初中数学中考复习课件章节考点专题突破：聚焦中考专题6 数学思想方法 41页

专题六　数学思想方法 要点梳理 数学思想方法是指对数学知识和方法形成的规律性的理性认识 ， 是解决数学问题的根本策略．数学思想方法揭示概念、原理、规律的本质 ， 是沟通基础知识与能力的桥梁 ， 是数学知识的重要组成部分．数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括 ， 它蕴含于数学知识的发生、发展和应用的过程中． 要点梳理 抓住数学思想方法 ， 善于迅速调用数学思想方法 ， 更是提高解题能力根本之所在．因此 ， 在复习时要注意体会教材例题、习题以及中考试题中所体现的数学思想和方法 ， 培养用数学思想方法解决问题的意识． 要点梳理 数学思想方法是数学的精髓 ， 是读书由厚到薄的升华 ， 在复习中一定要注重培养在解题中提炼数学思想的习惯 ， 中考常用到的数学思想方法有：整体思想、转化思想、方程与函数思想、数形结合思想、分类讨论思想等．在中考复习备考阶段 ， 教师应指导学生系统总结这些数学思想与方法 ， 掌握了它的实质 ， 就可以把所学的知识融会贯通 ， 解题时可以举一反三． 解题方法 (1) 整体思想：整体是与局部对应的 ， 按常规不容易求某一个 ( 或多个 ) 未知量时 ， 可打破常规 ， 根据题目的结构特征 ， 把一组数或一个代数式看作一个整体 ， 从而使问题得到解决． (2) 转化思想：在研究数学问题时 ， 我们通常是将未知问题转化为已知的问题 ， 将复杂的问题转化为简单的问题 ， 将抽象的问题转化为具体的问题 ， 将实际问题转化为数学问题． (3) 分类讨论思想：体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法．分类的原则： ① 分类中的每一部分是相互独立的； ② 一次分类按一个标准； ③ 分类讨论应逐级进行．正确的分类必须是周全的 ， 既不重复 ， 也不遗漏． (4) 方程思想：用方程思想解题的关键是利用已知条件或公式、定理中的已知结论构造方程 ( 组 ) ．这种思想在代数、几何及生活实际中有着广泛的应用． (5) 函数思想：用运动和变化的观点，集合与对应的思想，去分析和研究数学问题中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决．运用函数思想要善于抓住事物在运动过程中那些保持不变的规律和性质． (6) 数形结合思想：从几何直观的角度 ， 利用几何图形的性质研究数量关系 ， 寻求代数问题的解决方法 ( 以形助数 ) ， 或利用数量关系来研究几何图形的性质 ， 解决几何问题 ( 以数助形 ) ．数形结合思想使数量关系和几何图形巧妙地结合起来 ， 使问题得以解决． 1 ． ( 2014· 淄博 ) 当 x ＝ 1 时 ， 代数式 1 2 ax 3 － 3bx ＋ 4 的值是 7 ， 则当 x ＝－ 1 时 ， 这个代数式的值是 ( ) A ． 7 B ． 3 C ． 1 D ． － 7 2 ． ( 2014· 绥化 ) 分式方程 2x － 5 x － 2 ＝ 3 2 － x 的解是 ( ) A ． x ＝－ 2 B ． x ＝ 2 C ． x ＝ 1 D ． x ＝ 1 或 x ＝ 2 C C 3 ． ( 2014 · 山西 ) 我们学习了一次函数、二次函数和反比例函数 ， 回顾学习过程 ， 都是按照列表、描点、连线得到函数的图象 ， 然后根据函数的图象研究函数的性质 ， 这种研究方法主要体现的数学思想是 ( ) A ． 演绎 B ．数形结合 C ．抽象 D ．公理化 B 4 ． ( 2014 · 无锡 ) 已知△ ABC 的三条边长分别为 3 ， 4 ， 6 ， 在△ ABC 所在平面内画一条直线 ， 将△ ABC 分割成两个三角形 ， 使其中的一个是等腰三角形 ， 则这样的直线最多可画 ( ) A ． 6 条 B ． 7 条 C ． 8 条 D ． 9 条 B 5 ． ( 2014 · 绵阳 ) 如图 ， ⊙ O 的半径为 1 cm ， 正六边形 ABCDEF 内接于⊙ O ， 则图中阴影部分面积为 ____ cm 2 .( 结果保留 π) 整体思想 【 例 1 】 　 ( 2013 · 吉林 ) 若 a － 2b ＝ 3 ， 则 2a － 4b － 5 ＝ ____ ． 【 点评 】 本题考查了代数式求值．代数式中的字母表示的数没有明确告知 ， 而是隐含在题设中 ， 首先应从题设中获取代数式 ( a － 2 b ) 的值 ， 然后利用 “ 整体代入法 ” 求代数式的值． 1 1 ． ( 2014 · 盐城 ) 已知 x(x ＋ 3) ＝ 1 ， 则代数式 2x 2 ＋ 6x － 5 的值为 ____ ． -3 【 例 2 】 　 ( 2013 · 东营 ) 如图 ， 圆柱形容器中 ， 高为 1.2 m ， 底面周长为 1 m ， 在容器内壁离容器底部 0.3 m 的点 B 处有一蚊子 ， 此时一只壁虎正好在容器外壁 ， 离容器上沿 0.3 m 与蚊子相对的点 A 处 ， 则壁虎捕捉蚊子的最短距离为 ____ m ． ( 容器厚度忽略不计 ) 转化思想 1.3 【 点评 】 本题利用转化思想把立体问题转化为平面问题 ， 从而使问题简单化、直观化．将图形展开 ， 利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力． 2 ． ( 2014 · 枣庄 ) 图 ① 所示的正方体木块棱长为 6 cm ， 沿其相邻三个面的对角线 ( 图中虚线 ) 剪掉一角 ， 得到如图 ② 的几何体 ， 一只蚂蚁沿着图 ② 的几何体表面从顶点 A 爬行到顶点 B 的最短距离为 cm. 分类讨论思想 【 例 3 】 ( 2013· 南平 ) 在矩形 ABCD 中 ， 点 E 在 BC 边 上 ， 过 E 作 EF ⊥ AC 于 F ， G 为线段 AE 的中点 ， 连接 BF ， FG ， GB. 设 AB BC ＝ k. (1) 证明：△ BGF 是等腰三角形； (2) 当 k 为何值时 ， △ BGF 是等边三角形？ (3) 我们知道：在一个三角形中 ， 等边所对的角相等；反过来 ， 等角所对的边也相等．事实上 ， 在一个三角形中 ， 较大的边所对的角也较大；反之也成立．利用上述结论 ， 探究：当△ BGF 分别为锐角、直角、钝角三角形时 ， k 的取值范围． 【 点评 】 本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的运用、等腰三角形的判定定理的运用、外角与内角的关系的运用、分类讨论思想在实际问题中的运用 ， 解答时灵活运用直角三角形的性质及外角与内角的关系是关键． 3 ． ( 2014 · 绥化 ) 在一条笔直的公路旁依次有 A ， B ， C 三个村庄 ， 甲、乙两人同时分别从 A ， B 两村出发 ， 甲骑摩托车 ， 乙骑电动车沿公路匀速驶向 C 村 ， 最终到达 C 村．设甲、乙两人到 C 村的距离 y 1 ， y 2 ( km ) 与行驶时间 x( h ) 之间的函数关系如图所示 ， 请回答下列问题： (1)A ， C 两村间的距离为 km ， a ＝ ； 120 2 (2) 求出图中点 P 的坐标 ， 并解释该点坐标所表示的实际意义； 解： ( 2 ) 设 y 1 ＝ k 1 x ＋ 120 ， 代入 ( 2 ， 0 ) 解得 y 1 ＝－ 60x ＋ 120 ， y 2 ＝ k 2 x ＋ 90 ， 代入 ( 3 ， 0 ) 解得 y 2 ＝－ 30x ＋ 90 ， 由 － 60x ＋ 120 ＝－ 30x ＋ 90 解得 x ＝ 1 ， 则 y 1 ＝ y 2 ＝ 60 ， 所以 P ( 1 ， 60 ) 表示经过 1 小时甲与乙相遇且距 C 村 60 km. (3) 乙在行驶过程中 ， 何时距甲 10 km? 方程思想 【 例 4 】 ( 2014· 淄博 ) 为鼓励居民节约用电 ， 某省试行阶段电 价收费制 ， 具体执行方案如表： 档次 每户每月用电数 ( 度 ) 执行电价 ( 元 / 度 ) 第一档 小于等于 200 0.55 第二档 大于 200 小于 400 0.6 第三档 大于等于 400 0.85 例如：一户居民 7 月份用电 420 度 ， 则需缴电费 420 × 0.85 ＝ 357( 元 ) ． 某户居民 5 ， 6 月份共用电 500 度 ， 缴电费 290.5 元．已知该用户 6 月份用电量大于 5 月份 ， 且 5 ， 6 月份的用电量均小于 400 度．问该户居民 5 ， 6 月份各用电多少度？ 解：当 5 月份用电量为 x 度 ≤ 200 度 ， 6 月份用电 ( 500 － x ) 度 ， 由题意 ， 得 0.55x ＋ 0.6 ( 500 － x ) ＝ 290.5 ， 解得： x ＝ 190 ， ∴ 6 月份用电 500 － x ＝ 310 度．当 5 月份用电量为 x 度＞ 200 度 ， 六月份用电量为 ( 500 － x ) 度 ， 由题意 ， 得 0.6x ＋ 0.6 ( 500 － x ) ＝ 290.5 ， 300 ＝ 290.5 ， 原方程无解． ∴ 5 月份用电量为 190 度 ， 6 月份用电 310 度． 【 点评 】 本题考查了列一元一次方程解实际问题、方程思想的运用、分类讨论思想的运用 ， 另外要注意：总价＝单价 × 数量． 4 ． ( 2013· 娄底 ) 2013 年 3 月 ， 某煤矿发生瓦斯爆炸 ， 该地 救援队立即赶赴现场进行救援 ， 救援队利用生命探测仪在 地面 A ， B 两个探测点探测到 C 处有生命迹象 ． 已知 A ， B 两点相距 4 米 ， 探测线 与地面的夹角分别是 30 ° 和 45° ， 试确定生命所在点 C 的深度 ． ( 精确到 0.1 米 ， 参考数据： 2 ≈ 1.41 ， 3 ≈ 1.73 ) 解：如图 ， 过点 C 作 CD ⊥ AB 于点 D ， 设 CD ＝ x ， 在 Rt △ ACD 中 ， ∠ CAD ＝ 30 ° ， 则 AD ＝ 3 CD ＝ 3 x ， 在 Rt △ BCD 中 ， ∠ CBD ＝ 45 ° ， 则 BD ＝ CD ＝ x ， 由题意得 ， 3 x － x ＝ 4 ， 解 得： x ＝ 4 3 － 1 ＝ 2 ( 3 ＋ 1 ) ≈ 5.5. 答：生命所在点 C 的深度为 5.5 米 ． 　 函数思想 【 例 5 】 ( 2013· 河池 ) 华联超市欲购进 A ， B 两种品牌的书包 共 400 个 ， 已知两种书包的进 价和售价如下表所示 ， 设购进 A 种书包 x 个 ， 且所购进的两种书包能全部卖出 ， 获得的总利 润为 w 元 ． 品牌 进价 ( 元 / 个 ) 售元 ( 元 / 个 ) A 47 65 B 37 50 (1) 求 w 关于 x 的函数关系式； (2) 如果购进两种书包的总费用不超过 18000 元 ， 那么该商场如何进货才能获得利润最大？并求出最大利润． ( 提示利润＝售价－进价 ) 解： ( 1 ) 由题意得： W ＝ ( 65 － 47 ) x ＋ ( 50 － 37 )( 400 － x ) ＝ 2x ＋ 5200. ( 2 ) 由题意得： 47x ＋ 37 ( 400 － x ) ≤ 18000 ， 解得 x ≤ 320. ∵ W ＝ 2x ＋ 5200 ， k ＝ 2 ＞ 0 ， W 随 x 增大而增大 ， ∴ 当 x ＝ 320 时 ， W 最大 ＝ 5840 ， 即 A 种书包购买 320 个 ， B 种书包购买 80 个 ， 才能获得最大利润 ， 最大利润为 5840 元． 【 点评 】 本题考查了由销售问题的数量关系求函数的解析式的运用、列一元一次不等式解实际问题的运用、一次函数的性质的运用 ， 解答时注意函数思想的应用． 5 ． ( 2014 · 沈阳 ) 某种商品每件进价为 20 元 ， 调查表明：在某段时间内若以每件 x 元 (20 ≤ x ≤ 30 ， 且 x 为整数 ) 出售 ， 可卖出 (30 － x) 件．若使利润最大 ， 每件的售价应为 ____ 元． 25 数形结合思想 【 例 6 】 　 ( 2013 · 玉林 ) 如图 ， 在直角坐标系中 ， O 是原点 ， 已知 A(4 ， 3) ， P 是坐标轴上的一点 ， 若以 O ， A ， P 三点组成的三角形为等腰三角形 ， 则满足条件的点 P 共有 ____ 个 ， 写出其中一个点 P 的坐标是 ． ( 5 ， 0 ) 8 【 点评 】 本题考查了等腰三角形的判定、坐标与图形的性质 ， 利用数形结合的思想求解更简便． 6 ． ( 2014 · 孝感 ) 抛物线 y ＝ ax 2 ＋ bx ＋ c 的顶点为 D ( － 1 ， 2) ， 与 x 轴的一个交点 A 在点 ( － 3 ， 0) 和 ( － 2 ， 0) 之间 ， 其部分图象如图所示 ， 则以下结论： ① b 2 － 4ac ＜ 0 ； ② a ＋ b ＋ c ＜ 0 ； ③ c － a ＝ 2 ； ④ 方程 ax 2 ＋ bx ＋ c － 2 ＝ 0 有两个相等的实数根． 其中正确的个数有 ( ) A ． 1 个　　　 B ． 2 个　　　 C ． 3 个　　　 D ． 4 个 C 试题　求出所有满足 | ab | ＋ | a ＋ b | ＝ 1 的整数对 ( a ， b ) ． 错解　 根据绝对值的非负性和 a ， b 均为整数 ， 讨论 | ab | ＝ 0 且 | a ＋ b | ＝ 1 的情况 ， 得到满足条件的整数对 ( a ， b ) 共有 (0 ， 1) ， (0 ， － 1) ， (1 ， 0) ， ( － 1 ， 0) 四对． 剖析　 分类讨论时漏掉了 | ab | ＝ 1 且 | a ＋ b | ＝ 0 的情况 ， 在研究此类问题的解法时 ， 需认真审题 ， 全面考虑 ， 对可能存在的各种情况进行讨论 ， 做到不重、不漏、条理清晰． 正解 ∵ | ab | ＋ | a ＋ b | ＝ 1 ， ∴ 整数 a ， b 满足： ① î ï í ï ì | ab | ＝ 0 ， | a ＋ b | ＝ 1 或 ② î ï í ï ì | ab | ＝ 1 ， | a ＋ b | ＝ 0 ， 解 ① 得 î ï í ï ì a ＝ 0 ， b ＝ 1 ， î ï í ï ì a ＝ 0 ， b ＝－ 1 ， î ï í ï ì a ＝ 1 ， b ＝ 0 ， î ï í ï ì a ＝－ 1 ， b ＝ 0 ， 解 ② 得 î ï í ï ì a ＝ 1 ， b ＝－ 1 ， î ï í ï ì a ＝－ 1 ， b ＝ 1. 故满足条件的整 数对 ( a ， b ) 共有 ( 0 ， 1 ) ， ( 0 ， － 1 ) ， ( 1 ， 0 ) ， ( － 1 ， 0 ) ， ( 1 ， － 1 ) ， ( － 1 ， 1 ) 六对 ．