2020年江苏省南通市中考数学试卷【含答案】 11页

1 / 11 2020 年江苏省南通市中考数学试卷 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的） 1. 计算| − 1| − 3，结果正确的是（ ） A.−4 B.−3 C.−2 D.−1 2. 今年6月13日是我国第四个文化和自然遗产日．目前我国世界遗产总数居世界首 位，其中自然遗产总面积约68000푘푚2．将68000用科学记数法表示为（ ） A.6.8 × 104 B.6.8 × 105 C.0.68 × 105 D.0.68 × 106 3. 下列运算，结果正确的是（ ） A.√5 − √3 = √2 B.3 + √2 = 3√2 C.√6 ÷ √2 = 3 D.√6 × √2 = 2√3 4. 以原点为中心，将点푃(4,  5)按逆时针方向旋转90∘，得到的点푄所在的象限为（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 5. 如图，已知퐴퐵 // 퐶퐷，∠퐴＝54∘，∠퐸＝18∘，则∠퐶的度数是（ ） A.36∘ B.34∘ C.32∘ D.30∘ 6. 一组数据2，4，6，푥，3，9，5的众数是3，则这组数据的中位数是（ ） A.3 B.3.5 C.4 D.4.5 7. 下列条件中，能判定▱퐴퐵퐶퐷是菱形的是（ ） A.퐴퐶＝퐵퐷 B.퐴퐵 ⊥ 퐵퐶 C.퐴퐷＝퐵퐷 D.퐴퐶 ⊥ 퐵퐷 8. 如图是一个几体何的三视图（图中尺寸单位：푐푚），则这个几何体的侧面积为（ ） A.48휋푐푚2 B.24휋푐푚2 C.12휋푐푚2 D.9휋푐푚2 9. 如图①，퐸为矩形퐴퐵퐶퐷的边퐴퐷上一点，点푃从点퐵出发沿折线퐵 − 퐸 − 퐷运动到 点퐷停止，点푄从点퐵出发沿퐵퐶运动到点퐶停止，它们的运动速度都是1푐푚/푠．现푃，푄 两点同时出发，设运动时间为푥(푠)，△ 퐵푃푄的面积为푦(푐푚2)，若푦与푥的对应关系如图 ②所示，则矩形퐴퐵퐶퐷的面积是（ ） A.96푐푚2 B.84푐푚2 C.72푐푚2 D.56푐푚2 10. 如图，在△ 퐴퐵퐶中，퐴퐵＝2，∠퐴퐵퐶＝60∘，∠퐴퐶퐵＝45∘，퐷是퐵퐶的中点，直线푙 经过点퐷，퐴퐸 ⊥ 푙，퐵퐹 ⊥ 푙，垂足分别为퐸，퐹，则퐴퐸 + 퐵퐹的最大值为（ ） A.√6 B.2√2 C.2√3 D.3√2 2 / 11 二、填空题（本大题共 8 小题，第 11～12 题每小题 3 分，第 13～18 题每小题 3 分， 共 30 分） 11. 分解因式：푥푦 − 2푦2＝________． 12. 已知⊙ 푂的半径为13푐푚，弦퐴퐵的长为10푐푚，则圆心푂到퐴퐵的距离为 12 푐푚． 13. 若푚 < 2√7 < 푚 + 1，且푚为整数，则푚＝________． 14. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ 퐴퐵퐶和△ 퐷퐸퐹的顶点都 在网格线的交点上．设△ 퐴퐵퐶的周长为퐶1，△ 퐷퐸퐹的周长为퐶2，则퐶1 퐶2 的值等于 ________√2 2 ． 15. 1275年，我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题： 直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步．意思是：矩形面积 864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步．若设长为푥步，则可列方程为________． 16. 如图，测角仪퐶퐷竖直放在距建筑物퐴퐵底部5푚的位置，在퐷处测得建筑物顶端퐴 的仰角为50∘．若测角仪的高度是1.5푚，则建筑物퐴퐵的高度约为 7.5 푚．（结果保 留小数点后一位，参考数据：sin50∘ ≈ 0.77，cos50∘ ≈ 0.64，tan50∘ ≈ 1.19） 17. 若푥1，푥2是方程푥2 − 4푥 − 2020＝0的两个实数根，则代数式푥1 2 − 2푥1 + 2푥2的值 等于________． 18. 将双曲线푦 = 3 푥 向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的新双曲 线与直线푦＝푘푥 − 2 − 푘(푘 > 0)相交于两点，其中一个点的横坐标为푎，另一个点的纵 坐标为푏，则(푎 − 1)(푏 + 2)＝________． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 90 分．解答时应写出必要的计算过程、推演步骤 或文字说明） 19. 计算： （1）(2푚 + 3푛)2 − (2푚 + 푛)(2푚 − 푛)； （2）푥−푦 푥 ÷ (푥 + 푦2−2푥푦 푥 )． 3 / 11 20. （1）如图①，点퐷在퐴퐵上，点퐸在퐴퐶上，퐴퐷＝퐴퐸，∠퐵＝∠퐶．求证：퐴퐵＝퐴퐶． （2）如图②，퐴为⊙ 푂上一点，按以下步骤作图： ①连接푂퐴； ②以点퐴为圆心，퐴푂长为半径作弧，交⊙ 푂于点퐵； ③在射线푂퐵上截取퐵퐶＝푂퐴； ④连接퐴퐶． 若퐴퐶＝3，求⊙ 푂的半径． 21. 如图，直线푙1: 푦＝푥 + 3与过点퐴(3,  0)的直线푙2交于点퐶(1,  푚)，与푥轴交于点퐵． （1）求直线푙2的解析式； （2）点푀在直线푙1上，푀푁 // 푦轴，交直线푙2于点푁，若푀푁＝퐴퐵，求点푀的坐标． 22. 为了解全校学生对“垃圾分类”知识的掌握情况，某初级中学的两个兴趣小组分 别抽样调查了100名学生．为方便制作统计图表，对“垃圾分类”知识的掌握情况分 成四个等级：퐴表示“优秀”，퐵表示“良好”，퐶表示“合格”，퐷表示“不合 4 / 11 格”．第一小组认为，八年级学生对“垃圾分类”知识的掌握不如九年级学生，但好 于七年级学生，所以他们随机调查了100名八年级学生． 第二小组随机调查了全校三个年级中的100名学生，但只收集到90名学生的有效问卷 调查表． 两个小组的调查结果如图的图表所示： 第二小组统计表 等级 人数 百分比 퐴 17 18.9% 퐵 38 42.2% 퐶 28 31.1% 퐷 7 7.8% 合计 90 100% 若该校共有1000名学生，试根据以上信息解答下列问题： （1）第________小组的调查结果比较合理，用这个结果估计该校学生对“垃圾分类” 知识掌握情况达到合格以上（含合格）的共约________人； （2）对这两个小组的调查统计方法各提一条改进建议． 23. 某公司有甲、乙、丙三辆车去南京，它们出发的先后顺序随机．张先生和李先生 乘坐该公司的车去南京出差，但有不同的需求． 请用所学概率知识解决下列问题： （1）写出这三辆车按先后顺序出发的所有可能结果； （2）两人中，谁乘坐到甲车的可能性大？请说明理由． 5 / 11 24. 矩形퐴퐵퐶퐷中，퐴퐵＝8，퐴퐷＝12．将矩形折叠，使点퐴落在点푃处，折痕为퐷퐸． （1）如图①，若点푃恰好在边퐵퐶上，连接퐴푃，求퐴푃 퐷퐸 的值； （2）如图②，若퐸是퐴퐵的中点，퐸푃的延长线交퐵퐶于点퐹，求퐵퐹的长． 25. 已知抛物线푦＝푎푥2 + 푏푥 + 푐经过퐴(2,  0)，퐵(3푛 − 4, 푦1)，퐶(5푛 + 6, 푦2)三点，对 称轴是直线푥＝1．关于푥的方程푎푥2 + 푏푥 + 푐＝푥有两个相等的实数根． （1）求抛物线的解析式； （2）若푛 < −5，试比较푦1与푦2的大小； （3）若퐵，퐶两点在直线푥＝1的两侧，且푦1 > 푦2，求푛的取值范围． 6 / 11 26. 【了解概念】 有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形，连接这两个角的顶点的线段称为对余线． 【理解运用】 （1）如图①，对余四边形퐴퐵퐶퐷中，퐴퐵＝5，퐵퐶＝6，퐶퐷＝4，连接퐴퐶．若퐴퐶＝퐴퐵， 求sin∠퐶퐴퐷的值； （2）如图②，凸四边形퐴퐵퐶퐷中，퐴퐷＝퐵퐷，퐴퐷 ⊥ 퐵퐷，当2퐶퐷2 + 퐶퐵2＝퐶퐴2时，判 断四边形퐴퐵퐶퐷是否为对余四边形．证明你的结论； 【拓展提升】 （3）在平面直角坐标系中，点퐴(−1,  0)，퐵(3,  0)，퐶(1,  2)，四边形퐴퐵퐶퐷是对余四边 形，点퐸在对余线퐵퐷上，且位于△ 퐴퐵퐶内部，∠퐴퐸퐶＝90∘ + ∠퐴퐵퐶．设퐴퐸 퐵퐸 = 푢，点퐷 的纵坐标为푡，请直接写出푢关于푡的函数解析式． 7 / 11 参考答案与试题解析 2020 年江苏省南通市中考数学试卷 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的） 1.C 2.A 3.D 4.B 5.A 6.C 7.D 8.B 9.C 10.A 二、填空题（本大题共 8 小题，第 11～12 题每小题 3 分，第 13～18 题每小题 3 分， 共 30 分） 11.푦(푥 − 2푦) 12.12． 13.5 14.√2 2 15.푥(푥 − 12)＝864 16.7.5． 17.2028 18.−3 三、解答题（本大题共 8 小题，共 90 分．解答时应写出必要的计算过程、推演步骤 或文字说明） 19.原式＝4푚2 + 12푚푛 + 9푛2 − (4푚2 − 푛2) ＝4푚2 + 12푚푛 + 9푛2 − 4푚2 + 푛2 ＝12푚푛 + 10푛2； 原式= 푥−푦 푥 ÷ (푥2 푥 + 푦2−2푥푦 푥 ) = 푥 − 푦 푥 ÷ 푥2 − 2푥푦 + 푦2 푥 = 푥 − 푦 푥 ⋅ 푥 (푥 − 푦)2 = 1 푥−푦 ． 20.证明：在△ 퐴퐵퐸和△ 퐴퐶퐷中 { ∠퐵 = ∠퐶 ∠퐴 = ∠퐴 퐴퐸 = 퐴퐷 ， ∴ △ 퐴퐵퐸 ≅△ 퐴퐶퐷(퐴퐴푆)， ∴ 퐴퐵＝퐴퐶； 连接퐴퐵，如图②， 由作法得푂퐴＝푂퐵＝퐴퐵＝퐵퐶， 8 / 11 ∴ △ 푂퐴퐵为等边三角形， ∴ ∠푂퐴퐵＝∠푂퐵퐴＝60∘， ∵ 퐴퐵＝퐵퐶， ∴ ∠퐶＝∠퐵퐴퐶， ∵ ∠푂퐵퐴＝∠퐶 + ∠퐵퐴퐶， ∴ ∠퐶＝∠퐵퐴퐶＝30∘ ∴ ∠푂퐴퐶＝90∘， 在푅푡 △ 푂퐴퐶中，푂퐴 = √3 3 퐴퐶 = √3 3 × 3 = √3． 即⊙ 푂的半径为√3． 21.在푦＝푥 + 3中，令푦＝0，得푥＝−3， ∴ 퐵(−3,  0)， 把푥＝1代入푦＝푥 + 3得푦＝4， ∴ 퐶(1,  4)， 设直线푙2的解析式为푦＝푘푥 + 푏， ∴ { 푘 + 푏 = 4 3푘 + 푏 = 0 ，解得{푘 = −2 푏 = 6 ， ∴ 直线푙2的解析式为푦＝−2푥 + 6； 퐴퐵＝3 − (−3)＝6， 设푀(푎,  푎 + 3)，由푀푁 // 푦轴，得푁(푎, −2푎 + 6)， 푀푁＝|푎 + 3 − (−2푎 + 6)|＝퐴퐵＝6， 解得푎＝3或푎＝−1， ∴ 푀(3,  6)或(−1,  2)． 22.二,922 第一小组，仅仅调查八年级学生情况，不能代表全校的学生对垃圾处理知识的掌握情 况，应从全校范围内抽查学生进行调查．； 对于第二小组要把问卷收集齐全，并尽量从多个角度进行抽样，确保抽样的代表性、 普遍性和可操作性． 23.甲、乙、丙；甲、丙、乙；乙、甲、丙；乙、丙、甲；丙、甲、乙；丙、乙、甲； 共6种； 由（1）可知张先生坐到甲车有两种可能，乙、丙、甲，丙、乙、甲， 则张先生坐到甲车的概率是2 6 = 1 3 ； 由（1）可知李先生坐到甲车有两种可能，甲、乙、丙，甲、丙、乙， 则李先生坐到甲车的概率是2 6 = 1 3 ； 所以两人坐到甲车的可能性一样． 24.如图①中，取퐷퐸的中点푀，连接푃푀． ∵ 四边形퐴퐵퐶퐷是矩形， ∴ ∠퐵퐴퐷＝∠퐶＝90∘， 由翻折可知，퐴푂＝푂푃，퐴푃 ⊥ 퐷퐸，∠2＝∠3，∠퐷퐴퐸＝∠퐷푃퐸＝90∘， 在푅푡 △ 퐸푃퐷中，∵ 퐸푀＝푀퐷， 9 / 11 ∴ 푃푀＝퐸푀＝퐷푀， ∴ ∠3＝∠푀푃퐷， ∴ ∠1＝∠3 + ∠푀푃퐷＝2∠3， ∵ ∠퐴퐷푃＝2∠3， ∴ ∠1＝∠퐴퐷푃， ∵ 퐴퐷 // 퐵퐶， ∴ ∠퐴퐷푃＝∠퐷푃퐶， ∴ ∠1＝∠퐷푃퐶， ∵ ∠푀푂푃＝∠퐶＝90∘， ∴ △ 푃푂푀 ∽△ 퐷퐶푃， ∴ 푃푂 푃푀 = 퐶퐷 푃퐷 = 8 12 = 2 3 ， ∴ 퐴푃 퐷퐸 = 2푃푂 2푃푀 = 2 3 ． 如图②中，过点푃作퐺퐻 // 퐵퐶交퐴퐵于퐺，交퐶퐷于퐻．则四边形퐴퐺퐻퐷是矩形，设퐸퐺＝푥， 则퐵퐺＝4 − 푥 ∵ ∠퐴＝∠퐸푃퐷＝90∘，∠퐸퐺푃＝∠퐷퐻푃＝90∘， ∴ ∠퐸푃퐺 + ∠퐷푃퐻＝90∘，∠퐷푃퐻 + ∠푃퐷퐻＝90∘， ∴ ∠퐸푃퐺＝∠푃퐷퐻， ∴ △ 퐸퐺푃 ∽△ 푃퐻퐷， ∴ 퐸퐺 푃퐻 = 푃퐺 퐷퐻 = 퐸푃 푃퐷 = 4 12 = 1 3 ， ∴ 푃퐻＝3퐸퐺＝3푥，퐷퐻＝퐴퐺＝4 + 푥， 在푅푡 △ 푃퐻퐷中，∵ 푃퐻2 + 퐷퐻2＝푃퐷2， ∴ (3푥)2 + (4 + 푥)2＝122， 解得푥 = 16 5 （负值已经舍弃）， ∴ 퐵퐺＝4 − 16 5 = 4 5 ， 在푅푡 △ 퐸퐺푃中，퐺푃 = √퐸푃2 − 퐸퐺2 = 12 5 ， ∵ 퐺퐻 // 퐵퐶， ∴ △ 퐸퐺푃 ∽△ 퐸퐵퐹， ∴ 퐸퐺 퐸퐵 = 퐺푃 퐵퐹 ， ∴ 16 5 4 = 12 5 퐵퐹 ， ∴ 퐵퐹＝3． 25.∵ 抛物线푦＝푎푥2 + 푏푥 + 푐经过퐴(2,  0)， ∴ 0＝4푎 + 2푏 + 푐①， ∵ 对称轴是直线푥＝1， ∴ − 푏 2푎 = 1②， ∵ 关于푥的方程푎푥2 + 푏푥 + 푐＝푥有两个相等的实数根， ∴ △＝(푏 − 1)2 − 4푎푐＝0③， 由①②③可得：{ 푎 = − 1 2 푏 = 1 푐 = 0 ， ∴ 抛物线的解析式为푦 = − 1 2 푥2 + 푥； ∵ 푛 < −5， ∴ 3푛 − 4 < −19，5푛 + 6 < −19 ∴ 点퐵，点퐶在对称轴直线푥＝1的左侧， ∵ 抛物线푦 = − 1 2 푥2 + 푥， ∴ − 1 2 < 0，即푦随푥的增大而增大， ∵ (3푛 − 4) − (5푛 + 6)＝−2푛 − 10＝−2(푛 + 5) > 0， 10 / 11 ∴ 3푛 − 4 > 5푛 + 6， ∴ 푦1 > 푦2； 若点퐵在对称轴直线푥＝1的左侧，点퐶在对称轴直线푥＝1的右侧时， 由题意可得{ 3푛 − 4 < 1 5푛 + 6 > 1 1 − (3푛 − 4) < 5푛 + 6 − 1 ， ∴ 0 < 푛 < 5 3 ， 若点퐶在对称轴直线푥＝1的左侧，点퐵在对称轴直线푥＝1的右侧时， 由题意可得：{ 3푛 − 4 > 1 5푛 + 6 < 1 3푛 − 4 − 1 < 1 − (5푛 + 6) ， ∴ 不等式组无解， 综上所述：0 < 푛 < 5 3 ． 26.过点퐴作퐴퐸 ⊥ 퐵퐶于퐸，过点퐶作퐶퐹 ⊥ 퐴퐷于퐹． ∵ 퐴퐶＝퐴퐵， ∴ 퐵퐸＝퐶퐸＝3， 在푅푡 △ 퐴퐸퐵中，퐴퐸 = √퐴퐵2 − 퐵퐸2 = √52 − 32 = 4， ∵ 퐶퐹 ⊥ 퐴퐷， ∴ ∠퐷 + ∠퐹퐶퐷＝90∘， ∵ ∠퐵 + ∠퐷＝90∘， ∴ ∠퐵＝∠퐷퐶퐹， ∵ ∠퐴퐸퐵＝∠퐶퐹퐷＝90∘， ∴ △ 퐴퐸퐵 ∽△ 퐷퐹퐶， ∴ 퐸퐵 퐶퐹 = 퐴퐵 퐶퐷 ， ∴ 3 퐶퐹 = 5 4 ， ∴ 퐶퐹 = 12 5 ， ∴ sin∠퐶퐴퐷 = 퐶퐹 퐴퐶 = 12 5 5 = 12 25 ． 如图②中，结论：四边形퐴퐵퐶퐷是对余四边形． 理由：过点퐷作퐷푀 ⊥ 퐷퐶，使得퐷푀＝퐷퐶，连接퐶푀． ∵ 四边形퐴퐵퐶퐷中，퐴퐷＝퐵퐷，퐴퐷 ⊥ 퐵퐷， ∴ ∠퐷퐴퐵＝∠퐷퐵퐴＝45∘， ∵ ∠퐷퐶푀＝∠퐷푀퐶＝45∘， ∵ ∠퐶퐷푀＝∠퐴퐷퐵＝90∘， ∴ ∠퐴퐷퐶＝∠퐵퐷푀， ∵ 퐴퐷＝퐷퐵，퐶퐷＝퐷푀， ∴ △ 퐴퐷퐶 ≅△ 퐵퐷푀(푆퐴푆)， ∴ 퐴퐶＝퐵푀， ∵ 2퐶퐷2 + 퐶퐵2＝퐶퐴2，퐶푀2＝퐷푀2 + 퐶퐷2＝2퐶퐷2， ∴ 퐶푀2 + 퐶퐵2＝퐵푀2， ∴ ∠퐵퐶푀＝90∘， ∴ ∠퐷퐶퐵＝45∘， ∴ ∠퐷퐴퐵 + ∠퐷퐶퐵＝90∘， 11 / 11 ∴ 四边形퐴퐵퐶퐷是对余四边形． 如图③中，过点퐷作퐷퐻 ⊥ 푥轴于퐻． ∵ 퐴(−1,  0)，퐵(3,  0)，퐶(1,  2)， ∴ 푂퐴＝1，푂퐵＝3，퐴퐵＝4，퐴퐶＝퐵퐶＝2√2， ∴ 퐴퐶2 + 퐵퐶2＝퐴퐵2， ∴ ∠퐴퐶퐵＝90∘， ∴ ∠퐶퐵퐴＝∠퐶퐴퐵＝45∘， ∵ 四边形퐴퐵퐶퐷是对余四边形， ∴ ∠퐴퐷퐶 + ∠퐴퐵퐶＝90∘， ∴ ∠퐴퐷퐶＝45∘， ∵ ∠퐴퐸퐶＝90∘ + ∠퐴퐵퐶＝135∘， ∴ ∠퐴퐷퐶 + ∠퐴퐸퐶＝180∘， ∴ 퐴，퐷，퐶，퐸四点共圆， ∴ ∠퐴퐶퐸＝∠퐴퐷퐸， ∵ ∠퐶퐴퐸 + ∠퐴퐶퐸＝∠퐶퐴퐸 + ∠퐸퐴퐵＝45∘， ∴ ∠퐸퐴퐵＝∠퐴퐶퐸， ∴ ∠퐸퐴퐵＝∠퐴퐷퐵， ∵ ∠퐴퐵퐸＝∠퐷퐵퐴， ∴ △ 퐴퐵퐸 ∽△ 퐷퐵퐴， ∴ 퐵퐸 퐴퐵 = 퐴퐸 퐴퐷 ， ∴ 퐴퐸 퐵퐸 = 퐴퐷 퐴퐵 ， ∴ 푢 = 퐴퐷 4 ， 设퐷(푥,  푡)， 由（2）可知，퐵퐷2＝2퐶퐷2 + 퐴퐷2， ∴ (푥 − 3)2 + 푡2＝2[(푥 − 1)2 + (푡 − 2)2] + (푥 + 1)2 + 푡2， 整理得(푥 + 1)2＝4푡 − 푡2， 在푅푡 △ 퐴퐷퐻中，퐴퐷 = √퐴퐻2 + 퐴퐷2 = √(푥 + 1)2 + 푡2 = 2√푡， ∴ 푢 = 퐴퐷 4 = √푡 2 (0 < 푡 < 4)， 即푢 = √푡 2 (0 < 푡 < 4)．