人教版九年级数学上册教案：21_3 实际问题与一元二次方程（1） 4页

1 21.3 实际问题与一元二次方程(1) 教学内容 由“倍数关系”等问题建立数学模型，并通过配方法或公式法或分解因式法解决实际问 题． 教学目标 掌握用“倍数关系”建立数学模型，并利用它解决一些具体问题． 通过复习二元一次方程组等建立数学模型，并利用它解决实际问题，引入用“倍数关系” 建立数学模型，并利用它解决实际问题． 重难点关键 1．重点：用“倍数关系”建立数学模型 2．难点与关键：用“倍数关系”建立数学模型 教学过程 一、复习引入 （学生活动）问题 1：列方程解应用题 下表是某一周甲、乙两种股票每天每股的收盘价（收盘价：股票每天交易结果时的价 格）： 星期 一 二 三 四 五 甲 12 元 12.5 元 12.9 元 12.45 元 12.75 元 乙 13.5 元 13.3 元 13.9 元 13.4 元 13.75 元 某人在这周内持有若干甲、乙两种股票，若按照两种股票每天的收盘价计算（不计手续 费、税费等），则在他帐户上，星期二比星期一增加 200 元，•星期三比星期二增加 1300 元， 这人持有的甲、乙股票各多少股？ 老师点评分析：一般用直接设元，即问什么就设什么，即设这人持有的甲、乙股票各 x、 y 张，由于从表中知道每天每股的收盘价，因此，两种股票当天的帐户总数就是 x 或 y 乘以 相应的每天每股的收盘价，再根据已知的等量关系；星期二比星期一增加 200 元，星期三比 星期二增加 1300 元，便可列出等式． 解：设这人持有的甲、乙股票各 x、y 张． 则 0.5 ( 0.2) 200 0.4 0.6 1300 xy xy      解得 1000( 1500( x y    股) 股) 答：（略） 二、探索新知 上面这道题大家都做得很好，这是一种利用二元一次方程组的数量关系建立的数学模 型，那么还有没有利用其它形式，也就是利用我们前面所学过的一元二次方程建立数学模型 解应用题呢？请同学们完成下面问题． （学生活动）问题 2：某工厂第一季度的一月份生产电视机是 1 万台，第一季度生产电 视机的总台数是 3.31 万台，求二月份、三月份生产电视机平均增长的百分率是多少？ 老师点评分析：直接假设二月份、三月份生产电视机平均增长率为 x．•因为一月份是 1 万台，那么二月份应是（1+x）台，三月份应是在二月份的基础上以二月份比一月份增长的 同样“倍数”增长，即（1+x）+（1+x）x=（1+x）2，那么就很容易从第一季度总台数列出 等式． 解：设二月份、三月份生产电视机平均增长的百分率为 x，则 1+（1+x）+（1+x）2•=3.31 2 去括号：1+1+x+1+2x+x2=3.31 整理，得：x2+3x-0.31=0 解得：x=10% 答：（略） 以上这一道题与我们以前所学的一元一次、二元一次方程（组）、分式方程等为背景建 立数学模型是一样的，而我们借助的是一元二次方程为背景建立数学模型来分析实际问题和 解决问题的类型． 例 1．某电脑公司 2001 年的各项经营中，一月份的营业额为 200 万元，一月、•二月、 三月的营业额共 950 万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率． 分析：设这个增长率为 x，由一月份的营业额就可列出用 x 表示的二、三月份的营业额， 又由三月份的总营业额列出等量关系． 解：设平均增长率为 x 则 200+200（1+x）+200（1+x）2=950 整理，得：x2+3x-1.75=0 解得：x=50% 答：所求的增长率为 50%． 三、巩固练习 （1）某林场现有木材 a 立方米，预计在今后两年内年平均增长 p%，那么两年后该林场 有木材多少立方米? （2）某化工厂今年一月份生产化工原料 15 万吨，通过优化管理，产量逐年上升，第一 季度共生产化工原料 60 万吨，设二、三月份平均增长的百分率相同，均为 x，可列出方程 为__________． 四、应用拓展 例 2．某人将 2000 元人民币按一年定期存入银行，到期后支取 1000 元用于购物，剩下 的 1000 元及应得利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变，到期后本金和利息 共 1320 元，求这种存款方式的年利率． 分析：设这种存款方式的年利率为 x，第一次存 2000 元取 1000 元，剩下的本金和利息 是 1000+2000x·80%；第二次存，本金就变为 1000+2000x·80%，其它依此类推． 解：设这种存款方式的年利率为 x 则：1000+2000x·80%+（1000+2000x·8%）x·80%=1320 整理，得：1280x2+800x+1600x=320，即 8x2+15x-2=0 解得：x1=-2（不符，舍去），x2= 1 8 =0.125=12.5% 答：所求的年利率是 12．5%． 五、归纳小结 本节课应掌握： 利用“倍数关系”建立关于一元二次方程的数学模型，并利用恰当方法解它． 六、布置作业 1．教材复习巩固 1 综合运用 1． 2．选用作业设计． 作业设计 一、选择题 1．2013 年一月份越南发生禽流感的养鸡场 100 家，后来二、三月份新发生禽流感的养鸡场 共 250 家，设二、三月份平均每月禽流感的感染率为 x，依题意列出的方程是（ ）． 3 A．100（1+x）2=250 B．100（1+x）+100（1+x）2=250 C．100（1-x）2=250 D．100（1+x）2 2．一台电视机成本价为 a 元，销售价比成本价增加 25%，因库存积压，•所以就按销售价的 70%出售，那么每台售价为（ ）． A．（ 1+25%）（ 1+70%）a 元 B．70%（1+25%）a 元 C．（ 1+25%）（ 1-70%）a 元 D．（ 1+25%+70%）a 元 3．某商场的标价比成本高 p%，当该商品降价出售时，为了不亏损成本，•售价的折扣（即 降低的百分数）不得超过 d%，则 d 可用 p 表示为（ ）． A． 100 p p B．p C． 100 1000 p p D． 100 100 p p 二、填空题 1．某农户的粮食产量，平均每年的增长率为 x，第一年的产量为 6 万 kg，•第二年的产量为 _______kg，第三年的产量为_______，三年总产量为_______． 2．某糖厂 2002 年食糖产量为 at，如果在以后两年平均增长的百分率为 x，•那么预计 2004 年的产量将是________． 3．•我国政府为了解决老百姓看病难的问题，•决定下调药品价格，•某种药品在 1999 年涨 价30%•后，•2001•年降价70%•至a•元，•则这种药品在1999•年涨价前价格是__________． 三、综合提高题 1．为了响应国家“退耕还林”，改变我省水土流失的严重现状，2000 年我省某地退耕还林 1600 亩，计划到 2002 年一年退耕还林 1936 亩，问这两年平均每年退耕还林的平均增长 率 2．洛阳东方红拖拉机厂一月份生产甲、乙两种新型拖拉机，其中乙型 16 台，•从二月 份起，甲型每月增产 10 台，乙型每月按相同的增长率逐年递增，又知二月份甲、乙两型 的产量之比是 3：2，三月份甲、乙两型产量之和为 65 台，•求乙型拖拉机每月的增长率 及甲型拖拉机一月份的产量． 3．某商场于第一年初投入 50 万元进行商品经营，•以后每年年终将当年获得的利润与当年 年初投入的资金相加所得的总资金，作为下一年年初投入的资金继续进行经营． （1）如果第一年的年获利率为 p，那么第一年年终的总资金是多少万元?（•用代数式 来表示）（注：年获利率= 年利润 年初投入资金 ×100%） （2）如果第二年的年获利率多 10 个百分点（即第二年的年获利率是第一年的年获利率 与 10%的和），第二年年终的总资金为 66 万元，求第一年的年获利率． 4 答案: 一、1．B 2．B 3．D 二、1．6（1+x） 6（1+x）2 6+6（1+x）+6（1+x）2 2．a（1+x）2t 3．100 39 a 三、1．平均增长率为 x，则 1600（1+x）2=1936，x=10% 2．设乙型增长率为 x，甲型一月份产量为 y： 则 2 10 3 16(1 ) 2 ( 20) 16(1 ) 65 y x yx         2 24 14 16 32 29 0 yx x y x       即 16x2+56x-15=0，解得 x= 1 4 =25%，y=20（台） 3．（ 1）第一年年终总资金=50（1+P） （2）50（1+P）（ 1+P+10%）=66，整理得：P2+2.1P-0.22=0，解得 P=10%