初中数学中考复习课件章节考点专题突破：第一章 数与式第一章第3讲因式分解 35页

第 3 讲　因式分解 要点梳理 1 ． 因式分解 把一个多项式化成几个 积的形式 ， 叫做因式分解 ， 因式分解与 是互逆运算． 2 ． 基本方法 (1) 提取公因式法： ma ＋ mb － mc ＝ ． 整式 整式乘法 m ( a ＋ b － c ) 要点梳理 (2) 公式法： 运用平方差公式： a 2 － b 2 ＝ ； 运用完全平方公式： a 2 ±2 ab ＋ b 2 ＝ ． ( a ＋ b )( a － b ) ( a±b ) 2 要点梳理 3 ． 因式分解的一般步骤 ( 1 ) 如果多项式的各项有公因式 ， 那么必须先提取公因式； ( 2 ) 如果各项没有公因式 ， 那么尽可能尝试用公式法来分解； ( 3 ) 分解因式必须分解到不能再分解为止 ， 每个因式的内部不再 有括号 ， 且同类项合并完毕 ， 若有相同因式写成幂的形式 ， 这 样才算分解彻底； ( 4 ) 注意因式分解中的范围 ， 如 x 4 － 4 ＝ ( x 2 ＋ 2 )( x 2 － 2 ) ， 在实数 范围内分解因式 ， x 4 － 4 ＝ ( x 2 ＋ 2 )( x ＋ 2 )( x － 2 ) ， 题目不作说 明的 ， 表明是在有理数范围内因式分解 ． 分解彻底 作为结果的代数式的最后运算必须是乘法；要分解到每个因式都不能再分解为止 ， 每个因式的内部不再有括号 ， 并且同类项合并完毕 ， 若有重因式应写成幂的形式．这些统称分解彻底． 思考步骤 多项式的因式分解有许多方法 ， 但对于一个具体的多项式 ， 有些方法是根本不适用的．因此 ， 拿到一道题目 ， 先试试这个方法 ， 再试试那个办法．解题时思考过程建议如下： (1) 提取公因式； (2) 看有几项； (3) 分解彻底．在分解出的每个因式化简整理后 ， 把它作为一个新的多项式 ， 再重复以上过程进行思考 ， 试探分解的可能性 ， 直至不可能分解为止． 变形技巧 当 n 为奇数时 ， ( a － b ) n ＝－ ( b － a ) n ； 当 n 为偶数时 ， ( a － b ) n ＝ ( b － a ) n . 1 ． ( 2014 · 玉林 ) 下面的多项式在实数范围内能因式分解的是 ( ) A ． x 2 ＋ y 2 　　　　　　　　　 B ． x 2 － y C ． x 2 ＋ x ＋ 1 D ． x 2 － 2 x ＋ 1 D 2 ． ( 2014 · 毕节 ) 下列因式分解正确的是 ( ) A ． 2 x 2 － 2 ＝ 2( x ＋ 1)( x － 1) B ． x 2 ＋ 2 x － 1 ＝ ( x － 1) 2 C ． x 2 ＋ 1 ＝ ( x ＋ 1) 2 D ． x 2 － x ＋ 2 ＝ x ( x － 1) ＋ 2 A 3 ． ( 2014 · 威海 ) 将下列多项式分解因式 ， 结果中不含因式 x － 1 的是 ( ) A ． x 2 － 1 B ． x ( x － 2) ＋ (2 － x ) C ． x 2 － 2 x ＋ 1 D ． x 2 ＋ 2 x ＋ 1 4 ． ( 2014 · 宁夏 ) 分解因式： x 2 y － y ＝ ． 5 ． ( 2014 · 哈尔滨 ) 把多项式 3m 2 － 6mn ＋ 3n 2 分解因式的结果是 ． D y ( x ＋ 1 )( x － 1 ) 3 ( m － n ) 2 因式分解的意义 【 例 1】 　 ( 2014 · 泉州 ) 分解因式 x 2 y － y 3 结果正确的是 ( D ) A ． y ( x ＋ y ) 2 　　　　　 B ． y ( x － y ) 2 C ． y ( x 2 － y 2 ) D ． y ( x ＋ y )( x － y ) 【 点评 】 　因式分解是将一个多项式化成几个整式积的形式的恒等变形 ， 若结果不是积的形式 ， 则不是因式分解 ， 还要注意分解要彻底． 1 ． ( 2014 · 安徽 ) 下列四个多项式中 ， 能因式分解的是 ( ) A ． a 2 ＋ 1 B ． a 2 － 6 a ＋ 9 C ． x 2 ＋ 5 y D ． x 2 － 5 y B 提取公因式法分解因式 【 例 2】 　阅读下列文字与例题： 将一个多项式分组后 ， 可提取公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法． 例如： (1) am ＋ an ＋ bm ＋ bn ＝ ( am ＋ bm ) ＋ ( an ＋ bn ) ＝ m ( a ＋ b ) ＋ n ( a ＋ b ) ＝ ( a ＋ b )( m ＋ n ) ； (2) x 2 － y 2 － 2 y － 1 ＝ x 2 － ( y 2 ＋ 2 y ＋ 1) ＝ x 2 － ( y ＋ 1) 2 ＝ ( x ＋ y ＋ 1)( x － y － 1) ． 试用上述方法分解因式： a 2 ＋ 2 ab ＋ ac ＋ bc ＋ b 2 ＝ ． ( a ＋ b )( a ＋ b ＋ c ) 【 点评 】 　 (1) 首项系数为负数时 ， 一般公因式的系数取负数 ， 使括号内首项系数为正； (2) 当某项正好是公因式时 ， 提取公因式后 ， 该项应为 1 ， 不可漏掉； (3) 公因式也可以是多项式． 2 ． (1) 多项式 ax 2 － 4 a 与多项式 x 2 － 4 x ＋ 4 的公因式 是 ． (2) 把多项式 ( m ＋ 1)( m － 1) ＋ ( m － 1) 提取公因式 ( m － 1) 后 ， 余下的部分是 ( ) A ． m ＋ 1 B ． 2 m C ． 2 D ． m ＋ 2 (3) 分解因式： ( x ＋ y ) 2 － 3( x ＋ y ) ． 解： ( x ＋ y ) 2 － 3 ( x ＋ y ) ＝ ( x ＋ y )( x ＋ y － 3 ) x － 2 D 运用公式法分解因式 【 例 3】 　 (1) ① ( 2014 · 东营 )3x 2 y － 27y ＝ ； ② ( 2014 · 邵阳 ) 将多项式 m 2 n － 2mn ＋ n 因式分解的结果是 ． (2) 分解因式： ① ( 2014 · 黄冈 )(2a ＋ 1) 2 － a 2 ＝ ； ② ( 2014 · 淄博 )8(a 2 ＋ 1) － 16a ＝ ． 3y ( x ＋ 3 )( x － 3 ) n ( m － 1 ) 2 ( 3a ＋ 1 )( a ＋ 1 ) 8 ( a － 1 ) 2 【 点评 】 　 (1) 用平方差公式分解因式 ， 其关键是将多项式转化为 a 2 － b 2 的形式 ， 需注意对所给多项式要善于观察 ， 并作适当变形 ， 使之符合平方差公式的特点 ， 公式中的 “ a ”“ b ” 也可以是多项式 ， 可将这个多项式看作一个整体 ， 分解后注意合并同类项； (2) 用完全平方公式分解因式时 ， 其关键是掌握公式的特征． 3 ． 分解因式： (1)9 x 2 － 1 ； 9x 2 － 1 ＝ ( 3x ＋ 1 )( 3x － 1 ) (2)25( x ＋ y ) 2 － 9( x － y ) 2 ； 25 ( x ＋ y ) 2 － 9 ( x － y ) 2 ＝ [ 5 ( x ＋ y ) ＋ 3 ( x － y )][ 5 ( x ＋ y ) － 3 ( x － y )] ＝ ( 8x ＋ 2y )( 2x ＋ 8y ) ＝ 4 ( 4x ＋ y )( x ＋ 4y ) (3) ( 2012 · 临沂 ) a － 6ab ＋ 9ab 2 ； a － 6ab ＋ 9ab 2 ＝ a ( 1 － 6b ＋ 9b 2 ) ＝ a ( 1 － 3b ) 2 (4) ( 2013 · 湖州 ) mx 2 － my 2 . mx 2 － my 2 ＝ m ( x 2 － y 2 ) ＝ m ( x ＋ y )( x － y ) 综合运用多种方法分解因式 【 例 4 】 给出三个多项式： 1 2 x 2 ＋ x － 1 ， 1 2 x 2 ＋ 3 x ＋ 1 ， 1 2 x 2 － x ， 请你选择其中两个进行加法运算 ， 并把结果分 解因式 ． 【 点评 】 　灵活运用多种方法分解因式 ， 其一般顺序是：首先提取公因式 ， 然后再考虑用公式，最后结果一定要分解到不能再分解为止． 4 ． (1) ( 2014 · 武汉 ) 分解因式： a 3 － a ＝ ； (2) ( 2014 · 黔东南州 ) 分解因式： x 3 － 5x 2 ＋ 6x ＝ ； a ( a ＋ 1 )( a － 1 ) x ( x － 3 )( x － 2 ) (3) 分解因式： ( x ＋ 2)( x ＋ 4) ＋ x 2 － 4 ； ( x ＋ 2 )( x ＋ 4 ) ＋ x 2 － 4 ＝ ( x ＋ 2 )( x ＋ 4 ) ＋ ( x ＋ 2 )( x － 2 ) ＝ ( x ＋ 2 )( x ＋ 4 ＋ x － 2 ) ＝ ( x ＋ 2 )( 2x ＋ 2 ) ＝ 2 ( x ＋ 2 )( x ＋ 1 ) (4) 在实数范围内分解因式： m 4 － 9. 因式分解的应用 【 例 5】 　 (1)( 2014 · 河北 ) 计算： 85 2 － 15 2 ＝ ( ) A ． 70 　　 B ． 700 　 C ． 4900 　　 D ． 7000 (2) 已知 a 2 ＋ b 2 ＋ 6 a － 10 b ＋ 34 ＝ 0 ，求 a ＋ b 的值． 解： ∵ a 2 ＋ b 2 ＋ 6a － 10b ＋ 34 ＝ 0 ， ∴ a 2 ＋ 6a ＋ 9 ＋ b 2 － 10b ＋ 25 ＝ 0 ， 即 ( a ＋ 3 ) 2 ＋ ( b － 5 ) 2 ＝ 0 ， ∴ a ＋ 3 ＝ 0 且 b － 5 ＝ 0 ， ∴ a ＝－ 3 ， b ＝ 5 ， ∴ a ＋ b ＝－ 3 ＋ 5 ＝ 2 D 【 点评 】 　 (1) 利用因式分解 ， 将多项式分解之后整体代入求值； (2) 一个问题有两个未知数 ， 只有一个条件 ， 根据已知式右边等于 0 ， 若将左边转化成两个完全平方式的和 ， 而它们都是非负数 ， 要使和为 0 ， 则每个完全平方式都等于 0 ， 从而使问题得以求解． 5 ． (1) ( 2014 · 徐州 ) 若 ab ＝ 2 ， a － b ＝－ 1 ， 则代数式 a 2 b － ab 2 的值等于 ． (2) 已知 a ， b ， c 是 △ ABC 的三边长 ， 且满足 a 3 ＋ ab 2 ＋ bc 2 ＝ b 3 ＋ a 2 b ＋ ac 2 ， 则 △ ABC 的形状是 ( ) A ． 等腰三角形 B ． 直角三角形 C ． 等腰三角形或直角三角形 D ． 等腰直角三角形 － 2 C ( 3 ) ( 2014· 北京 ) 已知 x － y ＝ 3 ， 求代数式 ( x ＋ 1 ) 2 － 2x ＋ y ( y － 2x ) 的值 ． 试题　如果 a ， b ， c 都是整数 ， 且满足 a 2 ＋ 3 b 2 ＋ 3 c 2 ＜ 2 ab ＋ 4 b ＋ 12 c － 13 ， 求 a ， b ， c 的值． 审题视角 　问题中只有一个不等量关系 ， 未知字母有三个．考虑到问题中的完全平方式 ， 应用非负数的性质来解决问题 ， 把未知字母组成方程或方程组． 所有不小于 0 的实数称为非负数 ， 学过的一些代数式的绝对值或它的平方式、它的算术平方根等 ， 都是非负数． 关于非负数 ， 有下面的结论：若干个非负数的和等于 0 ， 则这些非负数均为 0 ；一个数和它的相反数同时不小于 0 或同时不大于 0 ， 那么这个数一定是 0. 当已知若干个非负数的和为 0 时 ， 常常可由此得出若干个代数式等于 0 的结果 ( 含未知数的等式 —— 方程 ) ， 由它们组成的方程或方程组 ( 未知数 ) 的值为我们解决相应的问题开辟了途径． 规范答题 解： a 2 ＋ 3 b 2 ＋ 3 c 2 ＜ 2 ab ＋ 4 b ＋ 12 c － 13 ， 将已知不等式变化为： a 2 ＋ 3 b 2 ＋ 3 c 2 ＋ 13 － 2 ab － 4 b － 12 c ＜ 0 ， a 2 － 2 ab ＋ b 2 ＋ 2 b 2 － 4 b ＋ 2 ＋ 3 c 2 － 12 c ＋ 12 ＜ 1 ， ( a 2 － 2 ab ＋ b 2 ) ＋ 2( b 2 － 2 b ＋ 1) ＋ 3( c 2 － 4 c ＋ 4) ＜ 1 ， ∴ ( a － b ) 2 ＋ 2( b － 1) 2 ＋ 3( c － 2) 2 ＜ 1. ∵ a ， b ， c 都是整数 ， ∴ 不等号左边是三个非负整数之和 ， ∴ ( a － b ) 2 ＋ 2( b － 1) 2 ＋ 3( c － 2) 2 ≥ 0 ， ∴ 只能是 ( a － b ) 2 ＋ 2( b － 1) 2 ＋ 3( c － 2) 2 ＝ 0 ， 根据非负数的性质 ， 可得 a － b ＝ 0 ， 且 b － 1 ＝ 0 ， 且 c － 2 ＝ 0 ， ∴ a ＝ b ＝ 1 ， c ＝ 2. 答题思路 第一步：移项．把所有的项移到等式或不等式的一边 ， 使得另一边为零； 第二步：拆项．把代数式拆分成几个完全平方式； 第三步：配方．把代数式配方成几个完全平方式的和的形式； 第四步：应用一个实数的完全平方是非负数以及非负数的性质 ， 得到关于未知字母的方程或方程组 ， 解方程或方程组 ， 即得未知字母的值 ， 从而解决问题． 第五步：反思回顾．查看关键点、易错点 ， 完善解题步骤． 试题　分解因式： (1)20 m 3 n － 15 m 2 n 2 ＋ 5 m 2 n ； (2)4 x 2 － 16 y 2 ； (3) m ( a － b ) ＋ n ( b － a ) ； (4) － 3 x 2 ＋ 18 x － 27. 错解 　 (1)20 m 3 n － 15 m 2 n 2 ＋ 5 m 2 n ＝ 5 m 2 n (4 m － 3 n ) ； (2)4 x 2 － 16 y 2 ＝ (2 x ＋ 4 y )(2 x － 4 y ) ； (3) m ( a － b ) ＋ n ( b － a ) ＝ ( a － b )( m ＋ n ) ； (4) － 3 x 2 ＋ 18 x － 27 ＝－ 3( x 2 － 6 x ＋ 9) ． 剖析 　学习因式分解 ， 若对分解因式的方法不熟 练 ， 理解不透彻 ， 可能会出现各种各样的错误．因式分解提取公因式后 ， 括号内的项一定要与原来的项数一样多 ， 错解主要是对分配律理解不深或粗心大意造成的 ， 提取公因式还有符号方面的错误；分解因式时 ， 应先观察是否有公因式可提 ，公因式包括系数，错解忽视提取系数的最大公约数；分解因式还要使分解后的每个因式都不能再分解． 正解　 (1)20 m 3 n － 15 m 2 n 2 ＋ 5 m 2 n ＝ 5 m 2 n (4 m － 3 n ＋ 1) ； (2)4 x 2 － 16 y 2 ＝ 4( x ＋ 2 y )( x － 2 y ) ； (3) m ( a － b ) ＋ n ( b － a ) ＝ m ( a － b ) － n ( a － b ) ＝ ( a － b ) ( m － n ) ； (4) － 3 x 2 ＋ 18 x － 27 ＝－ 3( x 2 － 6 x ＋ 9) ＝－ 3( x － 3) 2 .