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- 2021-11-11 发布
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2019年海南省中考数学试卷
一、选择题(本大题满分36分,每小题3分)在下列各题的四个备选答案中,有且只有一个是正确的,请在答题卡上把你认为正确的答案的字母代号按要求用2B铅笔涂黑
1.(3分)如果收入100元记作+100元,那么支出100元记作( )
A.﹣100元 B.+100元 C.﹣200元 D.+200元
2.(3分)当m=﹣1时,代数式2m+3的值是( )
A.﹣1 B.0 C.1 D.2
3.(3分)下列运算正确的是( )
A.a•a2=a3 B.a6÷a2=a3 C.2a2﹣a2=2 D.(3a2)2=6a4
4.(3分)分式方程=1的解是( )
A.x=1 B.x=﹣1 C.x=2 D.x=﹣2
5.(3分)海口市首条越江隧道﹣﹣文明东越江通道项目将于2020年4月份完工,该项目总投资3710000000元.数据3710000000用科学记数法表示为( )
A.371×107 B.37.1×108 C.3.71×108 D.3.71×109
6.(3分)如图是由5个大小相同的小正方体摆成的几何体,它的俯视图是( )
A. B.
C. D.
7.(3分)如果反比例函数y=(a是常数)的图象在第一、三象限,那么a的取值范围是( )
A.a<0 B.a>0 C.a<2 D.a>2
8.(3分)如图,在平面直角坐标系中,已知点A(2,1),点B(3,﹣1),平移线段AB,使点A落在点A1(﹣2,2)处,则点B的对应点B1的坐标为( )
A.(﹣1,﹣1) B.(1,0) C.(﹣1,0) D.(3,0)
9.(3分)如图,直线l1∥l2,点A在直线l1上,以点A为圆心,适当长度为半径画弧,分别交直线l1、l2于B、C两点,连结AC、BC.若∠ABC=70°,则∠1的大小为( )
A.20° B.35° C.40° D.70°
10.(3分)某路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒,绿灯亮25秒,黄灯亮5秒,当小明到达该路口时,遇到绿灯的概率是( )
A. B. C. D.
11.(3分)如图,在▱ABCD中,将△ADC沿AC折叠后,点D恰好落在DC的延长线上的点E处.若∠B=60°,AB=3,则△ADE的周长为( )
A.12 B.15 C.18 D.21
12.(3分)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,BC=4.点P是边AC上一动点,过点P作PQ∥AB交BC于点Q,D为线段PQ的中点,当BD平分∠ABC时,AP的长度为( )
A. B. C. D.
二、填空题(本大题满分16分,每小题4分)
13.(4分)因式分解:ab﹣a= .
14.(4分)如图,⊙O与正五边形ABCDE的边AB、DE分别相切于点B、D,则劣弧所对的圆心角∠BOD的大小为 度.
15.(4分)如图,将Rt△ABC的斜边AB绕点A顺时针旋转α(0°<α<90°)得到AE,直角边AC绕点A逆时针旋转β(0°<β<90°)得到AF,连结EF.若AB=3,AC=2,且α+β=∠B,则EF= .
16.(4分)有2019个数排成一行,对于任意相邻的三个数,都有中间的数等于前后两数的和.如果第一个数是0,第二个数是1,那么前6个数的和是 ,这2019个数的和是 .
三、解答题(本大题满分68分)
17.(12分)(1)计算:9×3﹣2+(﹣1)3﹣;
(2)解不等式组,并求出它的整数解.
18.(10分)时下正是海南百香果丰收的季节,张阿姨到“海南爱心扶贫网”上选购百香果,若购买2千克“红土”百香果和1千克“黄金”百香果需付80元,若购买1千克“
红土”百香果和3千克“黄金”百香果需付115元.请问这两种百香果每千克各是多少元?
19.(8分)为宣传6月6日世界海洋日,某校九年级举行了主题为“珍惜海洋资源,保护海洋生物多样性”的知识竞赛活动.为了解全年级500名学生此次竞赛成绩(百分制)的情况,随机抽取了部分参赛学生的成绩,整理并绘制出如下不完整的统计表(表1)和统计图(如图).请根据图表信息解答以下问题:
(1)本次调查一共随机抽取了 个参赛学生的成绩;
(2)表1中a= ;
(3)所抽取的参赛学生的成绩的中位数落在的“组别”是 ;
(4)请你估计,该校九年级竞赛成绩达到80分以上(含80分)的学生约有 人.[来源:Zxxk.Com]
表1 知识竞赛成绩分组统计表
组别
分数/分
频数
A
60≤x<70
a
B
70≤x<80
10
C
80≤x<90
14
D
90≤x<100
18
20.(10分)如图是某区域的平面示意图,码头A在观测站B的正东方向,码头A的
北偏西60°方向上有一小岛C,小岛C在观测站B的北偏西15°方向上,码头A到小岛C的距离AC为10海里.
(1)填空:∠BAC= 度,∠C= 度;
(2)求观测站B到AC的距离BP(结果保留根号).
21.(13分)如图,在边长为1的正方形ABCD中,E是边CD的中点,点P是边AD上一点(与点A、D不重合),射线PE与BC的延长线交于点Q.
(1)求证:△PDE≌△QCE;
(2)过点E作EF∥BC交PB于点F,连结AF,当PB=PQ时,
①求证:四边形AFEP是平行四边形;
②请判断四边形AFEP是否为菱形,并说明理由.
22.(15分)如图,已知抛物线y=ax2+bx+5经过A(﹣5,0),B(﹣4,﹣3)两点,与x轴的另一个交点为C,顶点为D,连结CD.
(1)求该抛物线的表达式;
(2)点P为该抛物线上一动点(与点B、C不重合),设点P的横坐标为t.
①当点P在直线BC的下方运动时,求△PBC的面积的最大值;
②该抛物线上是否存在点P,使得∠PBC=∠BCD?若存在,求出所有点P的坐标;若不存在,请说明理由.
2019年海南省中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(本大题满分36分,每小题3分)在下列各题的四个备选答案中,有且只有一个是正确的,请在答题卡上把你认为正确的答案的字母代号按要求用2B铅笔涂黑
1.(3分)如果收入100元记作+100元,那么支出100元记作( )
A.﹣100元 B.+100元 C.﹣200元 D.+200元
【考点】11:正数和负数.菁优网版权所有
【分析】根据正数与负数的意义,支出即为负数;
【解答】解:收入100元+100元,支出100元为﹣100元,
故选:A.
【点评】本题考查正数与负数的意义;能够理解正数与负数的实际意义是解题的关键.
2.(3分)当m=﹣1时,代数式2m+3的值是( )
A.﹣1 B.0 C.1 D.2
【考点】33:代数式求值.菁优网版权所有
【分析】将m=﹣1代入代数式即可求值;
【解答】解:将m=﹣1代入2m+3=2×(﹣1)+3=1;
故选:C.
【点评】本题考查代数式求值;熟练掌握代入法求代数式的值是解题的关键.
3.(3分)下列运算正确的是( )
A.a•a2=a3 B.a6÷a2=a3 C.2a2﹣a2=2 D.(3a2)2=6a4
【考点】35:合并同类项;46:同底数幂的乘法;47:幂的乘方与积的乘方;48:同底数幂的除法.菁优网版权所有
【分析】根据同底数幂乘除法的运算法则,合并同类项法则,幂的乘方与积的乘方法则即可求解;
【解答】解:a•a2=a1+2=a3,A准确;
a6÷a2=a6﹣2=a4,B错误;
2a2﹣a2=a2,C错误;
(3a2)2=9a4,D错误;
故选:A.
【点评】本题考查实数和整式的运算;熟练掌握同底数幂乘除法的运算法则,合并同类项法则,幂的乘方与积的乘方法则是解题的关键.
4.(3分)分式方程=1的解是( )
A.x=1 B.x=﹣1 C.x=2 D.x=﹣2
【考点】B3:解分式方程.菁优网版权所有
【分析】根据分式方程的求解方法解题,注意检验根的情况;
【解答】解:=1,
两侧同时乘以(x+2),可得
x+2=1,[来源:学,科,网]
解得x=﹣1;
经检验x=﹣1是原方程的根;
故选:B.
【点评】本题考查分式方程的解法;熟练掌握分式方程的方法是解题的关键.
5.(3分)海口市首条越江隧道﹣﹣文明东越江通道项目将于2020年4月份完工,该项目总投资3710000000元.数据3710000000用科学记数法表示为( )
A.371×107 B.37.1×108 C.3.71×108 D.3.71×109
【考点】1I:科学记数法—表示较大的数.菁优网版权所有
【分析】根据科学记数法的表示方法a×10n(1≤a<9)即可求解;
【解答】解:由科学记数法可得3710000000=3.17×109,
故选:D.[来源:学。科。网Z。X。X。K]
【点评】本题考查科学记数法;熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键.
6.(3分)如图是由5个大小相同的小正方体摆成的几何体,它的俯视图是( )
A. B.
C. D.
【考点】U2:简单组合体的三视图.菁优网版权所有
【分析】根据俯视图是从上面看到的图象判定则可.
【解答】解:从上面看下来,上面一行是横放3个正方体,左下角一个正方体.
故选:D.
【点评】本题考查了三视图的知识,俯视图是从物体的上面看得到的视图.
7.(3分)如果反比例函数y=(a是常数)的图象在第一、三象限,那么a的取值范围是( )
A.a<0 B.a>0 C.a<2 D.a>2
【考点】G2:反比例函数的图象;G4:反比例函数的性质.菁优网版权所有
【分析】反比例函数y=图象在一、三象限,可得k>0.
【解答】解:∵反比例函数y=(a是常数)的图象在第一、三象限,
∴a﹣2>0,
∴a>2.
故选:D.
【点评】本题运用了反比例函数y=图象的性质,关键要知道k的决定性作用.
8.(3分)如图,在平面直角坐标系中,已知点A(2,1),点B(3,﹣1),平移线段AB,使点A落在点A1(﹣2,2)处,则点B的对应点B1的坐标为( )
A.(﹣1,﹣1) B.(1,0) C.(﹣1,0) D.(3,0)
【考点】Q3:坐标与图形变化﹣平移.菁优网版权所有
【分析】由点A(2,1)平移后A1(﹣2,2)可得坐标的变化规律,由此可得点B
的对应点B1的坐标.
【解答】解:由点A(2,1)平移后A1(﹣2,2)可得坐标的变化规律是:左移4个单位,上移1个单位,
∴点B的对应点B1的坐标(﹣1,0).
故选:C.
【点评】本题运用了点的平移的坐标变化规律,关键是由点A(2,1)平移后A1(﹣2,2)可得坐标的变化规律,由此可得点B的对应点B1的坐标.
9.(3分)如图,直线l1∥l2,点A在直线l1上,以点A为圆心,适当长度为半径画弧,分别交直线l1、l2于B、C两点,连结AC、BC.若∠ABC=70°,则∠1的大小为( )
A.20° B.35° C.40° D.70°
【考点】JA:平行线的性质.菁优网版权所有
【分析】根据平行线的性质解答即可.
【解答】解:∵点A为圆心,适当长度为半径画弧,分别交直线l1、l2于B、C,
∴AC=AB,
∴∠CBA=∠BCA=70°,
∵l1∥l2,
∴∠CBA+∠BCA+∠1=180°,
∴∠1=180°﹣70°﹣70°=40°,
故选:C.
【点评】此题考查平行线的性质,关键是根据平行线的性质解答.
10.(3分)某路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒,绿灯亮25秒,黄灯亮5秒,当小明到达该路口时,遇到绿灯的概率是( )
A. B. C. D.
【考点】X4:概率公式.菁优网版权所有
【分析】随机事件A的概率P(A)=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数.
【解答】解:∵每分钟红灯亮30秒,绿灯亮25秒,黄灯亮5秒,
∴当小明到达该路口时,遇到绿灯的概率P==,
故选:D.
【点评】本题考查了概率,熟练掌握概率公式是解题的关键.
11.(3分)如图,在▱ABCD中,将△ADC沿AC折叠后,点D恰好落在DC的延长线上的点E处.若∠B=60°,AB=3,则△ADE的周长为( )
A.12 B.15 C.18 D.21
【考点】L5:平行四边形的性质;PB:翻折变换(折叠问题).菁优网版权所有
【分析】依据平行四边形的性质以及折叠的性质,即可得到BC=2AB=6,AD=6,再根据△ADE是等边三角形,即可得到△ADE的周长为6×3=18.
【解答】解:由折叠可得,∠ACD=∠ACE=90°,
∴∠BAC=90°,
又∵∠B=60°,
∴∠ACB=30°,
∴BC=2AB=6,
∴AD=6,
由折叠可得,∠E=∠D=∠B=60°,
∴∠DAE=60°,
∴△ADE是等边三角形,
∴△ADE的周长为6×3=18,
故选:C.
【点评】
本题考查了平行四边形的性质、轴对称图形性质以及等边三角形的判定.解题时注意折叠是一种对称变换,它属于轴对称,折叠前后图形的形状和大小不变,位置变化,对应边和对应角相等.
12.(3分)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,BC=4.点P是边AC上一动点,过点P作PQ∥AB交BC于点Q,D为线段PQ的中点,当BD平分∠ABC时,AP的长度为( )
A. B. C. D.
【考点】KJ:等腰三角形的判定与性质;KQ:勾股定理;S9:相似三角形的判定与性质.菁优网版权所有
【分析】根据勾股定理求出AC,根据角平分线的定义、平行线的性质得到∠QBD=∠BDQ,得到QB=QD,根据相似三角形的性质列出比例式,计算即可.
【解答】解:∵∠C=90°,AB=5,BC=4,
∴AC==3,
∵PQ∥AB,
∴∠ABD=∠BDQ,又∠ABD=∠QBD,
∴∠QBD=∠BDQ,
∴QB=QD,
∴QP=2QB,
∵PQ∥AB,
∴△CPQ∽△CAB,
∴==,即==,
解得,CP=,
∴AP=CA﹣CP=,
故选:B.
【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质,掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键.
二、填空题(本大题满分16分,每小题4分)
13.(4分)因式分解:ab﹣a= a(b﹣1) .
【考点】53:因式分解﹣提公因式法.菁优网版权所有
【分析】提公因式a即可.
【解答】解:ab﹣a=a(b﹣1).
故答案为:a(b﹣1).
【点评】本题考查了提取公因式法因式分解.关键是求出多项式里各项的公因式,提公因式.
14.(4分)如图,⊙O与正五边形ABCDE的边AB、DE分别相切于点B、D,则劣弧所对的圆心角∠BOD的大小为 144 度.
【考点】MC:切线的性质;MM:正多边形和圆.菁优网版权所有
【分析】根据正多边形内角和公式可求出∠E、∠D,根据切线的性质可求出∠OAE、∠OCD,从而可求出∠AOC,然后根据圆弧长公式即可解决问题.
【解答】解:∵五边形ABCDE是正五边形,
∴∠E=∠A==108°.
∵AB、DE与⊙O相切,
∴∠OBA=∠ODE=90°,
∴∠BOD=(5﹣2)×180°﹣90°﹣108°﹣108°﹣90°=144°,
故答案为:144.
【点评】本题主要考查了切线的性质、正五边形的性质、多边形的内角和公式、熟练掌握切线的性质是解决本题的关键.
15.(4分)如图,将Rt△ABC的斜边AB绕点A顺时针旋转α(0°<α<90°)得到AE,直角边AC绕点A逆时针旋转β(0°<β<90°)得到AF,连结EF.若AB=3,AC
=2,且α+β=∠B,则EF= .
【考点】R2:旋转的性质.菁优网版权所有
【分析】由旋转的性质可得AE=AB=3,AC=AF=2,由勾股定理可求EF的长.
【解答】解:由旋转的性质可得AE=AB=3,AC=AF=2,
∵∠B+∠BAC=90°,且α+β=∠B,
∴∠BAC+α+β=90°
∴∠EAF=90°
∴EF==
故答案为:
【点评】本题考查了旋转的性质,勾股定理,灵活运用旋转的性质是本题的关键.
16.(4分)有2019个数排成一行,对于任意相邻的三个数,都有中间的数等于前后两数的和.如果第一个数是0,第二个数是1,那么前6个数的和是 0 ,这2019个数的和是 2 .
【考点】37:规律型:数字的变化类.菁优网版权所有
【分析】根据题意可以写出这组数据的前几个数,从而可以数字的变化规律,本题得以解决.
【解答】解:由题意可得,
这列数为:0,1,1,0,﹣1,﹣1,0,1,1,…,
∴前6个数的和是:0+1+1+0+(﹣1)+(﹣1)=0,
∵2019÷6=336…3,
∴这2019个数的和是:0×336+(0+1+1)=2,
故答案为:0,2.
【点评】本题考查数字的变化类,解答本题的关键是明确题意,发现题目中数字的变化规律,每六个数重复出现.
三、解答题(本大题满分68分)
17.(12分)(1)计算:9×3﹣2+(﹣1)3﹣;
(2)解不等式组,并求出它的整数解.
【考点】2C:实数的运算;6F:负整数指数幂;CB:解一元一次不等式组;CC:一元一次不等式组的整数解.菁优网版权所有
【分析】(1)先计算负整数指数幂、乘方及算术平方根,再计算乘法,最后计算加减可得;
(2)分别求出每一个不等式的解集,根据口诀:同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集.
【解答】解:(1)原式=9×﹣1﹣2
=3﹣1﹣2
=0;
(2)解不等式x+1>0,得:x>﹣1,
解不等式x+4>3x,得:x<2,
则不等式组的解集为﹣1<x<2,
所以不等式组的整数解为0、1.
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组,正确求出每一个不等式解集是基础,熟知“同大取大;同小取小;大小小大中间找;大大小小找不到”的原则是解答此题的关键.
18.(10分)时下正是海南百香果丰收的季节,张阿姨到“海南爱心扶贫网”上选购百香果,若购买2千克“红土”百香果和1千克“黄金”百香果需付80元,若购买1千克“红土”百香果和3千克“黄金”百香果需付115元.请问这两种百香果每千克各是多少元?
【考点】9A:二元一次方程组的应用.菁优网版权所有
【分析】设“红土”百香果每千克x元,“黄金”百香果每千克y元,由题意列出方程组,解方程组即可.
【解答】解:设“红土”百香果每千克x元,“黄金”百香果每千克y元,
由题意得:,
解得:;
答:“红土”百香果每千克25元,“黄金”百香果每千克30元.
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程组的解法;根据题意列出方程组是解题的关键.
19.(8分)为宣传6月6日世界海洋日,某校九年级举行了主题为“珍惜海洋资源,保护海洋生物多样性”的知识竞赛活动.为了解全年级500名学生此次竞赛成绩(百分制)的情况,随机抽取了部分参赛学生的成绩,整理并绘制出如下不完整的统计表(表1)和统计图(如图).请根据图表信息解答以下问题:
(1)本次调查一共随机抽取了 50 个参赛学生的成绩;
(2)表1中a= 8 ;
(3)所抽取的参赛学生的成绩的中位数落在的“组别”是 C ;
(4)请你估计,该校九年级竞赛成绩达到80分以上(含80分)的学生约有 320 人.
表1 知识竞赛成绩分组统计表
组别
分数/分
频数
A
60≤x<70
a
B
70≤x<80
10
C
80≤x<90
14
D
90≤x<100
18
【考点】V5:用样本估计总体;V7:频数(率)分布表;VB:扇形统计图;W4:中位数.菁优网版权所有
【分析】(1)本次调查一共随机抽取学生:18÷36%=50(人);
(2)a=50﹣18﹣14﹣10=8;[来源:学科网]
(3)本次调查一共随机抽取50名学生,中位数落在C组;
(4)该校九年级竞赛成绩达到80分以上(含80分)的学生有500×
=320(人).
【解答】解:(1)本次调查一共随机抽取学生:18÷36%=50(人),
故答案为50;
(2)a=50﹣18﹣14﹣10=8,
故答案为8;
(3)本次调查一共随机抽取50名学生,中位数落在C组,
故答案为C;
(4)该校九年级竞赛成绩达到80分以上(含80分)的学生有500×=320(人),
故答案为320.
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用.读懂统计图,从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据;扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小.
20.(10分)如图是某区域的平面示意图,码头A在观测站B的正东方向,码头A的
北偏西60°方向上有一小岛C,小岛C在观测站B的北偏西15°方向上,码头A到小岛C的距离AC为10海里.
(1)填空:∠BAC= 30 度,∠C= 45 度;
(2)求观测站B到AC的距离BP(结果保留根号).
【考点】TB:解直角三角形的应用﹣方向角问题.菁优网版权所有
【分析】(1)由题意得:∠BAC=90°﹣60°=30°,∠ABC=90°+15°=105°,由三角形内角和定理即可得出∠C的度数;
(2)证出△BCP是等腰直角三角形,得出BP=PC,求出PA=BP,由题意得出BP+BP=10,解得BP=5﹣5即可.
【解答】解:(1)由题意得:∠BAC=90°﹣60°=30°,∠ABC=90°+15°=105°,
∴∠C=180°﹣∠BAC﹣∠ABC=45°;
故答案为:30,45;
(2)∵BP⊥AC,
∴∠BPA=∠BPC=90°,
∵∠C=45°,
∴△BCP是等腰直角三角形,
∴BP=PC,
∵∠BAC=30°,
∴PA=BP,
∵PA+PC=AC,
∴BP+BP=10,
解得:BP=5﹣5,
答:观测站B到AC的距离BP为(5﹣5)海里.
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题,通过解直角三角形得出方程是解题的关键.
21.(13分)如图,在边长为1的正方形ABCD中,E是边CD的中点,点P是边AD上一点(与点A、D不重合),射线PE与BC的延长线交于点Q.
(1)求证:△PDE≌△QCE;
(2)过点E作EF∥BC交PB于点F,连结AF,当PB=PQ时,
①求证:四边形AFEP是平行四边形;
②请判断四边形AFEP是否为菱形,并说明理由.
【考点】LO:四边形综合题.菁优网版权所有
【分析】(1)由四边形ABCD是正方形知∠D=∠ECQ=90°,由E是CD的中点知DE=CE,结合∠DEP=∠CEQ即可得证;
(2)①由PB=PQ知∠PBQ=∠Q,结合AD∥BC得∠APB=∠PBQ=∠Q=∠EPD,由△PDE≌△QCE知PE=QE,再由EF∥BQ知PF=BF,根据Rt△PAB中AF=PF=BF知∠APF=∠PAF,从而得∠PAF=∠EPD,据此即可证得PE∥AF,从而得证;
②设PD=x,则AP=1﹣x,由(1)知△PDE≌△QCE,据此得CQ=PD=x,BQ=BC+CQ=1+x,由EF是△PBQ的中位线知EF=BQ=,根据AP=EF求得x=,从而得出PD=,AP=,再求出PE==即可作出判断.
【解答】解:(1)∵四边形ABCD是正方形,
∴∠D=∠ECQ=90°,
∵E是CD的中点,
∴DE=CE,
又∵∠DEP=∠CEQ,
∴△PDE≌△QCE(ASA);
(2)①∵PB=PQ,
∴∠PBQ=∠Q,
∵AD∥BC,
∴∠APB=∠PBQ=∠Q=∠EPD,
∵△PDE≌△QCE,
∴PE=QE,
∵EF∥BQ,
∴PF=BF,
∴在Rt△PAB中,AF=PF=BF,
∴∠APF=∠PAF,
∴∠PAF=∠EPD,
∴PE∥AF,
∵EF∥BQ∥AD,
∴四边形AFEP是平行四边形;
②四边形AFEP不是菱形,理由如下:
设PD=x,则AP=1﹣x,
由(1)可得△PDE≌△QCE,
∴CQ=PD=x,
∴BQ=BC+CQ=1+x,
∵点E、F分别是PQ、PB的中点,
∴EF是△PBQ的中位线,
∴EF=BQ=,[来源:Z#xx#k.Com]
由①知AP=EF,即1﹣x=,
解得x=,
∴PD=,AP=,
在Rt△PDE中,DE=,
∴PE==,
∴AP≠PE,
∴四边形AFEP不是菱形.
【点评】本题是四边形的综合问题,解题的关键是掌握正方形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、平行四边形与菱形的判定、性质等知识点.
22.(15分)如图,已知抛物线y=ax2+bx+5经过A(﹣5,0),B(﹣4,﹣3)两点,与x轴的另一个交点为C,顶点为D,连结CD.
(1)求该抛物线的表达式;
(2)点P为该抛物线上一动点(与点B、C不重合),设点P的横坐标为t.
①当点P在直线BC的下方运动时,求△PBC的面积的最大值;
②该抛物线上是否存在点P,使得∠PBC=∠BCD?若存在,求出所有点P的坐标;若不存在,请说明理由.
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【分析】(1)将点A、B坐标代入二次函数表达式,即可求解;
(2)①S△PBC=PG(xC﹣xB),即可求解;②分点P在直线BC下方、上方两种情况,分别求解即可.
【解答】解:(1)将点A、B坐标代入二次函数表达式得:,解得:,
故抛物线的表达式为:y=x2+6x+5…①,
令y=0,则x=﹣1或﹣5,
即点C(﹣1,0);
(2)①如图1,过点P作y轴的平行线交BC于点G,
将点B、C的坐标代入一次函数表达式并解得:
直线BC的表达式为:y=x+1…②,
设点G(t,t+1),则点P(t,t2+6t+5),
S△PBC=PG(xC﹣xB)=(t+1﹣t2﹣6t﹣5)=﹣t2﹣t﹣6,
∵<0,∴S△PBC有最大值,当t=﹣时,其最大值为;
②设直线BP与CD交于点H,
当点P在直线BC下方时,
∵∠PBC=∠BCD,∴点H在BC的中垂线上,
线段BC的中点坐标为(﹣,﹣),
过该点与BC垂直的直线的k值为﹣1,
设BC中垂线的表达式为:y=﹣x+m,将点(﹣,﹣)代入上式并解得:
直线BC中垂线的表达式为:y=﹣x﹣4…③,
同理直线CD的表达式为:y=2x+2…④,
联立③④并解得:x=﹣2,即点H(﹣2,﹣2),
同理可得直线BH的表达式为:y=x﹣1…⑤,
联立①⑤并解得:x=﹣或﹣4(舍去﹣4),
故点P(﹣,﹣);
当点P(P′)在直线BC上方时,
∵∠PBC=∠BCD,∴BP′∥CD,
则直线BP′的表达式为:y=2x+s,将点B坐标代入上式并解得:s=5,
即直线BP′的表达式为:y=2x+5…⑥,
联立①⑥并解得:x=0或﹣4(舍去﹣4),
故点P(0,5);
故点P的坐标为P(﹣,﹣)或(0,5).
【点评】本题考查的是二次函数综合运用,涉及到一次函数、等腰三角形性质、图形的面积计算等,其中(2),要主要分类求解,避免遗漏.
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日期:2019/7/29 11:38:44;用户:学无止境;邮箱:419793282@qq.com;学号:7910509
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