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- 2021-11-11 发布
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全等三角形
类型1:利用三角形全等证明线段(或角)相等:
例1.如图所示:AB=CD,AE=DF,CE=BF.求证:AE∥DF.
C
D
F
E
A
B
例2.如图所示:两条直线AC,BD相交于O,BO=DO,AO=CO,直线EF过点O且分别交AB、CD于
点E,F,求证:OE=OF.
D
F
C
O
A
E
B
例3.如图所示:在△ABC中,延长AC边上中线BE到G,使EG=BE,延长AB边上的中线CD到F,使DF=CD,连接AF,AG.
(1)按要求补全图形,并标注字母;
(2)AF与AG的大小关系如何?证明你的结论.
(3)F,A,G三点的位置如何?证明你的结论.
A
D
B
C
E
例4. 如图所示:在△ABC和△DBC中,∠ACB=∠DBC=,E是BC的中的,EF⊥AB,垂足为F,
C
E
B
A
F
D
且AB=DE. (1)求证:BD=BC; (2)若BD=8cm,求AC的长
类型2:运用全等三角形证明线段的和差问题
例1.如图所示:在△ABC中,AB=AC, ∠BAC=,过A的任一条直线AN,
BD⊥AN,于D,CE⊥AN于E,求证:DE=BD-CE.
B
A
E
N
D
C
例2.如图:在△ABC中,AD是∠A的外角平分线,D是这条角平分线上的一个动点,就D的位置而言,你
能猜想AB+AC=BD+DC的大小关系吗?并证明你的猜想.
B
C
A
D
B
C
D
A
例3. 如图:已知△ABC中,AC=BC,∠ACB=,BD平分∠ABC,求证:AB=BC+CD.
例4. 如图,在△ABC中,AD是△ABC的角平分线,∠B=2∠C.求证: AC=AB+AD
A
B
D
C
例5. 如图:CE、CB分别是△ABC,△ADC的中线,且AB=AC,求证:CD=2CE.
C
A
E
B
D
类型3:全等变换
A
B
F
C
D
E
例1.如图:长方形ABCD沿直线AE折叠,使点D落在BC边上的F点处,如果∠BAF=,则∠DAE的度数是多少?
A
B
C
D
E
F
例2.如图(1):AB⊥DC于B,且BD=BA,BE=BC,(1)求证:DE=AC,(2)将△ABC沿DC方向平行移至下列情况,如图(2)所示,这时还有DE=AC吗?为什么?
A
C
E
D
B
(1)
A
D
E
B
FF
C
A
B
C
E
F
(2) ① ② ③
例3. 已知,如图(1):在有公共顶点的△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,且∠ACB=∠DBC
(1)求证:CE=BD.
A
D
B
E
C
(2) 若将△ADE绕点A沿逆时针方向旋转,当旋转到点C,E,D在一条直线上时,如图(2)所示.(1)问中的结论是否仍然成立?若成立,请证明.若不成立,请说明理由.
A
D
B
E
C
(1) (2)
类型4:利用角平分线的性质(或判定)证明有关结论
例1.如图:在△ABC中,∠C=,AD平分∠BAC,DE⊥AB于点E,点F在AC上,BD=DF.
求证:CF=EB.
C
D
B
E
F
A
A
B
D
C
例2.如图:在四边形ABCD中,BC>BA,AD=CD,BD平分∠ABC.求证:∠A+∠C=
例3. 如图,在△ABC中,∠A=90°,且AB=AC,BE平分∠ABC交AC于F,过C作BE的垂线交BE于E.求证:BF=2CE
A
B
C
E
F
类型5.直角三角形中的全等运用:
B
C
F
D
A
E
例1. 已知,如图:△ABD和△ACE都是等腰直角三角形,∠BAD与∠CAE是直角.
(1)求证:△ABD≌AEB;(2)试判断∠AFD和∠AFE的大小关系,并证明你的结论.
例2. 已知,等腰△OAB中,∠AOB=,等腰△EOF中,∠EOF=,连接AE,BF.
A
O
E
F
B
C
求证:(1)AE=BF;(2)AE⊥BF.