中考数学专题复习练习：一元二次方程根的差别式 11页

典型例题一 例 求证：如果关于x的方程没有实数根，那么，关于y的方程一定有两个不相等的实数根.‎ 分析：由已知，可根据一元二次方程的根的判别式证之.‎ 证明 设方程即的根的判别式为，方程的根的判别式为，则 ‎∵方程无实数根，‎ ‎，即，解得：‎ 当时，‎ ‎，即.‎ 故方程有两个不相等的实数根.‎ 说明：上述证明中，判定用到了所得的结论，即，这种条件和结论的相互转化在解综合性的题目中常常遇到.‎ 典型例题二 例 不解方程，判断下列一元二次方程的根的情况.‎ ‎（1）；‎ ‎（2）；‎ ‎（3）.‎ 分析：运用根的判别式判定根的情况时，要首先把方程变形为一元二次方程的一般形式，然后从求出的判别式的值来判定根的判别式的符号，尤其是当方程系数中含有字母时，一般利用配方法将“”化成完全平方式或完全平方式加上（或减去）一个常数，再根据完全平方式的非负性判断“”的符号，从而判定方程的根的情况，有时还需要对字母进行讨论.这是不解方程判别根的情况的关键.‎ 解：（1）‎ ‎ ‎ ‎∴方程有两个实数根.‎ ‎（2），‎ ‎∴方程是一元二次方程，此方程是缺少常数项的不完全的一元二次方程，将常数项，将常数项看作零.‎ ‎∴.‎ ‎∴不论b取任何实数，均为非负数，‎ 恒成立.‎ ‎∴方程有两个实数根.‎ ‎（3），‎ ‎∴方程是缺少一次项的不完全的一元二次方程，它的一次项系数.‎ ‎，‎ ‎∴需要讨论a、c的符号，才能确定的符号.‎ 当时，，方程有两个相等的实数根；‎ 当a、c异号时，，方程有两个不相等的实数根；‎ 当a、c同号时，，方程没有实数根.‎ 说明：运用一元二次方程的根的判别式时，必须先把方程化为一般形式，正确地确定各项系数，当方程系数有字母时，要注意对字母取值情况的讨论.‎ 典型例题三 例 已知一元二次方程有两个相等的实根，求的值.‎ 分析：由已知方程有两个相等的实数根，得，从而得a、b间的关系，然后求的值.‎ 解 ∵已知一元二次方程有两个相等的实根，‎ ‎∴，即 ‎.‎ ‎ .‎ ‎.‎ ‎∵要求的值，说明和都有意义，‎ 且，.‎ 上式中两边都除以ab，得 ‎.‎ 故的值是1.‎ 说明：由得到这一步的前提条件是.而不是题中明确给出的，这时就必须深入挖掘题目的隐含条件，为解题过程的顺利进行创造条件.本题的隐含条件有一元二次方程的二次项系数，分式中的分母且.‎ 典型例题四 例 若a是非负整数，且关于x的一元二次方程有两个实数根，求a的值.‎ 分析：本题对a给出了三个限制条件，其中有两个明显条件，即a是非负整数和中对a的限制，另一个条件是二次项系数.解题时，可先由和联立，求出a的取值范围，然后再根据a是非负整数，确定a的取值.‎ 解：∵原一元二次方程有两个实数根，‎ ‎∴‎ 解之，得 且.‎ 又∵a是非负整数，‎ ‎∴a的值只能等于0.‎ 说明：对于此类问题要特别注意二次项系数的隐含条件，切勿遗漏.‎ 典型例题五 例 设a、b、c是互不相等的非零实数，试证三个方程，，不可能同时有两个相等的实数根.‎ 分析：运用根的判别式，结合反证法证之.‎ 证明 假设三个方程同时都有两个相等的实数根，则 ‎∴‎ 因为a、b、c是非零实数，由（1）、（2）得 ‎.‎ 同理，由（1）、(3)得 ‎.‎ ‎，这与题设a、b、c是互不相等的非零实数矛盾.‎ 故这三个方程不可能同时都有两个相等的实数根.‎ 说明：对于“不可能……”一类问题可采用反证法证明.‎ 典型例题六 例 已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根.‎ 求证：（1）方程有两个不相等的实数根；‎ ‎（2）设方程的两个实数根为，若，则.‎ 分析：运用根的判别式证之.‎ 证明 ∵方程有两个相等的实数根，‎ 整理，得.‎ ‎（1）方程的判别式 ‎.‎ ‎∴方程有两个不相等的实数根.‎ ‎（2）解方程，得 说明：对于（2），也可以利用下节的根与系数关系证明.‎ 典型例题七 例1 不解方程，判别下列方程的根的情况：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）；‎ ‎（3）.‎ 分析 不解方程，要想判别方程的根的情况，只要把求出即可判别.‎ 解 （1）原方程可化为 ‎∵ ，‎ ‎∴，‎ ‎∴原方程有两个不相等的实数根；‎ ‎（2）∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴原方程没有实数根；‎ ‎（3）原方程可化为 ‎∵ ，‎ ‎∴，‎ ‎∴原方程有两个相等的实数根.‎ 说明：用根的判别式来判别根的情况，一定要把方程变形为一元二次方程的一般形式.‎ 例2 （1）已知、、是三角形的三边，判别方程根的情况；‎ ‎（2）若方程没有实数根，判别方程根的情况；‎ 分析 两个方程的系数都含有字母，但字母人为地给出一定的条件，因此，是在特定的条件下，对“”的表达式进行分析，从而判别二次方程根的情况.解这类题要注意所给条件与“”表达式之间的沟通.‎ 解 （1）‎ ‎ ‎ ‎∵ 、、为三角形的三边 ‎∴ ‎ ‎∴‎ ‎∴原方程无实数根.‎ ‎（2） 方程没有实数根的条件：‎ ‎，即，‎ 所以，.‎ 对于方程，‎ ‎∵，∴，∴‎ ‎∴方程有两个不相等的实数根.‎ 说明：求解这类问题，首先要由给出的条件，确定字母的取值范围或字母之间的关系，然后在这样的特定条件下，确定“”的符号，以判定根的情况.‎ 典型例题八 例 求证：当和的符号相反时，一元二次方程一定有两个不相等的实数根.‎ 分析 要想证明方程有两个不相等的实数根，须先写出.‎ 证明：在中，当当和的符号相反时，有 ‎ ，‎ 又由于为任何实数时，总有，‎ 于是有 .‎ 所以，当和的符号相反时，一元二次方程一定有两个不相等的实数根.‎ 说明：证明给出了一个命题，不必计算的值，只要看一看和的符号是否相反即可.一般情况下，为正值，只要是负数，一元二次方程一定有不相等的实数根.反之不成立.‎ 典型例题九 例1 若关于的方程有两个不相等的实数根，求的取值范围.‎ 分析 因为方程有两个不相等的实数根，所以方程是一元二次方程，因此，.‎ 解 方程有两个不相等的实数根的条件是 ‎ ‎ 解这个方程组，得 ‎ ‎ 所以，的取值范围是，但.‎ 说明：解此类题目，一定要把满足题目的所有条件列成一个方程组，然后求方程组的解集.‎ 例2 （1）取何值时，关于的方程的有两个实数根？‎ ‎（2）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，求的最大整数值.‎ 解 （1） 关于的方程有两个实数根的条件是 解方程组，得：‎ ‎ .‎ 所以，当时，方程的有两个实数根.‎ ‎（2）方程有两个不相等的实数根的条件是 解方程组，得：‎ ‎ ‎ ‎∴‎ ‎∴的最大整数值为0.‎ 说明：一定不要忽略题目的隐含条件. 第（1）小题方程有两个实数根，一定为一元二次方程，所以一定有.第（2）小题说方程是一元二次方程，一定有二次项系数不为零.‎ 选择题 ‎1. 下列方程中，有两个相等实数根的是（ ）；‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎2. 方程根的情况是（）‎ A．有二正实根 B．有二负实根 C．有二等根 D．无实根 ‎3. 下列关于的一元二次方程中没有实数根的是（）‎ A．；B．‎ C．；D．（为任意实数）‎ ‎4. 若关于x的方程没有实数根，则k的最小整数值是（ ）；‎ A．－1 B．1 C．2 D．不存在 ‎5. 下列命题中，正确的是（ ）；‎ A．方程只有一个实根 B．方程有两个相等的实数根 C．方程没有实数根 D．，方程有两个不相等的实数根 ‎6.一元二次方程的根的情况是（ ）.‎ A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 ‎7. 关于的方程有实数根，则的取值范围（）‎ A． B．且 C． D．且 ‎8.若代数式是一个关于的完全平方式，则（）‎ A．或6 B．或5 C．或6 D．不能确定 ‎9. 关于的方程无实根，那么的最小整数值是（）‎ A．3 B．4 C．5 D．6‎ ‎10．不解方程，判别下列方程的根的情况：‎ ‎（1）（）（2）（）‎ ‎（3）（）（4）（）‎ A．方程有两个不相等的实数根 B．方程有两个相等的实数根 C．方程无实数根 ‎11．当时，方程和的根的情况是（）.‎ A．分别为无实根和有实根 B．分别为有两个不相等的实根和无实根 C．分别为有两个不相等的实根和有两个相等的实根 D．都有两个不相等实根 ‎12．若关于的方程有实数根，则满足条件的的非负整数值是（）.‎ A．0，1 B．0，1，2 C．1 D．1，2，3.‎ 答案：‎ ‎1. A 2. D 3. B 4. C；5. C；6. B. 7. D 8. B 9. B. 10．（1）B（2）A（3）B（4）C .11．D 12．A.‎ 填空题 ‎1．一元二次方程的根的判别式的值是 ，它的根的情况是 ；‎ ‎2．一元二次方程的根的情况是 ；‎ ‎3．关于x的方程的根的判别式的值是9，则；‎ ‎4. 若方程有两个相等的实数根，则=_________.‎ ‎5．关于x的方程有两个实数根，则；‎ ‎6. 方程没有实数根，则的取值范围是___________‎ ‎7. 若方程的根的判别式是18，则=___________.‎ ‎8．关于x的方程的根判别式，当时，此方程有两个相等的实数根.‎ ‎9． 若，且关于的一元二次方程有两个相等的实根，则此方程的解为__________‎ ‎10. 当___________时，关于的方程有两不等实根.‎ 答案：‎ ‎1．3，有两个不相等的实数根；2. 没有实数根；3. 2或－1；4. 或3 5. ； 6. 7. 8. 或－1. 9. 10. 且.‎ 解答题 ‎1. 已知关于x的方程有两个相等的实数根，求k的值，并求此时方程的根.‎ ‎2. m为何值时，一元二次方程.①有两个不相等的实数根；②有两个相等的实数根；③没有实数根？‎ ‎3.证明关于x的方程没有实数根.‎ ‎4. 如果方程有两个不相等的实数根，证明方程也有两个不相等的实数根.‎ ‎5．证明 ‎（1）求证：方程有两个不相等的实数根。‎ ‎（2）已知：、、是一个三角形的三条边长，求证：一元二次方程没有实数根。‎ ‎6．为何值时，方程，‎ ‎（1）有两相等实数根；‎ ‎（2）如果方程有一根为1，求的值。‎ 答案：‎ ‎1.时有两个相等实数根是时有两个相等实数根是；‎ ‎2. ①且时方程有两个不相等的实数根；②方程不可能有两个相等的实数根；③时方程没有实数根.‎ ‎3. 为任意实数时，；4.由，得，代入.‎ ‎5．（1）提示：证明（2）证明.6．（1）（2）.‎