2020年重庆市中考数学试卷（A卷）【word版本；可编辑；含答案】 11页

‎2020年重庆市中考数学试卷（A卷）‎ 一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．‎ ‎1. 下列各数中，最小的数是（ ）‎ A.‎-3‎ B.‎0‎ C.‎1‎ D.‎‎2‎ ‎2. 下列图形是轴对称图形的是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎3. 在今年举行的第‎127‎届“广交会”上，有近‎26000‎家厂家进行“云端销售”．其中数据‎26000‎用科学记数法表示为（ ）‎ A.‎26×‎‎10‎‎3‎ B.‎2.6×‎‎10‎‎3‎ C.‎2.6×‎‎10‎‎4‎ D.‎‎0.26×‎‎10‎‎5‎ ‎4. 把黑色三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有‎1‎个黑色三角形，第②个图案中有‎3‎个黑色三角形，第③个图案中有‎6‎个黑色三角形，…，按此规律排列下去，则第⑤个图案中黑色三角形的个数为（ ）‎ A.‎10‎ B.‎15‎ C.‎18‎ D.‎‎21‎ ‎5. 如图，AB是‎⊙O的切线，A为切点，连接OA，OB，若‎∠B＝‎20‎‎∘‎，则‎∠AOB的度数为（ ）‎ A.‎40‎‎∘‎ B.‎50‎‎∘‎ C.‎60‎‎∘‎ D.‎‎70‎‎∘‎ ‎6. 下列计算中，正确的是（ ）‎ A.‎2‎‎+‎3‎=‎‎5‎ B.‎2+‎2‎=2‎‎2‎ C.‎2‎‎×‎3‎=‎‎6‎ D.‎‎2‎3‎-2=‎‎3‎ ‎7. 解一元一次方程‎1‎‎2‎‎(x+1)‎＝‎1-‎1‎‎3‎x时，去分母正确的是（ ）‎ A.‎3(x+1)‎＝‎1-2x B.‎2(x+1)‎＝‎1-3x C.‎2(x+1)‎＝‎6-3x D.‎3(x+1)‎＝‎‎6-2x ‎8. 如图，在平面直角坐标系中，‎△ABC的顶点坐标分别是A(1, 2)‎，B(1, 1)‎，C(3, 1)‎，以原点为位似中心，在原点的同侧画‎△DEF，使‎△DEF与‎△ABC成位似图形，且相似比为‎2:1‎，则线段DF的长度为（ ）‎ A.‎5‎ B.‎2‎ C.‎4‎ D.‎‎2‎‎5‎ ‎9. 如图，在距某居民楼AB楼底B点左侧水平距离‎60m的C点处有一个山坡，山坡CD的坡度（或坡比）i＝‎1:0.75‎，山坡坡底C点到坡顶D点的距离CD＝‎45m，在坡顶D点处测得居民楼楼顶A点的仰角为‎28‎‎∘‎，居民楼AB与山坡CD的剖面在同一平面内，则居民楼AB的高度约为（参考数据：sin‎28‎‎∘‎≈0.47‎，cos‎28‎‎∘‎≈0.88‎，tan‎28‎‎∘‎≈0.53‎）（ ）‎ A.‎76.9m B.‎82.1m C.‎94.8m D.‎‎112.6m ‎ 11 / 11‎ ‎10. 若关于x的一元一次不等式组‎3x-1‎‎2‎‎≤x+3,‎x≤a‎ ‎的解集为x≤a；且关于y的分式方程y-ay-2‎‎+‎3y-4‎y-2‎=1‎有正整数解，则所有满足条件的整数a的值之积是（ ）‎ A.‎7‎ B.‎-14‎ C.‎28‎ D.‎‎-56‎ ‎11. 如图，三角形纸片ABC，点D是BC边上一点，连接AD，把‎△ABD沿着AD翻折，得到‎△AED，DE与AC交于点G，连接BE交AD于点F．若DG＝GE，AF＝‎3‎，BF＝‎2‎，‎△ADG的面积为‎2‎，则点F到BC的距离为（ ）‎ A.‎5‎‎5‎ B.‎2‎‎5‎‎5‎ C.‎4‎‎5‎‎5‎ D.‎‎4‎‎3‎‎3‎ ‎12. 如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对角线AC的中点与坐标原点重合，点E是x轴上一点，连接AE．若AD平分‎∠OAE，反比例函数y=kx(k>0, x>0)‎的图象经过AE上的两点A，F，且AF＝EF，‎△ABE的面积为‎18‎，则k的值为（ ）‎ A.‎6‎ B.‎12‎ C.‎18‎ D.‎‎24‎ 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．‎ ‎13. 计算：‎(π-1‎)‎‎0‎+|-2|‎＝________．‎ ‎14. 一个多边形的内角和等于它的外角和的‎2‎倍，则这个多边形的边数是________．‎ ‎15. 现有四张正面分别标有数字‎-1‎，‎1‎，‎2‎，‎3‎的不透明卡片，它们除数字外其余完全相同，将它们背面朝上洗均匀，随机抽取一张，记下数字后放回，背面朝上洗均匀，再随机抽取一张记下数宇，前后两次抽取的数字分别记为m，n．则点P(m, n)‎在第二象限的概率为________．‎ ‎16. 如图，在边长为‎2‎的正方形ABCD中，对角线AC的中点为O，分别以点A，C为圆心，以AO的长为半径画弧，分别与正方形的边相交，则图中的阴影部分的面积为________．（结果保留π）‎ ‎17. A，B两地相距‎240km，甲货车从A地以‎40km/h的速度匀速前往B地，到达B地后停止．在甲出发的同时，乙货车从B地沿同一公路匀速前往A地，到达A地后停止．两车之间的路程y(km)‎与甲货车出发时间x(h)‎之间的函数关系如图中的折线CD-DE-EF所示．其中点C的坐标是‎(0, 240)‎，点D的坐标是‎(2.4, 0)‎，则点E的坐标是________．‎ ‎18. 火锅是重庆的一张名片，深受广大市民的喜爱．重庆某火锅店采取堂食、外卖、店外摆摊（简称摆摊）三种方式经营，‎6‎月份该火锅店堂食、外卖、摆摊三种方式的营业额之比为‎3:5:2‎．随着促进消费政策的出台，该火锅店老板预计‎7‎月份总营业额会 ‎ 11 / 11‎ 增加，其中摆摊增加的营业额占总增加的营业额的‎2‎‎5‎，则摆摊的营业额将达到‎7‎月份总营业额的‎7‎‎20‎，为使堂食、外卖‎7‎月份的营业额之比为‎8:5‎，则‎7‎月份外卖还需增加的营业额与‎7‎月份总营业额之比是________．‎ 三、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．‎ ‎19. 计算：‎ ‎（1）‎(x+y‎)‎‎2‎+x(x-2y)‎；‎ ‎（2）‎(1-mm+3‎)÷‎m‎2‎‎-9‎m‎2‎‎+6m+9‎．‎ ‎20. 为了解学生掌握垃圾分类知识的情况，增强学生环保意识．某学校举行了“垃圾分类人人有责”的知识测试活动，现从该校七、八年级中各随机抽取‎20‎名学生的测试成绩（满分‎10‎分，‎6‎分及‎6‎分以上为合格）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．‎ 七年级‎20‎名学生的测试成绩为：‎7‎，‎8‎，‎7‎，‎9‎，‎7‎，‎6‎，‎5‎，‎9‎，‎10‎，‎9‎，‎8‎，‎5‎，‎8‎，‎7‎，‎6‎，‎7‎，‎9‎，‎7‎，‎10‎，‎6‎．‎ 八年级‎20‎名学生的测试成绩条形统计图如图：‎ 年级 平均数 众数 中位数 ‎8‎分及以上人数所占百分比 七年级 ‎7.5‎ a ‎7‎ ‎45%‎ 八年级 ‎7.5‎ ‎8‎ b c 根据以上信息，解答下列问题：‎ ‎（1）直接写出上述表中的a，b，c的值；‎ ‎（2）根据上述数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握垃极分类知识较好？请说明理由；‎ ‎（3）该校七、八年级共‎1200‎名学生参加了此次测试活动，估计参加此次测试活动成绩合格的学生人数是多少？‎ ‎ 11 / 11‎ ‎21. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，分别过点A，C作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F．AC平分‎∠DAE．‎ ‎（1）若‎∠AOE＝‎50‎‎∘‎，求‎∠ACB的度数；‎ ‎（2）求证：AE＝CF．‎ ‎22. 在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程．以下是我们研究函数y=‎‎6xx‎2‎‎+1‎性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．‎ ‎（1）请把下表补充完整，并在图中补全该函数图象；‎ x ‎…‎ ‎-5‎ ‎-4‎ ‎-3‎ ‎-2‎ ‎-1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎…‎ y=‎‎6xx‎2‎‎+1‎ ‎…‎ ‎-‎‎15‎‎13‎ ‎-‎‎24‎‎17‎ ‎________‎-‎‎9‎‎5‎ ‎ ‎-‎12‎‎5‎-303‎‎12‎‎5‎‎________‎9‎‎5‎ ‎24‎‎17‎‎15‎‎13‎…‎ ‎（2）根据函数图象，判断下列关于该函数性质的说法是否正确，正确的在答题卡上相应的括号内打“√”，错误的在答题卡上相应的括号内打“‎×‎”；‎ ‎①该函数图象是轴对称图形，它的对称轴为y轴．‎ ‎②该函数在自变量的取值范围内，有最大值和最小值．当x＝‎1‎时，函数取得最大值‎3‎；当x＝‎-1‎时，函数取得最小值‎-3‎．‎ ‎③当x<-1‎或x>1‎时，y随x的增大而减小；当‎-12x-1‎的解集（保留‎1‎位小数，误差不超过‎0.2‎）．‎ ‎ 11 / 11‎ ‎23. 在整数的除法运算中，只有能整除与不能整除两种情况，当不能整除时，就会产生余数，现在我们利用整数的除法运算来研究一种数--“差一数”．‎ 定义：对于一个自然数，如果这个数除以‎5‎余数为‎4‎，且除以‎3‎余数为‎2‎，则称这个数为“差一数”．‎ 例如：‎14÷5‎＝‎2...4‎，‎14÷3‎＝‎4...2‎，所以‎14‎是“差一数”；‎ ‎19÷5‎‎＝‎3...4‎，但‎19÷3‎＝‎6...1‎，所以‎19‎不是“差一数”．‎ ‎（1）判断‎49‎和‎74‎是否为“差一数”？请说明理由；‎ ‎（2）求大于‎300‎且小于‎400‎的所有“差一数”．‎ ‎24. “中国人的饭碗必须牢牢掌握在咱们自己手中”．为优选品种，提高产量，某农业科技小组对A，B两个小麦品种进行种植对比实验研究．去年A，B两个品种各种植了‎10‎亩．收获后A，B两个品种的售价均为‎2.4‎元‎/kg，且B的平均亩产量比A的平均亩产量高‎100kg，A，B两个品种全部售出后总收入为‎21600‎元．‎ ‎（1）请求出A，B两个品种去年平均亩产量分别是多少？‎ ‎（2）今年，科技小组加大了小麦种植的科研力度，在A，B种植亩数不变的情况下，预计A，B两个品种平均亩产量将在去年的基础上分别增加a%‎和‎2a%‎．由于B品种深受市场的欢迎，预计每千克价格将在去年的基础上上涨a%‎，而A品种的售价不变．A，B两个品种全部售出后总收入将在去年的基础上增加‎20‎‎9‎a%‎．求a的值．‎ ‎ 11 / 11‎ ‎25. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x‎2‎‎+bx+c与直线AB相交于A，B两点，其中A(-3, -4)‎，B(0, -1)‎．‎ ‎（1）求该抛物线的函数表达式；‎ ‎（2）点P为直线AB下方抛物线上的任意一点，连接PA，PB，求‎△PAB面积的最大值；‎ ‎（3）将该抛物线向右平移‎2‎个单位长度得到抛物线y＝a‎1‎x‎2‎‎+b‎1‎x+c‎1‎(a‎1‎≠0)‎，平移后的抛物线与原抛物线相交于点C，点D为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点E，使以点B，C，D，E为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎ 11 / 11‎ 四、解答题：（本大题1个小题，共8分）解答时必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．‎ ‎26. 如图，在Rt△ABC中，‎∠BAC＝‎90‎‎∘‎，AB＝AC，点D是BC边上一动点，连接AD，把AD绕点A逆时针旋转‎90‎‎∘‎，得到AE，连接CE，DE．点F是DE的中点，连接CF．‎ ‎（1）求证：CF=‎2‎‎2‎AD；‎ ‎（2）如图‎2‎所示，在点D运动的过程中，当BD＝‎2CD时，分别延长CF，BA，相交于点G，猜想AG与BC存在的数量关系，并证明你猜想的结论；‎ ‎（3）在点D运动的过程中，在线段AD上存在一点P，使PA+PB+PC的值最小．当PA+PB+PC的值取得最小值时，AP的长为m，请直接用含m的式子表示CE的长．‎ ‎ 11 / 11‎ 参考答案与试题解析 ‎2020年重庆市中考数学试卷（A卷）‎ 一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．‎ ‎1.A ‎2.A ‎3.C ‎4.B ‎5.D ‎6.C ‎7.D ‎8.D ‎9.B ‎10.A ‎11.B ‎12.B 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．‎ ‎13.‎‎3‎ ‎14.‎‎6‎ ‎15.‎‎3‎‎16‎ ‎16.‎‎4-π ‎17.‎‎(4, 160)‎ ‎18.‎‎1:8‎ 三、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．‎ ‎19.‎(x+y‎)‎‎2‎+x(x-2y)‎，‎ ‎＝x‎2‎‎+2xy+y‎2‎+x‎2‎-2xy，‎ ‎＝‎2x‎2‎+‎y‎2‎；‎ ‎(1-mm+3‎)÷‎m‎2‎‎-9‎m‎2‎‎+6m+9‎‎，‎ ‎＝‎(m+3‎m+3‎-mm+3‎)×‎‎(m+3‎‎)‎‎2‎‎(m+3)(m-3)‎，‎ ‎=‎3‎m+3‎×‎m+3‎m-3‎‎，‎ ‎=‎‎3‎m-3‎‎．‎ ‎20.∵ 七年级‎20‎名学生的测试成绩为：‎7‎，‎8‎，‎7‎，‎9‎，‎7‎，‎6‎，‎5‎，‎9‎，‎10‎，‎9‎，‎8‎，‎5‎，‎8‎，‎7‎，‎6‎，‎7‎，‎9‎，‎7‎，‎10‎，‎6‎，‎ ‎∴ a＝‎7‎，‎ 由条形统计图可得，b＝‎(7+8)÷2‎＝‎7.5‎，‎ c‎＝‎(5+2+3)÷20×100%‎＝‎50%‎，‎ 即a＝‎7‎，b＝‎7.5‎，c＝‎50%‎；‎ 八年级学生掌握垃极分类知识较好，理由：八年级的‎8‎分及以上人数所占百分比大于七年级，故八年级学生掌握垃极分类知识较好；‎ ‎∵ 从调查的数据看，七年级‎2‎人的成绩不合格，八年级‎2‎人的成绩不合格，‎ ‎∴ 参加此次测试活动成绩合格的学生有‎1200×‎(20-2)+(20-2)‎‎20+20‎=1080‎（人），‎ 即参加此次测试活动成绩合格的学生有‎1080‎人．‎ ‎21.∵ AE⊥BD，‎ ‎∴ ‎∠AEO＝‎90‎‎∘‎，‎ ‎∵ ‎∠AOE＝‎50‎‎∘‎，‎ ‎∴ ‎∠EAO＝‎40‎‎∘‎，‎ ‎ 11 / 11‎ ‎∵ CA平分‎∠DAE，‎ ‎∴ ‎∠DAC＝‎∠EAO＝‎40‎‎∘‎，‎ ‎∵ 四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴ AD // BC，‎ ‎∠ACB‎＝‎∠DAC＝‎40‎‎∘‎，‎ 证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴ OA＝OC，‎ ‎∵ AE⊥BD，CF⊥BD，‎ ‎∴ ‎∠AEO＝‎∠CFO＝‎90‎‎∘‎，‎ ‎∵ ‎∠AOE＝‎∠COF，‎ ‎∴ ‎△AEO≅△CFO(AAS)‎，‎ ‎∴ AE＝CF．‎ ‎22.,‎ 根据函数图象：‎ ‎①该函数图象是轴对称图形，它的对称轴为y轴，说法错误；‎ ‎②该函数在自变量的取值范围内，有最大值和最小值．当x＝‎1‎时，函数取得最大值‎3‎；当x＝‎-1‎时，函数取得最小值‎-3‎，说法正确；‎ ‎③当x<-1‎或x>1‎时，y随x的增大而减小；当‎-12x-1‎的解集为x<-1‎或‎-0.3<1.8‎．‎ ‎23.‎49÷5‎＝‎9...4‎，但‎49÷3‎＝‎16...1‎，所以‎49‎不是“差一数”；‎ ‎74÷5‎‎＝‎14...4‎，‎74÷3‎＝‎24...2‎，所以‎74‎是“差一数”．‎ 大于‎300‎且小于‎400‎的数除以‎5‎余数为‎4‎的有‎304‎，‎309‎，‎314‎，‎319‎，‎324‎，‎329‎，‎334‎，‎339‎，‎344‎，‎349‎，‎354‎，‎359‎，‎364‎，‎369‎，‎374‎，‎379‎，‎384‎，‎389‎，‎394‎，‎399‎，‎ 其中除以‎3‎余数为‎2‎的有‎314‎，‎329‎，‎344‎，‎359‎，‎374‎，‎389‎．‎ 故大于‎300‎且小于‎400‎的所有“差一数”有‎314‎，‎329‎，‎344‎，‎359‎，‎374‎，‎389‎．‎ ‎24.A、B两个品种去年平均亩产量分别是‎400‎千克和‎500‎千克；‎ a的值为‎10‎ ‎25.将点A、B的坐标代入抛物线表达式得‎-4=9-3b+cc=-1‎‎ ‎，解得b=4‎c=-1‎‎ ‎，‎ 故抛物线的表达式为：y＝x‎2‎‎+4x-1‎；‎ 设直线AB的表达式为：y＝kx+t，则‎-4=-3k+tt=-1‎‎ ‎，解得k=1‎t=-1‎‎ ‎，‎ 故直线AB的表达式为：y＝x-1‎，‎ 过点P作y轴的平行线交AB于点H，‎ 设点P(x, x‎2‎+4x-1)‎，则H(x, x-1)‎，‎ ‎△PAB面积S=‎1‎‎2‎×PH×(xB-xA)=‎1‎‎2‎(x-1-x‎2‎-4x+1)×(0+3)=-‎3‎‎2‎x‎2‎-‎9‎‎2‎x，‎ ‎∵ ‎-‎3‎‎2‎<0‎，故S有最大值，当x=-‎‎3‎‎2‎时，S的最大值为‎27‎‎8‎；‎ 抛物线的表达式为：y＝x‎2‎‎+4x-1‎＝‎(x+2‎)‎‎2‎-5‎，‎ 则平移后的抛物线表达式为：y＝x‎2‎‎-5‎，‎ 联立上述两式并解得：x=-1‎y=-4‎‎ ‎，故点C(-1, -4)‎；‎ ‎ 11 / 11‎ 设点D(-2, m)‎、点E(s, t)‎，而点B、C的坐标分别为‎(0, -1)‎、‎(-1, -4)‎；‎ ‎①当BC为菱形的边时，‎ 点C向右平移‎1‎个单位向上平移‎3‎个单位得到B，同样D(E)‎向右平移‎1‎个单位向上平移‎3‎个单位得到E(D)‎，‎ 即‎-2+1‎＝s且m+3‎＝t①或‎-2-1‎＝s且m-3‎＝t②，‎ 当点D在E的下方时，则BE＝BC，即s‎2‎‎+(t+1‎‎)‎‎2‎＝‎1‎‎2‎‎+‎‎3‎‎2‎③，‎ 当点D在E的上方时，则BD＝BC，即‎2‎‎2‎‎+(m+1‎‎)‎‎2‎＝‎1‎‎2‎‎+‎‎3‎‎2‎④，‎ 联立①③并解得：s＝‎-1‎，t＝‎2‎或‎-4‎（舍去‎-4‎），故点E(-1, 3)‎；‎ 联立②④并解得：s＝‎1‎，t＝‎-4±‎‎6‎，故点E(1, -4+‎6‎)‎或‎(1, -4-‎6‎)‎；‎ ‎②当BC为菱形的的对角线时，‎ 则由中点公式得：‎-1‎＝s-2‎且‎-4-1‎＝m+t⑤，‎ 此时，BD＝BE，即‎2‎‎2‎‎+(m+1‎‎)‎‎2‎＝s‎2‎‎+(t+1‎‎)‎‎2‎⑥，‎ 联立⑤⑥并解得：s＝‎1‎，t＝‎-3‎，‎ 故点E(1, -3)‎，‎ 综上，点E的坐标为：‎(-1, 2)‎或‎(1, -4+‎6‎)‎或‎(1, -4-‎6‎)‎或‎(1, -3)‎．‎ 四、解答题：（本大题1个小题，共8分）解答时必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．‎ ‎26.∵ AB＝AC，‎∠BAC＝‎90‎‎∘‎，‎ ‎∴ ‎∠ABC＝‎∠ACB＝‎45‎‎∘‎，‎ ‎∵ 把AD绕点A逆时针旋转‎90‎‎∘‎，得到AE，‎ ‎∴ AD＝AE，‎∠DAE＝‎90‎‎∘‎＝‎∠BAC，‎ ‎∴ ‎∠BAD＝‎∠CAE，DE=‎2‎AD，‎ 又∵ AB＝AC，‎ ‎∴ ‎△BAD≅△CAE(SAS)‎，‎ ‎∴ ‎∠ABD＝‎∠ACE＝‎45‎‎∘‎，‎ ‎∴ ‎∠BCE＝‎∠BCA+∠ACE＝‎90‎‎∘‎，‎ ‎∵ 点F是DE的中点，‎ ‎∴ CF=‎1‎‎2‎DE=‎2‎‎2‎AD；‎ AG=‎2‎‎6‎BC‎，‎ 理由如下：如图‎2‎，过点G作GH⊥BC于H，‎ ‎∵ BD＝‎2CD，‎ ‎∴ 设CD＝a，则BD＝‎2a，BC＝‎3a，‎ ‎∵ ‎∠BAC＝‎90‎‎∘‎，AB＝AC，‎ ‎∴ AB＝AC=BC‎2‎=‎3‎‎2‎‎2‎a，‎ 由 可知：‎△BAD≅△CAE，‎ ‎∴ BD＝CE＝‎2a，‎ ‎∵ CF＝DF，‎ ‎∴ ‎∠FDC＝‎∠FCD，‎ ‎ 11 / 11‎ ‎∴ tan∠FDC＝tan∠FCD，‎ ‎∴ CECD‎=GHCH=2‎，‎ ‎∴ GH＝‎2CH，‎ ‎∵ GH⊥BC，‎∠ABC＝‎45‎‎∘‎，‎ ‎∴ ‎∠ABC＝‎∠BGH＝‎45‎‎∘‎，‎ ‎∴ BH＝GH，‎ ‎∴ ‎BG=‎2‎BH ‎∵ BH+CH＝BC＝‎3a，‎ ‎∴ CH＝a，BH＝GH＝‎2a，‎ ‎∴ BG＝‎2‎2‎a，‎ ‎∴ AG＝BG-AB=‎2‎‎2‎a=‎2‎‎2‎CD=‎2‎‎6‎BC；‎ ‎（1）如图‎3-1‎，将‎△BPC绕点B顺时针旋转‎60‎‎∘‎得到‎△BNM，连接PN，‎ ‎∴ BP＝BN，PC＝NM，‎∠PBN＝‎60‎‎∘‎，‎ ‎∴ ‎△BPN是等边三角形，‎ ‎∴ BP＝PN，‎ ‎∴ PA+PB+PC＝AP+PN+MN，‎ ‎∴ 当点A，点P，点N，点M共线时，PA+PB+PC值最小，‎ 此时，如图‎3-2‎，连接MC，‎ ‎∵ 将‎△BPC绕点B顺时针旋转‎60‎‎∘‎得到‎△BNM，‎ ‎∴ BP＝BN，BC＝BM，‎∠PBN＝‎60‎‎∘‎＝‎∠CBM，‎ ‎∴ ‎△BPN是等边三角形，‎△CBM是等边三角形，‎ ‎∴ ‎∠BPN＝‎∠BNP＝‎60‎‎∘‎，BM＝CM，‎ ‎∵ BM＝CM，AB＝AC，‎ ‎∴ AM垂直平分BC，‎ ‎∵ AD⊥BC，‎∠BPD＝‎60‎‎∘‎，‎ ‎∴ BD=‎3‎PD，‎ ‎∵ AB＝AC，‎∠BAC＝‎90‎‎∘‎，AD⊥BC，‎ ‎∴ AD＝BD，‎ ‎∴ ‎3‎PD＝PD+AP，‎ ‎∴ PD=‎3‎‎+1‎‎2‎m，‎ ‎∴ BD=‎3‎PD=‎3+‎‎3‎‎2‎m，‎ 由（2）可知：CE＝BD=‎3+‎‎3‎‎2‎m．‎ ‎ 11 / 11‎