中考数学专题复习练习：实数 15页

第一讲 实数 一、实数的相关概念：‎ ‎1.实数的分类：‎ ‎2. 偶数： 奇数：‎ ‎3. 相反数 只有符号不相同的两个数（“‎0”‎的相反数是“‎0”‎）‎ ①表示：表示一个数的相反数，就是在这个数的前面加“—”号 如：a—a；a—b—（a—b）=b—a ②性质特征：互为相反数的两个数，和为零。‎ ‎4. 倒数乘积为“‎1”‎的两个数（“‎0”‎没有倒数）‎ ①表示：a ②特征：互为倒数的两个数积为“‎1”‎ （若a与b互为倒数，则ab=1）‎ ‎5. 绝对值就是数轴上表示这个数的点到原点的距离.‎ ‎(互为相反数的两个数绝对值相等)‎ ‎︱a︱=︱—a︱；︱a—b︱=︱b—a︱‎ ‎︱a︱= ‎ ‎6.平方根、算术平方根、立方根：‎ ‎(1) 一个正数的平方等于,即,那么这个正数叫做的算术平方根.(记作).‎ ‎(2) 一个数的平方等于,那么这个数叫做的平方根.‎ ‎(3) 正数有两个平方根（±），它们互为相反数；其中正的平方根（ ≥0）是它的算术平方根.‎ ‎(4) “‎0”‎的平方根只有一个，就是“‎0”‎;负数没有平方根.‎ ‎(5)完全平方数平方根是整数的数 如：0，1，4，9，16，……‎ ‎(6)立方根（）,正数的立方根是正数; “‎0”‎的立方根是“‎0”‎;负数的立方根是负数 二、数轴:‎ ‎1.数轴三要素：原点、正方向、单位长度 ‎2.数轴上的点与实数一一对应;任意一个有理数在数轴上都有一个点与之对应,‎ 但数轴上的任意一个点不一定有一个有理数与之对应.(无理数点)‎ 三、科学记数法、近似数及有效数字：‎ ‎1．科学记数法：‎ ‎ 精确度：（1）保留几位有效数字 ；（2）精确到那一位 ‎2．近似数：用四舍五入精确到某一位的数 ‎3．有效数字：‎ 四、实数的运算：‎ ‎1.实数运算法则：‎ ‎2.实数大小的比较 ‎①利用数轴进行比较；②作差法；③作商法；④平方法. ‎ ‎3.除法 ‎ ‎4.乘方 ‎ 典型例题一 例01．下面命题中，正确的是（ ）‎ A．不带根号的数一定是有理数 B．有绝对值最大的数，也有绝对值最小的数 C．任何实数的绝对值都是正数 D．无理数一定是无限小数 分析 圆周率是不带根号的数，但它是无限不循环小数，所以它是无理数，可见命题A不正确. 实际上，可以写出很多不带根号的无理数，如0.101001000100001……就是一个无理数；不存在最大的正数（对任何正数a，都不如大），导致不存在绝对值最大的数，所以B是假命题；实数0的绝对值不是正数，可见命题C也不正确. ‎ 解答 D 说明 考查实数的意义. ‎ 典型例题二 例02．下列说法中正确的是（ ）‎ A．无理数是开方开不尽的数 B．无限小数不能化成分数 C．无限不循环小数是无理数 D．一个负数的立方根是无理数 分析 实数可分为无理数和有理数. 有限小数和无限循环小数统称为有理数，无限不循环小数称为无理数. 开方开不尽的数一定是无理数，但无理数还包含了其他数，如，任何有理数都枳经成分数形成. 所以A、B、D都是错的. C正确. ‎ 解答 C 说明 考查实数的分类及定义 无理数主要有3种表现形式：①开方开不尽的数；②一些常数，如、e等；③无限不循环小数，如0.1010010001…‎ 典型例题三 例03．实数，，，3.1416，，，0.2020020002……（每两个2之间多一个零）中，无理数的个数有（ ）‎ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 分析 其中无理数有：，，0.202002…‎ 解答 B 说明 考查无理数的定义 及有关的数都是无理数. ‎ 典型例题四 例04．点A在数轴上和原点相距个单位，点B在数轴上和原点相距2个单位，则A，B两点间的距离是______. ‎ 分析 在数轴上和原点相距个单位的点A有两个，即和两个点. 点B和原点相距2个单位，则点B的坐标或. 如图所示. ‎ 所示A、B两点间距离是：‎ ‎，，，. ‎ 故或. ‎ 解答 或. ‎ 说明 点A在数轴上的坐标为，点B的坐标，则A，B两点的距离是. ‎ 典型例题五 例05．若实数a和b互为相反数，则；若实数a，b互为倒数，则 ‎；‎ 分析 因为a、b互为相反数，则. 若互为倒数，则. 又因故 解答 0；1；. ‎ 典型例题六 例06．判断下列说法是否正确，并简单说明理由 ‎（1）实数不是有理数就是无理数. ‎ ‎（2）无理数都是无限小数. ‎ ‎（3）有理数都是有限小数. ‎ ‎（4）不带根号的数都是有理数 . ‎ ‎（5）带根号的数都是无理数. ‎ ‎（6）数轴上的任何一点都可以表示实数. ‎ 解答 （1）实数不是有理数就是无理数. 正确. 因为实数就是由有理数和无理数组成的，二者必居其一. ‎ ‎（2）无理数都是无限小数. 正确. 无理数都是无限不循环小数当然都是无限小数. ‎ ‎（3）有理数都是有限小数. 不正确. 有理数中也有无限小数，例如是有理数，但它却是，是无限循环小数. ‎ ‎（4）不带根号的数都是有理数. 不正确. 这个数不带根号，我们都知道它是无理数. ‎ ‎（5）带根号的数都是无理数. 不正确. 是一个带根号的数，可是它是一个有理数. ‎ ‎（6）数轴上的任何一点. 都可以表示实数. 正确. 数轴上的点与实数是一一对应的. ‎ 说明 有理数和无理数统称为实数，无限不循环小数是无理数，有了无理数才使数轴上的点与实数一一对应，这些是我们判断某些说法是否正确的依据. ‎ 不要去试图确立无理数的其他定义或标准，只有紧扣无限不循环小数是无理数这个定义，才能避免错误. ‎ 典型例题七 例07．计算（精确到0.01）‎ ‎（1）； （2）‎ 解答 （1）原式 ‎ ‎ ‎（2）原式 说明 在实数运算中，有理数中的运算法则和运算定律同样适用，在无理数运算中，常用其近似值去代替无理数. ‎ 典型例题八 例08．化简 ‎ 解答 ∵，，，‎ ‎∴，，，‎ ‎∴‎ 说明 关键在于根据绝对值的定义，正确地去掉绝对值的符号，以便进行运算，运算中还要注意防止发生符号错误. ‎ 典型例题九 例09．比较与的大小. ‎ 分析 若，则；，则；若，则，反之亦然. ‎ 解答 ∵‎ 当时，显然，，即；‎ 当时，，即；‎ 当时，，即；‎ 当时，，即；‎ 当时，，即；‎ 当时， ，即. ‎ 综上，当和时，；当时，；当和时. ‎ 典型例题十 例10．设x，y是有理数，并且x，y满足等式，求的值. ‎ 分析 利用实数等于零的条件，即有理数和无理数部分分别是零. ‎ 解答 ∵‎ ‎∴ ‎ 又∵x，y都是有理数. ‎ ‎∴ 和都是有理数. ‎ 而由于0是有理数，‎ ‎∴必为有理数. ‎ ‎ ∴‎ ‎∴当时，；‎ 当时，. ‎ 典型例题十一 例11．怎样运用作图的方法，在数轴上找出表示的点. ‎ 分析 我们可以借助勾股定理来找出表示的线段长. 如果一个直角三角形的两条直角边长分别是1和和，那么它的斜边长就是. ‎ 解答 如图，作一个直解边分别是3和1的直角三角形，以原点O为圆心，三角形斜边长为半径画弧，它与数轴负半轴的交点C即为表示的点. （）‎ 说明 这个直角三角形也可以作在其他地方，但必须使它1个单位长度与数轴所取的单位长度一致. 另外与学习有理数时相同数轴上原点右边的点表示正数，故在原点左边. ‎ 典型例题十二 例12．化简下列各式 ‎（1） （2）‎ ‎（3） （4）‎ 解答 （1）∵‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎（2）‎ ‎ ‎ ‎（3）‎ ‎（4）∵ ‎ ‎∴ ‎ ‎∴原式=‎ ‎ ‎ 说明 要化简带绝对值符号的式子，首先按绝对值定义，将绝对值符号去掉，再去括号，合并同类项，或进行数的运算. ‎ 典型例题十三 例13．下列说法是否正确？为什么？‎ ‎（1）无限小数都是无理数；‎ ‎（2）无理数都是无限小数；‎ ‎（3）有理数都是有限小数；‎ ‎（4）不带根号的数都是有理数；‎ ‎（5）实数与数轴上的点一一对应；‎ ‎（6）实数有正实数与负实数两种．‎ 解答：（1）不正确，因为只有无限不循环小数方是无理数，而无限循环小数是有理数，如是有理数 ‎（2）正确，因为无理数是无限不循环小数；‎ ‎（3）不正确，因为无限循环小数是有理数，因此有理数不一定是有限小数，如；‎ ‎（4）不正确，如不带号，但是无理数；‎ ‎（5）正确，因为每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反过来，数轴上的每一个点都可以用一个实数来表示．‎ ‎（6）不正确，因为实数除了有正实数和负实数外，还包括0．‎ 说明：要理解无理数、实数的概念，掌握实数的分类，分类要有统一标准，分类后不漏不多.‎ 典型例题十四 例14．下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？‎ ‎0.5，，3.14，，，，，，，0．‎ 分析：判定一个数是不是无理数，不能只看它的形式，还要看算出的结果，应先将含有根号的数化简，然后再根据无理数的定义进行判断．‎ 解答： ∵，，，，；‎ ‎∴有理数有：0.5，3.14，，，，0；‎ 无理数有：，，，．‎ 典型例题十五 例15．计算：‎ ‎（1）（精确到0.01）；（2）（保留三个有效数字）．‎ 解答：（1）；‎ ‎（2）‎ ‎．‎ 说明：近似值的计算过程中，所取近似值的小数位，必须比题目要求的精确度多取一位进行计算，最后结果按题目要求取近似值．‎ 典型例题十六 例16．比较下列数的大小：‎ ‎（1）和3.1415； （2）和 分析：比较大小首先判断数的正负，再比较数的绝对值的大小. ‎ 解答：（1），‎ ‎， ‎ ‎（2），而，则 说明：比较无理数和有理数的大小，一种是将无理数转化为近似值的有理数比较，另一种采用算术平方根的比较法，即被开方数间比较大小. ‎ 典型例题十七 例17．求下列各式的x：‎ ‎（1）； （2）‎ 分析：根据绝对值的概念：正实数的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，把绝对值符号内的数看作整体求解. ‎ 解答：（1）‎ ‎（2），，‎ 即或 当时，，；‎ 当时，，. ‎ 选择题 ‎1．选择题 ‎（1）下列说法正确是 A．无限小数都是无理数 B．带根号的数是无理数 C．无理数是无限小数 D．无理数是开不尽方的数 ‎（2）和数轴上的点一一对应的数集是 A．整数集 B．有理数集 C．无理数集 D．实数集 ‎（3），，，，，这六个数中，无理数的个数是 A．2个 B．3个 C．4个 D．6个 ‎（4）下面关于0的判断正确的是 A．0是小数 B．0是整数 C．0是无理数 D．0是质数 ‎（5）实数中算术平方根最小的数是 A．1 B．0 C．非负数 D．不存在 ‎2．选择题 ‎（1）若有算术平方根，则的取值范围是 A． B． C． D．一切实数 ‎（2）根式有意义，的取值范围是 A．一切实数 B． C． D．‎ ‎（3）下列语句中正确的是 A．带根号的数都是无理数 B．不带根号的数一定是有理数 C．无理数一定是无限不循环小数 D．无限小数是无理数 ‎（4）是有理整数，是 A．有理数 B．负的实数 ‎ C．完全平方数 D．完全平方数的相反数 ‎（5）实数的平方的算术平方根是 A． B．‎ C． D．‎ ‎（6）下面式子成立的是 A． B．‎ C． D．‎ ‎3．选择题 ‎（1）若与它的绝对值之和为0，则的值是 A． B．1 C． D．‎ ‎（2）若实数满足，则等于 A． B． C． D．1‎ ‎（3）使有意义的的取值范围是 A． B．‎ C． D．且 ‎（4）下列语句中正确的是 A．任何实数都有两个互为相反数的平方根 B．零的立方根就是零 C．带根号的数就是无理数 D．－9的平方根是－3‎ ‎4．选择题 ‎（1）下列命题中：①带有根号的数是无理数；②无理数是开方开不尽的数；③无论取何实数，都有意义；④绝对值最小的实数是零.正确的命题有（ ）‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎（2）已知、为实数，下列命题中正确的是（ ）‎ A．，则 B．，则 C．,则 D．，则 参考答案：‎ ‎1．（1）C （2）D （3）A （4）B （5）B ‎2．（1）C （2）A （3）C（4）D（5）D（6）C ‎3．（1）B （2）B （3）D （4）B ‎4．（1）B（2）B 填空题 ‎1．填空题 ‎（1）______. （2）的相反数为________.‎ ‎（3）的倒数为_______. （4）绝对值最小的数为________.‎ ‎（5）若，则______.‎ ‎（6）的倒数的绝对数为________.‎ ‎（7）绝对值为的数为_______.‎ ‎（8）的平方为_______.‎ ‎（9）比较大小：_______ ；______ .‎ ‎（10）数轴上表示的点与原点距离是_______.‎ 参考答案：（1） （2） （3）3 （4）0 （5） （6） （7） （8）15（9） （10）‎ 填空题 ‎1．填空题 ‎（1）的相反数为_______.‎ ‎（2）_______.‎ ‎（3）比较大小：________ ‎ ‎（4）有意义，则的取值范围是________.‎ ‎（5）平方根等于本身的数为________.‎ ‎（6），则_______.‎ ‎（7）有意义，则取值范围是_______.‎ ‎（8）若，则_____.‎ ‎（9）比小且比大的整数为______.‎ ‎（10）________.‎ 参考答案：‎ ‎（1）3 （2） （3） （4） （5）0 （6） （7）全体实数（8） （9）2 （10）9‎ 填空题 ‎1．填空题 ‎（1）若，则的取值范围是___________.‎ ‎（2）若，则的范围是________.‎ ‎（3）当______时，有意义.‎ ‎（4）当，______时，在实数范围内有意义.‎ ‎（5）若，则_______.‎ ‎（6）当______时，有最大值是______.‎ ‎（7）计算：_______.（保留三个有效数字）‎ ‎（8）若，则_______.‎ ‎（9）比较大小______.‎ ‎（10），则的算术平方根为________.‎ 参考答案：（1） （2） （3）且 （4） （5）2 （6）0 （7） （8）4或－2 （9） （10）1或 填空题 ‎1．填空题 ‎（1）小于的所有正整数为_______.‎ ‎（2）________.‎ ‎（3）的相反数为_______.‎ ‎（4）比较大小：______.‎ ‎（5）若有算术平方根，则的取值范围是________.‎ ‎（6）若，则_______.‎ ‎（7）某数的立方根的绝对值为5，则这个数为______.‎ ‎（8）若，则的取值范围是_______.‎ ‎（9）大于的负整数为_______.‎ ‎（10）化简_______.‎ 参考答案：‎ ‎（1）1，2，3，4，5，6， （2） （3） （4） （5） ‎ ‎（6） （7） （8） （9）－4，－3，－2，－1 （10）‎ 解答题 ‎1．计算题（精确到）‎ ‎（1） （2）‎ ‎（3） （4）‎ ‎（5） （6）‎ ‎2．计算题（精确到）‎ ‎（1） （2）‎ ‎（3） （4）‎ ‎（5） （6）‎ ‎3．已知，且的算术平方根是4，求的值.‎ ‎4．化简 ‎（1）‎ ‎（2）（）‎ ‎（3）（）‎ ‎（4）（）‎ ‎5．求的值 ‎（1） （2）‎ ‎（3） （4）‎ ‎6．已知，求的值.‎ ‎7．已知等式成立，求、、的值 ‎8．球的半径，球的体积，（），求的值.（取，精确到）‎ ‎9．有边长为的正方形和长为，宽为的矩形，要作一个面积为这两个图形的面积之和的正方形，求边长应为多少？‎ ‎10．已知实数、、满足，求的值.‎ 参考答案：‎ ‎1．（1） （2） （3） （4） （5） （6）‎ ‎2．（1） （2） （3） （4） （5） （6）‎ ‎3．‎ ‎4．（1）1 （2） （3） （4）‎ ‎5．（1）－28 （2） （3） （4）‎ ‎6．3〔提示：〕‎ ‎7．‎ ‎8．‎ ‎9．13‎ ‎10．‎