数学华东师大版九年级上册教案24-4 解直角三角形 第1课时 4页

1 24.4 解直角三角形 第 1 课时 教学目标 1．理解解直角三角形的意义和条件，能根据元素间的关系，选择适当的关系式，求出所有 未知元素；(重点) 2．能够把实际问题转化为数学问题，建立数学模型，并运用解直角三角形求解，通过生活 中的实际问题体会锐角三角函数在解题过程中的作用．(难点) 教学重难点 【教学重点】 解直角三角形的意义和条件. 【教学难点】 运用解直角三角形求解实际问题. 课前准备 无 教学过程 一、情境导入 世界遗产意大利比萨斜塔在 1350 年落成时就已倾斜．设塔顶中心点为 B, 塔身中心线与垂 直中心线夹角为∠A，过点 B 向垂直中心线引垂线，垂足为点 C.在 Rt△ABC 中，∠C＝90°， BC＝5.2m，AB＝54.5m，求∠A 的度数． 在上述的 Rt△ABC 中，你还能求其他未知的边和角吗？ 二、合作探究 探究点一：解直角三角形 【类型一】 利用解直角三角形求边或角 已知在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C 的对边分别为 a，b，c，按下列条件 解直角三角形． (1)若 a＝36，∠B＝30°，求∠A 的度数和边 b、c 的长； (2)若 a＝6 2，b＝6 6，求∠A、∠B 的度数和边 c 的长． 解析：(1)已知直角边和一个锐角，解直角三角形；(2)已知两条直角边，解直角三角形． 解：(1)在 Rt△ABC 中，∵∠B＝30°，a＝36，∴∠A＝90°－∠B＝60°，∵cosB＝a c ，即 c ＝ a cosB ＝ 36 3 2 ＝24 3，∴b＝sinB·c＝1 2 ×24 3＝12 3； 2 (2)在 Rt△ABC 中，∵a＝6 2，b＝6 6，∴tanA＝a b ＝ 3 3 ，∴∠A＝30°，∴∠B＝60°，∴ c＝2a＝12 2. 方法总结：解直角三角形时应求出所有未知元素，解题时尽可能地选择包含所求元素与两个 已知元素的关系式求解． 【类型二】 构造直角三角形解决长度问题 一副直角三角板如图放置，点 C 在 FD 的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E ＝30°，∠A＝45°，AC＝12 2，试求 CD 的长． 解析：过点 B 作 BM⊥FD 于点 M，求出 BM 与 CM 的长度，然后在△EFD 中可求出∠EDF＝60°， 利用解直角三角形解答即可． 解：过点 B 作 BM⊥FD 于点 M，在△ACB 中，∠ACB＝90°，∠A＝45°，AC＝12 2，∴BC＝ AC＝12 2.∵AB∥CF，∴BM＝sin45°BC＝12 2× 2 2 ＝12，CM＝BM＝12.在△EFD 中，∠F＝ 90°，∠E＝30°，∴∠EDF＝60°，∴MD＝ BM tan60° ＝4 3，∴CD＝CM－MD＝12－4 3. 方法总结：解答此类题目的关键是根据题意构造直角三角形，然后利用所学的三角函数的关 系进行解答． 【类型三】 运用解直角三角形解决面积问题 如图，在△ABC 中，已知∠C＝90°，sinA＝3 7 ，D 为边 AC 上一点，∠BDC＝45°，DC ＝6.求△ABC 的面积． 解析：首先利用正弦的定义设 BC＝3k，AB＝7k，利用 BC＝CD＝3k＝6，求得 k 值，从而求得 AB 的长，然后利用勾股定理求得 AC 的长，再进一步求解． 解：∵∠C＝90°，∴在 Rt△ABC 中，sinA＝BC AB ＝3 7 ，设 BC＝3k，则 AB＝7k(k＞0)，在 Rt△ BCD 中，∵∠BCD＝90°，∴∠BDC＝45°，∴∠CBD＝∠BDC＝45°，∴BC＝CD＝3k＝6，∴k ＝2，∴AB＝14.在 Rt△ABC 中，AC＝ AB2－BC2＝ 142－62＝4 10，∴S△ABC＝1 2 AC·BC＝1 2 ×4 10 ×6＝12 10.所以△ABC 的面积是 12 10. 方法总结：若已知条件中有线段的比或可利用的三角函数，可设出一个辅助未知数，列方程 解答． 探究点二：解直角三角形的简单应用 【类型一】 求河的宽度 根据网上消息，益阳市为了改善市区交通状况，计划在康富路的北端修建通往资江北 岸的新大桥．如图，新大桥的两端位于 A、B 两点，小张为了测量 A、B 之间的河宽，在垂直 于新大桥 AB 的直线型道路 l 上测得如下数据：∠BDA＝76.1°，∠BCA＝68.2°，CD＝82 米．求 3 AB 的长(精确到 0.1 米)．参考数据：sin76.1°≈0.97，cos76.1°≈0.24，tan76.1°≈4.0； sin68.2°≈0.93，cos68.2°≈0.37，tan68.2°≈2.5. 解析：设 AD＝xm，则 AC＝(x＋82)m.在 Rt△ABC 中，根据三角函数得到 AB＝2.5(x＋82)m， 在 Rt△ABD 中，根据三角函数得到 AB＝4x，依此得到关于 x 的方程，进一步即可求解． 解：设 AD＝xm，则 AC＝(x＋82)m.在 Rt△ABC 中，tan∠BCA＝AB AC ，∴AB＝AC·tan∠BCA＝2.5(x ＋82)．在 Rt△ABD 中，tan∠BDA＝AB AD ，∴AB＝AD·tan∠BDA＝4x，∴2.5(x＋82)＝4x，解 得 x＝410 3 .∴AB＝4x＝4×410 3 ≈546.7m. 答：AB 的长约为 546.7m. 方法总结：解题的关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出 所要求的物体的高度或长度． 【类型二】 求不可到达的两点的高度 如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂 AB 长为 30cm，灯罩 BC 长为 20cm，底座厚度为 2cm，灯臂与底座构成的∠BAD＝60°.使用发现，光线最佳时灯罩 BC 与水平线所成的角为 30°，此时灯罩顶端 C 到桌面的高度 CE 是多少(结果精确到 0.1cm，参考数据： 3≈1.732)? 解析：首先过点 B 作 BF⊥CD 于点 F，作 BG⊥AD 于点 G，进而求出 FC 的长，再求出 BG 的长， 即可得出答案． 解：过点 B 作 BF⊥CD 于点 F，作 BG⊥AD 于点 G，∴四边形 BFDG 是矩形，∴BG＝FD. 在 Rt△BCF 中，∠CBF＝30°，∴CF＝BC·sin30°＝20×1 2 ＝10cm.在 Rt△ABG 中，∵∠BAG ＝60°，∴BG＝AB·sin60°＝30× 3 2 ＝15 3cm，∴CE＝CF＋FD＋DE＝10＋15 3＋2＝12＋ 15 3≈38.0(cm)． 答：此时灯罩顶端 C 到桌面的高度 CE 约是 38.0cm. 方法总结：将实际问题抽象为数学问题，画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三 角形问题． 三、板书设计 1．解直角三角形的基本类型及其解法； 2．解直角三角形的简单应用. 4 四、教学反思 本节课为了充分发挥学生的主观能动性，可引导学生通过小组讨论，大胆地发表意见， 提高学生学习数学的兴趣．能够使学生自己构造实际问题中的直角三角形模型，并通过解直 角三角形解决实际问题.