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  • 2021-11-11 发布

中考数学专题复习练习:实数

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第一讲 实数 一、实数的相关概念:‎ ‎1.实数的分类:‎ ‎2. 偶数: 奇数:‎ ‎3. 相反数 只有符号不相同的两个数(“‎0”‎的相反数是“‎0”‎)‎ ①表示:表示一个数的相反数,就是在这个数的前面加“—”号 如:a—a;a—b—(a—b)=b—a ②性质特征:互为相反数的两个数,和为零。‎ ‎4. 倒数乘积为“‎1”‎的两个数(“‎0”‎没有倒数)‎ ①表示:a ②特征:互为倒数的两个数积为“‎1”‎ (若a与b互为倒数,则ab=1)‎ ‎5. 绝对值就是数轴上表示这个数的点到原点的距离.‎ ‎(互为相反数的两个数绝对值相等)‎ ‎︱a︱=︱—a︱;︱a—b︱=︱b—a︱‎ ‎︱a︱= ‎ ‎6.平方根、算术平方根、立方根:‎ ‎(1) 一个正数的平方等于,即,那么这个正数叫做的算术平方根.(记作).‎ ‎(2) 一个数的平方等于,那么这个数叫做的平方根.‎ ‎(3) 正数有两个平方根(±),它们互为相反数;其中正的平方根( ≥0)是它的算术平方根.‎ ‎(4) “‎0”‎的平方根只有一个,就是“‎0”‎;负数没有平方根.‎ ‎(5)完全平方数平方根是整数的数 如:0,1,4,9,16,……‎ ‎(6)立方根(),正数的立方根是正数; “‎0”‎的立方根是“‎0”‎;负数的立方根是负数 二、数轴:‎ ‎1.数轴三要素:原点、正方向、单位长度 ‎2.数轴上的点与实数一一对应;任意一个有理数在数轴上都有一个点与之对应,‎ 但数轴上的任意一个点不一定有一个有理数与之对应.(无理数点)‎ 三、科学记数法、近似数及有效数字:‎ ‎1.科学记数法:‎ ‎ 精确度:(1)保留几位有效数字 ;(2)精确到那一位 ‎2.近似数:用四舍五入精确到某一位的数 ‎3.有效数字:‎ 四、实数的运算:‎ ‎1.实数运算法则:‎ ‎2.实数大小的比较 ‎①利用数轴进行比较;②作差法;③作商法;④平方法. ‎ ‎3.除法 ‎ ‎4.乘方 ‎ 典型例题一 例01.下面命题中,正确的是( )‎ A.不带根号的数一定是有理数 B.有绝对值最大的数,也有绝对值最小的数 C.任何实数的绝对值都是正数 D.无理数一定是无限小数 分析 圆周率是不带根号的数,但它是无限不循环小数,所以它是无理数,可见命题A不正确. 实际上,可以写出很多不带根号的无理数,如0.101001000100001……就是一个无理数;不存在最大的正数(对任何正数a,都不如大),导致不存在绝对值最大的数,所以B是假命题;实数0的绝对值不是正数,可见命题C也不正确. ‎ 解答 D 说明 考查实数的意义. ‎ 典型例题二 例02.下列说法中正确的是( )‎ A.无理数是开方开不尽的数 B.无限小数不能化成分数 C.无限不循环小数是无理数 D.一个负数的立方根是无理数 分析 实数可分为无理数和有理数. 有限小数和无限循环小数统称为有理数,无限不循环小数称为无理数. 开方开不尽的数一定是无理数,但无理数还包含了其他数,如,任何有理数都枳经成分数形成. 所以A、B、D都是错的. C正确. ‎ 解答 C 说明 考查实数的分类及定义 无理数主要有3种表现形式:①开方开不尽的数;②一些常数,如、e等;③无限不循环小数,如0.1010010001…‎ 典型例题三 例03.实数,,,3.1416,,,0.2020020002……(每两个2之间多一个零)中,无理数的个数有( )‎ A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 分析 其中无理数有:,,0.202002…‎ 解答 B 说明 考查无理数的定义 及有关的数都是无理数. ‎ 典型例题四 例04.点A在数轴上和原点相距个单位,点B在数轴上和原点相距2个单位,则A,B两点间的距离是______. ‎ 分析 在数轴上和原点相距个单位的点A有两个,即和两个点. 点B和原点相距2个单位,则点B的坐标或. 如图所示. ‎ 所示A、B两点间距离是:‎ ‎,,,. ‎ 故或. ‎ 解答 或. ‎ 说明 点A在数轴上的坐标为,点B的坐标,则A,B两点的距离是. ‎ 典型例题五 例05.若实数a和b互为相反数,则;若实数a,b互为倒数,则 ‎;‎ 分析 因为a、b互为相反数,则. 若互为倒数,则. 又因故 解答 0;1;. ‎ 典型例题六 例06.判断下列说法是否正确,并简单说明理由 ‎(1)实数不是有理数就是无理数. ‎ ‎(2)无理数都是无限小数. ‎ ‎(3)有理数都是有限小数. ‎ ‎(4)不带根号的数都是有理数 . ‎ ‎(5)带根号的数都是无理数. ‎ ‎(6)数轴上的任何一点都可以表示实数. ‎ 解答 (1)实数不是有理数就是无理数. 正确. 因为实数就是由有理数和无理数组成的,二者必居其一. ‎ ‎(2)无理数都是无限小数. 正确. 无理数都是无限不循环小数当然都是无限小数. ‎ ‎(3)有理数都是有限小数. 不正确. 有理数中也有无限小数,例如是有理数,但它却是,是无限循环小数. ‎ ‎(4)不带根号的数都是有理数. 不正确. 这个数不带根号,我们都知道它是无理数. ‎ ‎(5)带根号的数都是无理数. 不正确. 是一个带根号的数,可是它是一个有理数. ‎ ‎(6)数轴上的任何一点. 都可以表示实数. 正确. 数轴上的点与实数是一一对应的. ‎ 说明 有理数和无理数统称为实数,无限不循环小数是无理数,有了无理数才使数轴上的点与实数一一对应,这些是我们判断某些说法是否正确的依据. ‎ 不要去试图确立无理数的其他定义或标准,只有紧扣无限不循环小数是无理数这个定义,才能避免错误. ‎ 典型例题七 例07.计算(精确到0.01)‎ ‎(1); (2)‎ 解答 (1)原式 ‎ ‎ ‎(2)原式 说明 在实数运算中,有理数中的运算法则和运算定律同样适用,在无理数运算中,常用其近似值去代替无理数. ‎ 典型例题八 例08.化简 ‎ 解答 ∵,,,‎ ‎∴,,,‎ ‎∴‎ 说明 关键在于根据绝对值的定义,正确地去掉绝对值的符号,以便进行运算,运算中还要注意防止发生符号错误. ‎ 典型例题九 例09.比较与的大小. ‎ 分析 若,则;,则;若,则,反之亦然. ‎ 解答 ∵‎ 当时,显然,,即;‎ 当时,,即;‎ 当时,,即;‎ 当时,,即;‎ 当时,,即;‎ 当时, ,即. ‎ 综上,当和时,;当时,;当和时. ‎ 典型例题十 例10.设x,y是有理数,并且x,y满足等式,求的值. ‎ 分析 利用实数等于零的条件,即有理数和无理数部分分别是零. ‎ 解答 ∵‎ ‎∴ ‎ 又∵x,y都是有理数. ‎ ‎∴ 和都是有理数. ‎ 而由于0是有理数,‎ ‎∴必为有理数. ‎ ‎ ∴‎ ‎∴当时,;‎ 当时,. ‎ 典型例题十一 例11.怎样运用作图的方法,在数轴上找出表示的点. ‎ 分析 我们可以借助勾股定理来找出表示的线段长. 如果一个直角三角形的两条直角边长分别是1和和,那么它的斜边长就是. ‎ 解答 如图,作一个直解边分别是3和1的直角三角形,以原点O为圆心,三角形斜边长为半径画弧,它与数轴负半轴的交点C即为表示的点. ()‎ 说明 这个直角三角形也可以作在其他地方,但必须使它1个单位长度与数轴所取的单位长度一致. 另外与学习有理数时相同数轴上原点右边的点表示正数,故在原点左边. ‎ 典型例题十二 例12.化简下列各式 ‎(1) (2)‎ ‎(3) (4)‎ 解答 (1)∵‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎(2)‎ ‎ ‎ ‎(3)‎ ‎(4)∵ ‎ ‎∴ ‎ ‎∴原式=‎ ‎ ‎ 说明 要化简带绝对值符号的式子,首先按绝对值定义,将绝对值符号去掉,再去括号,合并同类项,或进行数的运算. ‎ 典型例题十三 例13.下列说法是否正确?为什么?‎ ‎(1)无限小数都是无理数;‎ ‎(2)无理数都是无限小数;‎ ‎(3)有理数都是有限小数;‎ ‎(4)不带根号的数都是有理数;‎ ‎(5)实数与数轴上的点一一对应;‎ ‎(6)实数有正实数与负实数两种.‎ 解答:(1)不正确,因为只有无限不循环小数方是无理数,而无限循环小数是有理数,如是有理数 ‎(2)正确,因为无理数是无限不循环小数;‎ ‎(3)不正确,因为无限循环小数是有理数,因此有理数不一定是有限小数,如;‎ ‎(4)不正确,如不带号,但是无理数;‎ ‎(5)正确,因为每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示,反过来,数轴上的每一个点都可以用一个实数来表示.‎ ‎(6)不正确,因为实数除了有正实数和负实数外,还包括0.‎ 说明:要理解无理数、实数的概念,掌握实数的分类,分类要有统一标准,分类后不漏不多.‎ 典型例题十四 例14.下列各数中,哪些是有理数?哪些是无理数?‎ ‎0.5,,3.14,,,,,,,0.‎ 分析:判定一个数是不是无理数,不能只看它的形式,还要看算出的结果,应先将含有根号的数化简,然后再根据无理数的定义进行判断.‎ 解答: ∵,,,,;‎ ‎∴有理数有:0.5,3.14,,,,0;‎ 无理数有:,,,.‎ 典型例题十五 例15.计算:‎ ‎(1)(精确到0.01);(2)(保留三个有效数字).‎ 解答:(1);‎ ‎(2)‎ ‎.‎ 说明:近似值的计算过程中,所取近似值的小数位,必须比题目要求的精确度多取一位进行计算,最后结果按题目要求取近似值.‎ 典型例题十六 例16.比较下列数的大小:‎ ‎(1)和3.1415; (2)和 分析:比较大小首先判断数的正负,再比较数的绝对值的大小. ‎ 解答:(1),‎ ‎, ‎ ‎(2),而,则 说明:比较无理数和有理数的大小,一种是将无理数转化为近似值的有理数比较,另一种采用算术平方根的比较法,即被开方数间比较大小. ‎ 典型例题十七 例17.求下列各式的x:‎ ‎(1); (2)‎ 分析:根据绝对值的概念:正实数的绝对值是它本身,负实数的绝对值是它的相反数,把绝对值符号内的数看作整体求解. ‎ 解答:(1)‎ ‎(2),,‎ 即或 当时,,;‎ 当时,,. ‎ 选择题 ‎1.选择题 ‎(1)下列说法正确是 A.无限小数都是无理数 B.带根号的数是无理数 C.无理数是无限小数 D.无理数是开不尽方的数 ‎(2)和数轴上的点一一对应的数集是 A.整数集 B.有理数集 C.无理数集 D.实数集 ‎(3),,,,,这六个数中,无理数的个数是 A.2个 B.3个 C.4个 D.6个 ‎(4)下面关于0的判断正确的是 A.0是小数 B.0是整数 C.0是无理数 D.0是质数 ‎(5)实数中算术平方根最小的数是 A.1 B.0 C.非负数 D.不存在 ‎2.选择题 ‎(1)若有算术平方根,则的取值范围是 A. B. C. D.一切实数 ‎(2)根式有意义,的取值范围是 A.一切实数 B. C. D.‎ ‎(3)下列语句中正确的是 A.带根号的数都是无理数 B.不带根号的数一定是有理数 C.无理数一定是无限不循环小数 D.无限小数是无理数 ‎(4)是有理整数,是 A.有理数 B.负的实数 ‎ C.完全平方数 D.完全平方数的相反数 ‎(5)实数的平方的算术平方根是 A. B.‎ C. D.‎ ‎(6)下面式子成立的是 A. B.‎ C. D.‎ ‎3.选择题 ‎(1)若与它的绝对值之和为0,则的值是 A. B.1 C. D.‎ ‎(2)若实数满足,则等于 A. B. C. D.1‎ ‎(3)使有意义的的取值范围是 A. B.‎ C. D.且 ‎(4)下列语句中正确的是 A.任何实数都有两个互为相反数的平方根 B.零的立方根就是零 C.带根号的数就是无理数 D.-9的平方根是-3‎ ‎4.选择题 ‎(1)下列命题中:①带有根号的数是无理数;②无理数是开方开不尽的数;③无论取何实数,都有意义;④绝对值最小的实数是零.正确的命题有( )‎ A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 ‎(2)已知、为实数,下列命题中正确的是( )‎ A.,则 B.,则 C.,则 D.,则 参考答案:‎ ‎1.(1)C (2)D (3)A (4)B (5)B ‎2.(1)C (2)A (3)C(4)D(5)D(6)C ‎3.(1)B (2)B (3)D (4)B ‎4.(1)B(2)B 填空题 ‎1.填空题 ‎(1)______. (2)的相反数为________.‎ ‎(3)的倒数为_______. (4)绝对值最小的数为________.‎ ‎(5)若,则______.‎ ‎(6)的倒数的绝对数为________.‎ ‎(7)绝对值为的数为_______.‎ ‎(8)的平方为_______.‎ ‎(9)比较大小:_______ ;______ .‎ ‎(10)数轴上表示的点与原点距离是_______.‎ 参考答案:(1) (2) (3)3 (4)0 (5) (6) (7) (8)15(9) (10)‎ 填空题 ‎1.填空题 ‎(1)的相反数为_______.‎ ‎(2)_______.‎ ‎(3)比较大小:________ ‎ ‎(4)有意义,则的取值范围是________.‎ ‎(5)平方根等于本身的数为________.‎ ‎(6),则_______.‎ ‎(7)有意义,则取值范围是_______.‎ ‎(8)若,则_____.‎ ‎(9)比小且比大的整数为______.‎ ‎(10)________.‎ 参考答案:‎ ‎(1)3 (2) (3) (4) (5)0 (6) (7)全体实数(8) (9)2 (10)9‎ 填空题 ‎1.填空题 ‎(1)若,则的取值范围是___________.‎ ‎(2)若,则的范围是________.‎ ‎(3)当______时,有意义.‎ ‎(4)当,______时,在实数范围内有意义.‎ ‎(5)若,则_______.‎ ‎(6)当______时,有最大值是______.‎ ‎(7)计算:_______.(保留三个有效数字)‎ ‎(8)若,则_______.‎ ‎(9)比较大小______.‎ ‎(10),则的算术平方根为________.‎ 参考答案:(1) (2) (3)且 (4) (5)2 (6)0 (7) (8)4或-2 (9) (10)1或 填空题 ‎1.填空题 ‎(1)小于的所有正整数为_______.‎ ‎(2)________.‎ ‎(3)的相反数为_______.‎ ‎(4)比较大小:______.‎ ‎(5)若有算术平方根,则的取值范围是________.‎ ‎(6)若,则_______.‎ ‎(7)某数的立方根的绝对值为5,则这个数为______.‎ ‎(8)若,则的取值范围是_______.‎ ‎(9)大于的负整数为_______.‎ ‎(10)化简_______.‎ 参考答案:‎ ‎(1)1,2,3,4,5,6, (2) (3) (4) (5) ‎ ‎(6) (7) (8) (9)-4,-3,-2,-1 (10)‎ 解答题 ‎1.计算题(精确到)‎ ‎(1) (2)‎ ‎(3) (4)‎ ‎(5) (6)‎ ‎2.计算题(精确到)‎ ‎(1) (2)‎ ‎(3) (4)‎ ‎(5) (6)‎ ‎3.已知,且的算术平方根是4,求的值.‎ ‎4.化简 ‎(1)‎ ‎(2)()‎ ‎(3)()‎ ‎(4)()‎ ‎5.求的值 ‎(1) (2)‎ ‎(3) (4)‎ ‎6.已知,求的值.‎ ‎7.已知等式成立,求、、的值 ‎8.球的半径,球的体积,(),求的值.(取,精确到)‎ ‎9.有边长为的正方形和长为,宽为的矩形,要作一个面积为这两个图形的面积之和的正方形,求边长应为多少?‎ ‎10.已知实数、、满足,求的值.‎ 参考答案:‎ ‎1.(1) (2) (3) (4) (5) (6)‎ ‎2.(1) (2) (3) (4) (5) (6)‎ ‎3.‎ ‎4.(1)1 (2) (3) (4)‎ ‎5.(1)-28 (2) (3) (4)‎ ‎6.3〔提示:〕‎ ‎7.‎ ‎8.‎ ‎9.13‎ ‎10.‎