人教版九年级数学上册教案：22_3 实际问题与二次函数（1） 4页

1 22.3 实际问题与二次函数（1） 教学目标： 1．使学生掌握用待定系数法由已知图象上一个点的坐标求二次函数 y ＝ax2 的关系式。 2. 使学生掌握用待定系数法由已知图象上三个点的坐标求二次函数 的关系式。 3．让学生体验二次函数的函数关系式的应用，提高学生用数学意识。 重点难点： 重点：已知二次函数图象上一个点的坐标或三个点的坐标，分别求二 次函数 y＝ax2、y＝ax2＋bx＋c 的关系式是教学的重点。 难点：已知图象上三个点坐标求二次函数的关系式是教学的难点。 教学过程： 一、创设问题情境 如图，某建筑的屋顶设计成横截面为抛物线型(曲线 AOB)的薄壳屋顶。 它的拱高 AB 为 4m，拱高 CO 为 0.8m。施工前要先制造建筑模板，怎样画出 模板的轮廓线呢? 分析：为了画出符合要求的模板，通常要先建立 适当的直角坐标系，再写出函数关系式，然后根 据这个关系式进行计算，放样画图。 如图所示，以 AB 的垂直平分线为 y 轴，以过 点 O 的 y 轴的垂线为 x 轴，建立直角坐标系。这 时，屋顶的横截面所成抛物线的顶点在原点，对称轴是 y 轴，开口向下， 所以可设它的函数关系式为： y＝ax2 (a＜0) (1) 因为 y 轴垂直平分 AB，并交 AB 于点 C，所以 CB＝AB 2 ＝2(cm)，又 CO ＝0.8m，所以点 B 的坐标为(2，－0.8)。 因为点 B 在抛物线上，将它的坐标代人(1)，得 －0.8＝a×22 所以 a＝－0.2 因此，所求函数关系式是 y＝－0.2x2。 二、引申拓展 问题 1：能不能以 A 点为原点，AB 所在直线为 x 轴，过点 A 的 x 轴的 垂线为 y 轴，建立直角坐标系? 让学生了解建立直角坐标系的方法不是唯一的，以 A 点为原点，AB 所 在的直线为 x 轴，过点 A 的 x 轴的垂线为 y 轴，建立直角坐标系也是可行 的。 问题 2，若以 A 点为原点，AB 所在直线为 x 轴，过点 A 的 x 轴的垂直 为 y 轴，建立直角坐标系，你能求出其函数关系式吗? 2 分析：按此方法建立直角坐标系，则 A 点坐标为(0，0)，B 点坐标为 (4，0),OC 所在直线为抛物线的对称轴，所以有 AC＝CB，AC＝2m，O 点坐 标为(2；0．8)。即把问题转化为：已知抛物线过(0，0)、(4，0)；(2，0．8) 三点，求这个二次函数的关系式。 解：设所求的二次函数关系式为 y＝ax2＋bx＋c。 因为 OC 所在直线为抛物线的对称轴，所以有 AC＝CB，AC＝2m，拱高 OC＝0.8m， 所以 O 点坐标为(2，0.8)，A 点坐标为(0，0)，B 点坐标为(4，0)。 由已知，函数的图象过(0，0)，可得 c＝0，又由于其图象过(2，0.8)、(4， 0)，可得到  4a＋2b＝0.8 16＋4b＝0 解这个方程组， 得   a＝－1 5 b＝4 5 所以，所求的二次函数的关系式为 y＝－1 5x2＋4 5x。 问题 3：根据这个函数关系式，画出模板的轮廓线，其图象是否与前 面所画图象相同? 问题 4：比较两种建立直角坐标系的方式，你认为哪种建立直角坐标 系方式能使解决问题来得更简便?为什么? (第一种建立直角坐标系能使解决问题来得更简便，这是因为所设函数 关系式待定系数少，所求出的函数关系式简单，相应地作图象也容易) 三、课堂练习： P18 练习 1．(1)、(3)2。 四、综合运用 例 1．如图所示，求二次函数的关系式。 分析：观察图象可知，A 点坐标是(8，0)，C 点坐标为(0，4)。从图中可知对称轴是直线 x＝3， 由于抛物线是关于对称轴的轴对称图形，所以此 抛物线在 x 轴上的另一交点 B 的坐标是(－2，0)，问题转化为已知三点求 函数关系式。 解：观察图象可知，A、C 两点的坐标分别是(8，0)、(0，4)，对称轴 是直线 x＝3。因为对称轴是直线 x＝3，所以 B 点坐标为(－2，0)。 设所求二次函数为 y＝ax2＋bx＋c，由已知，这个图象经过点(0，4)，可以 得到 c＝4，又由于其图象过(8，0)、(－2，0)两点，可以得到  64a＋8b＝－4 4a－2b＝－4 3 解这个方程组，得   a＝－1 4 b＝3 2 所以，所求二次函数的关系式是 y＝－1 4x2＋3 2x＋4 练习： 一条抛物线 y＝ax2＋bx＋c 经过点(0，0)与(12，0)，最高 点的纵坐标是 3，求这条抛物线的解析式。 五、小结： 二次函数的关系式有几种形式，二次函数关系式的确定，关 键在于求出三个待定系数 a、b、c，由于已知三点坐标必须适合所求的函 数关系式，故可列出三个方程，求出三个待定系数。 六、作业 1．习题 4．(1)、(3)、5。 教后反思： 4 22.3 实际问题与二次函数（1）作业优化设计 1. 二次函数的图象的顶点在原点，且过点(2，4)，求这个二次函数的 关系式。 2．若二次函数的图象经过 A(0，0)，B(－1，－11)，C(1，9)三点， 求这个二次函数的解析式。 3．如果抛物线 y＝ax2＋Bx＋c 经过点(－1，12)，(0，5)和(2，－ 3)，； 求 a＋b＋c 的值。 4．已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象如图所示，求这个二次函数的关系 式； 5．二次函数 y＝ax2＋bx＋c 与 x 轴的两交点的横坐标是－1 2，3 2，与 x 轴交点的纵坐标是－5，求这个二次函数的关系式。