2020年云南省中考数学试卷【含答案】 9页

1 / 9 2020 年云南省中考数学试卷 一、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 1. 中国是最早采用正负数表示相反意义的量的国家．某仓库运进面粉7吨，记为+7 吨，那么运出面粉8吨应记为________吨． 2. 如图，直线푐与直线푎、푏都相交．若푎 // 푏，∠1＝54∘，则∠2＝________度． 3. 要使√푥 − 2有意义，则푥的取值范围是________． 4. 已知一个反比例函数的图象经过点(3,  1)，若该反比例函数的图象也经过点 (−1,  푚)，则푚＝________． 5. 若关于푥的一元二次方程푥2 + 2푥 + 푐＝0有两个相等的实数根，则实数푐的值为 ________． 6. 已知四边形퐴퐵퐶퐷是矩形，点퐸是矩形퐴퐵퐶퐷的边上的点，且퐸퐴＝퐸퐶．若퐴퐵＝6， 퐴퐶＝2√10，则퐷퐸的长是________． 二、选择题（本大题共 8 小题，每小题只有一个正确选项，每小题 4 分，共 32 分） 7. 千百年来的绝对贫困即将消除，云南省95%的贫困人口脱贫，95%的贫困村出列， 90%的贫困县摘帽，1500000人通过异地扶贫搬迁实现“挪穷窝”，“斩穷根”（摘 自2020年5月11日云南日报）．1500000这个数用科学记数法表示为（ ） A.15 × 106 B.1.5 × 105 C.1.5 × 106 D.1.5 × 107 8. 下列几何体中，主视图是长方形的是（ ） A. B. C. D. 9. 下列运算正确的是（ ） A.√4 = ±2 B.(1 2)−1＝−2 C.(−3푎)3＝−9푎3 D.푎6 ÷ 푎3＝푎3 (푎 ≠ 0) 10. 下列说法正确的是（ ） A.为了解三名学生的视力情况，采用抽样调查 B.任意画一个三角形，其内角和是360∘是必然事件 C.甲、乙两名射击运动员10次射击成绩（单位：环）的平均数分别为푥¯ 、푥¯ ，方差分别 为푠甲 2 、푠乙 2 ，若푥¯ = 푥¯ ，푠甲 2 ＝0.4，푠乙 2 ＝2，则甲的成绩比乙的稳定 D.一个抽奖活动中，中奖概率为 1 20 ，表示抽奖20次就有1次中奖 11. 如图，平行四边形퐴퐵퐶퐷的对角线퐴퐶，퐵퐷相交于点푂，퐸是퐶퐷的中点．则△ 퐷퐸푂与△ 퐵퐶퐷的面积的比等于（ ） A.1 2 B.1 4 C.1 6 D.1 8 12. 按一定规律排列的单项式：푎，−2푎，4푎，−8푎，16푎，−32푎，…，第푛个单项 式是（ ） A.(−2)푛−1푎 B.(−2)푛푎 C.2푛−1푎 D.2푛푎 13. 如图，正方形퐴퐵퐶퐷的边长为4，以点퐴为圆心，퐴퐷为半径，画圆弧퐷퐸得到扇形 퐷퐴퐸（阴影部分，点퐸在对角线퐴퐶上）．若扇形퐷퐴퐸正好是一个圆锥的侧面展开图， 则该圆锥的底面圆的半径是（ ） 2 / 9 A.√2 B.1 C.√2 2 D.1 2 14. 若整数푎使关于푥的不等式组{ 푥−1 2 ≤ 11+푥 3 4푥 − 푎 > 푥 + 1 ，有且只有45个整数解，且使关于 푦的方程2푦+푎+2 푦+1 + 60 1+푦 = 1的解为非正数，则푎的值为（ ） A.−61或−58 B.−61或−59 C.−60或−59 D.−61或−60或−59 三、解答题（本大题共 9 小题，共 70 分） 15. 先化简，再求值：푥2−4푥+4 푥2−4 ÷ 푥2−2푥 푥+2 ，其中푥 = 1 2 ． 16. 如图，已知퐴퐷＝퐵퐶，퐵퐷＝퐴퐶．求证：∠퐴퐷퐵＝∠퐵퐶퐴． 17. 某公司员工的月工资如下： 员工 经理 副经理 职员퐴 职员퐵 职员퐶 职员퐷 职员퐸 职员퐹 杂工퐺 月工资/元 7000 4400 2400 2000 1900 1800 1800 1800 1200 3 / 9 经理、职员퐶、职员퐷从不同的角度描述了该公司员工的收入情况． 设该公司员工的月工资数据（见上述表格）的平均数、中位数、众数分别为푘、푚、푛， 请根据上述信息完成下列问题： （1）푘＝________，푚＝________，푛＝________； （2）上月一个员工辞职了，从本月开始，停发该员工工资，若本月该公司剩下的8名 员工的月工资不变，但这8名员工的月工资数据（单位：元）的平均数比原9名员工的 月工资数据（见上述表格）的平均数减小了．你认为辞职的那名员工可能是________． 18. 某地响应“把绿水青山变成金山银山，用绿色杠杆撬动经济转型”发展理念， 开展“美化绿色城市”活动，绿化升级改造了总面积为360万平方米的区域．实际施 工中，由于采用了新技术，实际平均每年绿化升级改造的面积是原计划平均每年绿化 升级改造的面积的2倍，所以比原计划提前4年完成了上述绿化升级改造任务．实际平 均每年绿化升级改造的面积是多少万平方米？ 19. 甲、乙两个家庭来到以“生态资源，绿色旅游”为产业的美丽云南，各自随机选 择到大理、丽江、西双版纳三个城市中的一个城市旅游．假设这两个家庭选择到哪个 城市旅游不受任何因素影响，上述三个城市中的每一个被选到的可能性相同，甲、乙 两个家庭选择到上述三个城市中的同一个城市旅游的概率为푃． （1）直接写出甲家庭选择到大理旅游的概率； （2）用列表法或树状图法（树状图也称树形图）中的一种方法，求푃的值． 20. 如图，퐴퐵为⊙ 푂的直径，퐶为⊙ 푂上一点，퐴퐷 ⊥ 퐶퐸，垂足为퐷，퐴퐶平分∠퐷퐴퐵． 4 / 9 （1）求证：퐶퐸是⊙ 푂的切线； （2）若퐴퐷＝4，cos∠퐶퐴퐵 = 4 5 ，求퐴퐵的长． 21. 众志成城抗 XXXX，全国人民在行动．某公司决定安排大、小货车共20辆，运送 260吨物资到퐴地和퐵地，支援当地抗击 XXXX．每辆大货车装15吨物资，每辆小货车装 10吨物资，这20辆货车恰好装完这批物资．已知这两种货车的运费如下表： 目的地 车型 퐴地（元/辆） 퐵地（元/辆） 大货车 900 1000 小货车 500 700 现安排上述装好物资的20辆货车（每辆大货车装15吨物资，每辆小货车装10吨物资） 中的10辆前往퐴地，其余前往퐵地，设前往퐴地的大货车有푥辆，这20辆货车的总运费 为푦元． （1）这20辆货车中，大货车、小货车各有多少辆？ （2）求푦与푥的函数解析式，并直接写出푥的取值范围； （3）若运往퐴地的物资不少于140吨，求总运费푦的最小值． 22. 如图，四边形퐴퐵퐶퐷是菱形，点퐻为对角线퐴퐶的中点，点퐸在퐴퐵的延长线上， 퐶퐸 ⊥ 퐴퐵，重足为퐸，点퐹在퐴퐷的延长线上，퐶퐹 ⊥ 퐴퐷，重足为퐹， （1）若∠퐵퐴퐷＝60∘，求证：四边形퐶퐸퐻퐹是菱形； （2）若퐶퐸＝4，△ 퐴퐶퐸的面积为16，求菱形퐴퐵퐶퐷的面积． 5 / 9 23. 抛物线푦＝푥2 + 푏푥 + 푐与푥轴交于퐴、퐵两点，与푦轴交于点퐶，点퐴的坐标为 (−1,  0)，点퐶的坐标为(0, −3)．点푃为抛物线푦＝푥2 + 푏푥 + 푐上的一个动点．过点푃作 푃퐷 ⊥ 푥轴于点퐷，交直线퐵퐶于点퐸． （1）求푏、푐的值； （2）设点퐹在抛物线푦＝푥2 + 푏푥 + 푐的对称轴上，当△ 퐴퐶퐹的周长最小时，直接写出 点퐹的坐标； （3）在第一象限，是否存在点푃，使点푃到直线퐵퐶的距离是点퐷到直线퐵퐶的距离的5 倍？若存在，求出点푃所有的坐标；若不存在，请说明理由． 6 / 9 参考答案与试题解析 2020 年云南省中考数学试卷 一、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 1.−8 2.54 3.푥 ≥ 2 4.−3 5.1 6.2√34 3 或8 3 二、选择题（本大题共 8 小题，每小题只有一个正确选项，每小题 4 分，共 32 分） 7.C 8.A 9.D 10.C 11.B 12.A 13.D 14.B 三、解答题（本大题共 9 小题，共 70 分） 15.原式= (푥−2)2 (푥+2)(푥−2) ÷ 푥(푥−2) 푥+2 = (푥 − 2)2 (푥 + 2)(푥 − 2) ⋅ 푥 + 2 푥(푥 − 2) = 1 푥 ， 当푥 = 1 2 时，原式＝2． 16.证明：在△ 퐴퐷퐵和△ 퐵퐶퐴中， { 퐴퐷 = 퐵퐶 퐵퐷 = 퐴퐶 퐴퐵 = 퐵퐴 ， ∴ △ 퐴퐷퐵 ≅△ 퐵퐶퐴(푆푆푆)， ∴ ∠퐴퐷퐵＝∠퐵퐶퐴． 17.2700,1900,1800 经理或副经理 18.实际平均每年绿化升级改造的面积是90万平方米 19.甲家庭选择到大理旅游的概率为1 3 ； 记到大理、丽江、西双版纳三个城市旅游分别为퐴、퐵、퐶， 列表得： 퐴 퐵 퐶 퐴 (퐴,  퐴) (퐴,  퐵) (퐴,  퐶) 퐵 (퐵,  퐴) (퐵,  퐵) (퐵,  퐶) 퐶 (퐶,  퐴) (퐶,  퐵) (퐶,  퐶) 由表格可知，共有9种等可能性结果，其中甲、乙两个家庭选择到上述三个城市中的 同一个城市旅游的有3种结果， 所以甲、乙两个家庭选择到上述三个城市中的同一个城市旅游的概率푃 = 3 9 = 1 3 ． 20.证明：连接푂퐶． ∵ 푂퐴＝푂퐶， ∴ ∠푂퐴퐶＝∠푂퐶퐴， ∵ 퐴퐶平分∠퐷퐴퐵， ∴ ∠퐶퐴퐷＝∠퐶퐴퐵， ∴ ∠퐷퐴퐶＝∠퐴퐶푂， ∴ 퐴퐷 // 푂퐶， 7 / 9 ∵ 퐴퐷 ⊥ 퐷퐸， ∴ 푂퐶 ⊥ 퐷퐸， ∴ 直线퐶퐸是⊙ 푂的切线； 连接퐵퐶， ∵ 퐴퐵为⊙ 푂的直径， ∴ ∠퐴퐶퐵＝90∘， ∴ ∠퐴퐷퐶＝∠퐴퐶퐵， ∵ 퐴퐶平分∠퐷퐴퐵， ∴ ∠퐷퐴퐶＝∠퐶퐴퐵， ∴ △ 퐷퐴퐶 ∽△ 퐶퐴퐵， ∴ 퐴퐷 퐴퐶 = 퐴퐶 퐴퐵 ， ∵ cos∠퐶퐴퐵 = 퐴퐶 퐴퐵 = 4 5 ， ∴ 设퐴퐶＝4푥，퐴퐵＝5푥， ∴ 4 4푥 = 4푥 5푥 ， ∴ 푥 = 5 4 ， ∴ 퐴퐵 = 25 4 ． 21.设大货车、小货车各有푥与푦辆， 由题意可知：{15푥 + 10푦 = 260 푥 + 푦 = 20 ， 解得：{푥 = 12 푦 = 8 ， 答：大货车、小货车各有12与8辆 设到퐴地的大货车有푥辆， 则到퐴地的小货车有(10 − 푥)辆， 到퐵地的大货车有(12 − 푥)辆， 到퐵地的小货车有(푥 − 2)辆， ∴ 푦＝900푥 + 500(10 − 푥) + 1000(12 − 푥) + 700(푥 − 2) ＝100푥 + 15600， 其中2 < 푥 < 10． 运往퐴地的物资共有[15푥 + 10(10 − 푥)]吨， 15푥 + 10(10 − 푥) ≥ 140， 解得：푥 ≥ 8， ∴ 8 ≤ 푥 < 10， 当푥＝8时， 푦有最小值，此时푦＝100 × 8 + 15600＝16400元， 答：总运费最小值为16400元． 22.∵ 四边形퐴퐵퐶퐷是菱形，∠퐵퐴퐷＝60∘， ∴ ∠퐴퐵퐶＝∠퐴퐷퐶＝120∘， ∵ 퐶퐸 ⊥ 퐴퐵，퐶퐹 ⊥ 퐴퐷， ∴ 퐶퐸＝퐶퐹， ∵ 퐻为对角线퐴퐶的中点， ∴ 퐸퐻＝퐹퐻 = 1 2 퐴퐶， ∵ ∠퐶퐴퐸＝30∘， ∵ 퐶퐸 = 1 2 퐴퐶， ∴ 퐶퐸＝퐸퐻＝퐶퐹＝퐹퐻， 8 / 9 ∴ 四边形퐶퐸퐻퐹是菱形； ∵ 퐶퐸 ⊥ 퐴퐵，퐶퐸＝4，△ 퐴퐶퐸的面积为16， ∴ 퐴퐸＝8， ∴ 퐴퐶 = √퐶퐸2 + 퐴퐸2 = 4√5， 连接퐵퐷，则퐵퐷 ⊥ 퐴퐶，퐴퐻 = 1 2 퐴퐶＝2√5， ∵ ∠퐴퐻퐵＝∠퐴퐸퐶＝90∘，∠퐵퐴퐻＝∠퐸퐴퐶， ∴ △ 퐴퐵퐻 ∽△ 퐴퐶퐸， ∴ 퐵퐻 퐶퐸 = 퐴퐻 퐴퐸 ， ∴ 퐵퐻 4 = 2√5 8 ， ∴ 퐵퐻 = √5， ∴ 퐵퐷＝2퐵퐻＝2√5， ∴ 菱形퐴퐵퐶퐷的面积= 1 2 퐴퐶 ⋅ 퐵퐷 = 1 2 × 2√5 × 4√5 = 20． 23.把퐴、퐶点的坐标代入抛物线的解析式得， {1 − 푏 + 푐 = 0 푐 = −3 ， 解得，{푏 = −2 푐 = −3 ； 连接퐵퐶，与抛物线的对称轴交于点퐹，连接퐴퐹，如图1， 此时，퐴퐹 + 퐶퐹＝퐵퐹 + 퐶퐹＝퐵퐶的值最小， ∵ 퐴퐶为定值， ∴ 此时△ 퐴퐹퐶的周长最小， 由（1）知，푏＝−2，푐＝−3， ∴ 抛物线的解析式为：푦＝푥2 − 2푥 − 3， ∴ 对称轴为푥＝1， 令푦＝0，得푦＝푥2 − 2푥 − 3＝0， 解得，푥＝−1，或푥＝3， ∴ 퐵(3,  0)， 令푥＝0，得푦＝푥2 − 2푥 − 3＝−3， ∴ 퐶(0, −3)， 设直线퐵퐶的解析式为：푦＝푘푥 + 푏(푘 ≠ 0)，得 {3푘 + 푏 = 0 푏 = −3 ， 解得，{ 푘 = 1 푏 = −3 ， ∴ 直线퐵퐶的解析式为：푦＝푥 − 3， 当푥＝1时，푦＝푥 − 3＝−2， ∴ 퐹(1, −2)； 设푃(푚, 푚2 − 2푚 − 3)(푚 > 3)，过푃作푃퐻 ⊥ 퐵퐶于퐻，过퐷作퐷퐺 ⊥ 퐵퐶于퐺，如图2， 则푃퐻＝5퐷퐺，퐸(푚,  푚 − 3)， 9 / 9 ∴ 푃퐸＝푚2 − 3푚，퐷퐸＝푚 − 3， ∵ ∠푃퐻퐸＝∠퐷퐺퐸＝90∘，∠푃퐸퐻＝∠퐷퐸퐺， ∴ △ 푃퐸퐻 ∽△ 퐷퐸퐺， ∴ 푃퐸 퐷퐸 = 푃퐻 퐷퐺 = 5， ∴ 푚2−3푚 푚−3 = 5， ∵ 푚＝3（舍），或푚＝5， ∴ 点푃的坐标为푃(5,  12)． 故存在点푃，使点푃到直线퐵퐶的距离是点퐷到直线퐵퐶的距离的5倍，其푃点坐标为 (5,  12)．