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- 2021-11-11 发布
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第 20 课时
锐角三角函数及其应用
第四单元 图形的初步认识与三角形
【考情分析】
高频考点 年份、题号、分值 题型 2020年中考预测
锐角三角函数 ★★
解直角三角形 2014、14、3分 填空题 ★★
解直角三角形的应用
2019、20、8分 解答题
★★★★★
2018、19、8分 解答题
2017、17、6分 解答题
2016、21、8分 解答题
2015、13、3分 填空题
基
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考
向
探
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考点一 锐角三角函数
考点聚焦
图20-1
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考
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考点二 特殊角的三角函数值
基
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90
考点三 解直角三角形
c2
图20-2
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考
向
探
究
1.仰角和俯角
如图20-3,在视线与水平线所成的角中,视线在水平线⑪ 的角叫仰
角;视线在水平线⑫ 的角叫俯角. 下方
考点四 解直角三角形的应用
上方
图20-3
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究
图20-4
坡度(或坡比)
坡角
陡
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向
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究
3.方向角
(1)指南或指北方向线与目标方向线所成的小于90°的角叫做方向角.
(2)方向角的识别,关键是看该角由哪个主方向向次方向偏离,偏离多少度,则读作
主方向偏离次方向多少度.如图20-5,由北向东偏30°读作⑯ ,由南向
东偏50°读作⑰ ,西南方向是指⑱ .
北偏东30°
图20-5
南偏东50° 南偏西45°
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考
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探
究
题组一 必会题
对点演练
A
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图20-6
D
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探
究
图20-7
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考
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[答案]C
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究
图20-8
[答案]2
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考
向
探
究
图20-9
6.[2019·德州]如图20-9,一架长为6米的梯子AB斜靠
在一竖直的墙AO上,这时测得∠ABO=70°,如果梯子
的底端B外移到D,那么梯子顶端A下移到C,这时又
测得∠CDO=50°,那么AC的长度约为 米.
(sin70°≈0.94,sin50°≈0.77,cos70°≈0.34,cos50°≈0.64)
[答案] 1.02
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考
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题组二 易错题
【失分点】
构造不了直角三角形;解直角三角形构图时忽视高的多种情况.
图20-10
[答案]B
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究
考向一 解直角三角形
图20-11
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考
向
探
究
【方法点析】(1)运用锐角三角函数解决某些问题时,通常都是在直角三角形中
进行,若没有直角三角形,常通过添加垂线段(改斜为直)、平行线等方法构建直
角三角形.
(2)若所给条件与所求结论之间不具备直接的关系,往往需要通过“中间角”或“中
间线段”进行“搭桥”与“转化”,因此“搭桥”“转化”与“构造”是解决直角三角形问
题的法宝与关键.
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| 考向精练 |
图20-12
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考向二 解直角三角形的实际应用
例2[2019·江西20题]图20-13①是一台实物投影仪,图②是它的示意图,折线B—
A—O表示固定支架,AO垂直水平桌面OE于点O,点B为旋转点,BC可转动,当BC绕
点B顺时针旋转时,投影探头CD始终垂直于水平桌面OE,经测量:AO=6.8 cm,CD
=8 cm,AB=30 cm,BC=35 cm.(结果精确到0.1 cm)
(1)如图②,∠ABC=70°,BC∥OE.
①填空:∠BAO= °;
②求投影探头的端点D到桌面OE的距离.
图20-13
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识
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考
向
探
究
(2)如图③,将(1)中的BC向下旋转,当投影探头的端点D到桌面OE的距离为6 cm
时,求∠ABC的大小.
(参考数据:sin70°≈0.94,cos20°≈0.94,sin36.8°≈0.60,cos53.2°≈0.60)
图20-13
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考
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例2[2019·江西20题]图20-13①是一台实物投影仪,图②是它的示意图,折线B—
A—O表示固定支架,AO垂直水平桌面OE于点O,点B为旋转点,BC可转动,当BC绕
点B顺时针旋转时,投影探头CD始终垂直于水平桌面OE,经测量:AO=6.8 cm,CD
=8 cm,AB=30 cm,BC=35 cm.(结果精确到0.1 cm)
(2)如图③,将(1)中的BC向下旋转,当投影探头的端点D到桌面OE的距离为6 cm
时,求∠ABC的大小.(参考数据:sin70°≈0.94,cos20°≈0.94,sin36.8°≈0.60,
cos53.2°≈0.60)
图20-13
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究
【方法点析】求解此类问题,一般是先构造直角三角形,利用三角函数或相似三
角形来解决问题.常见的基本图形有如下几种:
①不同地点看同一点(如图20-14);
②同一地点看不同点(如图20-15);
③利用反射构造相似(如图20-16);
④堤坝问题(如图20-17). 图20-14 图20-15
图20-16 图20-17
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考
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探
究
| 考向精练 |
图20-18
角度1 直角三角形模型
1.[2017·江西17题]研究发现,科学使用电脑时,望向荧光屏幕画面的“视线角”α约
为20°,而当手指接触键盘时,肘部形成的“手肘角”β约为100°.如图20-18是其侧面
简化示意图,其中视线AB水平,且与屏幕BC垂直.
(1)若屏幕上下宽BC=20 cm,科学使用电脑时,
求眼睛与屏幕的最短距离AB的长.
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向
探
究
(2)若肩膀到水平地面的距离DG=100 cm,上臂DE=30 cm,下臂EF水平放置在键
盘上,其到地面的距离FH=72 cm.请判断此时β是否符合科学要求的100°.
图20-18
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探
究
1.[2017·江西17题]研究发现,科学使用电脑时,望向荧光屏幕画面的“视线角”α约
为20°,而当手指接触键盘时,肘部形成的“手肘角”β约为100°.如图20-18是其侧面
简化示意图,其中视线AB水平,且与屏幕BC垂直.
(2)若肩膀到水平地面的距离DG=100 cm,上臂DE=30 cm,下臂EF水平放置在键
盘上,其到地面的距离FH=72 cm.请判断此时β是否符合科学要求的100°.
图20-18
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2.[2018·江西19题]图20-19①是一种折叠门,由上下轨道和两扇长宽相等的活页
门组成,整个活页门的右轴固定在门框上,通过推动左侧活页门开关.图②是其俯
视简化示意图,已知轨道AB=120 cm,两扇活页门的宽OC=OB=60 cm,点B固定,当
点C在AB上左右运动时,OC与OB的长度不变.(所有结果保留小数点后一位)
(1)若∠OBC=50°,求AC的长;
(2)当点C从点A向右运动60 cm时,
求点O在此过程中运动的路径长.
参考数据:sin50°≈0.77,cos50°≈0.64,
tan50°≈1.19,π取3.14.
图20-19
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2.[2018·江西19题]图20-19①是一种折叠门,由上下轨道和两扇长宽相等的活页
门组成,整个活页门的右轴固定在门框上,通过推动左侧活页门开关.图②是其俯
视简化示意图,已知轨道AB=120 cm,两扇活页门的宽OC=OB=60 cm,点B固定,当
点C在AB上左右运动时,OC与OB的长度不变.(所有结果保留小数点后一位)
(2)当点C从点A向右运动60 cm时,
求点O在此过程中运动的路径长.
参考数据:sin50°≈0.77,cos50°≈0.64,
tan50°≈1.19,π取3.14.
图20-19
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角度2 圆模型
3.[2013·江西21题]一辆汽车的背面有一种特殊形状的刮雨器,忽略刮雨器的宽
度可抽象为一条折线OAB,如图20-20①所示,量得连杆OA长为10 cm,雨刮杆AB
长为48 cm,∠OAB=120°.若启动一次刮雨器,雨刮杆AB正好扫到水平线CD的位
置,如图20-20②所示.
(1)求雨刮杆AB旋转的最大角度及O,B两点之间
的距离;(结果精确到0.01)
(2)求雨刮杆AB扫过的最大面积.(结果保留π的整数倍) 图20-20
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3.[2013·江西21题]一辆汽车的背面有一种特殊形状的刮雨器,忽略刮雨器的宽
度可抽象为一条折线OAB,如图20-20①所示,量得连杆OA长为10 cm,雨刮杆AB
长为48 cm,∠OAB=120°.若启动一次刮雨器,雨刮杆AB正好扫到水平线CD的位
置,如图20-20②所示.
(2)求雨刮杆AB扫过的最大面积.(结果保留π的整数倍)
图20-20
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角度3 特殊四边形模型
4.[2014·江西21题]中国结挂件是由四个相同的菱形在顶点处依次串接而成,每
相邻两个菱形均成30°的夹角,示意图如图20-21所示,每个菱形的边长为10 cm,
锐角为60°.
(1)连接CD,EB,猜想它们的位置关系并加以证明;
(2)求A,B两点之间的距离.(结果取整数,可以使用计算器)
图20-21
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4.[2014·江西21题]中国结挂件是由四个相同的菱形在顶点处依次串接而成,每
相邻两个菱形均成30°的夹角,示意图如图20-21所示,每个菱形的边长为10 cm,
锐角为60°.
(2)求A,B两点之间的距离.(结果取整数,可以使用计算器)
图20-21
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