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  • 2021-11-11 发布

2020年辽宁省铁岭市中考数学试卷【含答案】

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1 / 9 2020 年辽宁省铁岭市中考数学试卷 一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 3 分,共 30 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1. −2的倒数是( ) A.−2 B.− 1 2 C.1 2 D.2 2. 下列运算正确的是( ) A.2푎 + 3푎 = 5푎2 B.(푎 + 2푏)2 = 푎2 + 4푏2 C.푎2 ⋅ 푎3 = 푎6 D.(−푎푏2)3 = −푎3푏6 3. 如图,几何体的左视图是( ) A. B. C. D. 4. 一个不透明的盒子中装有2个白球,6个红球,这些球除颜色外,没有任何其他区 别,现从这个盒子中随机摸出一个球,摸到红球的可能性是( ) A.3 4 B.1 3 C.1 5 D.3 8 5. 如图,△ 퐴퐵퐶中,퐴퐶 < 퐵퐶,如果用尺规作图的方法在퐵퐶上确定点푃,使푃퐴 + 푃퐶=퐵퐶,那么符合要求的作图痕迹是( ) A. B. C. D. 6. 如图,正比例函数푦=푥与反比例函数푦 = 4 푥 的图象交于퐴、퐵两点,其中퐴(2,  2), 则不等式푥 > 4 푥 的解集为( ) A.푥 > 2 B.푥 < −2 C.−2 < 푥 < 0或0 < 푥 < 2 D.−2 < 푥 < 0或푥 > 2 7. 如图,在푅푡 △ 퐴퐵퐶中,∠퐴퐶퐵 = 90∘,∠퐴 = 30∘,퐵퐶 = 4,以퐵퐶为直径的半圆푂 交斜边퐴퐵于点퐷,则图中阴影部分的面积为( ) A.4 3 휋 − √3 B.2 3 휋 − √3 2 C.1 3 휋 − √3 2 D.1 3 휋 − √3 8. 如图,二次函数푦=푎푥2 + 푏푥 + 푐(푎 ≠ 0)的图象与푥轴相交于点퐴(−1,  0)和퐵(3,  0), 下列结论:①2푎 + 푏=0;②当−1 ≤ 푥 ≤ 3时,푦 < 0;③若(푥1, 푦1)、(푥2, 푦2)在函数 图象上,当푥1 < 푥2时,푦1 < 푦2;④3푎 + 푐=0,正确的有( ) 2 / 9 A.①②④ B.①④ C.①②③ D.①③④ 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 3 分,共 18 分) 9. 我国首艘国产航母排水量约为65000吨,将65000用科学记数法记为________. 10. 若一元二次方程푥2 − 2푥 + 푘 = 0有两个不相等的实数根,则푘的取值范围是 ________. 11. 如图퐴퐵是⊙ 푂的直径,弦퐶퐷 ⊥ 푂퐵于点퐸,交⊙ 푂于点퐷,已知푂퐶=5푐푚,퐶퐷 =8푐푚,则퐴퐸= 8 푐푚. 12. 如图,平行于퐵퐶的直线퐷퐸把△ 퐴퐵퐶分成面积相等的两部分,且点퐷,퐸分别在 边퐴퐵,퐴퐶上,则퐵퐷 퐴퐷 的值为________. 13. 某简易房示意图如图所示,它是一个轴对称图形,则坡屋顶上弦杆퐴퐵的长 ________. 14. 如图,已知▱퐴퐵퐶퐷的顶点퐴的坐标为(0,  4),顶点퐵、퐷分别在푥轴和直线푦=−3 上,则对角线퐴퐶的最小值是________. 三、解答题(本大题共 6 小题,共分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤) 15. 如图所示,某海盗船以20海里/小时的速度在某海域执行巡航任务,当海监船由 西向东航行至퐴处使,测得岛屿푃恰好在其正北方向,继续向东航行1小时到达퐵处, 测得岛屿푃在其北偏西30∘方向,保持航向不变又航行2小时到达퐶处,求出此时海监船 与岛屿푃之间的距离(即푃퐶的长,结果精确到0.1)(参考数据:√3 ≈ 1.732,√2 ≈ 1.414) 3 / 9 16. 如图,某反比例函数图象的一支经过点퐴(2,  3)和点퐵(点퐵在点퐴的右侧)作 퐵퐶 ⊥ 푦轴于点퐶,连结퐴퐵,퐴퐶.若△ 퐴퐵퐶的面积为6,求点퐵的坐标. 17. 某企业设计了一款工艺品,每件的成本是50元,为了合理定价,投放市场进行试 销.据市场调查,销售单价是100元时,每天的销售量是50件,而销售单价每降低1元, 每天就可多售出5件,但要求销售单价不得低于成本. (1)求每天的销售利润푦(元)与销售单价푥(元)之间的函数关系式; (2)求出销售单价为多少元时,每天的销售利润最大?最大利润是多少? 4 / 9 18. 如图,在푅푡 △ 퐴퐵퐶中,∠퐴퐶퐵=90∘,∠퐵=60∘,퐷为퐴퐵边的中点,连接퐷퐶过퐷作 퐷퐸 ⊥ 퐷퐶交퐴퐶于点퐸. (1)求∠퐸퐷퐴的度数; (2)如图2,퐹为퐵퐶边上一点,连接퐷퐹,过퐷作퐷퐺 ⊥ 퐷퐹交퐴퐶于点퐺,请判断线段퐶퐹 与퐸퐺的数量关系,并说明理由. 19. 如图,퐴퐵是⊙ 푂的直径,点퐶为⊙ 푂上一点,퐶푁为⊙ 푂的切线,푂푀 ⊥ 퐴퐵于点푂, 分别交퐴퐶,퐶푁于퐷,푀两点. (1)求证:푀퐷 = 푀퐶; (2)若⊙ 푂的半径为5,퐴퐶 = 4√5,求푀퐶的长. 5 / 9 20. 如图,抛物线푦=푎푥2 + 푏푥 + 푐经过퐴(−1,  0)、퐵(3,  0)、퐶(0,  3)三点,对称轴与抛 物线相交于点푃、与퐵퐶相交于点퐸,与푥轴交于点퐻,连接푃퐵. (1)求该抛物线的解析式; (2)抛物线上存在一点퐺,使∠퐺퐵퐴 + ∠푃퐵퐸=45∘,请求出点퐺的坐标; (3)抛物线上是否存在一点푄,使△ 푄퐸퐵与△ 푃퐸퐵的面积相等,若存在,请直接写出 点푄的坐标;若不存在,说明理由. 6 / 9 参考答案与试题解析 2020 年辽宁省铁岭市中考数学试卷 一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 3 分,共 30 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.B 2.D 3.C 4.A 5.C 6.D 7.A 8.B 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 3 分,共 18 分) 9.6.5 × 104 10.푘 < 1 11.8 12.√2 − 1 13. 9 5cos훼 푚 14.11 三、解答题(本大题共 6 小题,共分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤) 15.在푅푡 △ 푃퐴퐵中,∵ ∠퐴푃퐵=30∘, ∴ 푃퐵=2퐴퐵, 由题意퐵퐶=2퐴퐵, ∴ 푃퐵=퐵퐶, ∴ ∠퐶=∠퐶푃퐵, ∵ ∠퐴퐵푃=∠퐶 + ∠퐶푃퐵=60∘, ∴ ∠퐶=30∘, ∴ 푃퐶=2푃퐴, ∵ 푃퐴=퐴퐵 ⋅ tan60∘, ∴ 푃퐶=2 × 20 × √3 ≈ 69.3(海里). 16.由题意得,푘=푥푦=2 × 3=6 ∴ 反比例函数的解析式为:푦 = 6 푥 . 设퐵点坐标为(푎,  푏),如图, 作퐴퐷 ⊥ 퐵퐶于퐷,则퐷(2,  푏), ∵ 反比例函数푦 = 6 푥 的图象经过点퐵(푎,  푏) ∴ 푏 = 6 푎 , ∴ 퐴퐷=3 − 6 푎 . ∴ 푆△퐴퐵퐶 = 1 2 퐵퐶 ⋅ 퐴퐷 = 1 2 푎(3 − 6 푎)=6, 解得푎=6, ∴ 푏 = 6 푎 = 1 ∴ 퐵(6,  1). 17.解:(1)푦 = (푥 − 50)[50 + 5(100 − 푥)] = (푥 − 50)(−5푥 + 550) = −5푥2 + 800푥 − 27500, 7 / 9 所以푦 = −5푥2 + 800푥 − 27500(50 ≤ 푥 ≤ 100); (2)푦 = −5푥2 + 800푥 − 27500 = −5(푥 − 80)2 + 4500, ∵ 푎 = −5 < 0, ∴ 抛物线开口向下. ∵ 50 ≤ 푥 ≤ 100,对称轴是直线푥 = 80, ∴ 当푥 = 80时,푦最大值 = 4500; 即销售单价为80元时,每天的销售利润最大,最大利润是4500元. 18.如图1,在푅푡 △ 퐴퐵퐶中,∠퐴퐶퐵=90∘,∠퐵=60∘, ∴ ∠퐴=30∘, ∵ 퐷为퐴퐵边的中点, ∴ 퐶퐷=퐵퐷=퐴퐷, ∴ △ 퐵퐶퐷是等边三角形,∠퐴퐶퐷=∠퐴=30∘, ∵ ∠퐶퐷퐸=90∘, ∴ ∠퐶퐸퐷=60∘, ∴ ∠퐸퐷퐴=30∘; 如图2,在푅푡 △ 퐶퐷퐸中,∠퐴퐶퐷=30∘, ∴ tan30∘ = 퐷퐸 퐶퐷 , ∴ 퐷퐸 퐶퐷 = √3 3 , ∵ ∠퐹퐷퐺=∠퐶퐷퐸=90∘, ∴ ∠퐹퐷퐶=∠퐺퐷퐸, ∴ ∠퐹퐶퐷=∠퐺퐸퐷=60∘, ∴ △ 퐹퐶퐷 ∽ 퐺퐸퐷, ∴ 퐺퐸 퐹퐶 = 퐷퐸 퐶퐷 = √3 3 , ∴ 퐹퐶 = √3퐺퐸. 19.解:(1)连接푂퐶. ∵ 퐶푁为⊙ 푂的切线, ∴ 푂퐶 ⊥ 퐶푀,∠푂퐶퐴 + ∠퐴퐶푀 = 90∘. ∵ 푂푀 ⊥ 퐴퐵, ∴ ∠푂퐴퐶 + ∠푂퐷퐴 = 90∘. ∵ 푂퐴 = 푂퐶, ∴ ∠푂퐴퐶 = ∠푂퐶퐴, ∴ ∠퐴퐶푀 = ∠푂퐷퐴 = ∠퐶퐷푀, ∴ 푀퐷 = 푀퐶; 8 / 9 (2)由题意可知퐴퐵 = 5 × 2 = 10,퐴퐶 = 4√5. ∵ 퐴퐵是⊙ 푂的直径, ∴ ∠퐴퐶퐵 = 90∘, ∴ 퐵퐶 = √102 − (4√5)2 = 2√5. ∵ ∠퐴푂퐷 = ∠퐴퐶퐵,∠퐴 = ∠퐴, ∴ △ 퐴푂퐷 ∼△ 퐴퐶퐵, ∴ 푂퐷 퐶퐵 = 퐴푂 퐴퐶 ,即 푂퐷 2√5 = 5 4√5 , 可得:푂퐷 = 2.5. 设푀퐶 = 푀퐷 = 푥. 在푅푡 △ 푂퐶푀中,由勾股定理得:(푥 + 2.5)2 = 푥2 + 52, 解得:푥 = 15 4 ,即푀퐶 = 15 4 . 20.把퐴(−1,  0),퐵(3,  0),퐶(0,  3)三点代入抛物线解析式 { 푎 − 푏 + 푐 = 0 9푎 + 3푏 + 푐 = 0 푐 = 3 , 解得:{ 푎 = −1 푏 = 2 푐 = 3 , ∴ 该抛物线的解析式为푦=−푥2 + 2푥 + 3; 由푦=−푥2 + 2푥 + 3=−(푥 − 1)2 + 4, 则顶点푃(1,  4),对称轴为直线푥=1, ∴ 퐻(1,  0), ∴ 푃퐻=4,퐵퐻=2, ∵ 퐵(3,  0),퐶(0,  3), ∴ 直线퐵퐶解析式为푦=−푥 + 3, ∴ 点퐸(1,  2), ∵ 퐵(3,  0),퐶(0,  3), ∴ 푂퐵=푂퐶, ∴ ∠퐶퐵푂=45∘, 若点퐺在直线퐴퐵的上方时, ∵ 푃퐻 ⊥ 퐴퐵,∠퐶퐵푂=45∘, ∴ ∠퐻퐸퐵=45∘, ∴ ∠푃퐵퐸 + ∠퐵푃퐸=45∘, ∵ ∠퐺퐵퐴 + ∠푃퐵퐸=45∘, ∴ ∠퐵푃퐸=∠퐺퐵퐴, ∴ tan∠퐵푃퐻=tan∠퐺퐵퐴 = 퐵퐻 푃퐻 = 푂퐹 푂퐵 , ∴ 2 4 = 푂퐹 3 , ∴ 푂퐹 = 3 2 , ∴ 点퐹(0, 3 2), ∴ 直线퐵퐹解析式为:푦 = − 1 2 푥 + 3 2 , 联立方程组可得:{ 푦 = − 1 2 푥 + 3 2 푦 = −푥2 + 2푥 + 3 , 解得:{푥1 = 3 푦1 = 0 或{ 푥2 = − 1 2 푦2 = 7 4 , 9 / 9 ∴ 点퐺的坐标为(− 1 2 , 7 4); 若点퐺在直线퐴퐵的下方时, 由对称性可得:点퐹′(0, − 3 2), ∴ 直线퐵퐹解析式为:푦 = 1 2 푥 − 3 2 , 联立方程组可得:{ 푦 = 1 2 푥 − 3 2 푦 = −푥2 + 2푥 + 3 , 解得:{ 푥1 = − 3 2 푦1 = − 9 4 或{푥2 = 3 푦2 = 0 , ∴ 点퐺′的坐标为(− 3 2 , − 9 4), 综上所述:点퐺的坐标为(− 1 2 , 7 4)或(− 3 2 , − 9 4); 存在, ∵ 点퐸(1,  2),顶点푃(1,  4), ∴ 푃퐸=2,푃퐻=4, ∴ 퐸퐻=2=푃퐸, 如图2,过点푃作푃푄 // 퐵퐶,交抛物线于푄,此时△ 푄퐸퐵与△ 푃퐸퐵的面积相等, ∵ 푃푁 // 퐵퐶,点푃坐标(1,  4),直线퐵퐶解析式为푦=−푥 + 3, ∴ 푃푄解析式为푦=−푥 + 5, 联立方程组得:{ 푦 = −푥 + 5 푦 = −푥2 + 2푥 + 3 , 解得:{푥1 = 1 푦1 = 4 或{푥2 = 2 푦2 = 3 , ∴ 点푄(2,  3), 过点퐻作퐻푄′ // 퐵퐶,交抛物线于푄′、푄′′ , ∴ 푃푄 // 퐵퐶 // 퐻푄′, ∵ 푃퐸=퐸퐻, ∴ 푃푄与퐵퐶之间的距离=퐵퐶与퐻푄′之间的距离, ∴ △ 푄퐸퐵与△ 푃퐸퐵的面积相等, ∵ 푃푄 // 퐵퐶,点퐻(1,  0),直线퐵퐶解析式为푦=−푥 + 3, ∴ 直线푄′퐻的解析式为:푦=−푥 + 1, 联立方程组得:{ 푦 = −푥 + 1 푦 = −푥2 + 2푥 + 3 , 解得:{ 푥1 = 3−√17 2 푦1 = −1+√17 2 或{ 푥2 = 3+√17 2 푦2 = −1−√17 2 , ∴ 点푄的坐标为(3−√17 2 , −1+√17 2 )或(3+√17 2 , −1−√17 2 ), 综上所述:点푄的坐标为(2,  3)或(3−√17 2 , −1+√17 2 )或(3+√17 2 , −1−√17 2 ).