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  • 2021-11-11 发布

中考数学专题复习练习:勾股定理的逆定理

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例01.在中,,,为三边,试判断该三角形是否为直角三角形?‎ 解答:∵,‎ ‎,‎ ‎∴边为三角形的最大边,‎ 又∵,‎ ‎,‎ ‎∴‎ 根据勾股定理的逆定理可知,为直角三角形. ‎ 说明:三角形的三边分别为,,,其中为最大边. ‎ ‎(1)若,则三角形是直角三角形;‎ ‎(2)若,则三角形是锐角三角形;‎ ‎(3)若,则三角形是钝角三角形;‎ 例02.如图所示,在正方形ABCD中,F为AD上一点,且,E是CD的中点. ‎ 求证:. ‎ 分析:要证,可证,即证的直角三角形,由勾股定理的逆定理,可证,可通过在直角三角形BCE,直角三角形EDF,直角三角形BAF中分别计算出BE,EF,BF的长. ‎ 证明:连结BF,‎ 设正方形ABCD的边长为,则,,‎ 在直角三角形BCE中,‎ ‎. ‎ 在直角三角形EDF中,‎ ‎,‎ 在直角三角形ABF中,‎ ‎,‎ 由勾股定理的逆定理可知:‎ 为直角三角形,且BF为最大边 ‎∴ ‎ ‎∴ ‎ 说明:证明某个三角形中的两条边垂角,而三条边的长度为已知,则常用勾股定理的逆定理来证明该三角形为直角三角形. ‎ 例03.如图所示,中,,AD是中线,,垂足为E,‎ 求证:. ‎ 分析:要证,由于AE,AC,BE三条边不在同一个三角形中,因此无法用勾股定理的逆定理来证明,根据题意我们可以将BE用AE,AC表示出来即可,这样有. 所以只要证明:‎ ‎,‎ 即证明,‎ ‎∵ 在直角三角形AED中,,‎ 在直角三角形ACD中,‎ ‎∴ ,‎ 本题即获解决 证明可由读者自己完成 例04.已知、、为的三边,且满足.‎ 求证:这个三角形是直角三角形. ‎ 分析:要证明是直角三角形,应从它的三边、、入手,如果有关系或或成立,那么这个三角形一定是直角三角形.‎ ‎ 从已知条件,可以求出、、的长. ‎ 解答:由已知得:. ‎ ‎∴ ‎ 即 ‎ ‎∵‎ ‎∴ ,即 ‎∵,即有,∴是直角三角形. ‎ 说明:直角三角形适用于勾股定理,而利用逆定理是判断一个三角形是直角三角形的方法,当由边之间的关系判断三角形的形状时,我们用勾股定理先行考证,没有条件时,创造条件,从而求出边长或边长之间的关系,进而判断. ‎ 典型例题分析 例1 如果一个三角形的三边长分别为,则这三角形是直角三角形 分析: 验证三边是否符合勾股定量的逆定理 证明:∵‎ ‎∴‎ ‎∵∠C=‎ 说明:勾股定理的逆定理给出了判定一个三角形是直角三角形的方法,与前面学习的方法不同,它需要通过代数运算算出来.‎ 例2  已知:如图,四边形ABCD中,∠B=,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13求四边形ABCD的面积 分析:我们不知道这个四边形是否为特殊的四边形,所以将四边形分割为两个三角形,只要求出这两个三角形的面积,四边形的面积就等于这两个三角形的面积和.‎ 解:连结AC ‎∵∠B=,AB=3,BC=4‎ ‎∴‎ ‎∴AC=5‎ A B C D ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∴∠ACD=‎ 说明:求四边形的面积问题转化为两个三角形的面积问题,在此利用勾股定理的逆定理判定三角形为直角三角形.‎ 例3 如图,已知:CD⊥AB于D,且有 A B D C 求证:△ACB为直角三角形 分析:根据勾股定理的逆定理,只需证即可 证明:∵CD⊥AB ‎∴ ‎ 又∵‎ ‎∴‎ ‎∴△ABC为直角三角形 说明:充分利用勾股定理及其逆定理 填空题 ‎(1)若一个三角形的一个角等于其他两个角的差,那么这个三角形是______三角形. ‎ ‎(2)若在中,,则______. ‎ ‎(3)若一个三角形的三边长分别为,当_____时,此三角形是直角三角形. ‎ ‎(4)若一个三角形的三边长分别为15,20,25,那么是_____三角形. ‎ 参考答案:‎ ‎(1)直角 (2) (3)2 (4)直角 ‎ 选择题 ‎(1)在中,,那么是( )‎ ‎(A)锐角三角形 (B)钝角三角形 ‎(C)三边都不相等的直角三角形 (D)等腰直角三角形 ‎(2)以下列各组数为边长,能组成直角三角形的是( )‎ ‎(A)5,6,7 (B)10,8,4‎ ‎(C)7,25,24 (D)9,17,15‎ ‎(3)一个三角形的三边长分别为20,15,25,那么它的最长边上的高是( )‎ ‎(A) (B)12 (C) (D)9‎ ‎(4)在中,D是BC上一点,若,则的面积是( )‎ ‎(A)30 (B)42 (C)84 (D)100‎ 参考答案:‎ ‎(1)D (2)C (3)B (4)C 解答题 ‎1.如图,在四边形ABCD中,,,且. ‎ 求:四边形ABCD的面积. ‎ ‎2.在中,,求BC边上的高AE的长. ‎ ‎3.已知:中,,,BC边上的中线. ‎ 求证:为等腰三角形. ‎ ‎4.已知:在中,,AD是的平分线,交BC于D,,. ‎ 求AC的长和三角形ABC的面积. ‎ ‎5.在中,,且. ‎ 求证:. ‎ ‎6.如图,已知:正方形ABCD的边长为4,E是DC的中点,F是BC边上的一点,且. ‎ 求证:是直角三角形. ‎ ‎7.若三角形ABC的三边、、满足条件,试判断的形状. ‎ ‎ ‎ 参考答案:‎ ‎1.解:连结AC,则因,∴ ∴,即. ∴‎ ‎2.解:由条件可知: ∴,‎ ‎.∴. ‎ ‎3.解:AD为中线,∴,则在中有,,∴,∵AD既为中线又为高,∴是等腰三角形. ‎ ‎4.解:按题意,如图,作,垂足为E,则有. ∴. 设,则,有,即,解得, ∴AC长为,三角形ABC的面积为.‎ ‎5.证明:∵,∴为直角三角形,其中 ‎,又因,∴,即一直角边为斜边的一半,∴,∴,∴. ‎ ‎6.设,则,,‎ ‎∴,,‎ ‎,∴,∴为直角三角形. ‎ ‎7.解:‎ ‎∴或,∴为等腰三角形或直角三角形. ‎ 习题精选 ‎1、在三边分别为下列长度的三角形中,哪些不是直角三角形(   )‎ A、 ‎5,13,12 B、2,3, C、4,7,5 D、1,‎ 答:C ‎2、下列命题中假命题是(     )‎ A、 三个角的度数之比为1:3:4的三角形是直角三角形 B、 三个角的度数之比为1::2的三角形是直角三角形 ‎ C、 三边长度之比为1::2的三角形是直角三角形 D、 三边长度之比为:2的三角形是直角三角形 答:B 2、 已知一个三角形的三边分别为3k, 4k,5k(k为自然数),则这个三角形为___三角形 答:直角三角形 ‎5、设,如果是三角形较小的两条边,当第三边等于___时,‎ 这个三角形为直角三角形 答:‎ ‎6、如果三角形三边满足,‎ 则三角形为____‎ A D B C E F 提示:‎ 答:直角三角形 ‎7、如图,ABCD是正方形,‎ 求证:DE⊥EF 提示:连结DE,可得△EFD是直角三角形