人教版初中数学九年级下册课件26.1.2 反比例函数的图象和性质第2课时 反比例函数的图象和性质的综 合运用 48页

26.1.2 反比例函数的图象和性质 导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 第2课时 反比例函数的图象和性质的综 合运用 第二十六章 反比例函数 学习目标 1. 理解反比例函数的系数 k 的几何意义，并将其灵活 运用于坐标系中图形的面积计算中. (重点、难点) 2. 能够解决反比例函数与一次函数的综合性问题. (重 点、难点) 3. 体会“数”与“形”的相互转化，学习数形结合的思想 方法，进一步提高对反比例函数相关知识的综合运 用能力. (重点、难点) 导入新课 反比例函数的图象是什么？ 反比例函数的性质与 k 有怎样的关系？ 反比例函数的图象是双曲线 当 k > 0 时，两条曲线分别位于第一、三 象限，在每个象限内，y 随 x 的增大而减小； 当 k < 0 时，两条曲线分别位于第二、四 象限，在每个象限内，y 随 x 的增大而增大. 复习引入 问题1 问题2 用待定系数法求反比例函数的解析式一 典例精析 例1 已知反比例函数的图象经过点 A (2，6). (1) 这个函数的图象位于哪些象限？y 随 x 的增大如 何变化？ 解：因为点 A (2，6) 在第一象限，所以这个函数的 图象位于第一、三象限； 在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小. (2) 点B(3，4)，C( ， )，D(2，5)是否在这个 函数的图象上？ 12 2  44 5  解：设这个反比例函数的解析式为 ，因为点 A (2，6)在其图象上，所以有 ，解得 k =12. ky x  6 2 k 因为点 B，C 的坐标都满足该解析式，而点 D 的坐标不满足，所以点 B，C 在这个函数的图 象上，点 D 不在这个函数的图象上. 所以反比例函数的解析式为 .12y x  练一练 已知反比例函数 的图象经过点 A (2，3)． (1) 求这个函数的表达式； ky x  解：∵ 反比例函数 的图象经过点 A(2，3)， ∴ 把点 A 的坐标代入表达式，得 ， 　　 ky x  3 2 k 解得 k = 6. ∴ 这个函数的表达式为 . 　　 6y x  (2) 判断点 B (－1，6)，C(3，2) 是否在这个函数的 图象上，并说明理由； 解：分别把点 B，C 的坐标代入反比例函数的解析 式，因为点 B 的坐标不满足该解析式，点 C 的坐标满足该解析式， 所以点 B 不在该函数的图象上，点 C 在该函 数的图象上． (3) 当 －3< x <－1 时，求 y 的取值范围． 解：∵ 当 x = －3时，y =－2； 当 x = －1时，y =－6，且 k > 0， ∴ 当 x < 0 时，y 随 x 的增大而减小， ∴ 当 －3 < x < －1 时，－6 < y < －2. 反比例函数图象和性质的综合二 (1) 图象的另一支位于哪个象限？常数 m 的取值范围 是什么？ O x y 例2 如图，是反比例函数 图象的一支. 根据 图象，回答下列问题： 5my x  解：因为这个反比例函数图象的一 支位于第一象限，所以另一支 必位于第三象限. 由因为这个函数图象位于第一、 三象限，所以m－5＞0， 解得m＞5. (2) 在这个函数图象的某一支上任取点 A (x1，y1) 和 点B (x2，y2). 如果x1＞x2，那么 y1 和 y2 有怎样 的 大小关系？解：因为 m－5 ＞ 0，所以在这个函数图象的任一支 上，y 都随 x 的增大而减小，因此当x1＞x2时， y1＜y2. 练一练 如图，是反比例函数 的图象，则 k 的 值可以是 ( ) 1 ky x  A．－1 B．3 C．1 D．0 O x y B 反比例函数解析式中 k 的几何意义三 1. 在反比例函数 的图象上分别取点P，Q 向 x 轴、y 轴作垂线，围成面积分别为S1，S2的矩形， 填写下页表格： 4y x  合作探究 5 1 2 3 4 －1 5 x y O  P P (2，2) Q (4，1) S1的值 S2的值 S1与S2 的关系 猜想 S1， S2 与 k 的关系 4y x  4 4 S1=S2 S1=S2=k －5－4－3－2 1 432 －3 －2 －4 －5 －1  Q S1的值 S2的值 S1与S2 的关系 猜想与 k 的关系 P (－1，4) Q (－2，2) 2. 若在反比例函数 中也 用同样的方法分别取 P，Q 两点，填写表格： 4y x 4y x  4 4 S1=S2 S1=S2=－k y xO P Q 由前面的探究过程，可以猜想： 若点P是 图象上的任意一点，作 PA 垂直 于 x 轴，作 PB 垂直于 y 轴，矩形 AOBP 的面积与k 的关系是S矩形 AOBP=|k|. x ky  y xO P S 我们就 k < 0 的情况给出证明： 设点 P 的坐标为 (a，b) A B ∵点 P (a，b) 在函数 的图 象上， ky x  ∴ ，即 ab=k.kb a  ∴ S矩形 AOBP=PB·PA=－a·b=－ab=－k； 若点 P 在第二象限，则 a<0，b>0， 若点 P 在第四象限，则 a>0，b<0， ∴ S矩形 AOBP=PB·PA =a· (－b)=－ab=－k. B P A 综上，S矩形 AOBP=|k|. 点 Q 是其图象上的任意一 点，作 QA 垂直于 y 轴，作 QB 垂直于x 轴，矩形AOBQ 的面积与 k 的关系是 S矩形AOBQ= . 推理：△QAO与△QBO的 面积和 k 的关系是 S△QAO=S△QBO= .  Q 对于反比例函数 ， x ky  A B 2 k |k| y xO 归纳： 反比例函数的 面积不变性 A. SA >SB>SC B. SA0) 图像上的任意两点， PA，CD 垂直于 x 轴. 设 △POA 的面积为 S1，则 S1 = ；梯形CEAD 的面积为 S2，则 S1 与 S2 的大小关 系是 S1 S2；△POE 的面 积 S3 和 S2 的大小关系是 S2 S3. 4y x  2 S1 S2 ＞ ＝ S3 如图所示，直线与双曲线交于 A，B 两点，P 是 AB 上的点，△ AOC 的面积 S1、△ BOD 的面积 S2、 △ POE 的面积 S3 的大小关系为 .S1 = S2 < S3 练一练 解析：由反比例函数面积的不变 性易知 S1 = S2. PE 与双曲线的一 支交于点 F，连接 OF，易知， S△OFE = S1 = S2，而 S3＞S△OFE， 所以 S1，S2，S3的大小关系为 S1 = S2 < S3 FS1 S2S3 y D B A C x 例5 如图，点 A 是反比例函数 (x＞0)的图象 上 任意一点，AB//x 轴交反比例函数 (x＜0) 的 图象于点 B，以 AB 为边作平行四边形 ABCD，其 中 点 C，D 在 x 轴上，则 S平行四边形ABCD =___. 2y x  3y x   3 2 5 方法总结：解决反比例函数 有关的面积问题，可以把原 图形通过切割、平移等变换， 转化为较容易求面积的图形. 如图，函数 y＝－x 与函数 的图象相交于 A，B 两点，过点 A，B 分别作 y 轴的垂线，垂足分 别 为C，D，则四边形ACBD的面积为 ( ) A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 xy 4 D y xO CA BD 练一练 4 4 反比例函数与一次函数的综合二 在同一坐标系中，函数 　　和 y= k2 x+b 的 图象大致如下，则 k1 、k2、b各应满足什么条件？ x ky 1 k2 >0 b >0 k1 >0 k2 >0 b <0 k1 >0 合作探究 ① x y O x y O ② k2 <0 b <0 k1 <0 k2 <0 b >0 ③ x y O k1 >0 ④ x y O 例6 函数 y=kx－k 与 的图象大致是 ( ) )0(  kx ky D. x y OC. y A. y x B. x y O D O O k＜0 k＞0 × × × √ k＞0k＜0 由一次函数增 减性得k＞0 由一次函数与y 轴交点知－k＞0， 则k＜0 x 提示：由于两个函数解析式都含有相同的系数 k，可 对 k 的正负性进行分类讨论，得出符合题意的答案. 在同一直角坐标系中，函数 与 y = ax+1 (a≠0) 的图象可能是 ( ) ay x   A. y xO B. y xO C. y xO D. y xO B 练一练 例7 如图是一次函数 y1=kx+b 和反比例函数 的图象，观察图象，当 y1﹥y2 时，x 的取值范围为 . －2 3 y x0 －2< x <0 或 x >3 2 my x  解析：y1﹥y2 即一次函 数图象处于反比例函数图 象的上方时. 观察右图， 可知－2< x <0 或 x >3. 方法总结：对于一些题目，借助函数图象比较大 小更加简洁明了. 练一练 如图，一次函数 y1= k1x + b (k1≠0) 的图象与反比 例函数 的图象交于 A，B 两点，观察图象，当 y1＞y2时，x 的取值范围是 ． 2 2 ky x  －1 2 y x0 A B －1< x <0 或 x >2 例8 已知一个正比例函数与一个反比例函数的图象交 于点 P (－3，4).试求出它们的解析式，并画出图象. 由于这两个函数的图象交于点 P (－3，4)， 则点 P (－3，4) 是这两个函数图象上的点， 即点 P 的坐标分别满足这两个解析式. 解：设正比例函数、反比例函数的解析式分别为 y=k1x 和 . 2ky x  所以 ， . 14 3k   24 3 k  解得 ， .1 4 3k   2 12k   P 则这两个函数的解析式分别为 和 ， 它们的图象如图所示. 4 3y x  12y x   这两个图象有何 共同特点？你能 求出另外一个交 点的坐标吗？说 说你发现了什么？ 想一想： 反比例函数 的图象与正比例函数 y = 3x 的 图象的交点坐标为 ． 12y x  (2，6)，(－2，－6) 解析：联立两个函数解析式，解方程即可. 练一练 例9 已知 A(－4， )，B(－1，2)是一次函数 y= kx+b 与反比例函数 图象的两个交点，求一次函数 解析式及 m 的值. my x  1 2 解：把A(－4， )，B(－1，2)代入 y = kx + b中 ，得 1 2 －4k + b = ， 1 2 －k + b =2， k = ， 解得 b = ， 1 2 5 2 所以一次函数的解析式为 y = x + . 1 2 5 2 把 B (－1，2)代入 中，得 m =－ 1×2=－2. my x  当堂练习 A. 4 B. 2 C. －2 D.不确定 1. 如图所示， P 是反比例函数 的图象上一点， 过点 P 作 PB ⊥x 轴于点 B，点 A 在 y 轴上， △ABP 的面积为 2，则 k 的值为 ( ) ky x  O B A P x y A 2. 反比例函数 的图象与一次函数 y = 2x +1 的 图象的一个交点是 (1，k)，则反比例函数的解析 式是_______． x ky  3y x  3. 如图，直线 y=k1x + b 与反比例函数 (x＞0) 交于A，B两点，其横坐标分别为1和5，则不等式 k1x +b ＞ 的解集是___________． 2ky x  2k x 1＜x＜5 O B A x y 1 5 4. 已知反比例函数 的图象经过点 A (2，－4). (1) 求 k 的值； ky x  解：∵ 反比例函数 的图象经过点 A(2，－4)， ∴ 把点 A 的坐标代入表达式，得 ， 　　 ky x  4 2 k  解得 k = －8. (2) 这个函数的图象分布在哪些象限？y 随 x 的增大 如何变化? 解：这个函数的图象位于第二、四象限，在每一个 象限内，y 随 x 的增大而增大. (3) 画出该函数的图象； O x y 解：如图所示： (4) 点 B (1，－8) ，C (－3，5)是否在该函数的图象上？ 因为点 B 的坐标满足该解析式，而点 C 的坐标 不满足该解析式， 所以点 B 在该函数的图象上，点 C 不在该函数 的图象上. 解：该反比例函数的解析式为 .8y x   x y O B A 5. 如图，直线 y=ax + b 与双曲线 交于两点 A(1，2)，B(m，4)两点， (1) 求直线与双曲线的解析式； ky x  所以一次函数的解析式为 y = 4x－2. 把A，B两点坐标代入一次函数 解析式中，得到a =4，b =－2. 解：把 B(1，2)代入双曲线解析式中， 得 k = 2，故其解析式为 . 当y =－4时，m= . 2y x  1 2  (2) 求不等式 ax + b＞ 的解集. k x x y O B A 解：根据图象可知，若 ax + b＞ ，k x 则 x＞1或 ＜x＜0.1 2  6. 如图，反比例函数 与一次函数 y =－x + 2 的图象交于 A，B 两点. (1) 求 A，B 两点的坐标； A y O B x 8y x   解： 8y x   ， y=－x + 2 ， 解得 x = 4， y =－2 所以A(－2，4)，B(4，－2). 或 x = －2， y = 4. 作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D， 则AC=4，BD=2. (2) 求△AOB的面积. 解：一次函数与x轴的交点为M (2，0)， ∴OM=2. O A y B x M C D ∴S△OMB=OM·BD÷2=2×2÷2=2， ∴S△OMA=OM·AC÷2=2×4÷2=4， ∴S△AOB=S△OMB+S△OMA=2+4=6. 课堂小结 面积问题 面积不变性 与一次函 数的综合 判断反比例函数和一次函数在 同一直角坐标系中的图象，要 对系数进行分类讨论，并注意 b 的正负 反 比 例 函 数 图 象 和 性 质 的 综 合 运 用