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- 2021-11-11 发布
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期末数学试卷
一.选择题
1.下列哪个方程是一元二次方程( )
A.2x+y=1 B.x2+1=2xy C.x2+ =3 D.x2=2x﹣3
2.制作一块 3m×2m 长方形广告牌的成本是 120 元,在每平方米制作成本相同的情况下,
若将此广告牌的四边都扩大为原来的 3 倍,那么扩大后长方形广告牌的成本是( )
A.360 元 B.720 元 C.1080 元 D.2160 元
3.把一元二次方程(x+3)(x﹣5)=2 化成一般形式,得( )
A.x2+2x﹣17=0 B.x2﹣8x﹣17=0 C.x2﹣2x=17 D.x2﹣2x﹣17=0
4.sin60°+tan45°的值等于( )
A. B. C. D.1
5.已知
⊙
P 的半径为 5,点 P 的坐标为(2,1),点 Q 的坐标为(0,6),则点 Q 与
⊙
P 的
位置关系是( )
A.点 Q 在
⊙
P 外 B.点 Q 在
⊙
P 上 C.点 Q 在
⊙
P 内 D.不能确定
6.已知,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AB=5,BC=3,则 sinA 的值是( )
A. B. C. D.
7.已知两个相似三角形一组对应高分别是 15 和 5,面积之差为 80,则较大三角形的面积为
( )
A.90 B.180 C.270 D.3600
8.一元二次方程 x2+6x+9=0 的根的情况是( )
A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根
C.只有一个实数根 D.没有实数根
9.如图,AB 是
⊙
O 的直径,∠BOD=120°,点 C 为 的中点,AC 交 OD 于点 E,OB=
2,则 AE 的长为( )
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A. B. C. D.
10.已知一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)
①
若方程两根为﹣1 和 2,则 2a+c=0;
②
b>a+c,则一元二次方程 ax2+bx+c=0 有两个不相等的实数根;
③
若 b=2a+3c,则一元二次方程 ax2+bx+c=0 有两个不相等的实数根;
④
若 m 是方程 ax2+bx+c=0 的一个根,则一定有 b2﹣4ac=(2am+b)2 成立
其中正确的是( )
A.只有
①②③
B.只有
①③④
C.只有
①②③④
D.只有
①④11.如图,在等腰△ABC 中,AB=AC,tanC=2,BD⊥AC 于点 D,点 G 是底边 BC 上一点,
过点 G 向两腰作垂线段,垂足分别为 E、F,若 BD=4,GE=1.5,则 BF 的长度为( )
A.0.75 B.0.8 C.1.25 D.1.35
12.如图,分别以△ABC 的三个顶点为圆心作
⊙
A、
⊙
B、
⊙
C,且半径都是 0.5cm,则图中
三个阴影部分面积之和等于( )
A. cm2 B. cm2 C. cm2 D. cm2
二.填空题
13.在△ABC 中,∠A、∠B 为锐角,且|tanA﹣1|+( ﹣cosB)2=0,则∠C= °.
14.已知
⊙
O 的半径为 3cm,点 A、B、C 是直线 l 上的三个点,点 A、B、C 到圆心 O 的距
离分别为 2cm,3cm,5cm,则直线 l 与
⊙
O 的位置是 .
15.一个等边三角形边长的数值是方程 x2﹣3x﹣10=0 的根,那么这个三角形的周长
为 .
16.两个相似三角形的相似比为 2:3,他们的周长差为 30,则较大三角形的周长为 .
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17.如图,等边三角形 ABC 的外接圆
⊙
O 的半径 OA 的长为 2,则其内切圆半径的长
为 .
三.解答题
18.计算
(1)2sin30°﹣tan60°+tan45°;
(2) tan245°+sin230°﹣3cos230°
19.用适当的方法解下列方程:
(1)(x﹣2)2﹣16=0
(2)5x2+2x﹣1=0.
20.如图,在△ABC 中,D,E 分别是边 AB,AC 上的点,连接 DE,且∠ADE=∠ACB.
(1)求证:△ADE∽△ACB;
(2)如果 E 是 AC 的中点,AD=8,AB=10,求 AE 的长.
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21.如图,AD 是△ABC 的中线,tanB= ,cosC= ,AC= .求:(1)BC 的长;(2)
∠ADC 的正弦值.
22.如图,
⊙
O 是△ABC 的外接圆,圆心 O 在 AB 上,M 是 OA 上一点,过 M 作 AB 的垂线
交 BC 的延长线于点 E,点 F 是 ME 上的一点,且 EF=CF.
(1)求证:直线 CF 是
⊙
O 的切线;
(2)若∠B=2∠A,AB=8,且 AC=CE,求 BM 的长.
23.已知关于 x 的方程 x2﹣2(m+1)x+m2+2=0.
(1)若方程总有两个实数根,求 m 的取值范围;
(2)若两实数根 x1、x2 满足(x1+1)(x2+1)=8,求 m 的值.
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24.如图是小明设计利用光线来测量某古城墙 CD 高度的示意图,如果镜子 P 与古城墙的距
离 PD=12 米,镜子 P 与小明的距离 BP=1.5 米,小明刚好从镜子中看到古城墙顶端点 C,
小明眼睛距地面的高度 AB=1.2 米,那么该古城墙的高度是?
25.如图 1,2 分别是某款篮球架的实物图与示意图,已知 AB⊥BC 于点 B,底座 BC 的长
为 1 米,底座 BC 与支架 AC 所成的角∠ACB=60°,点 H 在支架 AF 上,篮板底部支架
EH∥BC,EF⊥EH 于点 E,已知 AH 长 米,HF 长 米,HE 长 1 米.
(1)求篮板底部支架 HE 与支架 AF 所成的角∠FHE 的度数.
(2)求篮板底部点 E 到地面的距离.(结果保留根号)
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26.如图,已知 AB 是
⊙
O 的直径,点 C 在
⊙
O 上,延长 BC 至点 D,使得 DC=BC,直线
DA 与
⊙
O 的另一个交点为 E,连结 AC,CE.
(1)求证:CD=CE;
(2)若 AC=2,∠E=30°,求阴影部分(弓形)面积.
27.庆阳市是传统的中药材生产区,拥有丰富的中药材资源,素有“天然药库”“中药之乡”
的美称.优越的地理气候条件形成了较独特的资源禀赋,孕育了丰富的中药植物资源和
优良品种.某种植户 2016 年投资 20 万元种植中药材,到 2018 年三年共累计投资 95 万
元,若在这两年内每年投资的增长率相同.
(1)求该种植户每年投资的增长率;
(2)按这样的投资增长率,请你预测 2019 年该种植户投资多少元种植中药材.
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参考答案
一.选择题
1.解:A、不是一元二次方程,故此选项错误;
B、不是一元二次方程,故此选项错误;
C、不是一元二次方程,故此选项错误;
D、是一元二次方程,故此选项正确;
故选:D.
2.解:3m×2m=6m2,
∴长方形广告牌的成本是 120÷6=20 元/m2,
将此广告牌的四边都扩大为原来的 3 倍,
则面积扩大为原来的 9 倍,
∴扩大后长方形广告牌的面积=9×6=54m2,
∴扩大后长方形广告牌的成本是 54×20=1080m2,
故选:C.
3.解:(x+3)(x﹣5)=2,
去括号得:x2﹣5x+3x﹣15=2,
移项得:x2﹣5x+3x﹣15﹣2=0,
合并同类项得:x2﹣2x﹣17=0,
故选:D.
4.解:sin60°+tan45°
= +1
= .
故选:B.
5.解:∵点 P 的坐标为(2,1),点 Q 的坐标为(0,6),
∴QP= = >5,
∴点 Q 与
⊙
P 的位置关系是:点 Q 在圆
⊙
P 外.
故选:A.
6.解:sinA= = ,
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故选:A.
7.解:∵两个相似三角形的一组对应高的长分别为 15,5,
∴两三角形的相似比为 3:1,
∴其面积比为 32:12=9:1,
∴设两相似三角形的面积分别为 9x 和 x,
根据题意列方程得,9x﹣x=80,
x=10.
则较大正六边形的面积为 90,
故选:A.
8.解:∵△=62﹣4×1×9=0,
∴一元二次方程 x2+6x+9=有两个相等的实数根.
故选:A.
9.解:连接 OC.
∵ = ,
∴∠DOC=∠BOC=60°,
∴∠AOD=60°,
∴∠AOD=∠DOC,
∴ = ,
∴OD⊥AC,
∴∠AEO=90°,
∴AE=AO•sin60°= ,
故选:A.
10.解:若方程两根为﹣1 和 2,则 =﹣1×2=﹣2,即 c=﹣2a,2a+c=2a﹣2a=0,故
①
正确;
若 b>a+c,设 a=4,b=10,c=5,则△<0,一元二次方程 ax2+bx+c=0 没有实数根,故
第 9页(共 16页)
②
错误;
若 b=2a+3c,则△=b2﹣4ac=4(a+c)2+5c2>0,一元二次方程 ax2+bx+c=0 有两个不相
等的实数根,故
③
正确.
若 m 是方程 ax2+bx+c=0 的一个根,所以有 am2+bm+c=0,即 am2=﹣(bm+c),
而(2am+b)2=4a2m2+4abm+b2
=4a[﹣(bm+c)]+4abm+b2
=4abm﹣4abm﹣4ac+b2
=b2﹣4ac.故
④
正确;
故选:B.
11.解:连接 AG,
∵S△CGA+S△BGA=S△ABC,
∴ + = ×AC×BD,
∵AC=AB,
∴GE+GF=BD,
∵BD=4,GE=1.5,
∴GF=2.5,
∵tanC=2= ,BD=4,
∴CD=2,
由勾股定理得:BC= = =2 ,
∵EG⊥AC,BD⊥AC,
∴EG∥BD,
∴△CEG∽△CDB,
∴ = ,
∴ = ,
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解得:BG= ,
在 Rt△BFG 中,由勾股定理得:BG2=BF2+GF2,
( )2=BF2+2.52,
解得:BF=1.25(负数舍去),
故选:C.
12.解:∵
⊙
A、
⊙
B、
⊙
C 的半径都是 0.5,扇形的三个圆心角正好构成三角形的三个内角,
∴阴影部分扇形的圆心角度数为 180°,
∴S 阴影= = .
故选:B.
二.填空题
13.解:由题意得,tanA=1,cosB= ,
则∠A=45°,∠B=60°,
则∠C=180°﹣45°﹣60°=75°.
故答案为:75.
14.解:因为
⊙
O 的半径为 3cm,点 A、B、C 到圆心 O 的距离分别为 2cm,3cm,5cm,
2cm<3cm,
所以直线 l 与
⊙
O 的位置是相交;
故答案为:相交.
15.解:x2﹣3x﹣10=0,
(x﹣5)(x+2)=0,
即 x﹣5=0 或 x+2=0,
∴x1=5,x2=﹣2.
因为方程 x2﹣3x﹣10=0 的根是等边三角形的边长,
所以等边三角形的边长为 5.
所以该三角形的周长为:5×3=15.
故答案为:15.
16.解:设较大三角形的周长是 3x,较小三角形的周长是 2x,则 3x﹣2x=30,
解得 x=30,那么较大三角形的周长是 3x=90,
第 11页(共 16页)
故答案为:90.
17.解:过点 O 作 OH⊥AB 与点 H,
∵△ABC 是等边三角形,
∴∠CAB=60°,
∵O 为三角形外心,
∴∠OAH=30°,
∴OH= OA=1,
故答案为:1
三.解答题
18.解:(1)2sin30°﹣tan60°+tan45°
=2× ﹣ +1
=2﹣ ;
(2) tan245°+sin230°﹣3cos230°
= ×12+( )2﹣3×( )2
= + ﹣
=﹣ .
19.解:(1)∵(x﹣2)2﹣16=0,
∴(x﹣2)2=16,
∴x﹣2=4 或 x﹣2=﹣4,
解得:x1=﹣2,x2=6;
(2)∵a=5,b=2,c=﹣1,
∴△=22﹣4×5×(﹣1)=24>0,
第 12页(共 16页)
则 x= = ,
即 x1= ,x2= .
20.解:(1)∵∠ADE=∠ACB,∠A=∠A,
∴△ADE∽△ACB;
(2)由(1)可知::△ADE∽△ACB,
∴ = ,
∵点 E 是 AC 的中点,设 AE=x,
∴AC=2AE=2x,
∵AD=8,AB=10,
∴ = ,
解得:x=2 ,
∴AE=2 .
21.解:(1)如图,作 AH⊥BC 于 H.
在 Rt△ACH 中,∵cosC= = ,AC= ,
∴CH=1,AH= =1,
在 Rt△ABH 中,∵tanB= = ,
∴BH=5,
∴BC=BH+CH=6.
(2)∵BD=CD,
∴CD=3,DH=2,AD= =
在 Rt△ADH 中,sin∠ADH= = .
∴∠ADC 的正弦值为 .
22.(1)证明:如图,连接 OC,设 EM 交 AC 于 H.
第 13页(共 16页)
∵AB 是直径,
∴∠ACB=∠ACE=90°,
∵FE=FC,
∴∠E=∠FCE,
∴∠E+∠CHE=90°,∠FCE+∠FCH=90°,
∴∠FCH=∠FHC,
∵∠A+∠AHM=90°,∠AHM=∠FHC=∠FCH,
∴∠FCH+∠A=90°,
∵OC=OA,
∴∠A=∠OCA,
∴∠FCH+∠OCA=90°,
∴∠FCO=90°,
∴FC⊥OC,
∴CF 是
⊙
O 的切线.
(2)解:在 Rt△ABC 中,∵∠ACB=90°,AB=8,∠B=2∠A
∴∠A=30°,
∴BC= AB=4,AC= BC=4 ,
∵AC=CE,
∴CE=4 ,
∴BE=BC+CE=4+4 ,
在 Rt△BEM 中,∠BME=90°,∠E=30°
∴BM= BE=2+2 .
第 14页(共 16页)
23.解:(1)∵关于 x 的方程 x2﹣2(m+1)x+m2+2=0 总有两个实数根,
∴△=[﹣2(m+1)]2﹣4(m2+2)=8m﹣4≥0,
解得:m≥ .
(2)∵x1、x2 为方程 x2﹣2(m+1)x+m2+2=0 的两个根,
∴x1+x2=2(m+1),x1x2=m2+2.
∵(x1+1)(x2+1)=8,
∴x1x2+(x1+x2)+1=8,
∴m2+2+2(m+1)+1=8,
整理,得:m2+2m﹣3=0,即(m+3)(m﹣1)=0,
解得:m1=﹣3(不合题意,舍去),m2=1,
∴m 的值为 1.
24.解:∵∠APB=∠CPD,∠ABP=∠CDP,
∴△ABP∽△CDP
∴ = ,
即: = ,
解得:PD=9.6(米).
答:该古城墙的高度是 9.6m.
25.解:(1)在 Rt△EFH 中,cos∠FHE= = ,
∴∠FHE=45°,
答:篮板底部支架 HE 与支架 AF 所成的角∠FHE 的度数为 45°;
(2)延长 FE 交 CB 的延长线于 M,过点 A 作 AG⊥FM 于 G,过点 H 作 HN⊥AG 于 N,
第 15页(共 16页)
则四边形 ABMG 和四边形 HNGE 是矩形,
∴GM=AB,HN=EG,
在 Rt△ABC 中,∵tan∠ACB= ,
∴AB=BCtan60°=1× = ,
∴GM=AB= ,
在 Rt△ANH 中,∠FAN=∠FHE=45°,
∴HN=AHsin45°= × = ,
∴EM=EG+GM= + ,
答:篮板底部点 E 到地面的距离是( + )米.
26.(1)证明:∵AB 是直径,
∴∠ACB=90°,
∵DC=BC,
∴AD=AB,
∴∠D=∠ABC,
∵∠E=∠ABC,
∴∠E=∠D,
∴CD=CE.
(2)解:由(1)可知:∠ABC=∠E=30°,∠ACB=90°,
∴∠CAB=60°,AB=2AC=4,
在 Rt△ABC 中,由勾股定理得到 BC=2 ,
连接 OC,则∠COB=120°,
第 16页(共 16页)
∴S 阴=S 扇形 OBC﹣S△OBC= ﹣ × × ×2= ﹣ .
27.解:(1)设这两年该该种植户每年投资的年平均增长率为 x,则 2017 年种植投资为 20
(1+x)万元,2018 年种植投资为 20(1+x)2 万元,
根题意得:20+20(1+x)+20(1+x)2=95,
解得:x=﹣3.5(舍去)或 x=0.5=50%.
∴该种植户每年投资的增长率为 50%;
(2)2019 年该种植户投资额为:20(1+50%)3=67.5(万元).