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- 2021-11-11 发布
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2019年四川省南充市中考数学试卷
一、选择题(本大题共10个小题,每小3分,共30分)每小题都有代号为A、B、C、D四个答案选项,其中只有一个是正确的,请根据正确选项的代号填涂答题卡对应位置,填涂正确记3分,不涂、填涂或多涂记0分.
1.(3分)如果6a=1,那么a的值为( )
A.6 B.16 C.﹣6 D.-16
2.(3分)下列各式计算正确的是( )
A.x+x2=x3 B.(x2)3=x5 C.x6÷x2=x3 D.x•x2=x3
3.(3分)如图是一个几何体的表面展开图,这个几何体是( )
A. B. C. D.
4.(3分)在2019年南充市初中毕业升学体育与健康考试中,某校九年级(1)班体育委员对本班50名同学参加球类自选项目做了统计,制作出扇形统计图(如图),则该班选考乒乓球人数比羽毛球人数多( )
A.5人 B.10人 C.15人 D.20人
5.(3分)如图,在△ABC中,AB的垂直平分线交AB于点D,交BC于点E,若BC=6,AC=5,则△ACE的周长为( )
A.8 B.11 C.16 D.17
6.(3分)关于x的一元一次方程2xa﹣2+m=4的解为x=1,则a+m的值为( )
A.9 B.8 C.5 D.4
7.(3分)如图,在半径为6的⊙O中,点A,B,C都在⊙O上,四边形OABC是平行四边形,则图中阴影部分的面积为( )
A.6π B.33π C.23π D.2π
8.(3分)关于x的不等式2x+a≤1只有2个正整数解,则a的取值范围为( )
A.﹣5<a<﹣3 B.﹣5≤a<﹣3 C.﹣5<a≤﹣3 D.﹣5≤a≤﹣3
9.(3分)如图,正方形MNCB在宽为2的矩形纸片一端,对折正方形MNCB得到折痕AE,再翻折纸片,使AB与AD重合,以下结论错误的是( )
A.AB2=10+25 B.CDBC=5-12
C.BC2=CD•EH D.sin∠AHD=5+15
10.(3分)抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数),a>0,顶点坐标为(12,m),给出下列结论:①若点(n,y1)与(32-2n,y2)在该抛物线上,当n<12时,则y1<y2;②关于x的一元二次方程ax2﹣bx+c﹣m+1=0无实数解,那么( )
A.①正确,②正确 B.①正确,②错误
C.①错误,②正确 D.①错误,②错误
二、填空题(本大题6个小题,每小是3分,共18分)请将答案填在答题十对应的横线上
11.(3分)原价为a元的书包,现按8折出售,则售价为 元.
12.(3分)如图,以正方形ABCD的AB边向外作正六边形ABEFGH,连接DH,则∠ADH= 度.
13.(3分)计算:x2x-1+11-x= .
14.(3分)下表是某养殖户的500只鸡出售时质量的统计数据.
质量/kg
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
2.0
频数/只
56
162
112
120
40
10
则500只鸡质量的中位数为 .
15.(3分)在平面直角坐标系xOy中,点A(3m,2n)在直线y=﹣x+1上,点B(m,n)在双曲线y=kx上,则k的取值范围为 .
16.(3分)如图,矩形硬纸片ABCD的顶点A在y轴的正半轴及原点上滑动,顶点B在x
轴的正半轴及原点上滑动,点E为AB的中点,AB=24,BC=5.给出下列结论:①点A从点O出发,到点B运动至点O为止,点E经过的路径长为12π;②△OAB的面积最大值为144;③当OD最大时,点D的坐标为(252626,1252626).其中正确的结论是 .(填写序号)
三、解答题(本大题共9个小题,共72分)解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤
17.(6分)计算:(1﹣π)0+|2-3|-12+(12)﹣1.
18.(6分)如图,点O是线段AB的中点,OD∥BC且OD=BC.
(1)求证:△AOD≌△OBC;
(2)若∠ADO=35°,求∠DOC的度数.
19.(6分)现有四张完全相同的不透明卡片,其正面分别写有数字﹣2,﹣1,0,2,把这四张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上.
(1)随机的取一张卡片,求抽取的卡片上的数字为负数的概率.
(2)先随机抽取一张卡片,其上的数字作为点A的横坐标;然后放回并洗匀,再随机抽取一张卡片,其上的数字作为点A的纵坐标,试用画树状图或列表的方法求出点A
在直线y=2x上的概率.
20.(8分)已知关于x的一元二次方程x2+(2m﹣1)x+m2﹣3=0有实数根.
(1)求实数m的取值范围;
(2)当m=2时,方程的根为x1,x2,求代数式(x12+2x1)(x22+4x2+2)的值.
21.(8分)双曲线y=kx(k为常数,且k≠0)与直线y=﹣2x+b,交于A(-12m,m﹣2),B(1,n)两点.
(1)求k与b的值;
(2)如图,直线AB交x轴于点C,交y轴于点D,若点E为CD的中点,求△BOE的面积.
22.(8分)如图,在△ABC中,以AC为直径的⊙O交AB于点D,连接CD,∠BCD=∠A.
(1)求证:BC是⊙O的切线;
(2)若BC=5,BD=3,求点O到CD的距离.
23.(10分)在“我为祖国点赞“征文活动中,学校计划对获得一,二等奖的学生分别奖励一支钢笔,一本笔记本.已知购买2支钢笔和3个笔记本共38元,购买4支钢笔和5个笔记本共70元.
(1)钢笔、笔记本的单价分别为多少元?
(2)经与商家协商,购买钢笔超过30支时,每增加1支,单价降低0.1元;超过50支,均按购买50支的单价售,笔记本一律按原价销售.学校计划奖励一、二等奖学生共计100人,其中一等奖的人数不少于30人,且不超过60人,这次奖励一等奖学生多少人时,购买奖品总金额最少,最少为多少元?
24.(10分)如图,在正方形ABCD中,点E是AB边上一点,以DE为边作正方形DEFG,DF与BC交于点M,延长EM交GF于点H,EF与CB交于点N,连接CG.
(1)求证:CD⊥CG;
(2)若tan∠MEN=13,求MNEM的值;
(3)已知正方形ABCD的边长为1,点E在运动过程中,EM的长能否为12?请说明理由.
25.(10分)如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(﹣1,0),点B(﹣3,0),且OB=OC.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点P在抛物线上,且∠POB=∠ACB,求点P的坐标;
(3)抛物线上两点M,N,点M的横坐标为m,点N的横坐标为m+4.点D是抛物线上M,N之间的动点,过点D作y轴的平行线交MN于点E.
①求DE的最大值;
②点D关于点E的对称点为F,当m为何值时,四边形MDNF为矩形.
2019年四川省南充市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共10个小题,每小3分,共30分)每小题都有代号为A、B、C、D四个答案选项,其中只有一个是正确的,请根据正确选项的代号填涂答题卡对应位置,填涂正确记3分,不涂、填涂或多涂记0分.
1.(3分)如果6a=1,那么a的值为( )
A.6 B.16 C.﹣6 D.-16
【解答】解:∵6a=1,
∴a=16.
故选:B.
2.(3分)下列各式计算正确的是( )
A.x+x2=x3 B.(x2)3=x5 C.x6÷x2=x3 D.x•x2=x3
【解答】解:A、x+x2,无法计算,故此选项错误;
B、(x2)3=x6,故此选项错误;
C、x6÷x2=x4,故此选项错误;
D、x•x2=x3,故此选项正确;
故选:D.
3.(3分)如图是一个几何体的表面展开图,这个几何体是( )
A. B. C. D.
【解答】解:由平面图形的折叠及三棱柱的展开图的特征可知,这个几何体是三棱柱.
故选:C.
4.(3分)在2019年南充市初中毕业升学体育与健康考试中,某校九年级(1)班体育委员对本班50名同学参加球类自选项目做了统计,制作出扇形统计图(如图),则该班选考乒乓球人数比羽毛球人数多( )
A.5人 B.10人 C.15人 D.20人
【解答】解:∵选考乒乓球人数为50×40%=20人,
选考羽毛球人数为50×72°360°=10人,
∴选考乒乓球人数比羽毛球人数多20﹣10=10人,
故选:B.
5.(3分)如图,在△ABC中,AB的垂直平分线交AB于点D,交BC于点E,若BC=6,AC=5,则△ACE的周长为( )
A.8 B.11 C.16 D.17
【解答】解:∵DE垂直平分AB,
∴AE=BE,
∴△ACE的周长=AC+CE+AE
=AC+CE+BE
=AC+BC
=5+6
=11.
故选:B.
6.(3分)关于x的一元一次方程2xa﹣2+m=4的解为x=1,则a+m的值为( )
A.9 B.8 C.5 D.4
【解答】解:因为关于x的一元一次方程2xa﹣2+m=4的解为x=1,
可得:a﹣2=1,2+m=4,
解得:a=3,m=2,
所以a+m=3+2=5,
故选:C.
7.(3分)如图,在半径为6的⊙O中,点A,B,C都在⊙O上,四边形OABC是平行四边形,则图中阴影部分的面积为( )
A.6π B.33π C.23π D.2π
【解答】解:连接OB,
∵四边形OABC是平行四边形,
∴AB=OC,
∴AB=OA=OB,
∴△AOB是等边三角形,
∴∠AOB=60°,
∵OC∥AB,
∴S△AOB=S△ABC,
∴图中阴影部分的面积=S扇形AOB=60⋅π×36360=6π,
故选:A.
8.(3分)关于x的不等式2x+a≤1只有2个正整数解,则a的取值范围为( )
A.﹣5<a<﹣3 B.﹣5≤a<﹣3 C.﹣5<a≤﹣3 D.﹣5≤a≤﹣3
【解答】解:解不等式2x+a≤1得:x≤1-a2,
不等式有两个正整数解,一定是1和2,
根据题意得:2≤1-a2<3,
解得:﹣5<a≤﹣3.
故选:C.
9.(3分)如图,正方形MNCB在宽为2的矩形纸片一端,对折正方形MNCB得到折痕AE,再翻折纸片,使AB与AD重合,以下结论错误的是( )
A.AB2=10+25 B.CDBC=5-12
C.BC2=CD•EH D.sin∠AHD=5+15
【解答】解:在Rt△AEB中,AB=AE2+BE2=22+12=5,
∵AB∥DH,BH∥AD,
∴四边形ABHD是平行四边形,
∵AB=AD,
∴四边形ABHD是菱形,
∴AD=AB=5,
∴CD=AD=AD=5-1,
∴CDBC=5-12,故选项B正确,
∵BC2=4,CD•EH=(5-1)(5+1)=4,
∴BC2=CD•EH,故选项C正确,
∵四边形ABHD是菱形,
∴∠AHD=∠AHB,
∴sin∠AHD=sin∠AHB=AEAH=222+(5+1)2=5+15,故选项D正确,
故选:A.
10.(3分)抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数),a>0,顶点坐标为(12,m
),给出下列结论:①若点(n,y1)与(32-2n,y2)在该抛物线上,当n<12时,则y1<y2;②关于x的一元二次方程ax2﹣bx+c﹣m+1=0无实数解,那么( )
A.①正确,②正确 B.①正确,②错误
C.①错误,②正确 D.①错误,②错误
【解答】解:①∵顶点坐标为(12,m),n<12,
∴点(n,y1)关于抛物线的对称轴x=12的对称点为(1﹣n,y1),
∴点(1﹣n,y1)与(32-2n,y2)在该抛物线上,
∵(1﹣n)﹣(32-2n)=n-12<0,
∴1﹣n<32-2n,
∵a>0,
∴当x>12时,y随x的增大而增大,
∴y1<y2,故此小题结论正确;
②把(12,m)代入y=ax2+bx+c中,得m=14a+12b+c,
∴一元二次方程ax2﹣bx+c﹣m+1=0中,△=b2﹣4ac+4am﹣4a=b2﹣4ac+4a(14a+12b+c)﹣4a=(a+b)2﹣4a<0,
∴一元二次方程ax2﹣bx+c﹣m+1=0无实数解,故此小题正确;
故选:A.
二、填空题(本大题6个小题,每小是3分,共18分)请将答案填在答题十对应的横线上
11.(3分)原价为a元的书包,现按8折出售,则售价为 45a 元.
【解答】解:依题意可得,
售价为810a=45a,
故答案为45a.
12.(3分)如图,以正方形ABCD的AB边向外作正六边形ABEFGH,连接DH,则∠ADH= 15 度.
【解答】解:∵四边形ABCD 是正方形,
∴AB=AD,∠BAD=90°,
在正六边形ABEFGH中,∵AB=AH,∠BAH=120°,
∴AH=AD,∠HAD=360°﹣90°﹣120°=150°,
∴∠ADH=∠AHD=12(180°﹣150°)=15°,
故答案为:15.
13.(3分)计算:x2x-1+11-x= x+1 .
【解答】解:原式=x2x-1-1x-1=(x+1)(x-1)x-1=x+1.
故答案为:x+1
14.(3分)下表是某养殖户的500只鸡出售时质量的统计数据.
质量/kg
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
2.0
频数/只
56
162
112
120
40
10
则500只鸡质量的中位数为 1.4kg .
【解答】解:500个数据的中位数是第250、251个数据的平均数,
∵第250和251个数据分别为1.4、1.4,
∴这组数据的中位数为1.4+1.42=1.4(kg),
故答案为:1.4kg.
15.(3分)在平面直角坐标系xOy中,点A(3m,2n)在直线y=﹣x+1上,点B(m,n)在双曲线y=kx上,则k的取值范围为 k≤124且k≠0 .
【解答】解:∵点A(3m,2n)在直线y=﹣x+1上,
∴2n=﹣3m+1,即n=-3m+12,
∴B(m,-3m+12),
∵点B在双曲线y=kx上,
∴k=m•-3m+12=-32(m-16)2+124,
∵-32<0,
∴k有最大值为124,
∴k的取值范围为k≤124,
∵k≠0,
故答案为k≤124且k≠0.
16.(3分)如图,矩形硬纸片ABCD的顶点A在y轴的正半轴及原点上滑动,顶点B在x轴的正半轴及原点上滑动,点E为AB的中点,AB=24,BC=5.给出下列结论:①点A从点O出发,到点B运动至点O为止,点E经过的路径长为12π;②△OAB的面积最大值为144;③当OD最大时,点D的坐标为(252626,1252626).其中正确的结论是 ②③ .(填写序号)
【解答】解:∵点E为AB的中点,AB=24,
∴OE=12AB=12,
∴AB的中点E的运动轨迹是以点O为圆心,12为半径的一段圆弧,
∵∠AOB=90°,
∴点E经过的路径长为90×12×π180=6π,故①错误;
当△OAB的面积最大时,因为AB=24,所以△OAB为等腰直角三角形,即OA=OB,
∵E为AB的中点,
∴OE⊥AB,OE=12AB=12,
∴S△AOB=12×24×12=144,故②正确;
如图,当O、E、D三点共线时,OD最大,过点D作DF⊥y轴于点F,
∵AD=BC=5,AE=12AB=12,
∴DE=AD2+AE2=52+122=13,
∴OD=DE+OE=13+12=25,
设DF=x,
∴OF=OD2-DF2=252-x2,
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠DAB=90°,
∴∠DFA=∠AOB,
∴∠DAF=∠ABO,
∴△DFA∽△AOB
∴DFOA=DAAB,
∴xOA=524,
∴OA=24x5,
∵E为AB的中点,∠AOB=90°,
∴AE=OE,
∴∠AOE=∠OAE,
∴△DFO∽△BOA,
∴ODAB=OFOA,
∴2524=252-x224x5,
解得x=252626,x=-252626舍去,
∴OF=1252626,
∴D(252626,1252626).故③正确.
故答案为:②③.
三、解答题(本大题共9个小题,共72分)解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤
17.(6分)计算:(1﹣π)0+|2-3|-12+(12)﹣1.
【解答】解:原式=1+3-2-23+2=1-3.
18.(6分)如图,点O是线段AB的中点,OD∥BC且OD=BC.
(1)求证:△AOD≌△OBC;
(2)若∠ADO=35°,求∠DOC的度数.
【解答】(1)证明:∵点O是线段AB的中点,
∴AO=BO,
∵OD∥BC,
∴∠AOD=∠OBC,
在△AOD与△OBC中,AO=BO∠AOD=∠OBCOD=BC,
∴△AOD≌△OBC(SAS);
(2)解:∵△AOD≌△OBC,
∴∠ADO=∠OCB=35°,
∵OD∥BC,
∴∠DOC=∠OCB=35°.
19.(6分)现有四张完全相同的不透明卡片,其正面分别写有数字﹣2,﹣1,0,2,把这四张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上.
(1)随机的取一张卡片,求抽取的卡片上的数字为负数的概率.
(2)先随机抽取一张卡片,其上的数字作为点A的横坐标;然后放回并洗匀,再随机抽取一张卡片,其上的数字作为点A的纵坐标,试用画树状图或列表的方法求出点A在直线y=2x上的概率.
【解答】解:(1)随机的取一张卡片,抽取的卡片上的数字为负数的概率为24=12;
(2)画树状图如图所示:
共有16个可能的结果,点A在直线y=2x上的结果有2个,
∴点A在直线y=2x上的概率为216=18.
20.(8分)已知关于x的一元二次方程x2+(2m﹣1)x+m2﹣3=0有实数根.
(1)求实数m的取值范围;
(2)当m=2时,方程的根为x1,x2,求代数式(x12+2x1)(x22+4x2+2)的值.
【解答】解:(1)由题意△≥0,
∴(2m﹣1)2﹣4(m2﹣3)≥0,
∴m≤134.
(2)当m=2时,方程为x2+3x+1=0,
∴x1+x2=﹣3,x1x2=1,
∵方程的根为x1,x2,
∴x12+3x1+1=0,x22+3x2+1=0,
∴(x12+2x1)(x22+4x2+2)
=(x12+2x1+x1﹣x1)(x22+3x2+x2+2)
=(﹣1﹣x1)(﹣1+x2+2)
=(﹣1﹣x1)(x2+1)
=﹣x2﹣x1x2﹣1﹣x1
=﹣x2﹣x1﹣2
=3﹣2
=1.
21.(8分)双曲线y=kx(k为常数,且k≠0)与直线y=﹣2x+b,交于A(-12m,m﹣2),B(1,n)两点.
(1)求k与b的值;
(2)如图,直线AB交x轴于点C,交y轴于点D,若点E为CD的中点,求△BOE的面积.
【解答】解:(1)∵点A(-12m,m﹣2),B(1,n)在直线y=﹣2x+b上,
∴m+b=m-2-2+b=n,
解得:b=-2n=-4,
∴B(1,﹣4),
代入反比例函数解析式y=kx,
∴﹣4=k1,
∴k=﹣4.
(2)∵直线AB的解析式为y=﹣2x﹣2,
令x=0,解得y=﹣2,令y=0,解得x=﹣1,
∴C(﹣1,0),D(0,﹣2),
∵点E为CD的中点,
∴E(-12,-1),
∴S△BOE=S△ODE+S△ODB=12OD⋅(xB-xE)=12×2×(1+12)
=32.
22.(8分)如图,在△ABC中,以AC为直径的⊙O交AB于点D,连接CD,∠BCD=∠A.
(1)求证:BC是⊙O的切线;
(2)若BC=5,BD=3,求点O到CD的距离.
【解答】(1)证明:∵AC是⊙O的直径,
∴∠ADC=90°,
∴∠A+∠ACD=90°,
∵∠BCD=∠A,
∴∠ACD+∠BCD=90°,
∴∠ACB=90°,
∴BC是⊙O的切线;
(2)解:过O作OH⊥CD于H,
∵∠BDC=∠ACB=90°,∠B=∠B,
∴△ACB∽△CDB,
∴BCBD=ABBC,
∴53=AB5,
∴AB=253,
∴AD=163,
∵OH⊥CD,
∴CH=DH,
∵AO=OC,
∴OH=12AD=83,
∴点O到CD的距离是83.
23.(10分)在“我为祖国点赞“征文活动中,学校计划对获得一,二等奖的学生分别奖励一支钢笔,一本笔记本.已知购买2支钢笔和3个笔记本共38元,购买4支钢笔和5个笔记本共70元.
(1)钢笔、笔记本的单价分别为多少元?
(2)经与商家协商,购买钢笔超过30支时,每增加1支,单价降低0.1元;超过50支,均按购买50支的单价售,笔记本一律按原价销售.学校计划奖励一、二等奖学生共计100人,其中一等奖的人数不少于30人,且不超过60人,这次奖励一等奖学生多少人时,购买奖品总金额最少,最少为多少元?
【解答】解:(1)钢笔、笔记本的单价分别为x、y元,
根据题意得,2x+3y=384x+5y=70,
解得:x=10y=6,
答:钢笔、笔记本的单价分别为10元,6元;
(2)设钢笔的单价为a元,购买数量为b元,支付钢笔和笔记本的总金额w元,
①当30≤b≤50时,a=10﹣0.1(b﹣30)=﹣0.1b+13,w=b(﹣0.1b+13)+6(100﹣b)=﹣0.1b2+7b+600=﹣0.1(b﹣35)2+722.5,
∵当b=30时,w=720,当b=50时,w=700,
∴当30≤b≤50时,700≤w≤722.5;
②当50<b≤60时,a=8,w=8b+6(100﹣b)=2b+600,
700<w≤720,
∴当30≤b≤60时,w的最小值为700元,
∴这次奖励一等奖学生50人时,购买奖品总金额最少,最少为700元.
24.(10分)如图,在正方形ABCD中,点E是AB边上一点,以DE为边作正方形DEFG,DF与BC交于点M,延长EM交GF于点H,EF与CB交于点N,连接CG.
(1)求证:CD⊥CG;
(2)若tan∠MEN=13,求MNEM的值;
(3)已知正方形ABCD的边长为1,点E在运动过程中,EM的长能否为12?请说明理由.
【解答】(1)证明:∵四边形ABCD和四边形DEFG是正方形,
∴∠A=∠ADC=∠EDG=90°,AD=CD,DE=DG,
∴∠ADE=∠CDG,
在△ADE和△CDG中,AD=CD∠ADE=∠CDGDE=DG,
∴△ADE≌△CDG(SAS),
∴∠A=∠DCG=90°,
∴CD⊥CG;
(2)解:∵四边形DEFG是正方形,
∴EF=GF,∠EFM=∠GFM=45°,
在△EFM和△GFM中EF=GF∠EFM=∠GFMMF=MF,
∴△EFM≌△GFM(SAS),
∴EM=GM,∠MEF=∠MGF,
在△EFH和△GFN中,∠EFH=∠GFNEF=GF∠MEF=∠MGF,
∴△EFH≌△GFN(ASA),
∴HF=NF,
∵tan∠MEN=13=HFEF,
∴GF=EF=3HF=3NF,
∴GH=2HF,
作NP∥GF交EM于P,则△PMN∽△HMG,△PEN∽△HEF,
∴PNGH=MNGM,PNHF=ENEF=23,
∴PN=23HF,
∴MNEM=MNGM=PNGH=23HF2HF=13;
(3)EM的长不可能为12,
理由:假设EM的长为12,
∵点E是AB边上一点,且∠EDG=∠ADC=90°,
∴点G在BC的延长线上,
同(2)的方法得,EM=GM=12,
∴GM=12,
在Rt△BEM中,EM是斜边,
∴BM<12,
∵正方形ABCD的边长为1,
∴BC=1,
∴CM>12,
∴CM>GM,
∴点G在正方形ABCD的边BC上,与“点G在BC的延长线上”相矛盾,
∴假设错误,
即:EM的长不可能为12.
25.(10分)如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(﹣1,0),点B(﹣3,0),且OB=OC.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点P在抛物线上,且∠POB=∠ACB,求点P的坐标;
(3)抛物线上两点M,N,点M的横坐标为m,点N的横坐标为m+4.点D是抛物线上M,N之间的动点,过点D作y轴的平行线交MN于点E.
①求DE的最大值;
②点D关于点E的对称点为F,当m为何值时,四边形MDNF为矩形.
【解答】解:(1)∵抛物线与x轴交于点A(﹣1,0),点B(﹣3,0)
∴设交点式y=a(x+1)(x+3)
∵OC=OB=3,点C在y轴负半轴
∴C(0,﹣3)
把点C代入抛物线解析式得:3a=﹣3
∴a=﹣1
∴抛物线解析式为y=﹣(x+1)(x+3)=﹣x2﹣4x﹣3
(2)如图1,过点A作AG⊥BC于点G,过点P作PH⊥x轴于点H
∴∠AGB=∠AGC=∠PHO=90°
∵∠ACB=∠POB
∴△ACG∽△POH
∴AGPH=CGOH
∴AGCG=PHOH
∵OB=OC=3,∠BOC=90°
∴∠ABC=45°,BC=OB2+OC2=32
∴△ABG是等腰直角三角形
∴AG=BG=22AB=2
∴CG=BC﹣BG=32-2=22
∴PHOH=AGCG=12
∴OH=2PH
设P(p,﹣p2﹣4p﹣3)
①当p<﹣3或﹣1<p<0时,点P在点B左侧或在AC之间,横纵坐标均为负数
∴OH=﹣p,PH=﹣(﹣p2﹣4p﹣3)=p2+4p+3
∴﹣p=2(p2+4p+3)
解得:p1=-9-334,p2=-9+334
∴P(-9-334,-9-338)或(-9+334,-9+338)
②当﹣3<p<﹣1或p>0时,点P在AB之间或在点C右侧,横纵坐标异号
∴p=2(p2+4p+3)
解得:p1=﹣2,p2=-32
∴P(﹣2,1)或(-32,34)
综上所述,点P的坐标为(-9-334,-9-338)、(-9+334,-9+338)、(﹣2,1)或(-32,34).
(3)①如图2,∵x=m+4时,y=﹣(m+4)2﹣4(m+4)﹣3=﹣m2﹣12m﹣35
∴M(m,﹣m2﹣4m﹣3),N(m+4,﹣m2﹣12m﹣35)
设直线MN解析式为y=kx+n
∴km+n=-m2-4m-3k(m+4)+n=-m2-12m-35 解得:k=-2m-8n=m2+4m-3
∴直线MN:y=(﹣2m﹣8)x+m2+4m﹣3
设D(d,﹣d2﹣4d﹣3)(m<d<m+4)
∵DE∥y轴
∴xE=xD=d,E(d,(﹣2m﹣8)d+m2+4m﹣3)
∴DE=﹣d2﹣4d﹣3﹣[(﹣2m﹣8)d+m2+4m﹣3]=﹣d2+(2m+4)d﹣m2﹣4m=﹣[d﹣(m+2)]2+4
∴当d=m+2时,DE的最大值为4.
②如图3,∵D、F关于点E对称
∴DE=EF
∵四边形MDNF是矩形
∴MN=DF,且MN与DF互相平分
∴DE=12MN,E为MN中点
∴xD=xE=m+m+42=m+2
由①得当d=m+2时,DE=4
∴MN=2DE=8
∴(m+4﹣m)2+[﹣m2﹣12m﹣35﹣(﹣m2﹣4m﹣3)]2=82
解得:m1=﹣4-32,m2=﹣4+32
∴m的值为﹣4-32或﹣4+32时,四边形MDNF为矩形.
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日期:2019/6/30 9:58:00;用户:中考培优辅导;邮箱:p5193@xyh.com;学号:27411521
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