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- 2021-11-11 发布
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课时训练(十四) 二次函数的简单综合
(限时:50分钟)
|夯实基础|
1.[2019·荆门]抛物线y=-x2+4x-4与坐标轴的交点个数为 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
2.[2019·梧州]已知m>0,关于x的一元二次方程(x+1)(x-2)-m=0的解为x1,x2(x10),则有 ( )
图K14-1
A.a=b+2k B.a=b-2k
C.k>b>0 D.an的解集是 .
图K14-2
6.[2019·泰安]若二次函数y=x2+bx-5图象的对称轴为直线x=2,则关于x的方程x2+bx-5=2x-13的解为 .
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7.[2019·广元]如图K14-3,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)过点(-1,0),(0,2),且顶点在第一象限,设M=4a+2b+c,则M的取值范围是 .
图K14-3
8.[2019·雅安]已知函数y=-x2+2x(x>0),x(x≤0)的图象如图K14-4所示,若直线y=x+m与该图象恰有三个不同的交点,则m的取值范围为 .
图K14-4
9.[2019·达州]如图K14-5,抛物线y=-x2+2x+m+1(m为常数)交y轴于点A,与x轴的一个交点在(2,0)和(3,0)之间,顶点为B.
①抛物线y=-x2+2x+m+1与直线y=m+2有且只有一个交点;②若点M(-2,y1)、点N12,y2、点P(2,y3)在该函数图象上,则y10时,就是抛物线位于x轴上方的部分,
此时x<-1或x>2,
又∵x10,
∴函数y=(x+a)(x+b)的图象与x轴有2个交点,
∴M=2.
∵函数y=(ax+1)(bx+1)=abx2+(a+b)x+1,
∴当a≠b,ab≠0时,(a+b)2-4ab=(a-b)2>0,
函数y=(ax+1)(bx+1)的图象与x轴有2个交点,
即N=2,此时M=N;
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当ab=0时,不妨令a=0,
∵a≠b,
∴b≠0,函数y=(ax+1)(bx+1)=bx+1为一次函数,与x轴有一个交点,
即N=1,此时M=N+1.
综上可知,M=N或M=N+1.
故选C.
5.x<-3或x>1
6.x1=2,x2=4 [解析]∵二次函数y=x2+bx-5图象的对称轴为直线x=2,
∴-b2=2,∴b=-4,
∴原方程化为x2-4x-5=2x-13,
解得x1=2,x2=4.
7.-60,
∵a<0,∴b>0,∴a+2>0,a>-2,
∴-20,解得m<14,当直线y=x+m经过原点时与函数y=-x2+2x(x>0),x(x≤0)的图象有两个不同的交点,再向上平移,有三个交点,∴m>0,
∴m的取值范围为01或a<-1 [解析] 假设函数y=x-a+1与y=x2-2ax图象的交点在x轴上,则由x-a+1=0,得x=a-1,代入二次函数的表达式中,得:(a-1)2-2a(a-1)=0,解得a=1或a=-1.
当a>1时,随着a的增大,直线y=x-a+1向右平移,抛物线与x轴的交点(2a,0)向右平移,如图,此时直线y=x-a+1与抛物线的交点位于第四象限;当a<-1时,随着|a|的增大,直线y=x-a+1向左平移,抛物线与x轴的交点(2a,0)向左平移,此时直线y=x-a+1与抛物线的交点位于第三象限.
综上所述,a的取值范围为a>1或a<-1.
12.y=12x2-114x+3 [解析]∵四边形OABC是矩形,C(0,3),
∴B点的纵坐标为3,
∵反比例函数y=12x的图象经过点B,
∴B(4,3),A(4,0),∴OA=4,
∵C(0,3),∴OC=3,
∴Rt△ACO中,AC=5.
设G(m,0),则OG=m,
由翻折得GP=OG=m,CP=CO=3,
∴AP=2,AG=4-m,
在Rt△AGP中,m2+22=(4-m)2,
解得m=32,∴G32,0,
∵A(4,0),C(0,3),G32,0,
∴解析式为y=12x2-114x+3.
13.【思路分析】(1)求交点坐标,只需联立成方程组求解即可;
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(2)是等腰三角形存在性问题,因为OA是腰已经确定,所以分两种情况讨论;
(3)是角度(二倍角)存在性问题,利用垂直平分线及三角形外角的性质构造出一个角等于∠ODC,用相关的点坐标表示线段长,然后求出该角的正切值,利用正切值建立方程求解即可.但是本问需要对点B的位置进行讨论,分点B在点C的左侧还是右侧两种情况.
解:(1)∵A,B是抛物线y=k(x-1)2+2与直线y=kx-k+2的交点,
∴y=k(x-1)2+2,y=kx-k+2,
∴k(x-1)2+2=k(x-1)+2,
∴k(x-1)(x-2)=0.
∴x1=1,x2=2,∴x1=1,y1=2,x2=2,y2=k+2.
∵B点在A点的右侧,
∴A(1,2),B(2,2+k),A点横坐标是1,B点横坐标是2.
(2)由(1)可知A(1,2),B(2,2+k),
∵O(0,0),
∴OA=5,OB=4+(k+2)2,AB=k2+1,
∵△OAB是以OA为腰的等腰三角形,
∴分为两种情况:OA=AB或OA=OB.
当OA=AB时,即5=k2+1,
∴k2=4,∴k=±2,
∵k<0,∴k=-2.
当OA=OB时,即5=4+(k+2)2,
∴(k+2)2=1,∴k=-1或k=-3.
综上所述,k=-1或k=-2或k=-3.
(3)存在,k=-3或k=-4-73.
由(1)可知A(1,2),B(2,2+k).根据题意分为两种情况:点B在点C左侧,点B在点C右侧.
当点B在点C左侧时,2+k>0,∴0>k>-2.
如图①,过点B作BH⊥x轴于点H,作BE的垂直平分线交x轴于点F,连接BF,
∴BF=EF,∴∠BEC=∠EBF,
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∴∠BFH=2∠BEC,
设BF=EF=m,易得E(1,0),H(2,0),
∴EH=1,∴FH=1-m.
在Rt△BFH中,由BH2+FH2=BF2得(k+2)2+(1-m)2=m2,
∴m=k2+4k+52,∴FH=1-m=-k2-4k-32.
∴tan∠BFH=BHFH=4+2k-k2-4k-3.
∵∠ODC=2∠BEC,∴∠ODC=∠BFH,
∴tan∠ODC=tan∠BFH.
∵C1-2k,0,∴OC=1-2k,
∵D(0,-k+2),∴OD=-k+2,
∴tan∠ODC=OCOD=-1k.
∴-1k=4+2k-k2-4k-3,解得k=±3.
∵k<0,∴k=-3.
当点B在点C右侧时,2+k<0,∴k<-2.
如图②,过点B作BM⊥x轴于点M,作BE的垂直平分线交x轴于点N,连接BN.
∴BN=EN,∴∠BNM=2∠BEC.
易得E(1,0),M(2,0),∴EM=1,
设BN=EN=n,则MN=1-n.
在Rt△BMN中,由BN2=BM2+MN2得n2=(k+2)2+(1-n)2,
∴n=k2+4k+52,∴MN=1-n=-k2-4k-32.
∵BM=-(k+2),
∴tan∠BNM=BMMN=4+2kk2+4k+3.
∵∠ODC=2∠BEC,∴∠ODC=∠BNM,
∴tan∠ODC=tan∠BNM.
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∵C1-2k,0,∴OC=1-2k,
∵D(0,-k+2),∴OD=2-k,
∴tan∠ODC=OCOD=1-2k2-k=-1k,
∴-1k=4+2kk2+4k+3,化简得3k2+8k+3=0,
解得k=-4±73,∵k<-2,∴k=-4-73.
综上所述,k=-3或-4-73.
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