数学冀教版九年级上册教案24-1 一元二次方程 5页

- 1 - 24.1 一元二次方程 教学目标 【知识与能力】 1.理解一元二次方程的概念. 2.掌握一元二次方程的一般形式,正确认识二次项系数、一次项系数及常数项. 3.体会一元二次方程是刻画实际问题的重要数学模型. 4.理解一元二次方程解的概念. 【过程与方法】 1.通过一元二次方程的引入,培养学生建模思想,归纳、分析问题及解决问题的能力. 2.体会数学来源于生活,又回归生活的理念. 3.由设未知数、列方程向学生渗透方程的思想,从而进一步培养学生数学思维能力. 【情感态度价值观】 1.培养学生主动探究知识、自主学习和合作交流的意识. 2.激发学生学数学的兴趣,体会学数学的快乐,培养用数学的意识. 3.体会数学知识与现实世界的联系. 教学重难点 【教学重点】 一元二次方程的概念及一般形式. 【教学难点】 1.由具体问题抽象出一元二次方程的转化过程. 2.正确识别一般式中的“项”及“系数”. 课前准备 多媒体课件 教学过程 一、新课导入： 导入一: 【课件展示】 教材章前图,请同学们阅读章前问题,并回答下列问题: 一个长为 10 m 的梯子斜靠在墙上,梯子的顶端 A 处到地面的距离为 8 m.如果梯子的顶端沿 墙面下滑 1 m,那么梯子的底端 B 在地面上滑动的距离也是 1 m 吗?你能列方程解决这个问题 吗? - 2 - 学生分析等量关系:A'B'2=A'C2+B'C2. 设梯子的底端在地面上滑动的距离 x m,于是得方程 102=(8-1)2+(6+x)2. 整理得 x2+12x-15=0. 【问题】 这个方程是不是我们前边学过的方程? 导入二: 【课件展示】 观察下列方程: (1)3x-2=0,(2)x2+2x-3=0,(3) 1 2 x+ 5 2 =0,(4) 2 3 x2-5=0. 哪些是我们学过的一元一次方程?其他方程与一元一次方程有什么不同? 【师生活动】 复习方程、一元一次方程及方程的解的概念. 【学生活动】 小组合作交流,观察新方程,分析元和次,尝试为新方程定义. [设计意图] 让学生在实际问题中建立一元二次方程模型,体会数学来源于生活,通过复习 一元一次方程的概念,让学生用类比的方法从已有的知识体系中自然地构建出新知识. 二、新知构建： [过渡语] 方程是一类重要的数学模型,在现实生活中具有广泛的应用.在学习了一元 一次方程、二元一次方程组和分式方程的基础上,现在我们来学习一元二次方程. 共同探究一 教材中观察与思考中的实际问题,设未知数,建立方程模型 【课件展示】 如图所示,某学校要在校园内墙边的空地上修建一个长方形的存车处,存车处 的一面靠墙(墙长22 m),另外三面用90 m长的铁栅栏围起来.如果这个存车处的面积为700 m2, 求这个长方形存车处的长和宽. 思路一 教师引导学生思考并回答: 长方形存车处的长与宽之间的数量关系为 ,该问题中的等量关系为 . (1)设长方形存车处的宽(靠墙的一边)为 x m,则它的长为 m,长方形存车处的面积 为 . 由此,我们可以列出方程 ,化简得 . (2)设长方形存车处的长(与墙垂直的一边)为 x m,则它的宽为 m,长方形存车处的面 积为 . 由此,我们可以列出方程 ,化简得 . 【师生活动】 教师引导分析,学生回答,通过所设未知数,根据题意列出方程,老师点评并分 析如何建立一元二次方程的数学模型,整理所列出的方程. 【课件展示】 解:(1)设长方形存车处的宽(靠墙的一边)为 x m,则它的长为 90 - 2 m. 根据题意,可得方程 90 - 2 ·x=700. 整理,得 x2-90x+1400=0. (2)设长方形存车处的长(与墙垂直的一边)为 x m,则它的宽为(90-2x)m. - 3 - 根据题意,可得方程(90-2x)·x=700. 整理,得 x2-45x+350=0. 思路二 小组活动,共同探究,思考下列问题: (1)分析题意,题中的已知条件是什么? (2)分析题意,题中的等量关系是什么? (3)如何设未知数,根据题中等量关系怎样列方程? (4)分析下面小明和小亮列方程的做法,他们的解题思路和所列方程是否正确? 【课件展示】 小明的做法: 设长方形存车处的宽(靠墙的一边)为 x m,则它的长为 90 - 2 m. 根据题意,可得方程 90 - 2 ·x=700. 整理,得 x2-90x+1400=0. 小亮的做法: 设长方形存车处的长(与墙垂直的一边)为 x m,则它的宽为(90-2x)m. 根据题意,可得方程(90-2x)·x=700. 整理,得 x2-45x+350=0. 【师生活动】 教师先出示问题(1)~(3),学生讨论交流后出示问题(4),学生再进行交流.教 师在巡视过程中及时解决疑难问题,学生讨论后小组展示结果,教师及时补充和点评. [设计意图] 师生共同分析探讨实际问题中的等量关系,列出方程,为引出一元二次方程的 概念做铺垫,同时提高学生建立方程模型解决生活中实际问题的能力. 共同探究二 共同归纳概念 请口答下面问题. (1)上面方程整理后含有几个未知数? (2)上面方程中未知数 x 的最高次数是几次? (3)方程两边都是整式吗? (4)你能类比一元一次方程的概念,给出一元二次方程的定义吗? 【学生活动】 小组合作交流,类比一元一次方程定义,尝试给出一元二次方程的定义. 老师点评归纳:一元二次方程满足三个条件:(1)都只含一个未知数 x;(2)它们的最高次数都 是 2 次;(3)方程两边都是整式. 【课件展示】 只含有一个未知数,并且未知数的最高次数为 2 的整式方程,叫做一元二次方 程. [设计意图] 学生通过合作交流,类比一元一次方程的定义得出一元二次方程的定义,体会 类比思想在数学中的应用,同时培养学生归纳总结能力及合作交流能力. [过渡语] 我们了解了一元二次方程的有关概念,现在同学们比一比谁理解得更透彻 吧. 【课件展示】 请抢答下列各式是否为一元二次方程: (1)2x2=9; (2)2x2-1=3y; (3)4x2+3=2x; (4) 1 2 - 1 + 3 =0; - 4 - (5)5x2-2x+3; (6)2x(x+2)=5x-2; (7)3x(x-1)=3x2-5. 【师生活动】 学生以抢答的形式来完成该题,并让学生说出判断理由.教师对学生给出的答 案作出点评和归纳,并让学生归纳判断易错点——先化简再判断. [设计意图] 通过抢答进一步强化一元二次方程的概念满足的三个条件,同时提高学生学习 数学的兴趣和积极性. 共同探究三 一元二次方程的一般形式 【思考 1】 类比一元一次方程的一般形式,你能不能写出一元二次方程的一般形式? 【课件展示】 一元二次方程的一般形式为:ax2+bx+c=0(a≠0). 其中 ax2 是二次项,a 是二次项系数;bx 是一次项,b 是一次项系数;c 是常数项. 【思考 2】 (1)任何一个一元二次方程是否都可以整理成一般形式? (2)一元二次方程的二次项系数为什么不能为 0? (任何一个一元二次方程都能化成一般形式;当一元二次方程的二次项系数 a=0,b≠0 时,方 程为一元一次方程) 【师生活动】 学生独立思考后,小组合作交流,教师对学生的展示进行点评、归纳. [设计意图] 通过概括一元二次方程的一般形式,让学生理解掌握数学符号语言在数学中的 应用,更深入地理解一元二次方程的概念,同时强调了一元二次方程概念中的易错点. [过渡语] 我们又知道了一元二次方程的一般形式,试试我们能不能完成以下问题. 【课件展示】 做一做: 将下列一元二次方程化为一般形式,并指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项. (1)4x2=3(x+4); (2)(2x-3)(3x-2)=10; (3) +2 2 · 2 - 3 3 =7; (4)(2x-1)(2x+1)=(3x+1)2. 〔解析〕 一元二次方程的一般形式是 ax2+bx+c=0(a≠0),因此,通过去分母、去括号、移项、 合并同类项等法则先将一元二次方程进行整理,再根据有关概念求解. 解:(1)原方程可化为:4x2-3x-12=0. 其中二次项系数为 4,一次项系数为-3,常数项为-12. (2)原方程可化为:6x2-13x-4=0. 其中二次项系数为 6,一次项系数为-13,常数项为-4. (3)原方程可化为:2x2+x-48=0. 其中二次项系数为 2,一次项系数为 1,常数项为-48. (4)原方程可化为:5x2+6x+2=0. 其中二次项系数为 5,一次项系数为 6,常数项为 2. 追问:求一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项时应注意什么? (一是先化简成一般形式;二是书写系数时不要遗漏前边的符号) 【师生活动】 学生独立思考回答,教师进行点评归纳. [设计意图] 通过做一做,让学生了解求一元二次方程的项或项的系数时,先化成一元二次 方程一般形式再求解,加深对一元二次方程一般形式的理解. - 5 - 共同探究四 一元二次方程的根 【思考】 1.什么是一元二次方程的解? (使一元二次方程两边相等的未知数的值,叫做一元二次方程的解) 板书:一元二次方程的解也叫做这个方程的根. 2.如何判定一个数值是不是一元二次方程的根? (将这个数值代入一元二次方程,如果方程左右两边相等,则该数值是方程的根;如果方程左 右两边不相等,则该数值不是方程的根) 【课件展示】 做一做: 在下列各题中,括号内未知数的值,哪些是它前面方程的根? (1)x2-3x-4=0(x=0,x=-1,x=4); (2)(x+2)(x-2)=12(x=-1,x=-4,x=4); (3)2y2-y-1=0 = 0 , = 1 , = - 1 2 . 【师生活动】 学生独立完成并回答,教师点评. [设计意图] 通过做一做让学生真正理解和掌握一元二次方程的根的概念. [知识拓展] 1.判断一个方程是一元二次方程需同时满足三个条件:(1)是整式方程;(2)只含有一个未知 数;(3)未知数的最高次数是 2.同时要注意二次项系数不能为 0. 2.一元二次方程的一般形式的特点是方程的右边为 0,左边是关于未知数的二次整式. 3.一元二次方程的项或系数是针对一元二次方程的一般形式而言的,所以写项或系数时,要 先化成一般形式,并且都包括前边的符号. 4.判断一个数值是不是一元二次方程的根的方法:将这个数值代入一元二次方程,如果方程 左右两边相等,则该数值是方程的根;如果方程左右两边不相等,则该数值不是方程的根. 5.如果已知 a 是一元二次方程的根,把 x=a 代入方程,方程左右两边相等,可以求待定系数的 值,整体思想是常用的数学思想. 三、课堂小结： 1.一元二次方程概念需要满足三个条件: (1)是整式方程; (2)只含有一个未知数; (3)未知数的最高次数是 2. 2.一元二次方程的一般形式是 ax2+bx+c=0(a≠0),易错点是忽略强调 a≠0. 3.确定一元二次方程的项与系数时一定先化成一般形式,书写时应注意包括前边的符号. 4.一元二次方程的解也叫一元二次方程的根. 5.根据实际问题列一元二次方程的关键是读懂题意,找到题目中的等量关系. 6.本节课用到了类比思想、整体思想解决数学问题.