A.只有 ①②③ B.只有 ①③④ C.只有 ①②③④ D.只有 ①④11.如图,在等腰△ABC 中,AB=AC,tanC=2,BD⊥AC 于点 D,点 G 是底边 BC 上一点, 过点 G 向两腰作垂线段,垂足分别为 E、F,若 BD=4,GE=1.5,则 BF 的长度为( ) A.0.75 B.0.8 C.1.25 D.1.35 12.如图,分别以△ABC 的三个顶点为圆心作 ⊙ A、 ⊙ B、 ⊙ C,且半径都是 0.5cm,则图中 三个阴影部分面积之和等于( ) A. cm2 B. cm2 C. cm2 D. cm2 二.填空题 13.在△ABC 中,∠A、∠B 为锐角,且|tanA﹣1|+( ﹣cosB)2=0,则∠C= °. 14.已知 ⊙ O 的半径为 3cm,点 A、B、C 是直线 l 上的三个点,点 A、B、C 到圆心 O 的距 离分别为 2cm,3cm,5cm,则直线 l 与 ⊙ O 的位置是 . 15.一个等边三角形边长的数值是方程 x2﹣3x﹣10=0 的根,那么这个三角形的周长 为 . 16.两个相似三角形的相似比为 2:3,他们的周长差为 30,则较大三角形的周长为 . 第 3页(共 16页) 17.如图,等边三角形 ABC 的外接圆 ⊙ O 的半径 OA 的长为 2,则其内切圆半径的长 为 . 三.解答题 18.计算 (1)2sin30°﹣tan60°+tan45°; (2) tan245°+sin230°﹣3cos230° 19.用适当的方法解下列方程: (1)(x﹣2)2﹣16=0 (2)5x2+2x﹣1=0. 20.如图,在△ABC 中,D,E 分别是边 AB,AC 上的点,连接 DE,且∠ADE=∠ACB. (1)求证:△ADE∽△ACB; (2)如果 E 是 AC 的中点,AD=8,AB=10,求 AE 的长. 第 4页(共 16页) 21.如图,AD 是△ABC 的中线,tanB= ,cosC= ,AC= .求:(1)BC 的长;(2) ∠ADC 的正弦值. 22.如图, ⊙ O 是△ABC 的外接圆,圆心 O 在 AB 上,M 是 OA 上一点,过 M 作 AB 的垂线 交 BC 的延长线于点 E,点 F 是 ME 上的一点,且 EF=CF. (1)求证:直线 CF 是 ⊙ O 的切线; (2)若∠B=2∠A,AB=8,且 AC=CE,求 BM 的长. 23.已知关于 x 的方程 x2﹣2(m+1)x+m2+2=0. (1)若方程总有两个实数根,求 m 的取值范围; (2)若两实数根 x1、x2 满足(x1+1)(x2+1)=8,求 m 的值. 第 5页(共 16页) 24.如图是小明设计利用光线来测量某古城墙 CD 高度的示意图,如果镜子 P 与古城墙的距 离 PD=12 米,镜子 P 与小明的距离 BP=1.5 米,小明刚好从镜子中看到古城墙顶端点 C, 小明眼睛距地面的高度 AB=1.2 米,那么该古城墙的高度是? 25.如图 1,2 分别是某款篮球架的实物图与示意图,已知 AB⊥BC 于点 B,底座 BC 的长 为 1 米,底座 BC 与支架 AC 所成的角∠ACB=60°,点 H 在支架 AF 上,篮板底部支架 EH∥BC,EF⊥EH 于点 E,已知 AH 长 米,HF 长 米,HE 长 1 米. (1)求篮板底部支架 HE 与支架 AF 所成的角∠FHE 的度数. (2)求篮板底部点 E 到地面的距离.(结果保留根号) 第 6页(共 16页) 26.如图,已知 AB 是 ⊙ O 的直径,点 C 在 ⊙ O 上,延长 BC 至点 D,使得 DC=BC,直线 DA 与 ⊙ O 的另一个交点为 E,连结 AC,CE. (1)求证:CD=CE; (2)若 AC=2,∠E=30°,求阴影部分(弓形)面积. 27.庆阳市是传统的中药材生产区,拥有丰富的中药材资源,素有“天然药库”“中药之乡” 的美称.优越的地理气候条件形成了较独特的资源禀赋,孕育了丰富的中药植物资源和 优良品种.某种植户 2016 年投资 20 万元种植中药材,到 2018 年三年共累计投资 95 万 元,若在这两年内每年投资的增长率相同. (1)求该种植户每年投资的增长率; (2)按这样的投资增长率,请你预测 2019 年该种植户投资多少元种植中药材. 第 7页(共 16页) 参考答案 一.选择题 1.解:A、不是一元二次方程,故此选项错误; B、不是一元二次方程,故此选项错误; C、不是一元二次方程,故此选项错误; D、是一元二次方程,故此选项正确; 故选:D. 2.解:3m×2m=6m2, ∴长方形广告牌的成本是 120÷6=20 元/m2, 将此广告牌的四边都扩大为原来的 3 倍, 则面积扩大为原来的 9 倍, ∴扩大后长方形广告牌的面积=9×6=54m2, ∴扩大后长方形广告牌的成本是 54×20=1080m2, 故选:C. 3.解:(x+3)(x﹣5)=2, 去括号得:x2﹣5x+3x﹣15=2, 移项得:x2﹣5x+3x﹣15﹣2=0, 合并同类项得:x2﹣2x﹣17=0, 故选:D. 4.解:sin60°+tan45° = +1 = . 故选:B. 5.解:∵点 P 的坐标为(2,1),点 Q 的坐标为(0,6), ∴QP= = >5, ∴点 Q 与 ⊙ P 的位置关系是:点 Q 在圆 ⊙ P 外. 故选:A. 6.解:sinA= = , 第 8页(共 16页) 故选:A. 7.解:∵两个相似三角形的一组对应高的长分别为 15,5, ∴两三角形的相似比为 3:1, ∴其面积比为 32:12=9:1, ∴设两相似三角形的面积分别为 9x 和 x, 根据题意列方程得,9x﹣x=80, x=10. 则较大正六边形的面积为 90, 故选:A. 8.解:∵△=62﹣4×1×9=0, ∴一元二次方程 x2+6x+9=有两个相等的实数根. 故选:A. 9.解:连接 OC. ∵ = , ∴∠DOC=∠BOC=60°, ∴∠AOD=60°, ∴∠AOD=∠DOC, ∴ = , ∴OD⊥AC, ∴∠AEO=90°, ∴AE=AO•sin60°= , 故选:A. 10.解:若方程两根为﹣1 和 2,则 =﹣1×2=﹣2,即 c=﹣2a,2a+c=2a﹣2a=0,故 ① 正确; 若 b>a+c,设 a=4,b=10,c=5,则△<0,一元二次方程 ax2+bx+c=0 没有实数根,故 第 9页(共 16页) ② 错误; 若 b=2a+3c,则△=b2﹣4ac=4(a+c)2+5c2>0,一元二次方程 ax2+bx+c=0 有两个不相 等的实数根,故 ③ 正确. 若 m 是方程 ax2+bx+c=0 的一个根,所以有 am2+bm+c=0,即 am2=﹣(bm+c), 而(2am+b)2=4a2m2+4abm+b2 =4a[﹣(bm+c)]+4abm+b2 =4abm﹣4abm﹣4ac+b2 =b2﹣4ac.故 ④ 正确; 故选:B. 11.解:连接 AG, ∵S△CGA+S△BGA=S△ABC, ∴ + = ×AC×BD, ∵AC=AB, ∴GE+GF=BD, ∵BD=4,GE=1.5, ∴GF=2.5, ∵tanC=2= ,BD=4, ∴CD=2, 由勾股定理得:BC= = =2 , ∵EG⊥AC,BD⊥AC, ∴EG∥BD, ∴△CEG∽△CDB, ∴ = , ∴ = , 第 10页(共 16页) 解得:BG= , 在 Rt△BFG 中,由勾股定理得:BG2=BF2+GF2, ( )2=BF2+2.52, 解得:BF=1.25(负数舍去), 故选:C. 12.解:∵ ⊙ A、 ⊙ B、 ⊙ C 的半径都是 0.5,扇形的三个圆心角正好构成三角形的三个内角, ∴阴影部分扇形的圆心角度数为 180°, ∴S 阴影= = . 故选:B. 二.填空题 13.解:由题意得,tanA=1,cosB= , 则∠A=45°,∠B=60°, 则∠C=180°﹣45°﹣60°=75°. 故答案为:75. 14.解:因为 ⊙ O 的半径为 3cm,点 A、B、C 到圆心 O 的距离分别为 2cm,3cm,5cm, 2cm<3cm, 所以直线 l 与 ⊙ O 的位置是相交; 故答案为:相交. 15.解:x2﹣3x﹣10=0, (x﹣5)(x+2)=0, 即 x﹣5=0 或 x+2=0, ∴x1=5,x2=﹣2. 因为方程 x2﹣3x﹣10=0 的根是等边三角形的边长, 所以等边三角形的边长为 5. 所以该三角形的周长为:5×3=15. 故答案为:15. 16.解:设较大三角形的周长是 3x,较小三角形的周长是 2x,则 3x﹣2x=30, 解得 x=30,那么较大三角形的周长是 3x=90, 第 11页(共 16页) 故答案为:90. 17.解:过点 O 作 OH⊥AB 与点 H, ∵△ABC 是等边三角形, ∴∠CAB=60°, ∵O 为三角形外心, ∴∠OAH=30°, ∴OH= OA=1, 故答案为:1 三.解答题 18.解:(1)2sin30°﹣tan60°+tan45° =2× ﹣ +1 =2﹣ ; (2) tan245°+sin230°﹣3cos230° = ×12+( )2﹣3×( )2 = + ﹣ =﹣ . 19.解:(1)∵(x﹣2)2﹣16=0, ∴(x﹣2)2=16, ∴x﹣2=4 或 x﹣2=﹣4, 解得:x1=﹣2,x2=6; (2)∵a=5,b=2,c=﹣1, ∴△=22﹣4×5×(﹣1)=24>0, 第 12页(共 16页) 则 x= = , 即 x1= ,x2= . 20.解:(1)∵∠ADE=∠ACB,∠A=∠A, ∴△ADE∽△ACB; (2)由(1)可知::△ADE∽△ACB, ∴ = , ∵点 E 是 AC 的中点,设 AE=x, ∴AC=2AE=2x, ∵AD=8,AB=10, ∴ = , 解得:x=2 , ∴AE=2 . 21.解:(1)如图,作 AH⊥BC 于 H. 在 Rt△ACH 中,∵cosC= = ,AC= , ∴CH=1,AH= =1, 在 Rt△ABH 中,∵tanB= = , ∴BH=5, ∴BC=BH+CH=6. (2)∵BD=CD, ∴CD=3,DH=2,AD= = 在 Rt△ADH 中,sin∠ADH= = . ∴∠ADC 的正弦值为 . 22.(1)证明:如图,连接 OC,设 EM 交 AC 于 H. 第 13页(共 16页) ∵AB 是直径, ∴∠ACB=∠ACE=90°, ∵FE=FC, ∴∠E=∠FCE, ∴∠E+∠CHE=90°,∠FCE+∠FCH=90°, ∴∠FCH=∠FHC, ∵∠A+∠AHM=90°,∠AHM=∠FHC=∠FCH, ∴∠FCH+∠A=90°, ∵OC=OA, ∴∠A=∠OCA, ∴∠FCH+∠OCA=90°, ∴∠FCO=90°, ∴FC⊥OC, ∴CF 是 ⊙ O 的切线. (2)解:在 Rt△ABC 中,∵∠ACB=90°,AB=8,∠B=2∠A ∴∠A=30°, ∴BC= AB=4,AC= BC=4 , ∵AC=CE, ∴CE=4 , ∴BE=BC+CE=4+4 , 在 Rt△BEM 中,∠BME=90°,∠E=30° ∴BM= BE=2+2 . 第 14页(共 16页) 23.解:(1)∵关于 x 的方程 x2﹣2(m+1)x+m2+2=0 总有两个实数根, ∴△=[﹣2(m+1)]2﹣4(m2+2)=8m﹣4≥0, 解得:m≥ . (2)∵x1、x2 为方程 x2﹣2(m+1)x+m2+2=0 的两个根, ∴x1+x2=2(m+1),x1x2=m2+2. ∵(x1+1)(x2+1)=8, ∴x1x2+(x1+x2)+1=8, ∴m2+2+2(m+1)+1=8, 整理,得:m2+2m﹣3=0,即(m+3)(m﹣1)=0, 解得:m1=﹣3(不合题意,舍去),m2=1, ∴m 的值为 1. 24.解:∵∠APB=∠CPD,∠ABP=∠CDP, ∴△ABP∽△CDP ∴ = , 即: = , 解得:PD=9.6(米). 答:该古城墙的高度是 9.6m. 25.解:(1)在 Rt△EFH 中,cos∠FHE= = , ∴∠FHE=45°, 答:篮板底部支架 HE 与支架 AF 所成的角∠FHE 的度数为 45°; (2)延长 FE 交 CB 的延长线于 M,过点 A 作 AG⊥FM 于 G,过点 H 作 HN⊥AG 于 N, 第 15页(共 16页) 则四边形 ABMG 和四边形 HNGE 是矩形, ∴GM=AB,HN=EG, 在 Rt△ABC 中,∵tan∠ACB= , ∴AB=BCtan60°=1× = , ∴GM=AB= , 在 Rt△ANH 中,∠FAN=∠FHE=45°, ∴HN=AHsin45°= × = , ∴EM=EG+GM= + , 答:篮板底部点 E 到地面的距离是( + )米. 26.(1)证明:∵AB 是直径, ∴∠ACB=90°, ∵DC=BC, ∴AD=AB, ∴∠D=∠ABC, ∵∠E=∠ABC, ∴∠E=∠D, ∴CD=CE. (2)解:由(1)可知:∠ABC=∠E=30°,∠ACB=90°, ∴∠CAB=60°,AB=2AC=4, 在 Rt△ABC 中,由勾股定理得到 BC=2 , 连接 OC,则∠COB=120°, 第 16页(共 16页) ∴S 阴=S 扇形 OBC﹣S△OBC= ﹣ × × ×2= ﹣ . 27.解:(1)设这两年该该种植户每年投资的年平均增长率为 x,则 2017 年种植投资为 20 (1+x)万元,2018 年种植投资为 20(1+x)2 万元, 根题意得:20+20(1+x)+20(1+x)2=95, 解得:x=﹣3.5(舍去)或 x=0.5=50%. ∴该种植户每年投资的增长率为 50%; (2)2019 年该种植户投资额为:20(1+50%)3=67.5(万元).