初中数学中考复习课件章节考点专题突破：聚焦中考专题5 阅读理解型问题 46页

专题五　阅读理解型问题 要点梳理 阅读理解能力是初中数学课程的主要目标 ， 是改变学生学习方式 ， 实现自主探索主动发展的基础． 阅读理解型问题 ， 一般篇幅较长 ， 涉及内容丰富 ， 构思新颖别致．这类问题 ， 主要考查解题者的心理素质 ， 自学能力和阅读理解能力 ， 考查解题者的观察分析能力、判辩是非能力、类比操作能力、抽象概括能力、数学归纳能力以及数学语言表达能力．这就要求同学们在平时的学习活动中 ， 逐步养成爱读书、会学习、善求知、勤动脑、会创新和独立获取新知识的良好习惯． 要点梳理 阅读理解题型分类： 题型一：考查掌握新知识能力的阅读理解题 命题者给定一个陌生的定义或公式或方法 ， 让你去解决新问题 ， 这类考题能考查我们自学能力和阅读理解能力 ， 能考查我们接收、加工和利用信息的能力． 要点梳理 题型二：考查解题思维过程的阅读理解题 言之有据 ， 言必有据 ， 这是正确解题的关键所在 ， 是提高我们数学水平的前提．数学中的基本定理、公式、法则和数学思想方法都是理解数学、学习数学和应用数学的基础 ， 这类试题就是为检测我们理解解题过程、掌握基本数学思想方法和辨别是非的能力而设置的． 要点梳理 题型三：考查纠正错误挖病根能力的阅读理解题 理解知识不是拘泥于形式地死记硬背 ， 而是要把握知识的内涵或实质 ， 理解知识间的相互联系 ， 形成知识脉络 ， 从而整体地获取知识．这类试题意在检测我们对知识的理解以及认识问题和解决问题的能力． 要点梳理 题型四：考查归纳、探索规律能力的阅读理解题 对材料信息的加工提炼和运用 ， 对规律的归纳和发现能反映出我们的应用数学、发展数学和进行数学创新的意识和能力．这类试题意在检测我们的 “ 数学化 ” 能力以及驾驭数学的创新意识和才能． 方法技巧 解决阅读理解问题的基本思路是 “ 阅读 → 分析 → 理解 → 解决问题 ” ， 具体做法： ① 认真阅读材料 ， 把握题意 ， 注意一些数据、关键名词； ② 全面分析 ， 理解材料所蕴含的基本概念、原理、思想和方法 ， 提取有价值的数学信息； ③ 对有关信息进行归纳、整合 ， 并且和方程、不等式、函数或几何等数学模型结合来解答． 1 ． ( 2014· 新疆 ) 规定用符号 [ x ] 表示一个实数的整数部分 ， 例如 [ 3.69 ] ＝ 3 ， [ 3 ] ＝ 1 ， 按此规定 ， [ 13 － 1 ] ＝ __ __ ． 2 2 ． ( 2014 · 临沂 ) 一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体称为集合．一个给定集合中的元素是互不相同的 ， 也就是说 ， 集合中的元素是不重复出现的．如一组数 1 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 就可以构成一个集合 ， 记为 A ＝ {1 ， 2 ， 3 ， 4} ．类比实数有加法运算 ， 集合也可以 “ 相加 ”． 定义：集合 A 与集合 B 中的所有元素组成的集合称为集合 A 与集合 B 的和 ， 记为 A ＋ B . 若 A ＝ { － 2 ， 0 ， 1 ， 5 ， 7} ， B ＝ { － 3 ， 0 ， 1 ， 3 ， 5} ， 则 A ＋ B ＝ ． { － 3 ， － 2 ， 0 ， 1 ， 3 ， 5 ， 7 } 3 ． ( 2014 · 济南 ) 现定义一种变换：对于一个由有限个数组成的序列 S 0 ，将其中的每个数换成该数在 S 0 中出现的次数，可得到一个新序列 S 1 ，例如序列 S 0 ： (4 ， 2 ， 3 ， 4 ， 2) ， 通过变换可生成新序列 S 1 ： (2 ， 2 ， 1 ， 2 ， 2) ， 若 S 0 可以为任意序列 ， 则下面的序列可作为 S 1 的是 ( ) A ． (1 ， 2 ， 1 ， 2 ， 2) 　　　　　　 B ． (2 ， 2 ， 2 ， 3 ， 3) C ． (1 ， 1 ， 2 ， 2 ， 3) D ． (1 ， 2 ， 1 ， 1 ， 2) D 4 ． ( 2014· 永州 ) 在求 1 ＋ 6 ＋ 6 2 ＋ 6 3 ＋ 6 4 ＋ 6 5 ＋ 6 6 ＋ 6 7 ＋ 6 8 ＋ 6 9 的值时 ， 小林发现：从 第二个加数起每一个加数都是前一个加数的 6 倍 ， 于是她设： S ＝ 1 ＋ 6 ＋ 6 2 ＋ 6 3 ＋ 6 4 ＋ 6 5 ＋ 6 6 ＋ 6 7 ＋ 6 8 ＋ 6 9 ① 然后在 ① 式的两边都乘以 6 ， 得： 6S ＝ 6 ＋ 6 2 ＋ 6 3 ＋ 6 4 ＋ 6 5 ＋ 6 6 ＋ 6 7 ＋ 6 8 ＋ 6 9 ＋ 6 10 ② ② － ① ， 得 6S － S ＝ 6 10 － 1 ， 即 5S ＝ 6 10 － 1 ， 所以 S ＝ 6 10 － 1 5 ， 得出答案后 ， 爱动脑 筋的小林想：如果把 “ 6” 换成字母 “ a” ( a ≠ 0 且 a ≠ 1 ) ， 能否求出 1 ＋ a ＋ a 2 ＋ a 3 ＋ a 4 ＋ … ＋ a 2014 的值？你的答案是 ( ) A. a 2014 － 1 a － 1 B. a 2015 － 1 a － 1 C. a 2014 － 1 a D ． a 2014 － 1 B 5 ． ( 2014· 河北 ) 定义新运算： a ⊕ b ＝ î ï ï í ï ï ì a b （ b ＞ 0 ） － a b （ b ＜ 0 ） 例如： 4 ⊕ 5 ＝ 4 5 ， 4 ⊕ ( － 5) ＝ 4 5 . 则函数 y ＝ 2 ⊕ x(x ≠ 0) 的图象大致是 ( ) D 阅读新知识 ， 解决新问题 【 例 1 】 ( 2012· 绍兴 ) 联想三角形外心的概念 ， 我们可引入如下概念 ． 定义：到三角形的两个顶点距离相等的点 ， 叫做三角形的准外心 ． 举例：如图 ① ， 若 PA ＝ PB ， 则点 P 为 △ ABC 的准外心 ． 应用：如图 ② ， CD 为等边三角形 ABC 的高 ， 准外心 P 在高 CD 上 ， 且 PD ＝ 1 2 AB ， 求 ∠ APB 的度数 ． 探究：已知 △ ABC 为直角三 角形 ， 斜边 BC ＝ 5 ， AB ＝ 3 ， 准外心 P 在 AC 边上 ， 试探究 PA 的长 ． 解：应用： ① 若 PB ＝ PC ， 连接 PB ， 则 ∠ PCB ＝ ∠ PBC ， ∵ CD 为等边三角形的高 ， ∴ AD ＝ BD ， ∠ PCB ＝ 30 ° . ∴∠ PBD ＝ ∠ PBC ＝ 30 ° ， ∴ PD ＝ 3 3 DB ＝ 3 6 AB. 与已知 PD ＝ 1 2 AB 矛盾 ， ∴ PB ≠ PC. ② 若 PA ＝ PC ， 连接 PA ， 同 理可得 PA ≠ PC. ③ 若 PA ＝ PB ， 由 PD ＝ 1 2 AB ， 得 PD ＝ AD ＝ BD ， ∴∠ APD ＝ ∠ BPD ＝ 45 ° . ∴∠ APB ＝ 90 ° . 探究： ∵ BC ＝ 5 ， AB ＝ 3 ， ∴ AC ＝ BC 2 － AB 2 ＝ 5 2 － 3 2 ＝ 4. ① 若 PB ＝ PC ， 设 PA ＝ x ， 则 x 2 ＋ 3 2 ＝ ( 4 － x ) 2 ， ∴ x ＝ 7 8 ， 即 PA ＝ 7 8 . ② 若 PA ＝ PC ， 则 PA ＝ 2. ③ 若 PA ＝ PB ， 由图知 ， 在 Rt △ PAB 中 ， 不可能 ． ∴ PA ＝ 2 或 7 8 . 【 点评 】 本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、勾股定理 ， 读懂题意 ， 在仔细阅读之后弄清楚准外心的定义是解题的关键 ， 根据准外心的定义 ， 要注意分三种情况进行讨论． 1 ． ( 2014 · 兰州 ) 给出定义， 若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方 ， 则称该四边形为勾股四边形． (1) 在你学过的特殊四边形中 ， 写出两种勾股四边形的名称； (2) 如图 ， 将 △ ABC 绕顶点 B 按顺时针方向旋转 60° 得到 △ DBE ， 连接 AD ， DC ， CE ， 已知 ∠ DCB ＝ 30°. ① 求证： △ BCE 是等边三角形； ② 求证： DC 2 ＋ BC 2 ＝ AC 2 ， 即四边形 ABCD 是勾股四边形． 解： ( 1 ) 正方形、矩形、直角梯形均可 证明： ( 2 ) ①∵△ ABC ≌△ DBE ， ∴ BC ＝ BE ， ∵∠ CBE ＝ 60 ° ， ∴△ BCE 是等边三角形； ②∵△ ABC ≌△ DBE ， ∴ BE ＝ BC ， AC ＝ ED ； ∴△ BCE 为等边三角形 ， ∴ BC ＝ CE ， ∠ BCE ＝ 60 ° ， ∵∠ DCB ＝ 30 ° ， ∴∠ DCE ＝ 90 ° ， 在 Rt △ DCE 中 ， DC 2 ＋ CE 2 ＝ DE 2 ， ∴ DC 2 ＋ BC 2 ＝ AC 2 . 【 例 2 】 　 ( 2014 · 黔南州 ) 先阅读以下材料 ， 然后解答问题 ， 分解因式： mx ＋ nx ＋ my ＋ ny ＝ (mx ＋ nx) ＋ (my ＋ ny) ＝ x(m ＋ n) ＋ y(m ＋ n) ＝ (m ＋ n)(x ＋ y) ；也可以 mx ＋ nx ＋ my ＋ ny ＝ (mx ＋ my) ＋ (nx ＋ ny) ＝ m(x ＋ y) ＋ n(x ＋ y) ＝ (m ＋ n)(x ＋ y) ． 以上分解因式的方法称为分组分解法 ， 请用分组分解法分解因式： a 3 － b 3 ＋ a 2 b － ab 2 . 解： a 3 － b 3 ＋ a 2 b － ab 2 ＝ a 3 ＋ a 2 b － ( b 3 ＋ ab 2 ) ＝ a 2 ( a ＋ b ) － b 2 ( a ＋ b ) ＝ ( a ＋ b )( a 2 － b 2 ) ＝ ( a ＋ b ) 2 ( a － b ) ． 阅读解题过程 ， 模仿解题策略 【 点评 】 　 本题考查了多项式的分解因式 ， 阅读材料之后弄清题中的分组分解法是解本题的关键． 2 ． 探究问题： (1) 方法感悟： 如图 ① ， 在正方形 ABCD 中 ， 点 E ， F 分别为 DC ， BC 边 上的点 ， 且满足 ∠ EAF ＝ 45 ° ， 连接 EF ， 求证： DE ＋ BF ＝ EF . 感悟解题方法 ， 并完成下列填空： 将 △ ADE 绕点 A 顺时针旋转 90° 得到 △ ABG ， 此时 AB 与 AD 重合 ， 由旋转可得 AB ＝ AD ， BG ＝ DE ， ∠ 1 ＝ ∠ 2 ， ∠ ABG ＝ ∠ D ＝ 90° ， ∴∠ ABG ＋ ∠ ABF ＝ 90° ＋ 90° ＝ 180° ， ∴ 点 G ， B ， F 在同一条直线上． ∵∠ EAF ＝ 45° ， ∴∠ 2 ＋ ∠ 3 ＝ ∠ BAD － ∠ EAF ＝ 90° － 45° ＝ 45°. ∵∠ 1 ＝ ∠ 2 ， ∴∠ 1 ＋ ∠ 3 ＝ 45° ， 即 ∠ GAF ＝ ∠ ．又 ∵ AG ＝ AE ， AF ＝ AF ， ∴△ GAF ≌ ， ∴ ____ ＝ EF ， 故 DE ＋ BF ＝ EF . EAF △ EAF GF ( 2) 方法迁移： 如图 ② ， 将 Rt △ ABC 沿斜边翻折得到 △ ADC ， 点 E ， F 分别为 DC ， BC 边上的 点 ， 且 ∠ EAF ＝ 1 2 ∠ DAB . 试猜想 DE ， BF ， EF 之间有何数量关系 ， 并证明你的猜想． ( 2 ) DE ＋ BF ＝ EF. 理由如下：假设 ∠ BAD 的度数为 m ° ， 将 △ ADE 绕点 A 顺时针 旋转 m ° 得到 △ ABG ， 此时 AB 与 AD 重合 ， 由旋转可得： AB ＝ AD ， BG ＝ DE ， ∠ 1 ＝ ∠ 2 ， ∠ ABG ＝ ∠ D ＝ 90 ° ， ∴∠ ABG ＋ ∠ ABF ＝ 90 ° ＋ 90 ° ＝ 180 ° ， ∴ 点 G ， B ， F 在同一条直线上 ． ∵∠ EAF ＝ 1 2 m ° ， ∴ ∠ 2 ＋ ∠ 3 ＝ ∠ BAD － ∠ EAF ＝ m ° － 1 2 m ° ＝ 1 2 m ° . ∵∠ 1 ＝ ∠ 2 ， ∴∠ 1 ＋ ∠ 3 ＝ 1 2 m ° ， 即 ∠ GAF ＝ ∠ EAF. 又 ∵ AG ＝ AE ， AF ＝ AF ， ∴△ GAF ≌△ EAF ， ∴ GF ＝ EF. 又 ∵ GF ＝ BG ＋ BF ＝ DE ＋ BF ， ∴ DE ＋ BF ＝ EF ； ( 3 ) 问题拓展： 如图 ③ ， 在四边形 ABCD 中 ， AB ＝ AD ， E ， F 分别为 DC ， BC 上的 点 ， 满足 ∠ EAF ＝ 1 2 ∠ DAB ， 试猜想当 ∠ B 与 ∠ D 满足什么关系时 ， 可使得 DE ＋ BF ＝ EF . 请直接写出你的猜想 ． ( 不必说明理由 ) 当 ∠ B 与 ∠ D 互补时 ， 可使得 DE ＋ BF ＝ EF. 阅读探索规律 ， 推出一般结论 【 例 3 】 ( 2012· 淮安 ) 阅读理解： 如图 ① ， △ ABC 中 ， 沿 ∠ BAC 的平分线 AB 1 折叠 ， 剪掉重叠 部分；将余下部分沿 ∠ B 1 A 1 C 的平分线 A 1 B 2 折叠 ， 剪掉重叠 部分 …… 将余下部分沿 ∠ B n A n C 的平分线 A n B n ＋ 1 折叠 ， 点 B n 与点 C 重合 ， 无论折叠多少次 ， 只要最后一次恰好重合 ， ∠ BAC 是 △ ABC 的好角． 小丽展 示了确定 ∠ BAC 是图 ①△ ABC 的好角的两种情形 ． 情 形一：如图 ② ， 沿等腰三角形 ABC 顶角 ∠ BAC 的平分线 AB 1 折叠 ， 点 B 与点 C 重合； 情形二：如图 ③ ， 沿 ∠ BAC 的平分线 AB 1 折叠 ， 剪掉重叠部 分；将余下部分沿 ∠ B 1 A 1 C 的平分线 A 1 B 2 折叠 ， 此时点 B 1 与 点 C 重合 ． 探究发现： (1) △ ABC 中 ， ∠ B ＝ 2 ∠ C ， 经过两次折叠 ， ∠ BAC 是不是 △ ABC 的好角？ __ 是 __ ． ( 填 “ 是 ” 或 “ 不是 ” ) 解： ( 1 ) 由折叠的性质知 ， ∠ B ＝ ∠ AA 1 B 1 ， ∵∠ AA 1 B 1 ＝∠ A 1 B 1 C ＋∠ C ， ∠ AA 1 B 1 ＝ ∠ B ＝ 2∠C ， ∴∠ A 1 B 1 C ＝ ∠ C ， 即第二次折叠后 ， 点 B 1 与点 C 重合 ， 故 ∠ BAC 是 △ ABC 的好角；　 (2) 小丽经过三次折叠发现了∠ BAC 是△ ABC 的好角 ， 请探究∠ B 与∠ C ( 不妨设∠ B ＞∠ C ) 之间的等量关系．根据以上内容猜想：若经过 n 次折叠 ， ∠ BAC 是△ ABC 的好角 ， 则∠ B 与∠ C ( 不妨设∠ B ＞∠ C ) 之间的等量关系为 ． ∠B ＝ n∠C ( 2 ) ∵ 经过三次折叠 ， ∠ BAC 是 △ ABC 的好角 ， ∴第三次折叠时 ， ∠ A 2 B 2 C ＝ ∠ C ， 如图所示． ∵∠ ABB 1 ＝ ∠ AA 1 B 1 ， ∠ AA 1 B 1 ＝ ∠ A 1 B 1 C ＋ ∠ C ， 又 ∵ ∠ A 1 B 1 C ＝ ∠ A 1 A 2 B 2 ， ∠ A 1 A 2 B 2 ＝ ∠ A 2 B 2 C ＋ ∠ C ， ∴∠ ABB 1 ＝ ∠ A 1 B 1 C ＋ ∠ C ＝ ∠ A 2 B 2 C ＋ ∠ C ＋ ∠ C ＝ 3∠C. 由上面的探索发现 ， 若 ∠ BAC 是 △ ABC 的好角 ， 折叠一次重合 ， 有∠ B ＝∠ C ；折叠两次重合 ， 有 ∠ B ＝ 2∠C ；折叠三次重合 ， 有∠ B ＝ 3 ∠ C ；由此可猜想若经过 n 次折叠 ， ∠ BAC 是 △ ABC 的好角 ， 则 ∠ B ＝ n∠C ； 应用提升： (3) 小丽找到一个三角形 ， 三个角分别为 15° ， 60° ， 105° ， 发现 60° 和 105° 的两个角都是此三角形的好角． 请你完成：如果一个三角形的最小角是 4° ， 试求出三角形另外两个角的度数 ， 使该三角形的三个角均是此三角形的好角． ( 3 ) ∵ 该三角形的三个角均是此三角形的好角 ， 最小角是 4 ° ， 根据好角定义 ， 则可设另两角分别为 4m ° ， 4mn °( 其中 m ， n 都是正整数 ) ， ∴ 4m ＋ 4mn ＋ 4 ＝ 180 ， m ( n ＋ 1 ) ＝ 44.∵m ， n 都是正整数 ， ∴ m 与 n ＋ 1 是 44 的整数因子 ， 因此有： m ＝ 1 ， n ＋ 1 ＝ 44 ； m ＝ 2 ， n ＋ 1 ＝ 22 ； m ＝ 4 ， n ＋ 1 ＝ 11 ； m ＝ 11 ， n ＋ 1 ＝ 4 ； m ＝ 22 ， n ＋ 1 ＝ 2 ， ∴ m ＝ 1 ， n ＝ 43 ； m ＝ 2 ， n ＝ 21 ； m ＝ 4 ， n ＝ 10 ； m ＝ 11 ， n ＝ 3 ； m ＝ 22 ， n ＝ 1 ， ∴ 4m ＝ 4 ， 4mn ＝ 172 ； 4m ＝ 8 ， 4mn ＝ 168 ； 4m ＝ 16 ， 4mn ＝ 160 ； 4m ＝ 44 ， 4mn ＝ 132 ； 4m ＝ 88 ， 4mn ＝ 88 ， ∴该三角形的另外两个角的度数分别为： 4 ° ， 172 ° ； 8 ° ， 168 ° ； 16 ° ， 160 ° ； 44 ° ， 132 ° ； 88 ° ， 88 ° . 【 点评 】 在阅读理解后 ， 需要总结解题思路和方法 ， 应用所得的结论解答新的问题． 3 ． ( 2014· 盐城 ) 【 问题情境 】 张老师给爱好学习的小军和小俊 提出这样一个 问题：如图 ① ， 在 △ ABC 中 ， AB ＝ AC ， 点 P 为边 BC 上的任一点 ， 过点 P 作 PD ⊥ AB ， PE ⊥ AC ， 垂足分 别为 D ， E ， 过点 C 作 CF ⊥ AB ， 垂足为 F. 求证： PD ＋ PE ＝ CF. 小军的证明思路是：如图② ， 连接 AP ， 由△ ABP 与△ ACP 面积之和等于△ ABC 的面积可以证得： PD ＋ PE ＝ CF. 小俊的证明思路是：如图② ， 过点 P 作 PG⊥CF ， 垂足为 G ， 可以证得： PD ＝ GF ， PE ＝ CG ， 则 PD ＋ PE ＝ CF. 解： 【 问题情境 】 证明： ( 方法 1 ) 连接 AP ， 如图 ②∵ PD ⊥ AB ， PE ⊥ AC ， CF ⊥ AB ， 且 S △ ABC ＝ S △ ABP ＋ S △ ACP ， ∴ 1 2 AB· CF ＝ 1 2 AB·PD ＋ 1 2 AC·PE. ∵ AB ＝ AC ， ∴ CF ＝ PD ＋ PE. ( 方法 2 ) 过点 P 作 PG ⊥ CF ， 垂足为 G ， 如图 ② . ∵ PD ⊥ AB ， CF ⊥ AB ， PG ⊥ FC ， ∴∠ CFD ＝ ∠ FDG ＝ ∠ FGP ＝ 90 ° . ∴ 四边形 PDFG 是矩形． ∴ DP ＝ FG ， ∠ DPG ＝ 90 ° . ∴∠ CGP ＝ 90 ° . ∵ PE ⊥ AC ， ∴∠ CEP ＝ 90 ° . ∴∠ PG C ＝ ∠ CEP. ∵∠ BDP ＝ ∠ DPG ＝ 90 ° . ∴ PG ∥ AB. ∴∠ GPC ＝ ∠ B. ∵ AB ＝ AC ， ∴∠ B ＝ ∠ ACB. ∴∠ GPC ＝ ∠ ECP. 在 △ PGC 和 △ CEP 中 ， î ï í ï ì ∠ PGC ＝ ∠ CEP ∠ GPC ＝ ∠ ECP PC ＝ CP ， ∴△ PGC ≌△ CEP. ∴ CG ＝ PE. ∴ CF ＝ CG ＋ FG ＝ PE ＋ PD. 【 变式探究 】 如图③ ， 当点 P 在 BC 延长线上时 ， 其余条件不变 ， 求证： PD － PE ＝ CF ； 请运用上述解答中所积累的经验和方法完成下题： 【 变式探究 】 证明： ( 方法 1 ) 连接 AP ， 如图 ③ . ∵ PD ⊥ AB ， PE ⊥ AC ， CF ⊥ AB ， 且 S △ ABC ＝ S △ ABP － S △ ACP ， ∴ 1 2 AB·CF ＝ 1 2 AB·PD － 1 2 AC·PE. ∵ AB ＝ AC ， ∴ CF ＝ PD － PE. ( 方法 2 ) 过点 C 作 CG ⊥ DP ， 垂足为 G ， 如图 ③ . ∵ PD ⊥ AB ， CF ⊥ AB ， CG ⊥ DP ， ∴∠ CFD ＝ ∠ FDG ＝ ∠ DGC ＝ 90 ° . ∴ 四边形 CFDG 是矩形 ． ∴ CF ＝ GD ， ∠ DGC ＝ 90 ° . ∴∠ CGP ＝ 90 ° . ∵ PE ⊥ AC ， ∴∠ CEP ＝ 90 ° . ∴∠ CG P ＝ ∠ CEP. ∵ CG ⊥ DP ， AB ⊥ PD ， ∴∠ CGP ＝ ∠ BDP ＝ 90 ° . ∴ CG ∥ AB. ∴∠ GCP ＝ ∠ B. ∵ AB ＝ AC ， ∴∠ B ＝ ∠ ACB. ∵∠ ACB ＝ ∠ PCE ， ∴∠ GCP ＝ ∠ ECP. 在 △ CGP 和 △ CEP 中 ， î ï í ï ì ∠ CGP ＝ ∠ CEP ＝ 90 ° ∠ GCP ＝ ∠ ECP CP ＝ CP ， ∴△ CGP ≌△ CEP. ∴ PG ＝ PE. ∴ CF ＝ DG ＝ DP － PG ＝ DP － PE. 【 结论运用 】 如图 ④ ， 将矩形 ABCD 沿 EF 折叠 ， 使点 D 落在点 B 上 ， 点 C 落在点 C? 处 ， 点 P 为折痕 EF 上的任 一点 ， 过点 P 作 PG ⊥ BE ， PH ⊥ BC ， 垂足分别为 G ， H ， 若 AD ＝ 8 ， CF ＝ 3 ， 求 PG ＋ PH 的值 ． 【 结论运用 】 过点 E 作 EQ ⊥ BC ， 垂足为 Q ， 如图 ④ ， ∵ 四边形 ABCD 是矩形 ， ∴ AD ＝ BC ， ∠ C ＝ ∠ ADC ＝ 90 ° . ∵ AD ＝ 8 ， CF ＝ 3 ， ∴ BF ＝ BC － CF ＝ AD － CF ＝ 5. 由折叠可得： DF ＝ BF ， ∠ BEF ＝ ∠ DEF. ∴ DF ＝ 5. ∵∠ C ＝ 90 ° ， ∴ DC ＝ DF 2 － CF 2 ＝ 5 2 － 3 2 ＝ 4. ∵ EQ ⊥ BC ， ∠ C ＝ ∠ ADC ＝ 90 ° ， ∴∠ EQC ＝ 90 ° ＝ ∠ C ＝ ∠ ADC. ∴ 四边形 EQCD 是矩形． ∴ EQ ＝ DC ＝ 4. ∵ AD ∥ BC ， ∴∠ DEF ＝ ∠ EFB. ∵∠ BEF ＝ ∠ DEF ， ∴∠ BEF ＝ ∠ EFB . ∴ BE ＝ BF. 由问题情境中的结论可得： PG ＋ PH ＝ EQ. ∴ PG ＋ PH ＝ 4. ∴ PG ＋ PH 的值为 4. 试题 阅读下 列材料 ， 然后解答下面的问题： 我们知道方程 2 x ＋ 3 y ＝ 12 有无数组解 ， 但在实际生活中 ， 我们往往 只需要求出其正整数解 ， 例：由 2 x ＋ 3 y ＝ 12 ， 得 y ＝ 12 － 2 x 3 ＝ 4 － 2 3 x ( x ， y 为正整数 ) ， 而 î ï í ï ì x ＞ 0 ， 4 － 2 3 x ＞ 0 ， 则有 0 ＜ x ＜ 6 ， 又 y ＝ 4 － 2 3 x 为正整数 ， 则 2 3 x 为正整数 ， 由 2 与 3 互质 ， 可知 x 为 3 的倍数 ， 从而 x ＝ 3 ， 则 y ＝ 4 － 2 3 x ＝ 2. 所以 ， 2 x ＋ 3 y ＝ 12 的正整数解为 î ï í ï ì x ＝ 3 ， y ＝ 2. 问题： ( 1 ) 请你写出 2 x ＋ y ＝ 5 的一组正整数解： ________ ； ( 2 ) 若 6 x － 2 为自然数 ， 则满足条件的 x 的正整数值的个数有 ( ) A ． 2 个 B ． 3 个 C ． 4 个 D ． 5 个 ( 3 ) 九年级某班为了奖励学习进步的学生 ， 购买了单价为 3 元 的笔记本与单价为 5 元的钢笔两种奖品 ， 共花费 35 元 ， 问有 几种购买方案？ 错解 ( 1 ) î í ì x ＝ 1 ， y ＝ 3 ， î í ì x ＝ 2 ， y ＝ 1. ( 2 ) A ( 3 ) 解：设购买笔记本 x 本 ， 钢笔 y 支 ， 则有 3 x ＋ 5 y ＝ 35 ， 变形 ， 得 x ＝ 35 － 5 y 3 ＝ 11 － 2 y ＋ 2 ＋ y 3 ， 当 y ＝ 1 时 ， x ＝ 10. 答：只有一种购买方案：购买笔记本 10 本 ， 钢笔 1 支 ． 剖析 (1) 应在两组解之间用 “ 或 ” 连接 ， 表示只选择一组 ， 使结论更符合题意更准确； (2) 分析不严密 ， 不完整 ， 出现漏解．推导过程如下： ∵ 6 中 含因数 1 ， 2 ， 3 ， 6 ， ∴ x － 2 的值为 1 ， 2 ， 3 ， 6 时 ， 6 x － 2 的 值为自然数 ， 可解得 x 的值为 3 ， 4 ， 5 ， 8 四个 ， 应选 C. (3) 设、列均正确 ， 但变形为 y ＝ 7 － 3 5 x 更利于讨论正整数解． 正解 ( 1 ) î ï í ï ì x ＝ 1 ， y ＝ 3 或 î ï í ï ì x ＝ 2 ， y ＝ 1. ( 2 ) C ( 3 ) 解：设购买笔记本 x 本 ， 钢笔 y 支 ， 则 3 x ＋ 5 y ＝ 35 ， 5 y ＝ 35 － 3 x ， y ＝ 7 － 3 5 x . ∵ x ， y 为正整数 ， ∴ î ï í ï ì x ＞ 0 ， 7 － 3 5 x ＞ 0 ， 解得 0 ＜ x ＜ 11 2 3 ， 且 x 为 5 的整数倍 ， ∴ x 可取 5 ， 10 ， 相应的 y 的值分别为 4 ， 1 ， ∴ 正 整数解为 î ï í ï ì x ＝ 5 ， y ＝ 4 或 î ï í ï ì x ＝ 10 ， y ＝ 1. 答：共有两种购买方案：买 5 本笔记本 ， 4 支钢笔或 10 本笔记本 ， 1 支钢笔 ．