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- 2021-11-11 发布
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第二十五章 概率初步
人教版
九年级数学上册
一、事件的分类及其概念
要点梳理
事件
确定事件
随机事件
必然事件
不可能事件
1.在一定条件下必然发生的事件,叫做必然事件;
2.在一定条件下不可能发生的事件,叫做不可能事件;
3.在一定条件下可能发生也可能不发生的事件,叫做随
机事件.
1.概率: 一般地,对于一个随机事件A,我们把刻画
其发生可能性大小的数值,称为随机事件A发生的概
率,记作P(A).
二、概率的概念
0 1
事件发生的可能性越来越大
事件发生的可能性越来越小
不可能事件 必然事件
概率的值
2.
三、随机事件的概率的求法
1.①当实验的所有结果不是有限个,或各种可能结果发
生的可能性不相等时,我们用大量重复试验中随机事件
发生的稳定频率来估计概率.
②频率与概率的关系:两者都能定量地反映随机事件
可能性的大小,但频率具有随机性,概率是自身固有
的性质,不具有随机性.
2.概率的计算公式:
一般地,如果在一次试验中,有n种可能的结果,
并且它们发生的可能性都相等,那么出现每一种结果
的概率都是 .
如果事件A包括其中的m种可能的结果,那么事件
A发生的概率
P(A)= + +…+ n
1
n
1
n
1
m个
= n
m
1
n
当一次试验要涉及两个因素,并且可能出现的结果
数目较多时,为了不重不漏的列出所有可能的结果,通
常采用列表法.
一个因素所包含的可能情况
另一个因
素所包含
的可能情
况
两个因素所组合的
所有可能情况,即n
在所有可能情况n中,再找到满足条件的事
件的个数m,最后代入公式计算.
列表法中表格构造特点:
当一
次试验中涉
及3个因素或
更多的因素
时,怎么办?
四、列表法
当一次试验中涉及2个因素或更多的因素时, 为了
不重不漏地列出所有可能的结果,通常采用“树状图”.
树形图的画法: 一个试验
第一个因数
第二个
第三个
如一个试验中涉
及2个或3个因数,
第一个因数中有2
种可能情况;第二
个因数中有3种可
能的情况;第三个
因数中有2种可能
的情况.
A B
1 2 3 1 2 3
a b a b a b a b a b a b
n=2×3×2=12
五、树状图法
考点一 事件的判断和概率的意义
考点讲练
例1 下列事件是随机事件的是( )
A.明天太阳从东方升起
B.任意画一个三角形,其内角和是360°
C.通常温度降到0℃以下,纯净的水结冰
D.射击运动员射击一次,命中靶心
D
1.“闭上眼睛从布袋中随机地摸出1个球,恰是红球的
概率是 ”的意思是( )
A.布袋中有2个红球和5个其他颜色的球
B.如果摸球次数很多,那么平均每摸7次,就有2次
摸中红球
C.摸7次,就有2次摸中红球
D.摸7次,就有5次摸不中红球
2
7 B
针对训练
2.下列事件中是必然事件的是( )
A.从一个装有蓝、白两色球的缸里摸出一个球,摸
出的球是白球
B.小丹的自行车轮胎被钉子扎坏
C.小红期末考试数学成绩一定得满分
D.将油滴入水中,油会浮在水面上
D
考点二 用列举法求概率
例2 如图,电路图上有四个开关A、B、C、D和一个小
灯泡,闭合开关D或同时闭合开关A、B、C都可使小灯
泡发光,则任意闭合其中两个开关,小灯泡发光的概率
是( )
A. B. C. D. 1
2
1
3
1
4
1
6
C
例3 如图所示,有3张不透明的卡片,除正面写有不同
的数字外,其它均相同.将这三张卡片背面朝上洗匀
后,第一次从中随机抽取一张,并把这张卡片标有的
数字记作一次函数表达式中的k,第二次从余下的两张
卡片中再随机抽取一张,上面标有的数字记作一次函
数表达式中的b.
(1)写出k为负数的概率;
(2)求一次函数y=kx+b的图象经过
二、三、四象限的概率.
解:(1)P(k为负数)= .
【解析】(1)因为-1,-2,3中有两个负数,
故k为负数的概率为 ;
(2)由于一次函数y=kx+b的图象经过二、三、四象
限时,k,b均为负数,
所以在画树形图列举出k、b取值的所有情况后,从
中找出所有k、b均为负数的情况,即可得出答案.
2
3
2
3
(2)画树状图如右:
由树状图可知,k、b的取值共有6种
情况,
其中k<0且b<0的情况有2种,
∴P(一次函数y=kx+b的图象经过第
二、三、四象限)= .2 1
6 3
3. 一个袋中装有2个黑球3个白球,这些球除颜色外,大
小、形状、质地完全相同,在看不到球的情况下,随机
的从这个袋子中摸出一个球不放回,再随机的从这个袋
子中摸出一个球,两次摸到的球颜色相同的概率是( )
A. B. C. D. 2
5
3
5
8
2 5
13
25
A
针对训练
考点三 用频率估计概率
例4 在大量重复试验中,关于随机事件发生的频率与概
率,下列说法正确的是( )
A.频率就是概率
B.频率与试验次数无关
C.概率是随机的,与频率无关
D.随着试验次数的增加,频率一般会越来越接近概率
D
例5 在一个不透明的布袋中,红色、黑色、白色的
玻璃球共有40个,除颜色外其他完全相同,小明通
过多次摸球试验后发现从中摸到红色球、黑色球的
频率稳定在15%和45%,则口袋中白色球的个数最
有可能是( )
A.24个 B.18个 C.16个 D.6个
C
4.在一个不透明的口袋中,装有若干个除颜色不同其
余都相同的球.如果口袋中装有3个红球且摸到红球
的概率为 ,那么口袋中球的总个数为_____.
解析:设口袋中球的总个数为x,
则摸到红球的概率为 ,
所以x=15.
3 1
5x
针对训练
1
5 15
考点五 用概率作决策
例6 在一个不透明的口袋里分别标注2、4、6的3个小球
(小球除数字外,其余都相同),另有3张背面完全一
样,正面分别写有数字6、7、8的卡片.现从口袋中任意
摸出一个小球,再从这3张背面朝上的卡片中任意摸出
一张卡片.
(1)请你用列表或画树状图的方法,表示出所有可能
出现的结果;
解:(1)列表如下
6 7 8
2 (6,2) (7,2) (8,2)
4 (6,4) (7,4) (8,4)
6 (6,6) (7,6) (8,6)
卡片小球
共有9种等可能结果;
(2)小红和小莉做游戏,制定了两个游戏规则:
规则1:若两次摸出的数字,至少有一次是“6”,小
红赢;否则,小莉赢;
规则2:若摸出的卡片上的数字是球上数字的整数倍
时,小红赢;否则,小莉赢.小红想要在游戏中获胜,
她会选择哪一条规则,并说明理由.
规则1:P(小红赢)= ;
规则2:P(小红赢)=
∵ , ∴小红选择规则1.
5
9
4
9
5 4
9 9
5.A、B两个小型超市举行有奖促销活动,顾客每购满
20元就有一次按下面规则转动转盘获奖机会,且两超
市奖额等同.规则是: ①A超市把转盘甲等分成4个扇
形区域、B超市把转盘乙等分成3个扇形区域,并标上
了数字(如图所示); ②顾客第一回转动转盘要转两
次,第一次与第二次分别停止
后指针所指数字之和为奇数时
就获奖(若指针停在等分线上,
那么重转一次,直到指针指向
某一份为止).
1 12
2
3 34
甲 乙
针对训练
解:(1)列表格如下:
1 2 3 4
1 2 3 4 5
2 3 4 5 6
3 4 5 6 7
4 5 6 7 8
第一回
第二回
甲转盘
共有16种等可能结果,其中中奖的有8种;
∴P(甲)= 8 1
16 2
;
(1)利用树形图或列表法分别求出A、B两超市顾客
一回转盘获奖的概率;
1 2 3
1 2 3 4
2 3 4 5
3 4 5 6
第一回
第二回
乙转盘
∴P(乙)= 4
9
;
共有9种等可能结果,其中中奖的有4种;
(2)如果只考虑中奖因素,你将会选择去哪个超市
购物?说明理由.
(2)选甲超市.理由如下:
∵P(甲)>P(乙), ∴选甲超市.
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