人教版九年级数学上册教案：24_1 圆（2） 6页

1 24.1 圆(第 2 课时) 教学内容 1．圆心角的概念． 2．有关弧、弦、圆心角关系的定理：在同圆或等圆中，•相等的圆心角所对的弧相等， 所对的弦也相等． 3．定理的推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，•那么它们所对的圆心角相等，所 对的弦相等． 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等． 教学目标 了解圆心角的概念：掌握在同圆或等圆中，圆心角、弦、弧中有一个量的两个相等就可 以推出其它两个量的相对应的两个值就相等，及其它们在解题中的应用． 通过复习旋转的知识，产生圆心角的概念，然后用圆心角和旋转的知识探索在同圆或等 圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都 分别相等，最后应用它解决一些具体问题． 重难点、关键 1．重点：定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，•所对弦也相等及其两 个推论和它们的应用． 2．难点与关键：探索定理和推导及其应用． 教学过程 一、复习引入 （学生活动）请同学们完成下题． 已知△OAB，如图所示，作出绕 O 点旋转 30°、45°、60°的图形． B A O 老师点评：绕 O 点旋转，O 点就是固定点，旋转 30°，就是旋转角∠BOB′=30°． 二、探索新知 如图所示，∠AOB 的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角． B A O （学生活动）请同学们按下列要求作图并回答问题： 如图所示的⊙O 中，分别作相等的圆心角∠AOB•和∠A•′OB•′将圆心角∠AOB 绕圆 心 O 旋转到∠A′OB′的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？ 2 B' B A A' O AB = ''AB，AB=A′B′ 理由：∵半径 OA 与 O′A′重合，且∠AOB=∠A′OB′ ∴半径 OB 与 OB′重合 ∵点 A 与点 A′重合，点 B 与点 B′重合 ∴ AB 与 ''AB重合，弦 AB 与弦 A′B′重合 ∴ AB = ''AB，AB=A′B′ 因此，在同一个圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等． 在等圆中，相等的圆心角是否也有所对的弧相等，所对的弦相等呢？•请同学们现在动 手作一作． （学生活动）老师点评：如图 1，在⊙O 和⊙O′中，•分别作相等的圆心角∠AOB 和∠ A′O′B′得到如图 2，滚动一个圆，使 O 与 O′重合，固定圆心，将其中的一个圆旋转一 个角度，使得 OA 与 O′A′重合． O(O')O'O B' A' BB' O(O') O'O B A AA' (1) (2) 你能发现哪些等量关系？说一说你的理由？ 我能发现： = ，AB=A/B/． 现在它的证明方法就转化为前面的说明了，•这就是又回到了我们的数学思想上去呢─ ─化归思想，化未知为已知，因此，我们可以得到下面的定理： 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 同样，还可以得到： 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，•所对的弦也相等． 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，•所对的弧也相等． （学生活动）请同学们现在给予说明一下． 请三位同学到黑板板书，老师点评． 例 1．如图，在⊙O 中，AB、CD 是两条弦，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为 EF． （1）如果∠AOB=∠COD，那么 OE 与 OF 的大小有什么关系？为什么？ （2）如果 OE=OF，那么 AB 与CD 的大小有什么关系？AB 与 CD 的大小有什么关系？• 3 为什么？∠AOB 与∠COD 呢？ O B A C E D F 分析：（1）要说明 OE=OF，只要在直角三角形 AOE 和直角三角形 COF 中说明 AE=CF， 即说明 AB=CD，因此，只要运用前面所讲的定理即可． （2）∵OE=OF，∴在 Rt△AOE 和 Rt△COF 中， 又有 AO=CO 是半径，∴Rt△AOE≌Rt•△COF， ∴AE=CF，∴AB=CD，又可运用上面的定理得到 AB =CD 解：（1）如果∠AOB=∠COD，那么 OE=OF 理由是：∵∠AOB=∠COD ∴AB=CD ∵OE⊥AB，OF⊥CD ∴AE= 1 2 AB，CF= CD ∴AE=CF 又∵OA=OC ∴Rt△OAE≌Rt△OCF ∴OE=OF （2）如果 OE=OF，那么 AB=CD， = ，∠AOB=∠COD 理由是： ∵OA=OC，OE=OF ∴Rt△OAE≌Rt△OCF ∴AE=CF 又∵OE⊥AB，OF⊥CD ∴AE= AB，CF= CD ∴AB=2AE，CD=2CF ∴AB=CD ∴ = ，∠AOB=∠COD 三、巩固练习 教材 练习 1 教材练习 2． 四、应用拓展 例 2．如图 3 和图 4，MN 是⊙O 的直径，弦 AB、CD•相交于 MN•上的一点 P，•∠APM= ∠CPM． （1）由以上条件，你认为 AB 和 CD 大小关系是什么，请说明理由． 4 （2）若交点 P 在⊙O 的外部，上述结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请 说明理由． B A C E D P O N M F B A C E D P N M F (3) (4) 分析：（1）要说明 AB=CD，只要证明 AB、CD 所对的圆心角相等，•只要说明它们的一 半相等． 上述结论仍然成立，它的证明思路与上面的题目是一模一样的． 解：（1）AB=CD 理由：过 O 作 OE、OF 分别垂直于 AB、CD，垂足分别为 E、F ∵∠APM=∠CPM ∴∠1=∠2 OE=OF 连结 OD、OB 且 OB=OD ∴Rt△OFD≌Rt△OEB ∴DF=BE 根据垂径定理可得：AB=CD （2）作 OE⊥AB，OF⊥CD，垂足为 E、F ∵∠APM=∠CPN 且 OP=OP，∠PEO=∠PFO=90° ∴Rt△OPE≌Rt△OPF ∴OE=OF 连接 OA、OB、OC、OD 易证 Rt△OBE≌Rt△ODF，Rt△OAE≌Rt△OCF ∴∠1+∠2=∠3+∠4 ∴AB=CD 五、归纳总结（学生归纳，老师点评） 本节课应掌握： 1．圆心角概念． 2．在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，•那么它们所 对应的其余各组量都部分相等，及其它们的应用． 六、布置作业 1．教材 复习巩固 4、5、6、7、8． 2．选用课时作业设计． 第二课时作业设计 一、选择题． 5 1．如果两个圆心角相等，那么（ ） A．这两个圆心角所对的弦相等;B．这两个圆心角所对的弧相等 C．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等;D．以上说法都不对 2．在同圆中，圆心角∠AOB=2∠COD，则两条弧 AB 与 CD 关系是（ ） A． AB =2CD B． > C． <2 D．不能确定 3．如图 5，⊙O 中，如果 =2 AC ，那么（ ）． A．AB=AC B．AB=AC C．AB<2AC D．AB>2AC O B A C O BA C E D (5) (6) 二、填空题 1．交通工具上的轮子都是做圆的，这是运用了圆的性质中的_________． 2．一条弦长恰好为半径长，则此弦所对的弧是半圆的_________． 3．如图 6，AB 和 DE 是⊙O 的直径，弦 AC∥DE，若弦 BE=3，则弦 CE=________． 三、解答题 1．如图，在⊙O 中，C、D 是直径 AB 上两点，且 AC=BD，MC⊥AB，ND⊥AB，M、N• 在⊙O 上． （1）求证： AM = BN ； （2）若 C、D 分别为 OA、OB 中点，则 AM MN NB成立吗？ 2．如图，以 ABCD 的顶点 A 为圆心，AB 为半径作圆，分别交 BC、AD 于 E、F，若∠ D=50°，求 BE 的度数和 EF 的度数． 6 3．如图，∠AOB=90°，C、D 是 AB 三等分点，AB 分别交 OC、OD 于点 E、F，求证： AE=BF=CD． 答案: 一、1．D 2．A 3．C 二、1．圆的旋转不变形 2． 1 3 或 5 3 3．3 三、1．（ 1）连结 OM、ON，在 Rt△OCM 和 Rt△ODN 中 OM=ON，OA=OB， ∵AC=DB，∴OC=OD，∴Rt△OCM≌Rt△ODN， ∴∠AOM=∠BON，∴ AM NB （2） AM MN NB 2．BE 的度数为 80°，EF 的度数为 50°． 3．连结 AC、BD，∵C、D 是 AB 三等分点， ∴AC=CD=DB，且∠AOC= ×90°=30°， ∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA=75°， 又∠AEC=∠OAE+∠AOE=45°+30°=75°， ∴AE=AC， 同理可证 BF=BD，∴AE=BF=CD