2020年贵州省遵义市中考数学试卷【含答案及详细解释】 18页

1 / 18 2020 年贵州省遵义市中考数学试卷 一、选择题（本题共 12 小题，每小题 4 分，共 48 分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的，请用 2B 铅笔把答题卡上对应题目答案标号涂黑、涂满） 1. −3的绝对值是（ ） A.3 B.−3 C.1 3 D.±3 2. 在文化旅游大融合的背景下，享受文化成为旅游业的新趋势．今年“五一”假期， 我市为游客和市民提供了丰富多彩的文化享受，各艺术表演馆、美术馆、公共图书馆、 群众文化机构、非遗机构及文物机构累计接待游客18.25万人次，将18.25万用科学记 数法表示为（ ） A.1.825 × 105 B.1.825 × 106 C.1.825 × 107 D.1.825 × 108 3. 一副直角三角板如图放置，使两三角板的斜边互相平行，每块三角板的直角顶点 都在另一三角板的斜边上，则∠1的度数为（ ） A.30∘ B.45∘ C.55∘ D.60∘ 4. 下列计算正确的是（ ） A.푥2 + 푥＝푥3 B.(−3푥)2＝6푥2 C.8푥4 ÷ 2푥2＝4푥2 D.(푥 − 2푦)(푥 + 2푦)＝푥2 − 2푦2 5. 某校7名学生在某次测量体温（单位：∘퐶）时得到如下数据：36.3，36.4，36.5， 36.7，36.6，36.5，36.5，对这组数据描述正确的是（ ） A.众数是36.5 B.中位数是36.7 C.平均数是36.6 D.方差是0.4 6. 已知푥1，푥2是方程푥2 − 3푥 − 2＝0的两根，则푥1 2 + 푥2 2的值为（ ） A.5 B.10 C.11 D.13 7. 如图，把一块长为40푐푚，宽为30푐푚的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形， 然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒．若该无盖纸 盒的底面积为600푐푚2，设剪去小正方形的边长为푥푐푚，则可列方程为（ ） A.(30 − 2푥)(40 − 푥)＝600 B.(30 − 푥)(40 − 푥)＝600 C.(30 − 푥)(40 − 2푥)＝600 D.(30 − 2푥)(40 − 2푥)＝600 8. 新龟兔赛跑的故事：龟兔从同一地点同时出发后，兔子很快把乌龟远远甩在后 头．骄傲自满的兔子觉得自己遥遥领先，就躺在路边呼呼大睡起来．当它一觉醒来， 发现乌龟已经超过它，于是奋力直追，最后同时到达终点．用푆1、푆2分别表示乌龟和 兔子赛跑的路程，푡为赛跑时间，则下列图象中与故事情节相吻合的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在菱形퐴퐵퐶퐷中，퐴퐵＝5，퐴퐶＝6，过点퐷作퐷퐸 ⊥ 퐵퐴，交퐵퐴的延长线于点 퐸，则线段퐷퐸的长为（ ） A.12 5 B.18 5 C.4 D.24 5 2 / 18 10. 构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算tan15∘时， 如图．在푅푡 △ 퐴퐶퐵中，∠퐶＝90∘，∠퐴퐵퐶＝30∘，延长퐶퐵使퐵퐷＝퐴퐵，连接퐴퐷，得∠퐷 ＝15∘，所以tan15∘ = 퐴퐶 퐶퐷 = 1 2+√3 = 2−√3 (2+√3)(2−√3) = 2 − √3．类比这种方法，计算 tan22.5∘的值为（ ） A.√2 + 1 B.√2 − 1 C.√2 D.1 2 11. 如图，△ 퐴퐵푂的顶点퐴在函数푦 = 푘 푥 (푥 > 0)的图象上，∠퐴퐵푂＝90∘，过퐴푂边的三 等分点푀、푁分别作푥轴的平行线交퐴퐵于点푃、푄．若四边形푀푁푄푃的面积为3，则푘的 值为（ ） A.9 B.12 C.15 D.18 12. 抛物线푦＝푎푥2 + 푏푥 + 푐的对称轴是直线푥＝−2．抛物线与푥轴的一个交点在点 (−4,  0)和点(−3,  0)之间，其部分图象如图所示，下列结论中正确的个数有（ ） ①4푎 − 푏＝0；②푐 ≤ 3푎；③关于푥的方程푎푥2 + 푏푥 + 푐＝2有两个不相等实数根； ④푏2 + 2푏 > 4푎푐． A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二、填空题（本小题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分，答题请用黑色墨水笔或黑色 签字笔直接答在答题卡的相应位置上） 13. 计算：√12 − √3的结果是________． 14. 如图，直线푦＝푘푥 + 푏(푘、푏是常数푘 ≠ 0)与直线푦＝2交于点퐴(4,  2)，则关于푥的 不等式푘푥 + 푏 < 2的解集为________． 15. 如图，对折矩形纸片퐴퐵퐶퐷使퐴퐷与퐵퐶重合，得到折痕푀푁，再把纸片展平．퐸是 퐴퐷上一点，将△ 퐴퐵퐸沿퐵퐸折叠，使点퐴的对应点퐴′落在푀푁上．若퐶퐷＝5，则퐵퐸的长 是________． 16. 如图，⊙ 푂是△ 퐴퐵퐶的外接圆，∠퐵퐴퐶＝45∘，퐴퐷 ⊥ 퐵퐶于点퐷，延长퐴퐷交⊙ 푂于 点퐸，若퐵퐷＝4，퐶퐷＝1，则퐷퐸的长是________． 3 / 18 三、解答题（本题共有 8 小题，共 86 分.答题请用黑色量水笔或黑色签字笔书写在答 题卡的相应位置上解答时应写出必要的文字说明、证明过程成演算步骤） 17. 计算： （1）sin30∘ − (휋 − 3.14)0 + (− 1 2)−2； （2）解方程； 1 푥−2 = 3 2푥−3 ． 18. 化简式子푥2−2푥 푥2 ÷ (푥 − 4푥−4 푥 )，从0、1、2中取一个合适的数作为푥的值代入求值． 19. 某校为检测师生体温，在校门安装了某型号测温门．如图为该测温门截面示意 图，已知测温门퐴퐷的顶部퐴处距地面高为2.2푚，为了解自己的有效测温区间．身高 1.6푚的小聪做了如下实验：当他在地面푁处时测温门开始显示额头温度，此时在额头 퐵处测得퐴的仰角为18∘；在地面푀处时，测温门停止显示额头温度，此时在额头퐶处测 得퐴的仰角为60∘．求小聪在地面的有效测温区间푀푁的长度．（额头到地面的距离以身 高计，计算精确到0.1푚，sin18∘ ≈ 0.31，cos18∘ ≈ 0.95，tan18∘ ≈ 0.32） 4 / 18 20. 如图，퐴퐵是⊙ 푂的直径，点퐶是⊙ 푂上一点，∠퐶퐴퐵的平分线퐴퐷交퐵퐶̂ 于点퐷，过 点퐷作퐷퐸 // 퐵퐶交퐴퐶的延长线于点퐸． （1）求证：퐷퐸是⊙ 푂的切线； （2）过点퐷作퐷퐹 ⊥ 퐴퐵于点퐹，连接퐵퐷．若푂퐹＝1，퐵퐹＝2，求퐵퐷的长度． 21. 遵义市各校都在深入开展劳动教育，某校为了解七年级学生一学期参加课外劳动 时间（单位：ℎ）的情况，从该校七年级随机抽查了部分学生进行问卷调查，并将调 查结果绘制成如下不完整的频数分布表和频数分布直方图． 课外劳动时间频数分布表 劳动时间分组 频数 频率 0 ≤ 푡 < 20 2 0.1 20 ≤ 푡 < 40 4 푚 40 ≤ 푡 < 60 6 0.3 60 ≤ 푡 < 80 푎 0.25 80 ≤ 푡 < 100 3 0.15 解答下列问题： （1）频数分布表中푎＝________，푚＝________；将频数分布直方图补充完整； （2）若七年级共有学生400人，试估计该校七年级学生一学期课外劳动时间不少于 60ℎ的人数； （3）已知课外劳动时间在60ℎ ≤ 푡 < 80ℎ的男生人数为2人，其余为女生，现从该组 中任选2人代表学校参加“全市中学生劳动体验”演讲比赛，请用树状图或列表法求 所选学生为1男1女的概率． 5 / 18 22. 为倡导健康环保，自带水杯已成为一种好习惯，某超市销售甲，乙两种型号水杯， 进价和售价均保持不变，其中甲种型号水杯进价为25元/个，乙种型号水杯进价为45 元/个，下表是前两月两种型号水杯的销售情况： 时间 销售数量（个） 销售收入（元）（销售收入＝售价×销售数量） 甲种型号 乙种型号 第一月 22 8 1100 第二月 38 24 2460 （1）求甲、乙两种型号水杯的售价； （2）第三月超市计划再购进甲、乙两种型号水杯共80个，这批水杯进货的预算成本 不超过2600元，且甲种型号水杯最多购进55个，在80个水杯全部售完的情况下设购 进甲种号水杯푎个，利润为푤元，写出푤与푎的函数关系式，并求出第三月的最大利润． 23. 如图，在边长为4的正方形퐴퐵퐶퐷中，点퐸为对角线퐴퐶上一动点（点퐸与点퐴、퐶不 重合），连接퐷퐸，作퐸퐹 ⊥ 퐷퐸交射线퐵퐴于点퐹，过点퐸作푀푁 // 퐵퐶分别交퐶퐷、퐴퐵于点 푀、푁，作射线퐷퐹交射线퐶퐴于点퐺． （1）求证：퐸퐹＝퐷퐸； （2）当퐴퐹＝2时，求퐺퐸的长． 6 / 18 24. 如图，抛物线푦＝푎푥2 + 9 4 푥 + 푐经过点퐴(−1,  0)和点퐶(0,  3)与푥轴的另一交点为点 퐵，点푀是直线퐵퐶上一动点，过点푀作푀푃 // 푦轴，交抛物线于点푃． （1）求该抛物线的解析式； （2）在抛物线上是否存在一点푄，使得△ 푄퐶푂是等边三角形？若存在，求出点푄的坐 标；若不存在，请说明理由； （3）以푀为圆心，푀푃为半径作⊙ 푀，当⊙ 푀与坐标轴相切时，求出⊙ 푀的半径． 7 / 18 参考答案与试题解析 2020 年贵州省遵义市中考数学试卷 一、选择题（本题共 12 小题，每小题 4 分，共 48 分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的，请用 2B 铅笔把答题卡上对应题目答案标号涂黑、涂满） 1.【答案】 A 【解答】 −3的绝对值是3， 2.【答案】 A 【解答】 18.25万＝182500，用科学记数法表示为：1.825 × 105． 3.【答案】 B 【解答】 ∵ 퐴퐵 // 퐶퐷， ∴ ∠1＝∠퐷＝45∘， 4.【答案】 C 【解答】 (−3푥)2＝9푥2，故选项퐵错误（1）8푥4 ÷ 2푥2＝4푥2，故选项퐶正确(2)(푥 − 2푦)(푥 + 2푦) ＝푥2 − 4푦2，故选项퐷错误（3）故选：퐶． 5.【答案】 A 【解答】 7个数中36.5出现了三次，次数最多，即众数为36.5，故퐴选项正确，符合题意； 将7个数按从小到大的顺序排列为：36.3，36.4，36.5，36.5，36.5，36.6，36.7，第4 个数为36.5，即中位数为36.5，故퐵选项错误，不符合题意； 푥¯ = 1 7 × (36.3 + 36.4 + 36.5 + 36.5 + 36.5 + 36.6 + 36.7)＝36.5，故퐶选项错误，不符 合题意； 푆2 = 1 7 [(36.3 − 36.5)2 + (36.4 − 36.5)2 + 3 × (36.5 − 36.5)2 + (36.6 − 36.5)2 + (36.7 − 36.5)2] = 1 70 ，故퐷选项错误，不符合题意； 6.【答案】 D 【解答】 根据题意得푥1 + 푥2＝3，푥1푥2＝−2， 所以푥1 2 + 푥2 2＝(푥1 + 푥2)2 − 2푥1푥2＝32 − 2 × (−2)＝13． 7.【答案】 D 【解答】 设剪去小正方形的边长是푥푐푚，则纸盒底面的长为(40 − 2푥)푐푚，宽为(30 − 2푥)푐푚， 根据题意得：(40 − 2푥)(30 − 2푥)＝32． 8.【答案】 C 【解答】 퐴．此函数图象中，푆2先达到最大值，即兔子先到终点，不符合题意； 퐵．此函数图象中，푆2第2段随时间增加其路程一直保持不变，与“当它一觉醒来，发 现乌龟已经超过它，于是奋力直追”不符，不符合题意； 퐶．此函数图象中，푆1、푆2同时到达终点，符合题意； 퐷．此函数图象中，푆1先达到最大值，即乌龟先到终点，不符合题意． 9.【答案】 8 / 18 D 【解答】 如图． ∵ 四边形퐴퐵퐶퐷是菱形，퐴퐶＝6， ∴ 퐴퐶 ⊥ 퐵퐷，푂퐴 = 1 2 퐴퐶＝3，퐵퐷＝2푂퐵， ∵ 퐴퐵＝5， ∴ 푂퐵 = √퐴퐵2 − 푂퐴2 = 4， ∴ 퐵퐷＝2푂퐵＝8， ∵ 푆菱形퐴퐵퐶퐷＝퐴퐵 ⋅ 퐷퐸 = 1 2 퐴퐶 ⋅ 퐵퐷， ∴ 퐷퐸 = 1 2퐴퐶⋅퐵퐷 퐴퐵 = 1 2×6×8 5 = 24 5 ． 10.【答案】 B 【解答】 在푅푡 △ 퐴퐶퐵中，∠퐶＝90∘，∠퐴퐵퐶＝45∘，延长퐶퐵使퐵퐷＝퐴퐵，连接퐴퐷，得∠퐷＝22.5∘， 设퐴퐶＝퐵퐶＝1，则퐴퐵＝퐵퐷 = √2， ∴ tan22.5∘ = 퐴퐶 퐶퐷 = 1 1+√2 = √2 − 1， 11.【答案】 D 【解答】 ∵ 푁푄 // 푀푃 // 푂퐵， ∴ △ 퐴푁푄 ∽△ 퐴푀푃 ∽△ 퐴푂퐵， ∵ 푀、푁是푂퐴的三等分点， ∴ 퐴푁 퐴푀 = 1 2 ，퐴푁 퐴푂 = 1 3 ， ∴ 푆△퐴푁푄 푆△퐴푀푃 = 1 4 ， ∵ 四边形푀푁푄푃的面积为3， ∴ 푆△퐴푁푄 3+푆△퐴푁푄 = 1 4 ， ∴ 푆△퐴푁푄＝1， ∵ 1 푆△퐴푂퐵 = (퐴푁 퐴푂)2 = 1 9 ， ∴ 푆△퐴푂퐵＝9， ∴ 푘＝2푆△퐴푂퐵＝18， 12.【答案】 C 【解答】 ∵ 抛物线的对称轴为直线푥 = − 푏 2푎 = −2， ∴ 4푎 − 푏＝0，所以①正确； ∵ 与푥轴的一个交点在(−3,  0)和(−4,  0)之间， ∴ 由抛物线的对称性知，另一个交点在(−1,  0)和(0,  0)之间， ∴ 푥＝−1时푦 > 0，且푏＝4푎， 即푎 − 푏 + 푐＝푎 − 4푎 + 푐＝−3푎 + 푐 > 0， ∴ 푐 > 3푎，所以②错误； ∵ 抛物线与푥轴有两个交点，且顶点为(−2,  3)， ∴ 抛物线与直线푦＝2有两个交点， ∴ 关于푥的方程푎푥2 + 푏푥 + 푐＝2有两个不相等实数根，所以③正确； ∵ 抛物线的顶点坐标为(−2,  3)， ∴ 4푎푐−푏2 4푎 = 3， 9 / 18 ∴ 푏2 + 12푎＝4푎푐， ∵ 4푎 − 푏＝0， ∴ 푏＝4푎， ∴ 푏2 + 3푏＝4푎푐， ∵ 푎 < 0， ∴ 푏＝4푎 < 0， ∴ 푏2 + 2푏 > 4푎푐，所以④正确； 二、填空题（本小题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分，答题请用黑色墨水笔或黑色 签字笔直接答在答题卡的相应位置上） 13.【答案】 √3 【解答】 √12 − √3 = 2√3 − √3 = √3． 14.【答案】 푥 < 4 【解答】 ∵ 直线푦＝푘푥 + 푏与直线푦＝2交于点퐴(4,  2)， ∴ 푥 < 4时，푦 < 2， ∴ 关于푥的不等式푘푥 + 푏 < 2的解集为푥 < 4． 15.【答案】 10√3 3 【解答】 ∵ 将矩形纸片퐴퐵퐶퐷对折一次，使边퐴퐷与퐵퐶重合，得到折痕푀푁， ∴ 퐴퐵＝2퐵푀，∠퐴′푀퐵＝90∘，푀푁 // 퐵퐶． ∵ 将△ 퐴퐵퐸沿퐵퐸折叠，使点퐴的对应点퐴′落在푀푁上． ∴ 퐴′퐵＝퐴퐵＝2퐵푀． 在푅푡 △ 퐴′푀퐵中，∵ ∠퐴′푀퐵＝90∘， ∴ sin∠푀퐴′퐵 = 퐵푀 퐵퐴′ = 1 2 ， ∴ ∠푀퐴′퐵＝30∘， ∵ 푀푁 // 퐵퐶， ∴ ∠퐶퐵퐴′＝∠푀퐴′퐵＝30∘， ∵ ∠퐴퐵퐶＝90∘， ∴ ∠퐴퐵퐴′＝60∘， ∴ ∠퐴퐵퐸＝∠퐸퐵퐴′＝30∘， ∴ 퐵퐸 = 퐴퐵 cos30 5 √3 2 = 10√3 3 ． 16.【答案】 √41 − 5 2 【解答】 连结푂퐵，푂퐶，푂퐴，过푂点作푂퐹 ⊥ 퐵퐶于퐹，作푂퐺 ⊥ 퐴퐸于퐺， ∵ ⊙ 푂是△ 퐴퐵퐶的外接圆，∠퐵퐴퐶＝45∘， ∴ ∠퐵푂퐶＝90∘， ∵ 퐵퐷＝4，퐶퐷＝1， ∴ 퐵퐶＝4 + 1＝5， ∴ 푂퐵＝푂퐶 = 5√2 2 ， ∴ 푂퐴 = 5√2 2 ，푂퐹＝퐵퐹 = 5 2 ， ∴ 퐷퐹＝퐵퐷 − 퐵퐹 = 3 2 ， ∴ 푂퐺 = 3 2 ，퐺퐷 = 5 2 ， 在푅푡 △ 퐴퐺푂中，퐴퐺 = √푂퐴2 − 푂퐺2 = √41 2 ， ∴ 퐴퐷＝퐴퐺 + 퐺퐷 = √41+5 2 ， 10 / 18 ∴ 퐴퐷 × 퐷퐸＝퐵퐷 × 퐶퐷， 퐷퐸 = 4×1 √41+5 2 = √41−5 2 ． 三、解答题（本题共有 8 小题，共 86 分.答题请用黑色量水笔或黑色签字笔书写在答 题卡的相应位置上解答时应写出必要的文字说明、证明过程成演算步骤） 17.【答案】 原式= 1 2 − 1 + 4 ＝3 1 2 ； 去分母得：2푥 − 3＝3푥 − 6， 解得：푥＝3， 经检验푥＝3是分式方程的解． 【解答】 原式= 1 2 − 1 + 4 ＝3 1 2 ； 去分母得：2푥 − 3＝3푥 − 6， 解得：푥＝3， 经检验푥＝3是分式方程的解． 18.【答案】 原式= 푥(푥−2) 푥2 ÷ 푥2−4푥+4 푥 = 푥(푥 − 2) 푥2 ⋅ 푥 (푥 − 2)2 = 1 푥−2 ， ∵ 푥 ≠ 0，2， ∴ 当푥＝1时，原式＝−1． 【解答】 原式= 푥(푥−2) 푥2 ÷ 푥2−4푥+4 푥 = 푥(푥 − 2) 푥2 ⋅ 푥 (푥 − 2)2 = 1 푥−2 ， ∵ 푥 ≠ 0，2， ∴ 当푥＝1时，原式＝−1． 19.【答案】 小聪在地面的有效测温区间푀푁的长度约为1.5푚． 【解答】 延长퐵퐶交퐴퐷于点퐸，则퐴퐸＝퐴퐷 − 퐷퐸＝0.6푚． 퐵퐸 = 퐴퐸 tan18 ≈ 1.875푚，퐶퐸 = 퐴퐸 tan60 ≈ 0.374푚． 所以퐵퐶＝퐵퐸 − 퐶퐸＝1.528푚． 所以푀푁＝퐵퐶 ≈ 1.5푚． 20.【答案】 连接푂퐷，如图： ∵ 푂퐴＝푂퐷， 11 / 18 ∴ ∠푂퐴퐷＝∠퐴퐷푂， ∵ 퐴퐷平分∠퐶퐴퐵， ∴ ∠퐷퐴퐸＝∠푂퐴퐷， ∴ ∠퐴퐷푂＝∠퐷퐴퐸， ∴ 푂퐷 // 퐴퐸， ∵ 퐷퐸 // 퐵퐶， ∴ ∠퐸＝90∘， ∴ ∠푂퐷퐸＝180∘ − ∠퐸＝90∘， ∴ 퐷퐸是⊙ 푂的切线； ∵ 퐴퐵是⊙ 푂的直径， ∴ ∠퐴퐷퐵＝90∘， ∵ 푂퐹＝1，퐵퐹＝2， ∴ 푂퐵＝3， ∴ 퐴퐹＝4，퐵퐴＝6． ∵ 퐷퐹 ⊥ 퐴퐵， ∴ ∠퐷퐹퐵＝90∘， ∴ ∠퐴퐷퐵＝∠퐷퐹퐵， 又∵ ∠퐷퐵퐹＝∠퐴퐵퐷， ∴ △ 퐷퐵퐹 ∽△ 퐴퐵퐷， ∴ 퐵퐷 퐵퐴 = 퐵퐹 퐵퐷 ， ∴ 퐵퐷2＝퐵퐹 ⋅ 퐵퐴＝2 × 6＝12． ∴ 퐵퐷＝2√3． 【解答】 连接푂퐷，如图： ∵ 푂퐴＝푂퐷， ∴ ∠푂퐴퐷＝∠퐴퐷푂， ∵ 퐴퐷平分∠퐶퐴퐵， ∴ ∠퐷퐴퐸＝∠푂퐴퐷， ∴ ∠퐴퐷푂＝∠퐷퐴퐸， ∴ 푂퐷 // 퐴퐸， ∵ 퐷퐸 // 퐵퐶， ∴ ∠퐸＝90∘， ∴ ∠푂퐷퐸＝180∘ − ∠퐸＝90∘， ∴ 퐷퐸是⊙ 푂的切线； ∵ 퐴퐵是⊙ 푂的直径， ∴ ∠퐴퐷퐵＝90∘， ∵ 푂퐹＝1，퐵퐹＝2， ∴ 푂퐵＝3， ∴ 퐴퐹＝4，퐵퐴＝6． ∵ 퐷퐹 ⊥ 퐴퐵， ∴ ∠퐷퐹퐵＝90∘， ∴ ∠퐴퐷퐵＝∠퐷퐹퐵， 又∵ ∠퐷퐵퐹＝∠퐴퐵퐷， ∴ △ 퐷퐵퐹 ∽△ 퐴퐵퐷， ∴ 퐵퐷 퐵퐴 = 퐵퐹 퐵퐷 ， 12 / 18 ∴ 퐵퐷2＝퐵퐹 ⋅ 퐵퐴＝2 × 6＝12． ∴ 퐵퐷＝2√3． 21.【答案】 5,0.2 400 × (0.25 + 0.15)＝160（人）； 根据题意画出树状图， 由树状图可知： 共有20种等可能的情况， 1男1女有12种， 故所选学生为1男1女的概率为： 푃 = 12 20 = 3 5 ． 【解答】 푎＝(2 ÷ 0.1) × 0.25＝5， 푚＝4 ÷ 20＝0.2， 补全的直方图如图所示： 故答案为：5，0.2； 400 × (0.25 + 0.15)＝160（人）； 根据题意画出树状图， 由树状图可知： 共有20种等可能的情况， 1男1女有12种， 故所选学生为1男1女的概率为： 푃 = 12 20 = 3 5 ． 22.【答案】 甲、乙两种型号水杯的销售单价分别为30元、55元； 第三月的最大利润为550元 【解答】 设甲、乙两种型号水杯的销售单价分别为푥元、푦元， { 22푥 + 8푦 = 1100 30푥 + 24푦 = 2460 ，解得，{푥 = 30 푦 = 55 ， 答：甲、乙两种型号水杯的销售单价分别为30元、55元； 由题意可得， {25푎 + 45(80 − 푎) ≤ 2600 푎 ≤ 55 ， 解得：50 ≤ 푎 ≤ 55， 푤＝(30 − 25)푎 + (55 − 45)(80 − 푎)＝−5푎 + 800， 故当푎＝50时，푊有最大值，最大为550， 答：第三月的最大利润为550元． 13 / 18 23.【答案】 证明：∵ 四边形퐴퐵퐶퐷是正方形，퐴퐶是对角线， ∴ ∠퐸퐶푀＝45∘， ∵ 푀푁 // 퐵퐶，∠퐵퐶푀＝90∘， ∴ ∠푁푀퐶 + ∠퐵퐶푀＝180∘，∠푀푁퐵 + ∠퐵＝180∘， ∴ ∠푁푀퐶＝90∘，∠푀푁퐵＝90∘， ∴ ∠푀퐸퐶＝∠푀퐶퐸＝45∘，∠퐷푀퐸＝∠퐸푁퐹＝90∘， ∴ 푀퐶＝푀퐸， ∵ 퐶퐷＝푀푁， ∴ 퐷푀＝퐸푁， ∵ 퐷퐸 ⊥ 퐸퐹，∠퐸퐷푀 + ∠퐷퐸푀＝90∘， ∴ ∠퐷퐸퐹＝90∘， ∴ ∠퐷퐸푀 + ∠퐹퐸푁＝90∘， ∴ ∠퐸퐷푀＝∠퐹퐸푁， 在△ 퐷푀퐸和△ 퐸푁퐹中， { ∠퐸퐷푀 = ∠퐹퐸푁 퐷푀 = 퐸푁 ∠퐷푀퐸 = ∠퐸푁퐹 ， ∴ △ 퐷푀퐸 ≅△ 퐸푁퐹(퐴푆퐴)， ∴ 퐸퐹＝퐷퐸； 由（1）知，△ 퐷푀퐸 ≅△ 퐸푁퐹， ∴ 푀퐸＝푁퐹， ∵ 四边形푀푁퐵퐶是矩形， ∴ 푀퐶＝퐵푁， 又∵ 푀퐸＝푀퐶，퐴퐵＝4，퐴퐹＝2， ∴ 퐵푁＝푀퐶＝푁퐹＝1， ∵ ∠퐸푀퐶＝90∘， ∴ 퐶퐸 = √2， ∵ 퐴퐹 // 퐶퐷， ∴ △ 퐷퐺퐶 ∽△ 퐹퐺퐴， ∴ 퐶퐷 퐴퐹 = 퐶퐺 퐴퐺 ， ∴ 4 2 = 퐶퐺 퐴퐺 ， ∵ 퐴퐵＝퐵퐶＝4，∠퐵＝90∘， ∴ 퐴퐶＝4√2， ∵ 퐴퐶＝퐴퐺 + 퐺퐶， ∴ 퐴퐺 = 4√2 3 ，퐶퐺 = 8√2 3 ， ∴ 퐺퐸＝퐺퐶 − 퐶퐸 = 8√2 3 − √2 = 5√2 3 ． 【解答】 证明：∵ 四边形퐴퐵퐶퐷是正方形，퐴퐶是对角线， ∴ ∠퐸퐶푀＝45∘， ∵ 푀푁 // 퐵퐶，∠퐵퐶푀＝90∘， ∴ ∠푁푀퐶 + ∠퐵퐶푀＝180∘，∠푀푁퐵 + ∠퐵＝180∘， ∴ ∠푁푀퐶＝90∘，∠푀푁퐵＝90∘， ∴ ∠푀퐸퐶＝∠푀퐶퐸＝45∘，∠퐷푀퐸＝∠퐸푁퐹＝90∘， ∴ 푀퐶＝푀퐸， ∵ 퐶퐷＝푀푁， ∴ 퐷푀＝퐸푁， 14 / 18 ∵ 퐷퐸 ⊥ 퐸퐹，∠퐸퐷푀 + ∠퐷퐸푀＝90∘， ∴ ∠퐷퐸퐹＝90∘， ∴ ∠퐷퐸푀 + ∠퐹퐸푁＝90∘， ∴ ∠퐸퐷푀＝∠퐹퐸푁， 在△ 퐷푀퐸和△ 퐸푁퐹中， { ∠퐸퐷푀 = ∠퐹퐸푁 퐷푀 = 퐸푁 ∠퐷푀퐸 = ∠퐸푁퐹 ， ∴ △ 퐷푀퐸 ≅△ 퐸푁퐹(퐴푆퐴)， ∴ 퐸퐹＝퐷퐸； 由（1）知，△ 퐷푀퐸 ≅△ 퐸푁퐹， ∴ 푀퐸＝푁퐹， ∵ 四边形푀푁퐵퐶是矩形， ∴ 푀퐶＝퐵푁， 又∵ 푀퐸＝푀퐶，퐴퐵＝4，퐴퐹＝2， ∴ 퐵푁＝푀퐶＝푁퐹＝1， ∵ ∠퐸푀퐶＝90∘， ∴ 퐶퐸 = √2， ∵ 퐴퐹 // 퐶퐷， ∴ △ 퐷퐺퐶 ∽△ 퐹퐺퐴， ∴ 퐶퐷 퐴퐹 = 퐶퐺 퐴퐺 ， ∴ 4 2 = 퐶퐺 퐴퐺 ， ∵ 퐴퐵＝퐵퐶＝4，∠퐵＝90∘， ∴ 퐴퐶＝4√2， ∵ 퐴퐶＝퐴퐺 + 퐺퐶， ∴ 퐴퐺 = 4√2 3 ，퐶퐺 = 8√2 3 ， ∴ 퐺퐸＝퐺퐶 − 퐶퐸 = 8√2 3 − √2 = 5√2 3 ． 24.【答案】 把点퐴(−1,  0)和点퐶 (0,  3)代入푦＝푎푥2 + 9 4 푥 + 푐得：{0 = 푎 − 9 4 + 푐 3 = 푐 ， 解得：{푎 = − 3 4 푐 = 3 ， ∴ 抛物线的解析式为：푦 = − 3 4 푥2 + 9 4 푥 + 3； 不存在，理由如下： ①当点푄在푦轴右边时，如图1所示： 假设△ 푄퐶푂为等边三角形， 过点푄作푄퐻 ⊥ 푂퐶于퐻， ∵ 点퐶 (0,  3)， ∴ 푂퐶＝3， 则푂퐻 = 1 2 푂퐶 = 3 2 ，tan60∘ = 푄퐻 푂퐻 ， ∴ 푄퐻＝푂퐻 ⋅ tan60∘ = 3 2 × √3 = 3√3 2 ， ∴ 푄(3√3 2 , 3 2)， 把푥 = 3√3 2 代入푦 = − 3 4 푥2 + 9 4 푥 + 3， 得：푦 = 27√3 8 − 33 16 ≠ 3 2 ， ∴ 假设不成立， ∴ 当点푄在푦轴右边时，不存在△ 푄퐶푂为等边三角形； 15 / 18 ②当点푄在푦轴的左边时，如图2所示： 假设△ 푄퐶푂为等边三角形， 过点푄作푄푇 ⊥ 푂퐶于푇， ∵ 点퐶 (0,  3)， ∴ 푂퐶＝3， 则푂푇 = 1 2 푂퐶 = 3 2 ，tan60∘ = 푄푇 푂푇 ， ∴ 푄푇＝푂푇 ⋅ tan60∘ = 3 2 × √3 = 3√3 2 ， ∴ 푄(− 3√3 2 , 3 2)， 把푥 = − 3√3 2 代入푦 = − 3 4 푥2 + 9 4 푥 + 3， 得：푦 = − 27√3 8 − 33 16 ≠ 3 2 ， ∴ 假设不成立， ∴ 当点푄在푦轴左边时，不存在△ 푄퐶푂为等边三角形； 综上所述，在抛物线上不存在一点푄，使得△ 푄퐶푂是等边三角形； 令− 3 4 푥2 + 9 4 푥 + 3＝0， 解得：푥1＝−1，푥2＝4， ∴ 퐵(4,  0)， 设퐵퐶直线的解析式为：푦＝푘푥 + 푏， 把퐵、퐶的坐标代入则{0 = 4푘 + 푏 3 = 푏 ， 解得：{푘 = − 3 4 푏 = 3 ， ∴ 퐵퐶直线的解析式为：푦 = − 3 4 푥 + 3， 当⊙ 푀与푥轴相切时，如图3所示： 延长푃푀交퐴퐵于点퐷， 则点퐷为⊙ 푀与푥轴的切点，即푃푀＝푀퐷， 设푃(푥, − 3 4 푥2 + 9 4 푥 + 3)，푀(푥, − 3 4 푥 + 3)， 则푃퐷 = − 3 4 푥2 + 9 4 푥 + 3，푀퐷 = − 3 4 푥 + 3， ∴ (− 3 4 푥2 + 9 4 푥 + 3) − (− 3 4 푥 + 3) = − 3 4 푥 + 3， 解得：푥1＝1，푥2＝4（不合题意舍去）， ∴ ⊙ 푀的半径为：푀퐷 = − 3 4 + 3 = 9 4 ； 当⊙ 푀与푦轴相切时，如图4所示： 延长푃푀交퐴퐵于点퐷，过点푀作푀퐸 ⊥ 푦轴于퐸， 则点퐸为⊙ 푀与푦轴的切点，即푃푀＝푀퐸，푃퐷 − 푀퐷＝퐸푀＝푥， 设푃(푥, − 3 4 푥2 + 9 4 푥 + 3)，푀(푥, − 3 4 푥 + 3)， 则푃퐷 = − 3 4 푥2 + 9 4 푥 + 3，푀퐷 = − 3 4 푥 + 3， ∴ (− 3 4 푥2 + 9 4 푥 + 3) − (− 3 4 푥 + 3)＝푥， 解得：푥1 = 8 3 ，푥2＝0（不合题意舍去）， ∴ ⊙ 푀的半径为：퐸푀 = 8 3 ； 综上所述，⊙ 푀的半径为9 4 或8 3 ． 16 / 18 【解答】 把点퐴(−1,  0)和点퐶 (0,  3)代入푦＝푎푥2 + 9 4 푥 + 푐得：{0 = 푎 − 9 4 + 푐 3 = 푐 ， 解得：{푎 = − 3 4 푐 = 3 ， ∴ 抛物线的解析式为：푦 = − 3 4 푥2 + 9 4 푥 + 3； 不存在，理由如下： ①当点푄在푦轴右边时，如图1所示： 假设△ 푄퐶푂为等边三角形， 过点푄作푄퐻 ⊥ 푂퐶于퐻， ∵ 点퐶 (0,  3)， ∴ 푂퐶＝3， 则푂퐻 = 1 2 푂퐶 = 3 2 ，tan60∘ = 푄퐻 푂퐻 ， ∴ 푄퐻＝푂퐻 ⋅ tan60∘ = 3 2 × √3 = 3√3 2 ， ∴ 푄(3√3 2 , 3 2)， 把푥 = 3√3 2 代入푦 = − 3 4 푥2 + 9 4 푥 + 3， 得：푦 = 27√3 8 − 33 16 ≠ 3 2 ， ∴ 假设不成立， ∴ 当点푄在푦轴右边时，不存在△ 푄퐶푂为等边三角形； ②当点푄在푦轴的左边时，如图2所示： 假设△ 푄퐶푂为等边三角形， 过点푄作푄푇 ⊥ 푂퐶于푇， ∵ 点퐶 (0,  3)， ∴ 푂퐶＝3， 则푂푇 = 1 2 푂퐶 = 3 2 ，tan60∘ = 푄푇 푂푇 ， ∴ 푄푇＝푂푇 ⋅ tan60∘ = 3 2 × √3 = 3√3 2 ， ∴ 푄(− 3√3 2 , 3 2)， 17 / 18 把푥 = − 3√3 2 代入푦 = − 3 4 푥2 + 9 4 푥 + 3， 得：푦 = − 27√3 8 − 33 16 ≠ 3 2 ， ∴ 假设不成立， ∴ 当点푄在푦轴左边时，不存在△ 푄퐶푂为等边三角形； 综上所述，在抛物线上不存在一点푄，使得△ 푄퐶푂是等边三角形； 令− 3 4 푥2 + 9 4 푥 + 3＝0， 解得：푥1＝−1，푥2＝4， ∴ 퐵(4,  0)， 设퐵퐶直线的解析式为：푦＝푘푥 + 푏， 把퐵、퐶的坐标代入则{0 = 4푘 + 푏 3 = 푏 ， 解得：{푘 = − 3 4 푏 = 3 ， ∴ 퐵퐶直线的解析式为：푦 = − 3 4 푥 + 3， 当⊙ 푀与푥轴相切时，如图3所示： 延长푃푀交퐴퐵于点퐷， 则点퐷为⊙ 푀与푥轴的切点，即푃푀＝푀퐷， 设푃(푥, − 3 4 푥2 + 9 4 푥 + 3)，푀(푥, − 3 4 푥 + 3)， 则푃퐷 = − 3 4 푥2 + 9 4 푥 + 3，푀퐷 = − 3 4 푥 + 3， ∴ (− 3 4 푥2 + 9 4 푥 + 3) − (− 3 4 푥 + 3) = − 3 4 푥 + 3， 解得：푥1＝1，푥2＝4（不合题意舍去）， ∴ ⊙ 푀的半径为：푀퐷 = − 3 4 + 3 = 9 4 ； 当⊙ 푀与푦轴相切时，如图4所示： 延长푃푀交퐴퐵于点퐷，过点푀作푀퐸 ⊥ 푦轴于퐸， 则点퐸为⊙ 푀与푦轴的切点，即푃푀＝푀퐸，푃퐷 − 푀퐷＝퐸푀＝푥， 设푃(푥, − 3 4 푥2 + 9 4 푥 + 3)，푀(푥, − 3 4 푥 + 3)， 则푃퐷 = − 3 4 푥2 + 9 4 푥 + 3，푀퐷 = − 3 4 푥 + 3， ∴ (− 3 4 푥2 + 9 4 푥 + 3) − (− 3 4 푥 + 3)＝푥， 解得：푥1 = 8 3 ，푥2＝0（不合题意舍去）， ∴ ⊙ 푀的半径为：퐸푀 = 8 3 ； 综上所述，⊙ 푀的半径为9 4 或8 3 ． 18 / 18