初中数学中考复习课件章节考点专题突破：第三章 函数与图象 聚焦中考第三章10讲函数及其图象 36页

人教 数 学 第三章　函数及其图象 第 10 讲　函数及其图象 要点梳理 1 ． 常量、变量 在某一过程中 ， 保持数值不变的量叫做 ；可以取不同数值的量叫做 ． 2 ． 函数 一般地 ， 设在一个变化过程中有两个变量 x 与 y ， 如果对于 x 的每一个确定的值 ， y 都有唯一确定的值与它对应 ， 那么就说 x 是 ， y 是 x 的 ． 常量 变量 自变量 函数 要点梳理 3 ． 函数自变量取值范围 由解析式给出的函数 ， 自变量取值范围应使解析式有意义；对于实际意义的函数 ， 自变量取值范围还应使实际问题有意义． 要点梳理 4 ． 函数的图象和函数表示方法 (1) 函数的图象：一般地 ， 对于一个函数 ， 如果把自变量 x 与函数 y 的每对对应值分别作为点的横坐标与纵坐 标 ， 在坐标平面内描出这些点 ， 用光滑曲线连接这些点所组成的图形 ， 就是这个函数的图象． (2) 画函数图象时应注意该函数的自变量的取值范围． (3) 函数的表示法： ① ； ② ； ③ ． 解析法 列表法 图象法 紧抓两个变量 函数中有两个变量 ， 一个是自变量 x ， 另一个是因变量 y ， 这也说明了函数关系是某一过程中的两个变量之间的关系．在具体问题中 ， 要结合实际意义确定变量．如：在路程问题中 s ＝ v t ， 当速度 v 是定值时 ， s 与 t 是变量；当时间 t 是定值时 ， s 与 v 是变量． 正确理解 “ 唯一 ” 函数概念中 ， “ 对于 x 的每一个值 ， y 都有唯一确定的值与它对应 ” 这句话 ， 说明了两个变量之间的对应关系 ， 对于 x 在取值范围内每取一个值 ， 都有且只有一个 y 值与之对应 ， 否则 y 就不是 x 的函数．对于 “ 唯一性 ” 可以从以下两方面理解： ① 从函数关系方面理解； ② 从图象方面理解． 两种思想方法 (1) 函数思想 研究一个实际问题时，首先从问题中抽象出特定的函数关系，转化为 “ 函数模型 ” ，然后利用函数的性质得出结论，最后把结论应用到实际问题中去，从而得到实际问题的研究结果． (2) 数形结合思想 数形结合 ， 直观形象 ， 为分析问题和解决问题创造了有利条件 ， 如用函数图象解答相关问题是典型的数形结合思想的应用． 1 ． ( 2014· 内江 ) 在函数 y ＝ x ＋ 2 x － 1 中 ， 自变量 x 的取值范围 是 ( ) A ． x ≥ － 2 且 x ≠ 1 B ． x ≤ 2 且 x ≠ 1 C ． x ≠ 1 D ． x ≤ － 2 A 2 ． ( 2014 · 重庆 ) 2014 年 5 月 10 日上午， 小华同学接到通知 ， 她的作文通过了 《 我的中国梦 》 征文选拔 ， 需尽快上交该作文的电子文稿．接到通知后 ， 小华立即在电脑上打字录入这篇文稿 ， 录入一段时间后因事暂停 ， 过了一小会 ， 小华继续录入并加快了录入速度 ， 直至录入完成．设从录入文稿开始所经过的时间为 x ， 录入字数为 y ， 下面能反映 y 与 x 的函数关系的大致图象是 ( ) C 3 ． ( 2014 · 黄石 ) 如图 ， AB 是半圆 O 的直径 ， 点 P 从点 A 出发 ， 沿半圆弧 AB 顺时针方向匀速移动至点 B ， 运动时间为 t ， △ ABP 的面积为 S ， 则下列图象能大致刻画 S 与 t 之间的关系的是 ( ) C 4 ． ( 2014 · 河南 ) 如图 ， 在 Rt △ ABC 中 ， ∠ C ＝ 90° ， AC ＝ 1 cm ， BC ＝ 2 cm ， 点 P 从点 A 出发 ， 以 1 cm / s 的速度沿折线 AC → CB → BA 运动 ， 最终回到点 A ， 设点 P 的运动时间为 x( s ) ， 线段 AP 的长度为 y( cm ) ， 则能够反映 y 与 x 之间函数关系的图象大致是 ( ) A 5 ． ( 2014 · 黄冈 ) 已知：在 △ ABC 中 ， BC ＝ 10 ， BC 边上的高 h ＝ 5 ， 点 E 在边 AB 上 ， 过点 E 作 EF ∥ BC ， 交 AC 边于点 F. 点 D 为 BC 上一点 ， 连接 DE ， DF. 设点 E 到 BC 的距离为 x ， 则 △ DEF 的面积 S 关于 x 的函数图象大致为 ( ) D 确定自变量的取值范围 【 例 1 】 ( 2014· 黄冈 ) 函数 y ＝ x － 2 x 中 ， 自变量 x 的取 值范围是 ( ) A ． x ≠ 0 B ． x ≥ 2 C ． x ＞ 2 且 x ≠ 0 D ． x ≥ 2 且 x ≠ 0 B 【 点评 】 　代数式有意义的条件问题： (1) 若解析式是整式 ， 则自变量取全体实数； (2) 若解析式是分式 ， 则自变量取使分母不为 0 的全体实数； (3) 若解析式是偶次根式 ， 则自变量只取使被开方数为非负数的全体实数； (4) 若解析式含有零指数或负整数指数幂 ， 则自变量应是使底数不等于 0 的全体实数； (5) 若解析式是由多个条件限制 ， 必须首先求出式子中各部分自变量的取值范围 ， 然后再取其公共部分 ， 此类问题要特别注意，只能就已知的解析式进行求解，而不能进行化简变形，特别是不能轻易地乘或除以含自变量的因式． 1 ． ( 1 ) ( 2013· 包头 ) 函数 y ＝ 1 x ＋ 1 中 ， 自变量 x 的取值范围 是 ( ) A ． x ＞－ 1 B ． x ＜－ 1 C ． x ≠ － 1 D ． x ≠ 0 ( 2 ) ( 2013· 恩施 ) 函数 y ＝ 3 － x x ＋ 2 的自变量 x 的取值范围是 ． x≤3 且 x≠ － 2 C 由自变量取值求函数值 【 例 2】 　已知 y ＝－ 2 x ＋ 4 ， 且－ 1 ≤ x ＜ 3 ， 求函数值 y 的取值范围． 【 点评 】 　结合不等式的性质 ， 运用代入法由自变量的具体值或取值范围 ， 可确定函数的对应值或范围． 2 ． ( 2013 · 珠海 ) 已知函数 y ＝ 3x 的图象经过点 A ( － 1 ， y 1 ) ， 点 B( － 2 ， y 2 ) ， 则 y1 y2 . ( 填 “ ＞ ”“ ＜ ” 或 “ ＝ ” ) ＞ 确定实际背景下的函数关系式 【 例 3】 　 ( 2013 · 丽水 ) 如图 ， 科技小组准备用材料围建一个面积为 60 m 2 的矩形科技园 ABCD ， 其中一边 AB 靠墙 ， 墙长为 12 m ， 设 AD 的长为 x m ， DC 的长为 y m . (1) 求 y 与 x 之间的函数关系式； (2) 若围成矩形科技园 ABCD 的三边材料总长不超过 26 m ， 材料 AD 和 DC 的长都是整米数 ， 求出满足条件的所有围建方案． 解：如图 ， AD 的长 x m ， DC 的长为 y m ， 根据题意得 xy ＝ 60 ， ∴ y ＝ 60 x ， ∴ y 与 x 之间的函数关系式为 y ＝ 60 x ( 2 ) 由 y ＝ 60 x ， 且 x ， y 都为正整数 ， ∴ x 可取 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 10 ， 12 ， 15 ， 20 ， 30 ， 60 ， 但因为 2x ＋ y ≤ 26 ， 0 ＜ y ≤ 12 ， ∴ 符合条件的有 x ＝ 5 时 ， y ＝ 12 ， x ＝ 6 时 ， y ＝ 10 ， x ＝ 10 时 ， y ＝ 6. 答：满足条件的所有围建方案为 AD ＝ 5 m ， DC ＝ 12 m ； AD ＝ 6 m ， DC ＝ 10 m 或 AD ＝ 10 m ， DC ＝ 6 m 3 ． ( 2014· 资阳 ) 某商家计划从厂家采购空调和冰箱两种产 品共 20 台 ， 空调的采购单价 y 1 ( 元 / 台 ) 与采购数量 x 1 ( 台 ) 满足 y 1 ＝－ 20x 1 ＋ 1500(0 ＜ x 1 ≤ 20 ， x 1 为整数 ) ；冰箱的采购单价 y 2 ( 元 / 台 ) 与采购数量 x 2 ( 台 ) 满足 y 2 ＝－ 10x 2 ＋ 1300(0 ＜ x 2 ≤ 20 ， x 2 为整数 ) ． (1) 经商家与厂家协商 ， 采购空调的数量不少于冰箱数量的 11 9 ， 且 空调采购单价不低于 1200 元 ， 问该商家共有几种进货方案． (2) 该商家分别以 1760 元 / 台和 1700 元 / 台的销售 单价售出空调和冰 箱 ， 且全部售完． 在 (1) 的条件下 ， 问采购空调多少台时总利润最 大．并求最大利润． 解： ( 1 ) 设空调的采购数量为 x 台 ， 则冰箱的采购数量为 ( 20 － x ) 台 ， 由题意得 î í ì x ≥ 11 9 （ 20 － x ） ， ① － 20x ＋ 1500 ≥ 1200 ， ② 解得 11 ≤ x ≤ 15 ， 所以不等式组的解集为 11 ≤ x ≤ 15 ， ∴ x 可取的值为 11 ， 12 ， 13 ， 14 ， 15 ， 共有 5 种进货方案 ( 2 ) 设总利润为 W 元 ， y 2 ＝－ 10x 2 ＋ 1300 ＝－ 10 ( 20 － x ) ＋ 1300 ＝ 10x ＋ 1100 ， 则 W ＝ ( 1760 － y 1 ) x 1 ＋ ( 1700 － y 2 ) x 2 ＝ 1760x － ( － 20x ＋ 1500 ) x ＋ ( 1700 － 10x － 1100 )( 20 － x ) ＝ 30 ( x － 9 ) 2 ＋ 9570 ， 当 x ＞ 9 时 ， W 随 x 的增大而增大 ， ∵ 11 ≤ x ≤ 15 ， ∴ 当 x ＝ 15 时 ， W 最大值 ＝ 30 × ( 15 － 9 ) 2 ＋ 9570 ＝ 10650 ( 元 ) ， 即采购 15 台 空调时 ， 有 最大利润 10650 元 观察图象 ， 求解实际问题 【 例 4】 　 ( 2014 · 绍兴 ) 已知甲、乙两地相距 90 km ， A ， B 两人沿同一公路从甲地出发到乙地 ， A 骑摩托车 ， B 骑电动车 ， 图中 DE ， OC 分别表示 A ， B 离开甲地的路程 s( km ) 与时间 t( h ) 的函数关系的图象 ， 根据图象解答下列问题． (1)A 比 B 后出发几个小时？ B 的速度是多少？ (2) 在 B 出发后几小时 ， 两人相遇？ 解： ( 1 ) 由图可知 ， A 比 B 后出发 1 小时； B 的速度： 60 ÷ 3 ＝ 20 ( km/h ) ( 2 ) 由图可知 A 的速度： 90÷2 ＝ 45 ( km/h ) ． 设 B 出发后 x 小时 ， 两人相遇 ， 则 45 ( x － 1 ) ＝ 20x ， 解得 x ＝ 9 5 ， 所以 ， B 出发 9 5 小时后两人相遇 【 点评 】 　要学会阅读图象 ， 正确理解图象中点的坐标的实际意义 ， 由图象分析变量的变化趋势 ， 从而确定实际情况．分析变量之间的关系、加深对图象表示函数的理解 ， 进一步提高从图象中获取信息的能力 ， 运用数形结合的思想观察图象求解． 4 ． ( 2014 · 哈尔滨 ) 早晨， 小刚沿着通往学校唯一的一条路 ( 直路 ) 上学 ， 途中发现忘带饭盒 ， 停下往家里打电话 ， 妈妈接到电话后带上饭盒马上赶往学校 ， 同时小刚返回 ， 两人相遇后 ， 小刚立即赶往学校 ， 妈妈回家 ， 15 分钟妈妈到家 ， 再经过 3 分钟小刚到达学校 ， 小刚始终以 100 米 / 分的速度步行 ， 小刚和妈妈的距离 y( 单位：米 ) 与小刚打完电话后的步行时间 t( 单位：分 ) 之间的函数关系如图 ， 下列四种说法： ① 打电话时 ， 小刚和妈妈的距离为 1250 米； ② 打完电话后 ， 经过 23 分钟小刚到达学校； ③ 小刚和妈妈相遇后 ， 妈妈回家的速度为 150 米 / 分； ④ 小刚家与学校的距离为 2550 米． 其中正确的有 ( C ) A ． 1 个 B ． 2 个 C ． 3 个 D ． 4 个 试题 　 ( 2012 · 义乌 ) 周末 ， 小明骑自行车从家里出发到野外郊游．从家出发 0.5 小时后到达甲地 ， 游玩一段时间后按原速前往乙地．小明离家 1 小时 20 分钟后 ， 妈妈驾车沿相同路线前往乙 地 ， 如图是他们离家的路程 y( km ) 与小明离家时间 x( h ) 的函数图象．已知妈妈驾车的速度是小明骑车速度的 3 倍． (1) 求小明骑车的速度和在甲地游玩的时间； (2) 小明从家出发多少小时后被妈妈追上？此时离家多远． (3) 若妈妈比小明早 10 分钟到达乙地 ， 求从家到乙地的路程． 审题视角 　 (1) 认真阅读题干内容 ， 理清数量关系； (2) 分析图形提供的信息 ， 从图形可看出函数是分段 的； (3) 建立函数模型 ， 确定解决模型的方法． 规范答题 (1) 小明骑车速度： 10 0.5 ＝ 20( km / h ) ， 在甲地游玩的时间是 0.5( h ) ． (2) 妈妈驾车速度： 20 × 3 ＝ 60 ( km / h ) ．设直线 BC 解析式为 y ＝ 20x ＋ b 1 ， 把点 B(1 ， 10 ) 代入得 b 1 ＝－ 10 ∴ y ＝ 20x － 10. 设直线 DE 解析式为 y ＝ 60x ＋ b 2 ， 把点 D( 4 3 ， 0 ) 代入得 b 2 ＝－ 80 ， ∴ y ＝ 60x － 80 ， ∴ î í ì y ＝ 20x － 10 ， y ＝ 60x － 80 ， 解得 î í ì x ＝ 1.75 ， y ＝ 25 ， ∴ 交点 F(1.75 ， 25 ) ．答：小明出发 1.75 小时 (105 分钟 ) 被妈妈追上 ， 此时离家 25 km . (3) 方法一：设从家到乙地的路程为 m( km ) ．将点 E (x 1 ， m ) ， 点 C(x 2 ， m ) 分别代入 y ＝ 60x － 80 ， y ＝ 20x － 10 中 ， 解得 x 1 ＝ m ＋ 80 60 ， x 2 ＝ m ＋ 10 20 . ∵ x 2 － x 1 ＝ 10 60 ＝ 1 6 ， ∴ m ＋ 10 20 － m ＋ 80 60 ＝ 1 6 ， ∴ m ＝ 30. 即从家到乙地的路程为 30 km . 方 法二：设从妈妈追上小明的地点到乙地的路程为 n( km ) ， 由题意得 n 20 － n 60 ＝ 10 60 ， 解得 n ＝ 5. ∴ 从家到乙地的路程 为 5 ＋ 25 ＝ 30 ( km ) ． 答题思路 解函数应用题的一般程序是： 第一步：审题 —— 弄清题意 ， 分清条件和结论 ， 理顺数量关系； 第二步：建模 —— 将文字语言转化成数学语言 ， 用数学知识建立相应的数学模型； 第三步：求模 —— 求解数学模型 ， 得到数学结论； 第四步：还原 —— 将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义； 第五步：反思回顾 —— 对于数学模型必须验证这个解对实际问题的合理性． 试题　矩形的周长是 8 cm ， 设一边长为 x( cm ) ， 另一边长为 y( cm ) ． (1) 求 y 关于 x 的函数关系式； (2) 在图中作出函数的图象． 错解 解： (1) 由题意 ， 得 2(x ＋ y) ＝ 8 ， 则 y ＝ 4 － x. (2) 图象如下图： 剖析 作实际问题的函数图象时 ， 若不注意自变量的取值范 围 ， 往往作出错 误的图象 ． 确定实际问题的函数的自变量取值 范围 ， 一要考虑使代数式有意义；二是考虑实际问题的背景 ． 此 题题意明确 ， 易建立函数关系式 ， 但在求自变量 x 的取值范围 上易犯错 ． 根据实际情况 ， x ， y 表示矩形的边长 ， 则 î ï í ï ì x ＞ 0 ， y ＞ 0 ， 即 î ï í ï ì x ＞ 0 ， 4 － x ＞ 0 î ï í ï ì x ＞ 0 ， x ＜ 4. 故自变量 x 的取值范围为 0 ＜ x ＜ 4 ， 则第 ( 2 ) 问中 ， 图象不是直线 ， 而是 去掉端点 ( 4 ， 0 ) ， ( 0 ， 4 ) 的线段 ． 正解 解： (1) 由题意 ， 得 2(x ＋ y) ＝ 8 ， 则 y ＝ 4 － x ， 其中 0 ＜ x ＜ 4. (2) 图象如图所示：