初中数学中考复习课件章节考点专题突破：聚焦中考专题3 方案设计与动手操作型问题 54页

专题三　方案设计与动手操作型问题 要点梳理 方案设计型问题是设置一个实际问题的情景 ， 给出若干信息 ， 提出解决问题的要求 ， 寻求恰当的解决方案 ， 有时还给出几个不同的解决方案 ， 要求判断其中哪个方案最优．方案设计型问题主要考查学生的动手操作能力和实践能力．方案设计型问题 ， 主要有以下几种类型： 要点梳理 (1) 讨论材料 ， 合理猜想 —— 设置一段讨论材料 ， 让考生进行科学的判断、推理、证明； (2) 画图设计 ， 动手操作 —— 给出图形和若干信息 ， 让考生按要求对图形进行分割或设计美观的图案； 要点梳理 (3) 设计方案 ， 比较择优 —— 给出问题情境 ， 提出要求 ， 让考生寻求最佳解决方案． 操作型问题是指通过动手实验 ， 获得数学结论的研究性活动．这类问题需要动手操作、合理猜想和验证 ， 有助于实践能力和创新能力的培养 ， 更有助于养成实验研究的习惯．常见类型有： (1) 图形的分割与拼接； (2) 图形的平移、旋转与翻折； (3) 立体图形与平面图形之间的相互转化． 三个解题策略 (1) 方程或不等式解决方案设计问题：首先要了解问题取材的生活背景；其次要弄清题意 ， 根据题意建构恰当的方程模型或不等式模型 ， 求出所求未知数的取值范围；最后再结合实际问题确定方案设计的种数． (2) 择优型方案设计问题：这类问题一般方案已经给出 ， 要求综合运用数学知识比较确定哪种方案合理．此类问题要注意两点：一是要符合问题描述的要求 ， 二是要具有代表性． (3) 操作型问题：大体可分为三类 ， 即图案设计类、图形拼接类、图形分割类等．对于图案设计类 ， 一般运用中心对称、轴对称或旋转等几何知识去解决；对于图形拼接类 ， 关键是抓住需要拼接的图形与所给图形之间的内在关系 ， 然后逐一组合；对于图形分割类 ， 一般遵循由特殊到一般、由简单到复杂的动手操作过程． 1 ． ( 2014 · 绍兴 ) 将一张正方形纸片 ， 按如图步骤 ①② ， 沿虚线对折两次 ， 然后沿 ③ 中的虚线剪去一个角 ， 展开铺平后的图形是 ( ) C 2 ． ( 2014 · 江西 ) 如图 ， 贤贤同学用手工纸制作一个台灯灯罩 ， 做好后发现上口太小了 ， 于是他把纸灯罩对齐压扁 ， 剪去上面一截后 ， 正好合适．以下裁剪示意图中 ， 正确的是 ( ) A 3 ． 一位园艺设计师计划在一块形状为直角三角形且有一个内角为 60° 的绿化带上种植四种不同的花卉 ， 要求种植的四种花卉分别组成面积相等 ， 形状完全相同的几何图形图案．某同学为此提供了如图所示的五种设计方案．其中可以满足园艺设计师要求的有 ( ) A ． 2 种　　　 B ． 3 种　　　 C ． 4 种　　　 D ． 5 种 C 4 ． 小明家春天粉刷房间 ， 雇用了 5 个工人 ， 每人每天做 8 小时 ， 做了 10 天完成．用了某种涂料 150 升 ， 费用为 4800 元；粉刷的面积是 150 m 2 . 最后结算工钱时 ， 有以下几种方案： ①按工算 ， 每个工 60 元 (1 个工人干 1 天是一个工 ) ；②按涂料费用算 ， 涂料费用的 60% 作为工钱；③按粉刷面积算 ， 每平方米付工钱 24 元；④按每人每小时付工钱 8 元计算． 你认为付钱最划算的方案是 ( ) A ． ① B ．② C ．③ D ．④ B 5 ． ( 2014 · 黄冈 ) 如图 ， 在一张长为 8 cm ， 宽为 6 cm 的矩形纸片上 ， 现要剪下一个腰长为 5 cm 的等腰三角形 ( 要求：等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合 ， 其余的两个顶点在矩形的边上 ) ．则剪下的等腰三角形的面积为 cm 2 . 统计测量型方案设计 【 例 1 】 　某学校举行演讲比赛 ， 选出了 10 名同学担任评委 ， 并事先拟定从如下 4 个方案中选择合理的方案来确定每个演讲者的最后得分 ( 满分为 10 分 ) ： 方案 1 ：所有评委所给分的平均数； 方案 2 ：在所有评委所给分中 ， 去掉一个最高分和一个最低分 ， 然后再计算其余给分的平均数； 方案 3 ：所有评委所给分的中位数； 方案 4 ：所有评委所给分的众数． 为了探究上述方案的合理性 ， 先对某个同学的演讲成绩进行了统计实验．下面是这个同学的得分统计图： (1) 分别按上述 4 个方案计算这个同学演讲的最后得分； (2) 根据 (1) 中的结果 ， 请用统计的知识说明哪些方案不适合作为这个同学演讲的最后得分． 因为方案 1 中的平均数受极端数值的影响 ， 不能反映这组数据的 “ 平均水平 ” ， 所以方案 1 不适合作为最后得分的方案；又因为方案 4 中的众数有两个 ， 从而使众数失去了实际意义 ， 所以方案 4 不适合作为最后得分的方案． 【 点评 】 通过计算得出各个方案的数值 ， 逐一比较． 1 ． ( 2012 · 宜宾 ) 如图 ， 飞机沿水平方向 (A ， B 两点所在直线 ) 飞行 ， 前方有一座高山 ， 为了避免飞机飞行过低 ， 就必须测量山顶 M 到飞行路线 AB 的距离 MN. 飞机能够测量的数据有俯角和飞行距离 ( 因安全因素 ， 飞机不能飞到山顶的正上方 N 处才测飞行距离 ) ， 请设计一个求距离 MN 的方案 ， 要求： (1) 指出需要测量的数据 ( 用字母表示 ， 并在图出 ) ； (2) 用测出的数据写出求距离 MN 的步骤． 利用方程 ( 组 ) 、不等式、函数进行方案设计 【 例 2】 　 ( 2013 · 茂名 ) 在信宜市某 “ 三华李 ” 种植基地有 A ， B 两个品种的树苗出售，已知 A 种比 B 种每株多 2 元，买 1 株 A 种树苗和 2 株 B 种树苗共需 20 元． (1) 问 A ， B 两种树苗每株分别是多少元？ (2) 为扩大种植 ， 某农户准备购买 A ， B 两种树苗共 360 株 ， 且 A 种树苗数量不少于 B 种数量的一半 ， 请求出费用最省的购买方案． 【 点评 】 本题考查了列二元一次方程组解决实际问题的运用、不等式的运用、一次函数的解析式的运用 ， 解答时建立一次函数关系式是难点． 2 ． ( 2014 · 丽水 ) 为了保护环境 ， 某开发区综合治理指挥部决定购买 A ， B 两种型号的污水处理设备共 10 台．已知用 90 万元购买 A 型号的污水处理设备的台数与用 75 万元购买 B 型号的污水处理设备的台数相同 ， 每台设备价格及月处理污水量如下表所示： 污水处理设备 A 型 B 型 价格 ( 万元 / 台 ) m m － 3 月处理污水量 ( 吨 / 台 ) 220 180 (1) 求 m 的值； (2) 由于受资金限制 ， 指挥部用于购买污水处理设备的资金不超过 165 万元 ， 问有多少种购买方案？并求出每月最多处理污水量的吨数． 设买 A 型污水处理设备 x 台 ， 则 B 型 ( 10 － x ) 台 ， 根据题意得： 18x ＋ 15 ( 10 － x ) ≤165 ， 解得 x≤5 ， 由于 x 是整数 ， 则有 6 种方案 ， 当 x ＝ 0 时 ， y ＝ 10 ， 月处理污水量为 1800 吨 ， 当 x ＝ 1 时 ， y ＝ 9 ， 月处理污水量为 220 ＋ 180×9 ＝ 1840 吨 ， 当 x ＝ 2 时 ， y ＝ 8 ， 月处理污水量为 220×2 ＋ 180×8 ＝ 1880 吨 ， 当 x ＝ 3 时 ， y ＝ 7 ， 月处理污水量为 220 × 3 ＋ 180×7 ＝ 1920 吨 ， 当 x ＝ 4 时 ， y ＝ 6 ， 月处理污水量为 220×4 ＋ 180×6 ＝ 1960 吨 ， 当 x ＝ 5 时 ， y ＝ 5 ， 月处理污水量为 220×5 ＋ 180×5 ＝ 2000 吨 ， 答：有 6 种购买方案 ， 每月最多处理污水量的吨数为 2000 吨． 图形类方案设计 【 例 3 】 　 ( 2014 · 济宁 ) 在数学活动课上 ， 王老师发给每位同学一张半径为 6 个单位长度的圆形纸板 ， 要求同学们： (1) 从带刻度的三角板、量角器和圆规三种作图工具中任意选取作图工具 ， 把圆形纸板分成面积相等的四部分； (2) 设计的整个图案是某种对称图形． 王老师给出了方案一 ， 请你用所学的知识再设计两种方案 ， 并完成下面的设计报告． 【 点评 】 　本题主要考查了利用轴对称设计图案以及轴对称图形、中心对称图形的性质 ， 熟练利用扇形面积公式是解题关键． 3 ． 认真观察下图的 4 个图中阴影部分构成的图案 ， 回答下列问题： (1) 请写出这四个图案都具有的两个共同特征． 特征 1 ： ； 特征 2 ： ． 都是轴对称图形 都是中心对称图形 (2) 请在下图中设计出你心中最美丽的图案 ， 使它也具备你所写出的上述特征． 【 例 4 】 　 ( 2014 · 广安 ) 在校园文化建设活动中 ， 需要裁剪一些菱形来美化教室．现有平行四边形 ABCD 的邻边长分别为 1 ， a(a ＞ 1) 的纸片 ， 先剪去一个菱形 ， 余下一个四边形 ， 在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形 ， 又余下一个四边形 ， … 依此类推 ， 请画出剪三次后余下的四边形是菱形的裁剪线的各种示意图 ， 并求出 a 的值． 图形的分割与拼接 解： ① 如图 ， a ＝ 4 ， ② 如图 ， a ＝ 5 2 ， ③ 如图 ， a ＝ 4 3 ， ④ 如图 ， a ＝ 5 3 ， 【 点评 】 　本题主要考查了图形的剪拼以及菱形的判定 ， 根据已知平行四边形 ABCD 将平行四边形分割是解题关键． 4 ． △ ABC 是一张等腰直角三角形纸板 ， ∠ C ＝ 90° ， AC ＝ BC ＝ 2. (1) 要在这张纸板中剪出一个尽可能大的正方形 ， 甲、乙两种剪法 ( 如图 ① ) ， 比较甲、乙两种剪法 ， 哪种剪法所得的正方形面积更大？请说明理由． 解： ( 1 ) 如图甲 ， 由题意得 AE ＝ DE ＝ EC ， 即 EC ＝ 1S 正方形 CFDE ＝ 1. 如图乙 ， 设 MN ＝ x ， 则由题意 ， 得 AM ＝ MQ ＝ PN ＝ NB ＝ MN ＝ x ， ∴ 3x ＝ 2 2 ， 解得 x ＝ 2 2 3 ， ∴ S 正方形 PNMQ ＝ ( 2 2 3 ) 2 ＝ 8 9 . ∵ 1 ＞ 8 9 ， ∴ 甲种剪法所得的正方 形的面积更大； (2) 图①中甲种剪法称为第 1 次剪取 ， 记所得的正方形面积为 S 1 ；按照甲种剪法 ， 在余下的△ ADE 和△ BDF 中 ， 分别剪取正方形 ， 得到两个相同的正方形 ， 称为第 2 次剪取 ， 并记这两个正方形面积和为 S 2 ( 如图② ) ， 则 S 2 ＝ ____ ；再在余下的四个三角形 中 ， 用同样的方法分别剪取正方形 ， 得到四个相同的正方形 ， 称为第 3 次剪取 ， 并记这四个正方形的面积和为 S 3 ( 如图③ ) ；继续操作下去 …… 则第 10 次剪取时 ， S 10 ＝ ____ ． (3) 求第 10 次剪取后 ， 余下的所有小三角形的面积和． 　 图形的平移、旋转与翻折 【 例 5 】 　 ( 2014 · 江西 ) 如图① ， 边长为 4 的正方形 ABCD 中 ， 点 E 在 AB 边上 ( 不与点 A ， B 重合 ) ， 点 F 在 BC 边上 ( 不与点 B ， C 重合 ) ． 第一次操作：将线段 EF 绕点 F 顺时针旋转 ， 当点 E 落在正方形上时 ， 记为点 G ； 第二次操作：将线段 FG 绕点 G 顺时针旋转 ， 当点 F 落在正方形上时 ， 记为点 H ； 依此操作下去 …… (1) 图②中的三角形 EFD 是经过两次操作后得到的 ， 其形状为 ， 求此时线段 EF 的长； 等边三角形 (2) 若经过三次操作可得到四边形 EFGH ； ①请判断四边形 EFGH 的形状为 ， 此时 AE 与 BF 的数量关系是 ； 四边形 EFGH 为正方形 AE ＝ BF ②以①中的结论为前提 ， 设 AE 的长为 x ， 四边形 EFGH 的面积为 y ， 求 y 与 x 的函数关系式及面积 y 的取值范围． ∵ AE ＝ x ， ∴ BE ＝ 4 － x.∵ 在 Rt △ BEF 中 ， EF 2 ＝ BF 2 ＋ BE 2 ， AE ＝ BF ， ∴ y ＝ EF 2 ＝ ( 4 － x ) 2 ＋ x 2 ＝ 16 － 8x ＋ x 2 ＋ x 2 ＝ 2x 2 － 8x ＋ 16 ， ∵点 E 不与点 A ， B 重合 ， 点 F 不与点 B ， C 重合 ， ∴ 0 ＜ x ＜ 4.∵y ＝ 2x 2 － 8x ＋ 16 ＝ 2 ( x 2 － 4x ＋ 4 ) ＋ 8 ＝ 2 ( x － 2 ) 2 ＋ 8 ， ∴当 x ＝ 2 时有最小值 8 ， 当 x ＝ 0 或 4 时 ， 有最大值 16 ， ∴ y 的取值范围是 8≤y ＜ 16. 【 点评 】 　 本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理的应用以及旋转的性质 ， 准确找出其中的等量关系并列出方程是解本题的关键． 5 ． ( 2013 · 河南 ) 如图 ① ， 将两个完全相同的三角形纸片 ABC 和 DEC 重合放置 ， 其中 ∠ C ＝ 90° ， ∠ B ＝ ∠ E ＝ 30°. (1) 操作发现 如图 ② ， 固定 △ ABC ， 使 △ DEC 绕点 C 旋转 ， 当点 D 恰好落在 AB 边上时 ， 填空： ① 线段 DE 与 AC 的位置关系是 ； ② 设 △ BDC 的面积为 S 1 ， △ AEC 的面积为 S 2 ， 则 S 1 与 S 2 的数量关系 是 ． DE ∥ AC S 1 ＝ S 2 (2) 猜想论证 当 △ DEC 绕点 C 旋转到如图 ③ 所示的位置时 ， 小明猜想 (1) 中 S 1 与 S 2 的数量关系仍然成立 ， 并尝试分别作出了 △ BDC 和 △ AEC 中 BC ， CE 边上的高 ， 请你证明小明的猜想． (3) 拓展探究 已知∠ ABC ＝ 60° ， 点 D 是角平分线上一点 ， BD ＝ CD ＝ 4 ， DE ∥ AB 交 BC 于点 E ( 如图④ ) ．若在射线 BA 上存在点 F ， 使 S △ DCF ＝ S △ BDE ， 请直接写出相应的 BF 的长． ( 3 ) 如图 ， 过点 D 作 DF 1 ∥ BE ， 易求四边形 BEDF 1 是菱形 ， 所以 BE ＝ DF 1 ， 且 BE ， DF 1 上的 高相等 ， 此时 S △ DCF ＝ S △ BDE ， 过点 D 作 DF 2 ⊥ BD ， ∵∠ ABC ＝ 60 ° ， ∴∠ F 1 DF 2 ＝ ∠ ABC ＝ 60 ° ， ∴△ DF 1 F 2 是等边三角形 ， ∴ DF 1 ＝ DF 2 ， ∵ BD ＝ CD ， ∠ ABC ＝ 60 ° ， 点 D 是角平分线上一点 ， ∴∠ DBC ＝ ∠ DCB ＝ 1 2 × 60 ° ＝ 30 ° ， ∴ ∠ CDF 1 ＝ 180 ° － 30 ° ＝ 150 ° ， ∠ CDF 2 ＝ 360 ° － 150 ° － 60 ° ＝ 150 ° ， ∴∠ CDF 1 ＝ ∠ CDF 2 ， ∵ 在 △ CDF 1 和 △ CDF 2 中 ， î í ì DF 1 ＝ DF 2 ， ∠ CDF 1 ＝ ∠ CDF 2 ， CD ＝ CD ， ∴△ CDF 1 ≌△ CDF 2 ( SAS ) ， ∴ 点 F 2 也是所求的点 ， ∵∠ ABC ＝ 60 ° ， 点 D 是角平分线上一点 ， DE ∥ AB ， ∴∠ DBC ＝ ∠ BDE ＝ ∠ ABD ＝ 1 2 × 60 ° ＝ 30 ° ， 又 ∵ BD ＝ 4 ， ∴ BE ＝ 1 2 × 4÷ cos30 ° ＝ 2÷ 3 2 ＝ 4 3 3 ， ∴ BF 1 ＝ 4 3 3 ， BF 2 ＝ BF 1 ＋ F 1 F 2 ＝ 4 3 3 ＋ 4 3 3 ＝ 8 3 3 ， 故 BF 的长为 4 3 3 或 8 3 3 . 立体图形与平面图形之间的相互转化 【 例 6 】 　 ( 2012 · 绍兴 ) 把一边长为 40 cm 的正方形硬纸板进行适当的剪裁 ， 折成一个长方形盒子 ( 纸板的厚度忽略不计 ) ． (1) 如图 ， 若在正方形硬纸板的四角各剪一个同样大小的正方形 ， 将剩余部分折成一个无盖的长方体盒子． ①要使折成的长方体盒子的底面积为 484 cm 2 ， 那么剪掉的正方形的边长为多少？ ②折成的长方体盒子的侧面积是否有最大值？如果有 ， 求出这个最大值和此时剪掉的正方形的边长；如果没有 ， 说明理由． 解： ( 1 ) ① 设剪掉的正方形的边长为 x cm. 则 ( 40 － 2x ) 2 ＝ 484 ， 解得 x 1 ＝ 31 ( 不合题意 ， 舍去 ) ， x 2 ＝ 9.∴ 剪掉的正方形的边长为 9 cm. ② 侧面积有最大值．设剪掉的正方形的边长为 x cm ， 盒子的侧面积为 y cm 2 ， 则 y 与 x 的函数关系为： y ＝ 4 ( 40 － 2x ) x ＝－ 8x 2 ＋ 160x ＝－ 8 ( x － 10 ) 2 ＋ 800 ， ∴ x ＝ 10 时 ， y 最大 ＝ 800. 即当剪掉的正方形的边长为 10 cm 时 ， 长方体盒子的侧面积最大 ， 为 800 cm 2 ； (2) 若在正方形硬纸板的四周剪掉一些矩形 ( 即剪掉的矩形至少有一条边在正方形硬纸板的边上 ) ， 将剩余部分折成一个有盖的长方体盒子 ， 若折成的一个长方体盒子的表面积为 550 cm 2 ， 求此时长方体盒子的长、宽、高． ( 只需求出符合要求的一种情况 ) 在如图的一种剪裁图中 ， 设剪掉的正方形的边长为 x cm. 则 2 ( 40 － 2x )( 20 － x ) ＋ 2x ( 20 － x ) ＋ 2x ( 40 － 2x ) ＝ 550 ， 解得： x 1 ＝－ 35 ( 不合题意 ， 舍去 ) ， x 2 ＝ 15.∴ 剪掉的正方形的边 长为 15 cm. 此时长方体盒子的长为 15 cm ， 宽为 10 cm ， 高为 5 cm. 【 点评 】 此题主要考查了二次函数的应用 ， 找到关键描述语 ， 把平面图形围成立体图形然后找到等量关系 ， 准确地列出函数关系式是解决问题的关键． 6 ． ( 2014 · 凉山州 ) 如图 ， 圆柱形容器高为 18 cm ， 底面周长为 24 cm ， 在杯内壁离杯底 4 cm 的点 B 处有一滴蜂蜜 ， 此时一只蚂蚁正好在杯外壁 ， 离杯上沿 2 cm 与蜂蜜相对的点 A 处 ， 则蚂蚁从外壁 A 处到达内壁 B 处的最短距离为 ____ cm. 20 试题　动手操作：在矩形纸片 ABCD 中 ， AB ＝ 3 ， AD ＝ 5. 如图所示 ， 折叠纸片 ， 使点 A 落在 BC 边上的 A ′ 处 ， 折痕为 PQ ， 当点 A ′ 在 BC 边上移动时 ， 折痕的端点 P ， Q 也随之移动．若限定点 P ， Q 分别在 AB ， AD 边上移动 ， 则点 A ′ 在 BC 边上可移动的最大距离为 ________ ． 错解： 1. 剖析　 学生主要缺乏动手操作习惯 ， 单凭想象造成错误．本题考查了学生的动手能力及图形的折叠、勾股定理的应用等知识 ， 难度稍大 ， 关键在于找到两个极端 ， 即 BA ′ 取最大或最小值时 ， 点 P 或 Q 的位置．经实验不难发现 ， 分别求出点 P 与 B 重合时 ， BA ′ 取最大值 3 和当点 Q 与 D 重合时 ， BA ′ 的最小值 1. 所以可求点 A ′ 在 BC 边上移动的最大距离为 2. 正解　当点 P 与 B 重合时 ， BA ′ 取最大值是 3 ， 当点 Q 与 D 重合时 ( 如图 ) ， 由勾股定理得 A ′ C ＝ 4 ， 此时 BA ′ 取最小值为 1. 则点 A ′ 在 BC 边上移动的最大距离为 3 － 1 ＝ 2.