2010年北京市中考数学试卷 19页

一、选择题（共8小题，每小题4分，满分32分）‎ ‎1、（2010•北京）﹣2的倒数是（　　）‎ ‎ A、﹣‎1‎‎2‎ B、‎‎1‎‎2‎ ‎ C、2 D、﹣2‎ 考点：倒数。‎ 分析：根据倒数的定义，直接得出结果．‎ 解答：解：∵﹣2×（﹣‎1‎‎2‎）=1，‎ ‎∴﹣2的倒数为﹣‎1‎‎2‎．‎ 故选A．‎ 点评：主要考查倒数的定义，要求熟练掌握．需要注意的是倒数的性质：负数的倒数是负数，正数的倒数是正数，0没有倒数．倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．‎ ‎2、（2010•北京）2010年6月3日，人类首次模拟火星载人航天飞行试验“火星﹣500”正式启动．包括中国志愿者王跃在内的6名志愿者踏上了为期12480小时的“火星之旅”．将12 480用科学记数法表示应为（　　）‎ ‎ A、12.48×103 B、0.1248×105‎ ‎ C、1.248×104 D、1.248×103‎ 考点：科学记数法—表示较大的数。‎ 专题：应用题。‎ 分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于1时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．‎ 解答：解：12 480用科学记数法表示应为1.248×104．故选C．‎ 点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．‎ ‎3、（2010•北京）如图，在△ABC中，点D、E分AB、AC边上，DE∥BC，若AD：AB=3：4，AE=6，则AC等于（　　）‎ ‎ A、3 B、4‎ ‎ C、6 D、8‎ 考点：平行线分线段成比例。‎ 专题：几何图形问题。‎ 分析：首先由DE∥BC可以得到AD：AB=AE：AC，而AD：AB=3：4，AE=6，由此即可求出 AC．‎ 解答：解：∵DE∥BC，‎ ‎∴AD：AB=AE：AC，‎ 而AD：AB=3：4，AE=6，‎ ‎∴3：4=6：AC，‎ ‎∴AC=8．‎ 故选D．‎ 点评：本题主要考查平行线分线段成比例定理，对应线段一定要找准确，有的同学因为没有找准对应关系，从而导致错选其他答案．‎ ‎4、（2010•北京）菱形的两条对角线的长分别是6和8，则这个菱形的周长是（　　）‎ ‎ A、24 B、20‎ ‎ C、10 D、5‎ 考点：菱形的性质；勾股定理。‎ 分析：菱形的边长和对角线的一半组成直角三角形，根据勾股定理求得其边长，从而求出菱形的周长即可．‎ 解答：解：如图：‎ ‎∵AC=8，BD=6，∴OA=4，BO=3，∴AB=5，‎ ‎∴这个菱形的周长是20，‎ 故选B．‎ 点评：此题主要考查菱形的基本性质及勾股定理的运用．‎ ‎5、（2010•北京）从：1、2、3、4、5、6、7、8、9、10这十个数中随机取出一个数，取出的数是3的倍数的概率是（　　）‎ ‎ A、‎1‎‎5‎ B、‎‎3‎‎10‎ ‎ C、‎1‎‎3‎ D、‎‎1‎‎2‎ 考点：概率公式。‎ 分析：让是3的倍数的数的个数除以数的总个数即为所求的概率．‎ 解答：解：∵1、2、3、4、5、6、7、8、9、10这十个数中，3的倍数的有3、6、9共3个数，‎ ‎∴取出的数是3的倍数的概率是：‎3‎‎10‎．‎ 故选B．‎ 点评：此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中 事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=mn．‎ ‎6、（2010•北京）将二次函数y=x2﹣2x+3化为y=（x﹣h）2+k的形式，结果为（　　）‎ ‎ A、y=（x+1）2+4 B、y=（x﹣1）2+4‎ ‎ C、y=（x+1）2+2 D、y=（x﹣1）2+2‎ 考点：二次函数的三种形式。‎ 分析：本题是将一般式化为顶点式，由于二次项系数是1，只需加上一次项系数的一半的平方来凑成完全平方式即可．‎ 解答：解：y=x2﹣2x+3=x2﹣2x+1﹣1+3==（x﹣1）2+2．‎ 故选D．‎ 点评：二次函数的解析式有三种形式：‎ ‎（1）一般式：y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；‎ ‎（2）顶点式：y=a（x﹣h）2+k；‎ ‎（3）交点式（与x轴）：y=a（x﹣x1）（x﹣x2）．‎ ‎7、（2010•北京）10名同学分成甲、乙两队进行篮球比赛，它们的身高（单位：cm）如下表所示：‎ 设两队队员身高的平均数依次为x甲，x乙，身高的方差依次为S甲2，S乙2，则下列关系中完全正确的是（　　）‎ ‎ A、x甲=x乙，S甲2＞S乙2 B、x甲=x乙，S甲2＜S乙2‎ ‎ C、x甲＞x乙，S甲2＞S乙2 D、x甲＜x乙，S甲2＜S乙2‎ 考点：方差；算术平均数。‎ 专题：计算题；图表型。‎ 分析：先用平均数公式计算甲乙的平均数，再利用方差公式分别计算甲乙的方差，然后根据计算结果判断．‎ 解答：解：x甲=‎1‎‎5‎（177+176+175+172+175）=175，‎ S甲2=‎1‎‎5‎[（177﹣175）2+（176﹣175）2+（175﹣175）2+（172﹣175）2+（175﹣175）2]=2.8．‎ x乙=‎1‎‎5‎（170+175+173+174+183）=175，‎ S乙2=‎1‎‎5‎[（170﹣175）2+（175﹣175）2+（173﹣175）2+（174﹣175）2+（183﹣175）2]=18.8．‎ 故选B．‎ 点评：考查了平均数和方差的计算．计算时要认真仔细．‎ ‎8、（2010•北京）美术课上，老师要求同学们将如图所示的白纸只沿虚线剪开，用裁开的纸片和白纸上的阴影部份围成一个立体模型，然后放在桌面上，下面四个示意图中，只有一个符合上述要求，那么这个示意图是（　　）‎ ‎ A、 B、‎ ‎ C、 D、‎ 考点：展开图折叠成几何体。‎ 分析：动手操作看得到小正方体的阴影部分的具体部位即可．‎ 解答：解：动手操作折叠成正方体的形状放置到白纸的阴影部分上，所得正方体中的阴影部分应紧靠白纸，故选B．‎ 点评：本题考查学生的空间想象能力，也可动手操作得到答案．‎ 二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）‎ ‎9、（2010•北京）使二次根式‎2x﹣1‎有意义的x的取值范围是 ．‎ 考点：二次根式有意义的条件。‎ 分析：根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，列不等式求解．‎ 解答：解：根据题意得：2x﹣1≥0，‎ 解得，x≥‎1‎‎2‎．‎ 点评：主要考查了二次根式的意义和性质．二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．‎ ‎10、（2010•北京）分解因式：m3﹣4m= ．‎ 考点：提公因式法与公式法的综合运用。‎ 分析：当一个多项式有公因式，将其分解因式时应先提取公因式，再对余下的多项式继续分解．‎ 解答：解：m3﹣4m，‎ ‎=m（m2﹣4），‎ ‎=m（m﹣2）（m+2）．‎ 点评：本题考查提公因式法分解因式，利用平方差公式分解因式，熟记公式是解题的关键，要注意分解因式要彻底．‎ ‎11、（2010•北京）如图，AB为圆O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，连接OC，若OC=5，CD=8，则AE= ．‎ 考点：垂径定理；勾股定理。‎ 分析：根据垂径定理可以得到CE的长，在直角△OCE中，根据勾股定理即可求得．‎ 解答：解：∵AB为圆O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E．‎ ‎∴CE=‎1‎‎2‎CD=4．‎ 在直角△OCE中，OE=OC‎2‎‎﹣‎CE‎2‎=‎5‎‎2‎‎﹣‎‎4‎‎2‎=3．‎ 则AE=OA﹣OE=5﹣3=2．‎ 点评：此题涉及圆中求半径的问题，此类在圆中涉及弦长、半径、圆心角的计算的问题，常把半弦长，半圆心角，圆心到弦距离转换到同一直角三角形中，然后通过直角三角形予以求解，常见辅助线是过圆心作弦的垂线．‎ ‎12、（2010•北京）右图为手的示意图，在各个手指间标记字母A、B、C、D．请你按图中箭头所指方向（即A⇒B⇒C⇒D⇒C⇒B⇒A⇒B⇒C⇒…的方式）从A开始数连续的正整数1，2，3，4…，当数到12时，对应的字母是 ；当字母C第201次出现时，恰好数到的数是 ；当字母C第2n+1次出现时（n为正整数），恰好数到的数是 （用含n的代数式表示）．‎ 考点：规律型：数字的变化类。‎ 分析：规律是：前六个字母为一组，后边不断重复，12除7，由余数来判断是什么字母．‎ 每组中C字母出现两次，字母C出现201次就是这组字母出现100次，再加3．‎ 字母C出现2n+1次就是这组字母出现n次，再加3．‎ 解答：解：通过对字母观察可知：前六个字母为一组，后边就是这组字母反复出现．‎ 当数到12时因为12除6刚好余数为零，则表示这组字母刚好出现两次，所以最后一个字母应该是B．‎ 当字母C第201次出现时，由于每组字母中C出现两次，则这组字母应该出现100次后还要加一次C字母出现，‎ 而第一个C字母在第三个出现，所以应该是100×6+3=603．‎ 当字母C第2n+1次出现时，则这组字母应该出现2n次后还要加一次C字母出现，所以应该是n×6+3=6n+3．‎ 点评：本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．‎ 三、解答题（共13小题，满分72分）‎ ‎13、（2010•北京）计算：‎（‎1‎‎3‎）‎﹣1﹣20100+|﹣4‎3‎|﹣tan60°‎ 考点：实数的运算。‎ 分析：本题涉及零指数幂、乘方、特殊角的三角函数值、二次根式化简四个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．‎ 解答：解：原式=3﹣1+4‎3‎﹣‎3‎=2+3‎3‎．‎ 点评：本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．‎ ‎14、（2010•北京）解分式方程：‎3‎‎2x﹣4‎﹣xx﹣2‎=‎‎1‎‎2‎ 考点：解分式方程。‎ 专题：计算题。‎ 分析：观察方程可得最简公分母是：2（x﹣2），两边同时乘最简公分母可把分式方程化为整式方程来解答．‎ 解答：解：去分母，得3﹣2x=x﹣2，‎ 整理，得3x=5，‎ 解得x=‎5‎‎3‎．‎ 经检验，x=‎5‎‎3‎是原方程式的解．‎ 所以原方程式的解是x=‎5‎‎3‎．‎ 点评：（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．‎ ‎（2）解分式方程一定注意要验根．‎ ‎15、（2010•北京）已知：如图，点A、B、C、D在同一条直线上，EA⊥AD，‎ FD⊥AD，AE=DF，AB=DC．‎ 求证：∠ACE=∠DBF．‎ 考点：全等三角形的判定与性质。‎ 专题：证明题。‎ 分析：因为EA⊥AD，FD⊥AD，AB=DC，AE=DF，所以△EAC≌△FDB，则∠ACE=∠DBF．‎ 解答：证明：∵AB=DC，BC=BC，‎ ‎∴AC=DB．‎ ‎∵EA⊥AD，FD⊥AD，‎ ‎∴∠A=∠D=90°．‎ ‎∵AE=DF，‎ ‎∴△EAC≌△FDB（SAS），‎ ‎∴∠ACE=∠DBF．‎ 点评：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．证明角、边相等常常运三角形全等来证明．‎ ‎16、（2010•北京）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣1=0有两个相等的实数根，求m的值及方程的根．‎ 考点：根的判别式。‎ 分析：首先根据原方程根的情况，利用根的判别式求出m的值，即可确定原一元二次方程，进而可求出方程的根．‎ 解答：解：由题意可知△=0，即（﹣4）2﹣4（m﹣1）=0，解得m=5．‎ 当m=5时，原方程化为x2﹣4x+4=0．解得x1=x2=2．‎ 所以原方程的根为x1=x2=2．‎ 点评：总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：‎ ‎（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；‎ ‎（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；‎ ‎（3）△＜0⇔方程没有实数根．‎ ‎17、（2010•北京）列方程或方程组解应用题：‎ ‎2009年北京市生产运营用水和居民家庭用水的总和为5.8亿立方米，其中居民家庭用水比生产运营用水的3倍还多0.6亿立方米，问生产运营用水和居民家庭用水各多少亿立方米？‎ 考点：一元一次方程的应用。‎ 专题：应用题。‎ 分析：等量关系为：居民家庭用水=生产运营用水的3倍+0.6．‎ 解答：解：设生产运营用水x亿立方米，则居民家庭用水（5.8﹣x）亿立方米．‎ 依题意，得8﹣x=3x+0.6，‎ 解得：x=1.3，‎ ‎∴5.8﹣x=5.8﹣1.3=4.5．‎ 答：生产运营用水1.3亿立方米，居民家庭用水4.5亿立方米．‎ 点评：解题关键是弄清题意，找到合适的等量关系．本题也可根据“生产运营用水和居民家庭用水的总和为5.8亿立方米”来列等量关系．‎ ‎18、（2010•北京）如图，直线y=2x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B．‎ ‎（1）求A、B两点的坐标；‎ ‎（2）过B点作直线BP与x轴交于点P，且使OP=2OA，求△ABP的面积．‎ 考点：一次函数综合题。‎ 专题：综合题。‎ 分析：（1）由函数解析式y=2x+3，令y=0求得A点坐标，x=0求得B点坐标；‎ ‎（2）有两种情况，若BP与x轴正方向相交于P点，则AP=3OA；若BP与x轴负方向相交于P点，则AP=OA，由此求得△ABP的面积．‎ 解答：解：（1）令y=0，得x=﹣‎3‎‎2‎．∴A点坐标为（﹣‎3‎‎2‎，0）．令x=0，得y=3．∴B点坐标为（0，3）．‎ ‎（2）设P点坐标为（x，0），依题意，得x=±3，∴P点坐标分别为P1（3，0）或P2（﹣3，0）．‎ ‎∴S△ABP1=‎1‎‎2‎×（‎3‎‎2‎+3）×3=‎27‎‎4‎，S△ABP2=‎1‎‎2‎×（3﹣‎3‎‎2‎）×3=‎9‎‎4‎，∴△ABP的面积为‎27‎‎4‎或‎9‎‎4‎ 点评：此题主要考查了函数图象中坐标的求法以及面积的求法．‎ ‎19、（2010•北京）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD=2，BC=4．求∠B的度数及AC的长．‎ 考点：梯形；解直角三角形。‎ 分析：解法一：分别作AF⊥BC，DG⊥BC，F、G是垂足，把梯形转换成矩形和两个直角三角形，首先利用梯形的性质和已知条件证明Rt△AFB≌Rt△DGC，然后在Rt△AFB中解直角三角形即可求出所求线段；‎ 解法二：过A点作AE∥DC交BC于点E，把梯形的问题转换成平行四边形和等边三角形，然后利用等边三角形的性质和三角函数的定义即可求出所求线段．‎ 解答：解：‎ 解法一：分别作AF⊥BC，DG⊥BC，F、G是垂足，‎ ‎∴∠AFB=∠DGC=90°，‎ ‎∵AD∥BC，‎ ‎∴四边形AFGD是矩形．‎ ‎∴AF=DG，‎ ‎∵AB=DC，‎ ‎∴Rt△AFB≌Rt△DGC．‎ ‎∴BF=CG，‎ ‎∵AD=2，BC=4，‎ ‎∴BF=1，‎ 在Rt△AFB中，∵cosB=BFAB=‎1‎‎2‎，‎ ‎∴ÐB=60°，‎ ‎∵BF=1，‎ ‎∴AF=‎3‎，‎ ‎∵FC=3，‎ 由勾股定理，‎ 得AC=2‎3‎，‎ ‎∴ÐB=60°，AC=2‎3‎．‎ 解法二：过A点作AE∥DC交BC于点E，‎ ‎∵AD∥BC，‎ ‎∴四边形AECD是平行四边形．‎ ‎∴AD=EC，AE=DC，‎ ‎∵AB=DC=AD=2，BC=4，‎ ‎∴AE=BE=EC=AB，‎ ‎∴△BAC是直角三角形，△ABE是等边三角形，‎ ‎∴∠BAC=90°，∠B=60°．‎ 在Rt△ABC中，‎ AC=ABtan60°=2‎3‎，‎ ‎∴ÐB=60°，AC=2‎3‎．‎ 点评：此题主要考查了梯形的常用辅助线：作梯形的高和平移腰，把梯形的问题转换成直角三角形或等边三角形的问题，然后利用解直角三角形的知识和等边三角形的性质解决问题．‎ ‎20、（2010•北京）已知：如图，在△ABC中，D是AB边上一点，圆O过D、B、C三点，∠DOC=2∠ACD=90°．‎ ‎（1）求证：直线AC是圆O的切线；‎ ‎（2）如果∠ACB=75°，圆O的半径为2，求BD的长．‎ 考点：切线的判定。‎ 专题：计算题；证明题。‎ 分析：（1）证明OC⊥AC即可．根据∠DOC是等腰直角三角形可得∠DCO=45°．又∠ACD=45°，所以∠ACO=90°，得证；‎ ‎（2）如果∠ACB=75°，则∠ACD=30°；又∠B=‎1‎‎2‎∠O=45°，解斜三角形BCD求解．所以作DE⊥BC，把问题转化到解直角三角形求解．先求CD，再求DE，最后求BD得解．‎ 解答：（1）证明：∵OD=OC，∠DOC=90°，‎ ‎∴∠ODC=∠OCD=45°．‎ ‎∵∠DOC=2∠ACD=90°，‎ ‎∴∠ACD=45°．‎ ‎∴∠ACD+∠OCD=∠OCA=90°．‎ ‎∵点C在圆O上，‎ ‎∴直线AC是圆O的切线．‎ ‎（2）解：‎ ‎∵OD=OC=2，∠DOC=90°，‎ ‎∴CD=2‎2‎．‎ ‎∵∠ACB=75°，∠ACD=45°，‎ ‎∴∠BCD=30°，‎ 作DE⊥BC于点E，‎ ‎∴∠DEC=90°，‎ ‎∴DE=DCsin30°=‎2‎，‎ ‎∵∠B=45°，‎ ‎∴DB=2．‎ 点评：此题考查了切线的判定方法和解直角三角形，内容单一，难度不大．注意：解斜三角形通常通过作垂线把问题转化为解直角三角形求解．‎ ‎21、（2010•北京）根据北京市统计局的2006﹣2009年空气质量的相关数据，绘制统计图如下：‎ ‎（1）由统计图中的信息可知，北京全年市区空气质量达到二级和好于二级的天数与上一年相比，增加最多的 是 年，增加了 天；‎ ‎（2）表1是根据《中国环境发展报告（2010）》公布的数据绘制的2009年十个城市供气质量达到二级和好于二级的天数占全年天数百分比的统计表，请将表1中的空缺部分补充完整（精确到1%）．2009年十个城市空气质量达到二级和好于二级的天数占全年天数百分比统计表：‎ ‎（3）根据表1中的数据将十个城市划分为三个组，百分比不低于95%的为A组，不低于85%且低于95%的为B组，低于85%的为C组．按此标准，C组城市数量在这十个城市中所占的百分比为 %；请你补全右边的扇形统计图．‎ 考点：扇形统计图；折线统计图。‎ 专题：图表型。‎ 分析：（1‎ ‎）此题求的是增加最多的年数，结合折线统计图，即可找到变化趋势最明显的一年；‎ ‎（2）根据折线统计图得2009年北京空气质量达到二级和好于二级的天数是285天，进一步求得所占的百分比即可；‎ ‎（3）根据统计表，得C组的有3个城市，占3÷10=30%．‎ 解答：解：‎ ‎（1）根据折线统计图，得 增加最多的一年是2008年；274﹣246=28（天）；‎ ‎（2）285÷365≈78%；‎ ‎（3）3÷10=30%．‎ 点评：此题综合考查了折线统计图和扇形统计图，能够根据要求熟练求得各部分所占的百分比．‎ ‎22、（2010•北京）阅读下列材料：‎ 小贝遇到一个有趣的问题：在矩形ABCD中，AD=8cm，AB=6cm．现有一动点P按下列方式在矩形内运动：它从A点出发，沿着AB边夹角为45°的方向作直线运动，每次碰到矩形的一边，就会改变运动方向，沿着与这条边夹角为45°的方向作直线运动，并且它一直按照这种方式不停地运动，即当P点碰到BC边，沿着BC边夹角为45°的方向作直线运动，当P点碰到CD边，再沿着与CD边夹角为45°的方向作直线运动，…，如图1所示，‎ 问P点第一次与D点重合前与边相碰几次，P点第一次与D点重合时所经过的路径的总长是多少．小贝的思考是这样开始的：如图2，将矩形ABCD沿直线CD折迭，得到矩形A1B1CD，由轴对称的知识，发现P2P3=P2E，P1A=P1E．‎ 请你参考小贝的思路解决下列问题：‎ ‎（1）P点第一次与D点重合前与边相碰 次；P点从A点出发到第一次与D点重合时所经过的路径的总长是 cm；‎ ‎（2）近一步探究：改变矩形ABCD中AD、AB的长，且满足AD＞AB，动点P从A点出发，按照阅读材料中动点的运动方式，并满足前后连续两次与边相碰的位置在矩形ABCD相邻的两边上．若P点第一次与B点重合前与边相碰7次，则AB：AD的值为 ．‎ 考点：轴对称的性质；矩形的性质。‎ 专题：探究型。‎ 分析：（1）此题可通过动手画图来得到所求的结论，需要掌握的规律是相邻的两个P 点与矩形顶点所构成的都是等腰直角三角形，如：△ABP1、△P1P2C、△P2BP3等．由图分析可知P点第一次与D点重合前与边相碰5次，‎ 所经过的路径的长=4AB‎2‎=24‎‎2‎ ‎（2）根据题（1）的规律，可设AB=x，BC=y，那么根据规律可知：‎ AB=BP1=x，‎ CP1=CP2=y﹣x，‎ DP2=DP3=x﹣（y﹣x）=2x﹣y，‎ AP3=AP4=y﹣（2x﹣y）=2y﹣2x，‎ ‎…‎ 依次类推，DP7=AB=4y﹣4x；‎ 由于AB=x，则4y﹣4x=x，即4y=5x，故x：y=4：5；‎ 因此当P点第一次与B点重合前相碰7次，那么AB：AD=4：5．‎ 解答：解：（1）5；（2）24‎2‎；解题思路示意图：‎ ‎（2）AB：AD=4：5．‎ 点评：解决此题的关键在与掌握P点的运动规律，能够理解每两个相邻P点与矩形顶点所构成的三角形是等腰直角三角形，是解答此题的关键．‎ ‎23、（2010•北京）已知反比例函数y=kx的图象经过点A（﹣‎3‎，1）．‎ ‎（1）试确定此反比例函数的解析式；‎ ‎（2）点O是坐标原点，将线段OA绕O点顺时针旋转30°得到线段OB．判断点B是否在此反比例函数的图象上，并说明理由；‎ ‎（3）已知点P（m，‎3‎m+6）也在此反比例函数的图象上（其中m＜0），过P点作x轴的垂线，交x轴于点M．若线段PM上存在一点Q，使得△OQM的面积是‎1‎‎2‎，设Q点的纵坐标为n，求n2﹣2‎3‎n+9的值．‎ 考点：反比例函数综合题；待定系数法求反比例函数解析式；旋转的性质。‎ 专题：综合题。‎ 分析：（1）由于反比例函数y=kx的图象经过点A（﹣‎3‎，1），运用待定系数法即可求出此反比例函数的解析式；‎ ‎（2）首先由点A的坐标，可求出OA的长度，∠AOC的大小，然后根据旋转的性质得出∠AOB=30°，OB=OA，再求出点B的坐标，进而判断点B是否在此反比例函数的图象上；‎ ‎（3）把点P（m，‎3‎m+6）代入反比例函数的解析式，得到关于m 的一元二次方程；根据题意，可得Q点的坐标为（m，n），再由△OQM的面积是‎1‎‎2‎，根据三角形的面积公式及m＜0，得出mn的值，最后将所求的代数式变形，把mn的值代入，即可求出n2﹣2‎3‎n+9的值．‎ 解答：解：（1）由题意得1=k‎﹣‎‎3‎，解得k=﹣‎3‎，‎ ‎∴反比例函数的解析式为y=﹣‎3‎x；‎ ‎（2）过点A作x轴的垂线交x轴于点C．‎ 在Rt△AOC中，OC=‎3‎，AC=1，‎ ‎∴OA=OC‎2‎+AC‎2‎=2，∠AOC=30°，‎ ‎∵将线段OA绕O点顺时针旋转30°得到线段OB，‎ ‎∴∠AOB=30°，OB=OA=2，‎ ‎∴∠BOC=60°．‎ 过点B作x轴的垂线交x轴于点D．‎ 在Rt△BOD中，BD=OB•sin∠BOD=‎3‎，OD=‎1‎‎2‎OB=1，‎ ‎∴B点坐标为（﹣1，‎3‎），‎ 将x=﹣1代入y=﹣‎3‎x中，得y=‎3‎，‎ ‎∴点B（﹣1，‎3‎）在反比例函数y=﹣‎3‎x的图象上．‎ ‎（3）由y=﹣‎3‎x得xy=﹣‎3‎，‎ ‎∵点P（m，‎3‎m+6）在反比例函数y=﹣‎3‎x的图象上，其中m＜0，‎ ‎∴m（‎3‎m+6）=﹣‎3‎，‎ ‎∴m2+2‎3‎m+1=0，‎ ‎∵PQ⊥x轴，∴Q点的坐标为（m，n）．‎ ‎∵△OQM的面积是‎1‎‎2‎，‎ ‎∴‎1‎‎2‎OM•QM=‎1‎‎2‎，‎ ‎∵m＜0，∴mn=﹣1，‎ ‎∴m2n2+2‎3‎mn2+n2=0，‎ ‎∴n2﹣2‎3‎n=﹣1，‎ ‎∴n2﹣2‎3‎n+9=8．‎ 点评：本题综合考查了运用待定系数法求反比例函数的解析式，旋转的性质，三角函数的定义，求代数式的值等知识，尤其是在最后一问中，没有必要求出n的具体值，而是将mn=﹣1作为一个整体代入，有一定的技巧性，使计算简便．‎ ‎24、（2010•北京）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=﹣m﹣1‎‎4‎x2+‎5m‎4‎x+m2﹣3m+2与x轴的交点分别为原点O和点A，点B（2，n）在这条抛物线上．‎ ‎（1）求点B的坐标；‎ ‎（2）点P在线段OA上，从O点出发向点运动，过P点作x轴的垂线，与直线OB交于点E．延长PE到点D．使得ED=PE．以PD为斜边，在PD右侧作等腰直角三角形PCD（当P点运动时，C点、D点也随之运动）j当等腰直角三角形PCD的顶点C落在此抛物线上时，求OP的长；k若P点从O点出发向A点作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA上另一点Q从A点出发向O点作匀速运动，速度为每秒2个单位（当Q点到达O点时停止运动，P点也同时停止运动）．过Q点作x轴的垂线，与直线AB交于点F．延长QF到点M，使得FM=QF，以QM为斜边，在QM的左侧作等腰直角三角形QMN（当Q点运动时，M点，N点也随之运动）．若P点运动到t秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，求此刻t的值．‎ 考点：二次函数综合题。‎ 专题：综合题。‎ 分析：（1）由抛物线y=﹣m﹣1‎‎4‎x2+‎5m‎4‎x+m2﹣3m+2与x轴的交点分别为原点O，令x=0，y=0，解得m的值，点B（2，n）在这条抛物线上，把该点代入抛物线方程，解得n．（2）设直线OB的解析式为y=k1x，求得直线OB的解析式为y=2x，由A点是抛物线与x轴的一个交点，可求得A点的坐标，设P点的坐标为（a，0），根据题意作等腰直角三角形PCD，如图1．可求得点C的坐标，进而求出OP的值，依题意作等腰直角三角形QMN，设直线AB的解析式为y=k2x+b，求出直线AB的解析式，当P点运动到t秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，有以下三种情况，解出各种情况下的时间t．‎ 解答：解：‎ ‎（1）∵抛物线y=﹣m﹣1‎‎4‎x2+‎5m‎4‎x+m2﹣3m+2经过原点，‎ ‎∴m2﹣3m+2=0，‎ 解得m1=1，m2=2，‎ 由题意知m≠1，‎ ‎∴m=2，‎ ‎∴抛物线的解析式为y=﹣‎1‎‎4‎x2+‎5‎‎2‎x，‎ ‎∵点B（2，n）在抛物线y=﹣‎1‎‎4‎x2+‎5‎‎2‎x上，‎ ‎∴n=4，‎ ‎∴B点的坐标为（2，4）．‎ ‎（2）设直线OB的解析式为y=k1x，‎ 求得直线OB的解析式为y=2x，‎ ‎∵A点是抛物线与x轴的一个交点，可求得A点的坐标为（10，0），‎ 设P点的坐标为（a，0），‎ 则E点的坐标为（a，2a），‎ 根据题意作等腰直角三角形PCD，‎ 如图1，可求得点C的坐标为（3a，2a），‎ 由C点在抛物线上，‎ 得：2a=﹣‎1‎‎4‎´（3a）2+‎5‎‎2‎´3a，‎ 即‎9‎‎4‎a2﹣‎11‎‎2‎a=0，‎ 解得a1=‎22‎‎9‎，a2=0（舍去），‎ ‎∴OP=‎22‎‎9‎．‎ 依题意作等腰直角三角形QMN，设直线AB的解析式为y=k2x+b，‎ 由点A（10，0），点B（2，4），求得直线AB的解析式为y=﹣‎1‎‎2‎x+5，‎ 当P点运动到t秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，有以下三种情况：‎ 第一种情况：CD与NQ在同一条直线上．‎ 如图2所示．可证△DPQ为等腰直角三角形．此时OP、DP、AQ的长可依次表示为t、4t、2t个单位．‎ ‎∴PQ=DP=4t，‎ ‎∴t+4t+2t=10，‎ ‎∴t=‎10‎‎7‎．‎ 第二种情况：PC与MN在同一条直线上．如图3所示．可证△PQM为等腰直角三 角形．此时OP、AQ的长可依次表示为t、2t个单位．‎ ‎∴OQ=10﹣2t，‎ ‎∵F点在直线AB上，‎ ‎∴FQ=t，‎ ‎∴MQ=2t，‎ ‎∴PQ=MQ=CQ=2t，‎ ‎∴t+2t+2t=10，‎ ‎∴t=2．‎ 第三种情况：点P、Q重合时，PD、QM在同一条直线上，如图4所示．此时OP、‎ AQ的长可依次表示为t、2t个单位．‎ ‎∴t+2t=10，‎ ‎∴t=‎10‎‎3‎．‎ 综上，符合题意的t值分别为‎10‎‎7‎，2，‎‎10‎‎3‎ 点评：本题是二次函数的综合题，要会求抛物线的解析式，讨论分类情况，此题比较繁琐，做题多加用心．‎ ‎25、（2010•北京）问题：已知△ABC中，∠BAC=2∠ACB，点D是△ABC内的一点，且AD=CD，BD=BA．‎ 探究∠DBC与∠ABC度数的比值．‎ 请你完成下列探究过程：‎ 先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明．‎ ‎（1）当∠BAC=90°时，依问题中的条件补全右图；‎ 观察图形，AB与AC的数量关系为 ；当推出∠DAC=15°时，可进一步推出∠DBC的度数为 ；可得到∠DBC与∠ABC度数的比值为 ；‎ ‎（2）当∠BAC=90°时，请你画出图形，研究∠DBC与∠ABC度数的比值是否与（1）中的结论相同，写出你的猜想并加以证明．‎ 考点：等腰梯形的性质；三角形内角和定理；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质。‎ 专题：压轴题。‎ 分析：（1）利用题中的已知条件，计算出∠ACB=∠ABC，所以AB=AC（等角对等边）；由等腰三角形的性质知∠BAD=∠BDA=75°，再根据三角形内角和是180°，找出图中角的等量关系，解答即可；‎ ‎（2）作∠KCA=∠BAC，过B点作BK∥AC交CK于点K，连接DK，构建四边形ABKC是正方形，根据已知条件证明△KCD≌△BAD（SAS），再证明△DKB是正三角形，最后根据正方形与正三角形的性质，求得∠ABC与∠DBC的度数并求出比值．‎ 解答：解：（1）①当∠BAC=90°时，‎ ‎∵∠BAC=2∠ACB，‎ ‎∴∠ACB=45°，‎ 在△ABC中，∠ABC=180°﹣∠ACB﹣∠BAC=45°，‎ ‎∴∠ACB=∠ABC，‎ ‎∴AB=AC（等角对等边）；‎ ‎②当∠DAC=15°时，‎ ‎∠DAB=90°﹣15°=75°，‎ ‎∵BD=BA，‎ ‎∴∠BAD=∠BDA=75°，‎ ‎∴∠DBA=150°﹣75°﹣75°=30°，‎ ‎∴∠DBC=45°﹣30°=15°，即∠DBC=15°，‎ ‎∴∠DBC的度数为15°；‎ ‎③∵∠DBC=15°，∠ABC=45°，‎ ‎∴∠DBC=15°：∠ABC=45°=1：3，‎ ‎∴∠DBC与∠ABC度数的比值为1：3．‎ ‎（2）猜想：∠DBC与∠ABC度数的比值与（1）中结论相同．‎ 证明：如图2，作∠KCA=∠BAC，过B点作BK∥AC交CK于点K，‎ 连接DK．‎ ‎∴KC⊥AC，AB⊥AC，‎ ‎∴KC∥AB，‎ ‎∵∠BAC=2∠ACB，‎ ‎∴∠ACB=45°，‎ ‎∴∠ABC=45°，‎ ‎∴AC=AB，‎ ‎∴四边形ABKC是正方形，‎ ‎∴CK=AB，‎ ‎∵DC=DA，‎ ‎∴∠DCA=∠DAC，‎ ‎∵∠KCA=∠BAC，‎ ‎∴∠KCD=∠3，‎ ‎∴△KCD≌△BAD（SAS），‎ ‎∴∠2=∠4，KD=BD，‎ ‎∴KD=BD=BA=KC．‎ ‎∵KC=KB，‎ ‎∴KD=BD=KB，‎ ‎∴∠KBD=60°，‎ ‎∵∠ABC=∠6=45°，‎ ‎∴∠DBC=60°﹣45°=15°，‎ ‎∴∠DBC=15°，∠ABC=45°，‎ ‎∠DBC与∠ABC度数的比值为1：3．‎ 点评：本题综合考查了正方形的判定与性质、正三角形的性质、全等三角形的判定以及三角形的内角和．‎ 参与本试卷答题和审题的老师有：‎ zhjh；py168；Linaliu；huangling；lanyuemeng；mama258；张伟东；nhx600；zxw；CJX；郭静慧；lanchong；wangcen；MMCH；xinruozai；hbxglhl；zhangchao；lzhzkkxx；tiankong；ln_86；路斐斐。（排名不分先后）‎ ‎2011年2月17日