2020年秋九年级数学上册 第4章锐角三角形函数 7页

第4章 　锐角三角形函数 ‎4.4　解直角三角形的应用 第2课时　与坡度、方向角有关的实际问题 知识点 1　与坡角、坡度有关的实际问题 ‎1．河堤横断面如图4－4－12所示，堤高BC＝‎5米，迎水坡AB的坡度为1∶(坡度是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比)，则AC的长是(　　)‎ A．‎5 ‎米 B．‎‎10米 C．‎15米 D．‎10 ‎米 ‎2．2017·泰州小明沿着坡度i为1∶的斜坡向上走了‎50 m，则小明沿垂直方向升高了________m.‎ 图4－4－12‎ ‎　　　‎ 图4－4－13‎ ‎3．2017·德阳如图4－4－13所示，某拦水大坝的横断面为梯形ABCD，AE，DF为梯形的高，其中迎水坡AB的坡角α＝45°，坡长AB＝‎6 ‎米，背水坡CD的坡度i＝1∶(i为DF与FC的比值)，则背水坡CD的坡长为________米．‎ ‎4．教材习题4.4第1题变式2017·海南为做好防汛工作，防汛指挥部决定对某水库的水坝进行加高加固，专家提供的方案是：水坝加高‎2米(即CD＝‎2米)，背水坡DE的坡度i＝1∶1(即DB∶EB＝1∶1)，如图4－4－14所示．已知AE＝‎4米，∠EAC＝130°，求水坝原来的高度BC.‎ ‎(参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.2)‎ 图4－4－14‎ 知识点 2　与方向角有关的实际问题 ‎5．如图4－4－15所示，渔船在A处看到灯塔C在北偏东60°方向上，渔船沿正东方向航行了12海里到达B处，在B处看到灯塔C在正北方向上，这时渔船与灯塔C 7‎ 的距离是(　　)‎ A．12 海里 B．6 海里 C．6海里 D．4 海里 图4－4－15‎ ‎　　　‎ 图4－4－16‎ ‎6．2017·葫芦岛如图4－4－16，一艘货轮由西向东航行，在A处测得灯塔P在它的北偏东60°方向上，继续向东航行到达B处，测得灯塔P在它的东北方向上，若灯塔P的正南方向4海里的C处是港口，点A，B，C在一条直线上，则这艘货轮由A到B航行的路程为__________海里．(结果保留根号)‎ ‎7．如图4－4－17，要测量点A到河岸BC的距离，在点B处测得点A在点B的北偏东30°方向上，在点C测得点A在点C的北偏西45°方向上，又测得BC＝‎150 m．求点A到河岸BC的距离．(结果保留整数，参考数据：≈1.41，≈1.73)‎ 图4－4－17‎ ‎8．2017·济南如图4－4－18，为了测量山坡护坡石坝的坡度(坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度)，把一根长‎5 m的竹竿AC斜靠在石坝旁，量出竿长‎1 m处的点D离地面的高度DE＝‎0.6 m，又量得竿底与坝脚的距离AB＝‎3 m，则石坝的坡度为(　　)‎ A. B．‎3 C. D．4‎ 7‎ 图4－4－18‎ ‎　　　‎ 图4－4－19‎ ‎9．如图4－4－19，小岛A在港口P的南偏东45°方向，距离港口81海里处．甲船从A出发，沿AP方向以9海里/时的速度驶向港口；乙船从港口P出发，沿南偏西60°方向，以18海里/时的速度驶离港口．现两船同时出发，当甲船在乙船的正东方向时，行驶的时间为________小时．(结果保留根号)‎ ‎10．如图4－4－20是一座人行天桥的示意图，天桥的高度是‎10米，CB⊥DB，坡面AC的倾斜角为45°.为了方便行人推车过天桥，市政部门决定降低坡度，使新坡面DC的坡度为i＝∶3.若新坡角下需留‎3米宽的人行道，则距离原坡角(点A处)‎10米的建筑物是否需要拆除？说明理由．(参考数据：≈1.414，≈1.732)‎ 图4－4－20‎ ‎11．2016·常德如图4－4－21所示，某天我国一艘海监执法船在南海海域正在进行常态化巡航，在A处测得北偏东30°方向上，距离为20海里的B处有—艘不明身份的船只正在向正东方向航行，便迅速沿北偏东75°的方向前往监视巡查，经过一段时间后，在C处成功拦截不明船只．‎ 7‎ 我海监执法船在前往监视巡查的过程中行驶了多少海里？(最后结果保留整数，参考数据：cos75°≈0.2588，sin75°≈0.9659，tan75°≈3.732，≈1.732，≈1.414)‎ 图4－4－21‎ ‎ ‎ ‎12．如图4－4－22，在南北方向的海岸线MN上，有A，B两艘巡逻船，现均收到故障船C的求救信号．已知A，B两船相距100(＋1)海里，船C在船A的北偏东60°方向上，船C在船B的东南方向上，MN上有一观测点D，测得船C正好在观测点D的南偏东75°方向上．‎ ‎(1)分别求出A与C，A与D间的距离(如果运算结果有根号，请保留根号)；‎ ‎(2)已知距离观测点D处100海里范围内有暗礁，若巡逻船A沿直线AC去营救船C，则在去营救的途中有无触礁的危险(参考数据：≈1.41，≈1.73)?‎ 图4－4－22‎ ‎　　　　‎ 7‎ 详解详析 ‎1．A　[解析] 由题意可知，＝，∴AC＝BC＝‎5 ‎米．‎ ‎2．25　[解析] 如图，过点B作BE⊥AC于点E.∵坡度i＝1∶，∴tanA＝1∶＝，‎ ‎∴∠A＝30°.∵AB＝‎50 m，‎ ‎∴BE＝AB＝‎25 m，‎ ‎∴他升高了‎25 m.‎ ‎3．12　[解析] ∵迎水坡AB的坡角α＝45°，坡长AB＝‎6 ‎米，∴AE＝6 ×sin45°＝6(米)．‎ ‎∵背水坡CD的坡度i＝1∶(i为DF与FC的比值)，‎ ‎∴tanC＝＝，∴∠C＝30°，则DC＝2DF＝2AE＝‎12米，故答案为12.‎ ‎4．解：设BC＝x米．‎ 在Rt△ABC中，∠CAB＝180°－∠EAC＝50°，‎ ‎∴AB＝≈＝＝x.‎ 在Rt△EBD中，‎ ‎∵i＝DB∶EB＝1∶1，‎ ‎∴DB＝EB，‎ ‎∴CD＋BC＝AE＋AB，‎ 即2＋x＝4＋x，解得x＝12，‎ 即BC＝12米．‎ 答：水坝原来的高度BC约为12米．‎ ‎5．D　[解析] BC＝AB·tan30°＝12×＝4 (海里)．‎ ‎6．(4 －4)　[解析] 根据题意，得PC＝4海里，∠PBC＝90°－45°＝45°，∠PAC＝90°－60°＝30°.‎ 在Rt△APC中，∵∠PAC＝30°，∠C＝90°，‎ ‎∴AC＝PC＝4 海里．‎ 在Rt△BPC中，∵∠PBC＝45°，∠C＝90°，‎ ‎∴BC＝PC＝4海里，‎ ‎∴AB＝AC－BC＝(4 －4)海里．‎ 故答案为(4 －4)．‎ ‎7．解：如图，过点A作AD⊥BC于点D，则AD的长为点A到河岸BC的距离．‎ 7‎ 由题意知∠BAD＝30°，∠CAD＝45°.‎ 在Rt△ADC中，CD＝AD.‎ 在Rt△ABD中，BD＝AD·tan30°.‎ ‎∵BD＋CD＝150，‎ ‎∴AD·tan30°＋AD＝150，‎ 即(＋1)AD＝150，‎ 解得AD＝≈95(m)．‎ 答：点A到河岸BC的距离约为95 m.‎ ‎8．B　[解析] 如图，过点C作CF⊥AB交AB的延长线于点F，则DE∥CF，‎ ‎∴＝，即＝，解得CF＝3(m)，‎ ‎∴Rt△ACF中，AF＝＝4(m)．‎ 又∵AB＝3 m，∴BF＝4－3＝1(m)，‎ ‎∴石坝的坡度为＝＝3.故选B.‎ ‎9．9(－1)‎ ‎10．解：需要拆除．理由如下：‎ ‎∵CB⊥DB，∠CAB＝45°，‎ ‎∴△ABC是等腰直角三角形，‎ ‎∴AB＝BC＝‎10米．‎ 在Rt△BCD中，新坡面DC的坡度为i＝∶3，‎ ‎∴tan∠CDB＝＝，∴BD＝‎10 ‎米，‎ ‎∴AD＝BD－AB＝10 －10≈7.32(米)．‎ ‎∵3＋7.32＝10.32(米)＞‎10米，‎ ‎∴距离原坡角(点A处)‎10米的建筑物需要拆除．‎ ‎11．解：过点B作BD⊥AC于点D，‎ 7‎ ‎∵∠BAC＝75°－30°＝45°，‎ ‎∴在Rt△ABD中，∠BAD＝∠ABD＝45°，∠ADB＝90°，‎ ‎∴BD＝AD＝×20＝10 (海里)．‎ 在Rt△BCD中，∠C＝15°，∠CBD＝75°，‎ tan∠CBD＝，‎ ‎∴CD≈10 ×3.732≈52.8(海里)，‎ ‎∴AC＝AD＋CD＝10 ＋52.8≈67(海里)．‎ 答：我海监执法船在前往监视巡查的过程中行驶了约67海里．‎ ‎12．解：(1)如图，过点C作CE⊥AB于点E.‎ 设AE＝a海里，‎ 则BE＝AB－AE＝[100(＋1)－a]海里．‎ 在Rt△ACE中，∠AEC＝90°，∠EAC＝60°，‎ ‎∴AC＝＝‎2a海里，CE＝AE·tan60°＝a海里．‎ 在Rt△BCE中，∠BEC＝90°，∠CBE＝45°，‎ ‎∴BE＝CE＝a海里，‎ ‎∴100(＋1)－a＝a，‎ ‎∴a＝100，∴AC＝200海里．‎ 在△ACD和△ABC中，∠ACB＝180°－45°－60°＝75°＝∠ADC，∠CAD＝∠BAC，‎ ‎∴△ACD∽△ABC，‎ ‎∴＝，‎ 即＝，‎ ‎∴AD＝200(－1)海里．‎ 答：A与C间的距离为200海里，A与D间的距离为200(－1)海里．‎ ‎(2)如图，过点D作DF⊥AC于点F.‎ 在Rt△ADF中，∠DAF＝60°，‎ ‎∴DF＝AD·sin60°＝200(－1)×＝100(3－)≈127＞100，‎ ‎∴巡逻船A沿直线AC去营救船C，在去营救的途中无触礁的危险． ‎ 7‎