人教版初中数学九年级下册课件27.2.2 相似三角形的性质 34页

27.2 相似三角形 第二十七章 相 似 导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 27.2.2 相似三角形的性质 1. 理解并掌握相似三角形中对应线段的比等于相似 比，并运用其解决问题. (重点、难点) 2. 理解相似三角形面积的比等于相似比的平方，并 运用其解决问题. (重点) 学习目标 导入新课 复习引入 1. 相似三角形的判定方法有哪几种？ ◑ 定义：对应边成比例，对应角相等的两个三角 形相似 ◑ 平行于三角形一边，与另外两边相交所构成的 三角形与原三角形相似 ◑ 三边成比例的两个三角形相似 ◑ 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 ◑ 两角分别相等的两个三角形相似 ◑ 一组直角边和斜边成比例的两个直角三角 形相似 2. 三角形除了三个角，三条边外，还有哪些要素? 如果两个三角形相似，那 么，对应的这些要素 有什么关系呢？ 高 中线 角平分线 周长 面积 如图，△ABC ∽△A′B′C′，相似比为 k，它们对 应高、对应中线、对应角平分线的比各是多少？ 讲授新课 相似三角形对应线段的比一 A B C A' B' C' 合作探究 ∵△ABC ∽△A′B′C′， ∴∠B＝∠B' ， 解：如图，分别作出 △ABC 和 △A' B' C' 的高 AD 和 A' D' ． 则∠ADB =∠A' D' B'=90°. ∴△ABD ∽△A' B' D' . A B C A' B' C'D' D .' ' ' ' AD AB kA D A B  ∴ 类似地，可以证明相似三角形对应中线、角平分线的 比也等于相似比. 由此我们可以得到： 相似三角形对应高的比等于相似比. 一般地，我们有： 相似三角形对应线段的比等于相似比. 归纳： 解：∵ △ABC ∽△DEF， 　 D E F H 例1 已知 △ABC∽△DEF，BG、EH 分别是 △ABC 和 △DEF 的角平分线，BC = 6 cm，EF = 4cm， BG = 4.8 cm. 求 EH 的长. ∴ (相似三角形对应 角平分线的比等于相似比)， BG BC EH EF  ∴ ，解得 EH = 3.2.4.8 6 4EH  A G B C 典例精析 ∴ 故 EH 的长为 3.2 cm. 1. 如果两个相似三角形的对应高的比为 2 : 3，那么对 应角平分线的比是 ，对应边上的中线的比是 ______ . 2. △ABC 与 △A'B'C' 的相似比为3 : 4，若 BC 边上 的 高 AD＝12 cm，则 B'C' 边上的高 A'D' ＝_______ . 2 : 3 2 : 3 16 cm 练一练 相似三角形的周长比也等于相似比吗？为什么？ 想一想： 如果 △ABC ∽△A'B'C'，相似比为 k，那么 ' ' ' ' ' ' AB BC CA kA B B C C A    ， 因此 AB＝k A'B'，BC＝kB'C'，CA＝kC'A'， 从而 ' ' ' ' ' ' .' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' AB BC CA kA B kB C kC A kA B B C C A A B B C C A         相似三角形面积的比二 如图，△ABC ∽△A′B′C′，相似比为 k，它们的面 积比是多少？ 合作探究 A B C A' B' C' 由前面的结论，我们有 2 ' ' ' 1 2 .1 ' ' ' '' ' ' '2 ABC A B C BC ADS BC AD k k kS B C A DB C A D         △ △ A B C A' B' C'D'D 相似三角形面积的比等于相似比的平方． 由此得出： 归纳： 1. 已知两个三角形相似，请完成下列表格： 相似比 2 k …… 周长比 …… 面积比 10000 …… 试一试： 1 32 4 1 3 1 9 100 100 k k2 2. 把一个三角形变成和它相似的三角形， (1) 如果边长扩大为原来的 5 倍，那么面积扩大为 原来的______倍； (2) 如果面积扩大为原来的 100 倍，那么边长扩大 为原来的______倍. 25 10 3. 两个相似三角形的一对对应边分别是 35 cm、14 cm， (1) 它们的周长差 60 cm，这两个三角形的周长分 别 是________________； (2) 它们的面积之和是 58 cm2，这两个三角形的面 积分别是______________. 100 cm、40 cm 50 cm2、8 cm2 解：在 △ABC 和 △DEF 中， ∵ AB=2DE，AC=2DF， 又 ∵∠D=∠A， ∴ △DEF ∽ △ABC ，相似比为 1 : 2. A B C D E F ∴ 例2 如图，在 △ABC 和 △DEF 中，AB = 2 DE ，AC = 2 DF，∠A = ∠D. 若 △ABC 的边 BC 上的高为 6，面 积为 ，求 △DEF 的边 EF 上的高和面积.12 5 A B C D E F ∵△ABC 的边 BC 上的高为 6，面积为 ，12 5 ∴△DEF 的边 EF 上的高为 ×6 = 3，1 2 面积为 21 12 5 3 5.2       如果两个相似三角形的面积之比为 2 : 7，较 大三角形一边上的高为 7，则较小三角形对应边上 的高为______. 14 练一练 例3 如图，D，E 分别是 AC，AB 上的点，已知 △ABC 的面积为100 cm2，且 ，求 四边形 BCDE 的面积. 　 ∴ △ADE ∽△ABC. ∵ 它们的相似比为 3 : 5， ∴ 面积比为 9 : 25. B C A D E 解：∵ ∠BAC = ∠DAE，且 3 5 AE AD AC AB   ， 又∵ △ABC 的面积为 100 cm2， ∴ △ADE 的面积为 36 cm2 . ∴ 四边形 BCDE 的面积为100－36 = 64 (cm2). B C A D E 如图，△ABC 中，点 D、E、F 分别在 AB、AC、 BC 上，且 DE∥BC，EF∥AB. 当 D 点为 AB 中点 时，求 S四边形BFED : S△ABC 的值. A B C D F E 练一练 解：∵ DE∥BC，D 为 AB 中点， ∴ △ADE ∽ △ABC ， 相似比为 1 : 2， 面积比为 1 : 4. 1 2 AE AD .AC AB  ∴ A B C D F E 又∵ EF∥AB， ∴ △EFC ∽ △ABC ，相似比为 1 : 2， 面积比为 1 : 4. 设 S△ABC = 4，则 S△ADE = 1，S△EFC = 1， S四边形BFED = S△ABC－S△ADE－S△EFC = 4－1－1 = 2， ∴ S四边形BFED : S△ABC = 2 : 4 = 1.2 1. 判断： (1) 一个三角形的各边长扩大为原来的 5 倍，这个 三角形的周长也扩大为原来的 5 倍 ( ) (2) 一个四边形的各边长扩大为原来的 9 倍，这个 四边形的面积也扩大为原来的 9 倍 ( ) √ × 当堂练习 3. 连接三角形两边中点的线段把三角形截成的一个 小三角形与原三角形的周长比等于______，面积 比等于_____. 1 : 2 1 : 4 2. 在 △ABC 和 △DEF 中，AB＝2 DE，AC＝2 DF， ∠A＝∠D，AP，DQ 是中线，若 AP＝2，则 DQ 的值为 ( ) A．2 B．4 C．1 D. C 2 1 4. 两个相似三角形对应的中线长分别是 6 cm 和 18 cm， 若较大三角形的周长是 42 cm，面积是 12 cm2，则 较小三角形的周长____cm，面积为____cm2.14 4 3 5. 如图，这是圆桌正上方的灯泡 (点A) 发出的光线照 射桌面形成阴影的示意图，已知桌面的直径为 1.2 米，桌面距离地面为 1 米，若灯泡距离地面 3 米， 则地面上阴影部分的面积约为多少 (结果保留两位 小数)？ A DE F CB H 解：∵ FH = 1 米，AH = 3 米， 桌面的直径为 1.2 米， ∴ AF = AH－FH = 2 (米)， DF = 1.2÷2 = 0.6 (米). ∵DF∥CH， ∴△ADF ∽△ACH， A DE F CB H DF AF CH AH  ，∴ 即 0 6 2 3 . CH  ， 解得 CH = 0.9米. ∴ 阴影部分的面积为： 2 20.9 2.54CH    (平方米). 答：地面上阴影部分的面积为 2.54 平方米. 6. △ABC 中，DE∥BC，EF∥AB，已知 △ADE 和 △EFC 的面积分别为 4 和 9，求 △ABC 的面积. A B C D F E 解：∵ DE∥BC，EF∥AB， ∴ △ADE ∽△ABC， ∠ADE =∠EFC，∠A =∠CEF， ∴△ADE ∽△EFC. 又∵S△ADE : S△EFC = 4 : 9， ∴ AE : EC=2:3， 则 AE : AC =2 : 5， ∴ S△ADE : S△ABC = 4 : 25，∴ S△ABC = 25. 7. 如图，△ABC 中，DE∥BC，DE 分别交 AB、AC 于 点 D、E，S△ADE＝2 S△DCE，求 S△ADE ∶ S△ABC.解：过点 D 作 AC 的垂线，交点为 F，则 1 2 21 2 ADE DCE AE DFS AE S ECEC DF        △ △ ， 2 3 AE .AC ∴ 又∵ DE∥BC， ∴ △ADE ∽△ABC. A B C D E 2 22 4 3 9 ADE ABC S AE S AC             △ △ ，∴ 即 S△ADE : S△ABC ＝4 : 9. A B C D E 相似三角形的性质 相似三角形对应线段的比等于 相似比 课堂小结 相似三角形面积的比等于相似 比的平方 相似三角形性质的运用