呼和浩特专版2020中考数学复习方案第三单元函数及其图象第15课时二次函数的实际应用课件 50页

第 15 课时 二次函数的实际应用 第三单元　函数及其图象 考点一　建立二次函数模型解决问题 考点聚焦 常见类型 关键步骤 抛物线形问题 　 建立方便求解析式的平面直角坐标系 , 找到图象上三点的坐标 , 用待定系数法求二次函数的解析式 销售利润问题 　 理清各个量之间的关系 , 找出等量关系求得解析式 , 根据要求确定函数的最值或建立方程求解 图形面积问题 　 利用几何知识用变量 x 表示出图形的面积 y , 根据要求确定函数的最值或建立方程求解 【 温馨提示 】 (1) 求函数的最值时 , 要注意实际问题中自变量的取值限制对最值的影响 . 若对称轴的取值不在自变量的取值范围内 , 则最值在自变量取值的端点处取得 . (2) 建立平面直角坐标系的原则是易于求二次函数的解析式 . 考点二　图象信息类问题 1 . 表格类 观察点的特征 , 验证满足条件的二次函数的解析式及其图象 , 利用二次函数的性质求解 . 2 . 图文类 根据图文 , 借助图形上的关键点 , 提取信息 , 建立二次函数模型解题 . 题组一　必会题 对点演练 图 1 5 -1 1 . [2018· 北京 ] 跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一 . 运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分 , 运动员起跳后的竖直高度 y ( 单位 :m) 与水平距离 x ( 单位 :m) 近似满足函数关系 y=ax 2 + bx + c ( a ≠0) . 图 15-1 记录了某运动员起跳后的 x 和 y 的三组数据 , 根据上述函数模型和数据 , 可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时 , 水平距离为 ( 　　 ) A . 10 m B . 15 m C . 20 m D . 22 . 5 m [ 答案 ]B 2 . [ 九上 P52 习题 22 . 3 第 3 题改编 ] 飞机着陆后滑行的距离 s ( 单位 :m) 关于滑行的时间 t ( 单位 :s) 的函数解析式是 s= 60 t -1 . 5 t 2 , 飞机着陆后滑行 　　　　 m 才能停下来 .  [ 答案 ] 600 　 [ 解析 ] s= 60 t -1 . 5 t 2 = -1 . 5 t 2 +60 t = -1 . 5( t 2 -40 t +400-400) = -1 . 5( t -20) 2 +600, ∴当 t= 20 s 时 , 飞机才能停下来 , 此时 s= 600 m . 3 . [ 九上 P51 探究 3 改编 ] 如图 15-2 是抛物线形拱桥 , 当拱顶离水面 2 m 时 , 水面宽 4 m . 水面下降 1 m, 水面宽度增加 　　　　 m .  图 15-2 4 . [2019· 通州期末 ] 中国 “ 一带一路 ” 倡议给沿线国家和地区带来很大的经济效益 , 沿线某地区居民 2017 年年人均收入 300 美元 , 预计 2019 年年人均收入将达到 y 美元 . 设 2017 年到 2019 年该地区居民年人均收入平均增长率为 x , 那么 y 与 x 的函数关系式是 　　 　　 .  y= 300( x +1) 2 5 . [ 九上 P52 习题 22 . 3 第 7 题改编 ] 如图 15-3, 点 E , F , G , H 分别位于正方形 ABCD 的四条 边上 . 四边形 EFGH 也是正方形 , 当点 E 位于 　　　　　 时 , 正方形 EFGH 的面积最小 .  图 15-3 [ 答案 ] AB 的中点 题组二　易错题 【 失分点 】 在具体实际问题确定最值时 , 忽略自变量取值范围对最值的影响 . 6 . 春节期间 , 物价局规定某种蔬菜的最低价格为 4 . 1 元 / 千克 , 最高价格为 4 . 5 元 / 千克 , 小王按 4 . 1 元 / 千克购入 , 若原价出售 , 则平均每天可卖出 200 千克 , 若价格每上涨 0 . 1 元 , 则每天少卖出 20 千克 , 则该种蔬菜的价格定为 　　　　 元 / 千克时 , 每天获利最大 , 最大利润为 　　　　 元 .  [ 答案 ] 4 . 5 　 48 　 [ 解析 ] 设定价为 x 元 / 千克 , 则每千克获利 ( x -4 . 1) 元 , ∵价格每上涨 0 . 1 元 , 每天少卖出 20 千克 , ∴每天的销售量为 200-20( x -4 . 1)×10 = -200 x +1020, 设每天获利 W 元 , 则 W= (-200 x +1020)( x -4 . 1) = -200 x 2 +1840 x -4182 = -2(100 x 2 -920 x + 2116)+4232-4182 = -2(10 x -46) 2 +50, ∵ a= -2 < 0, ∴当 x ≤4 . 6 时 W 随 x 的增大而增大 , ∵物价局规定蔬菜的最低价格为 4 . 1 元 / 千克 , 最高价格为 4 . 5 元 / 千克 , ∴ 4 . 1≤ x ≤4 . 5, ∴当 x= 4 . 5 时 , W 有最大值 , 即获利最大 , 最大获利 = -2×(10×4 . 5-46) 2 +50 = -2+50 = 48( 元 ) . 考向一　最值问题 例 1 [2019· 玉泉区期末 ] 某公司推出一款产品 , 经市场调查发现 , 该产品的日销售量 y ( 个 ) 与销售单价 x ( 元 ) 之间满足一次函数关系 , 关于销售单价、日销售量、日销售利润的几组对应值如下表 : 注 : 日销售利润 = 日销售量 ×( 销售单价 - 成本单价 ) (1) 求 y 关于 x 的函数解析式 ( 不要求写出 x 的取值范围 ) 及 m 的值 ; 销售单价 x ( 元 ) 85 95 105 115 日销售量 y ( 个 ) 175 125 75 m 日销售利润 w ( 元 ) 875 1875 1875 875 (2) 根据以上信息 , 填空 : 该产品的成本单价是 　　　　　 元 , 当销售单价 x= 　　　　　 元时 , 日销售利润 w 最大 , 最大值是 　　　　　 元 ;  (3) 公司计划开展科技创新 , 以降低该产品的成本 , 预计在今后的销售中 , 日销售量与销售单价仍存在 (1) 中的关系 . 若想实现销售单价为 90 元时 , 日销售利润不低于 3750 元的销售目标 , 该产品的成本单价应不超过多少元 ? 例 1 [2019· 玉泉区期末 ] 某公司推出一款产品 , 经市场调查发现 , 该产品的日销售量 y ( 个 ) 与销售单价 x ( 元 ) 之间满足一次函数关系 , 关于销售单价、日销售量、日销售利润的几组对应值如下表 : 注 : 日销售利润 = 日销售量 ×( 销售单价 - 成本单价 ) (2) 根据以上信息 , 填空 : 该产品的成本单价是 　　　　　 元 , 当销售单价 x= 　　　　　 元时 , 日销售利润 w 最大 , 最大值是 　　　　　 元 ;  销售单价 x ( 元 ) 85 95 105 115 日销售量 y ( 个 ) 175 125 75 m 日销售利润 w ( 元 ) 875 1875 1875 875 [ 答案 ] (2)80 　 100 　 2000 　 [ 解析 ] 设成本为 a 元 / 个 , 当 x= 85 时 ,875 = 175×(85- a ), 得 a= 80, ∴ w= (-5 x +600)( x -80) = -5 x 2 +1000 x -48000 = -5( x -100) 2 +2000, ∴当 x= 100 时 , w 取得最大值 , 此时 w= 2000, 故答案为 :80;100;2000 . 例 1 [2019· 玉泉区期末 ] 某公司推出一款产品 , 经市场调查发现 , 该产品的日销售量 y ( 个 ) 与销售单价 x ( 元 ) 之间满足一次函数关系 , 关于销售单价、日销售量、日销售利润的几组对应值如下表 : 注 : 日销售利润 = 日销售量 ×( 销售单价 - 成本单价 ) (3) 公司计划开展科技创新 , 以降低该产品的成本 , 预计在今后的销售中 , 日销售量与销售单价仍存在 (1) 中的关系 . 若想实现销售单价为 90 元时 , 日销售利润不低于 3750 元的销售目标 , 该产品的成本单价应不超过多少元 ? 销售单价 x ( 元 ) 85 95 105 115 日销售量 y ( 个 ) 175 125 75 m 日销售利润 w ( 元 ) 875 1875 1875 875 (3) 设该产品的成本单价为 a 元 , 由题意得 (-5×90+600)·(90- a )≥3750 . 解得 a ≤65 . 答 : 该产品的成本单价应不超过 65 元 . | 考向精练 | 1 . [2018· 衡阳 ] 一名在校大学生利用 “ 互联网 +” 自主创业 , 销售一种产品 , 这种产品的成本价为 10 元 / 件 , 已知销售价不低于成本价 , 且物价部门规定这种产品的销售价不高于 16 元 / 件 . 市场调查发现 , 该产品每天的销售量 y ( 件 ) 与销售价 x ( 元 / 件 ) 之间的函数关系如图 15-4 所示 . (1) 求 y 与 x 之间的函数关系式 , 并写出自变量 x 的取值范围 . (2) 求每天的销售利润 W ( 元 ) 与销售价 x ( 元 / 件 ) 之间的函数关系式 , 并求出每件销售价为多少元时 , 每天的销售利润最大 ? 最大利润是多少 ? 图 15-4 1 . [2018· 衡阳 ] 一名在校大学生利用 “ 互联网 +” 自主创业 , 销售一种产品 , 这种产品的成本价为 10 元 / 件 , 已知销售价不低于成本价 , 且物价部门规定这种产品的销售价不高于 16 元 / 件 . 市场调查发现 , 该产品每天的销售量 y ( 件 ) 与销售价 x ( 元 / 件 ) 之间的函数关系如图 15-4 所示 . (2) 求每天的销售利润 W ( 元 ) 与销售价 x ( 元 / 件 ) 之间的函数关系式 , 并求出每件销售价为多少元时 , 每天的销售利润最大 ? 最大利润是多少 ? 图 15-4 (2) W= ( x -10)(- x +40) = - x 2 +50 x -400 = -( x -25) 2 +225, 对称轴为直线 x= 25, 在对称轴的左侧 , W 随着 x 的增大而增大 , ∵ 10≤ x ≤16, ∴当 x= 16 时 , W 最大 , 最大值为 144 . 即当每件的销售价为 16 元时 , 每天的销售利润最大 , 最大利润是 144 元 . 2 . [2017· 呼和浩特实验教育集团第一学期期中改编 ] 某公司投资新建了一商场 , 共有商铺 30 间 . 据预测 , 当每间的年租金定为 10 万元时 , 可全部租出 . 每间的年租金每增加 5000 元 , 少租出商铺 1 间 ( 假设年租金的增加额均为 5000 元的整数倍 ) . 该公司要为租出的商铺每间每年交各种费用共 1 万元 , 未租出的商铺每间每年交各种费用共 5000 元 . (1) 当每间商铺的年租金定为 13 万元时 , 能租出多少间 ? (2) 当每间商铺的年租金定为多少万元时 , 该公司的年收益 ( 收益 = 租金 - 各种费用 ) 为 275 万元 ? (3)275 万元是否为最大年收益 ? 若是 , 说明理由 ; 若不是 , 请求出当每间商铺的年租金定为多少万元时 , 达到最大年收益 , 最大是多少 ? 解 :(1) ∵ 30-(130000-100000)÷5000×1 = 30-6 = 24( 间 ), ∴能租出 24 间 . 2 . [2017· 呼和浩特实验教育集团第一学期期中改编 ] 某公司投资新建了一商场 , 共有商铺 30 间 . 据预测 , 当每间的年租金定为 10 万元时 , 可全部租出 . 每间的年租金每增加 5000 元 , 少租出商铺 1 间 ( 假设年租金的增加额均为 5000 元的整数倍 ) . 该公司要为租出的商铺每间每年交各种费用共 1 万元 , 未租出的商铺每间每年交各种费用共 5000 元 . (2) 当每间商铺的年租金定为多少万元时 , 该公司的年收益 ( 收益 = 租金 - 各种费用 ) 为 275 万元 ? 2 . [2017· 呼和浩特实验教育集团第一学期期中改编 ] 某公司投资新建了一商场 , 共有商铺 30 间 . 据预测 , 当每间的年租金定为 10 万元时 , 可全部租出 . 每间的年租金每增加 5000 元 , 少租出商铺 1 间 ( 假设年租金的增加额均为 5000 元的整数倍 ) . 该公司要为租出的商铺每间每年交各种费用共 1 万元 , 未租出的商铺每间每年交各种费用共 5000 元 . (3)275 万元是否为最大年收益 ? 若是 , 说明理由 ; 若不是 , 请求出当每间商铺的年租金定为多少万元时 , 达到最大年收益 , 最大是多少 ? 考向二　分段函数 x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 z 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 10 10 (1) 请你根据表格求出每件产品利润 z ( 元 ) 与月份 x ( 月 ) 的关系式 ; (2) 若月利润 w ( 万元 ) = 当月销量 y ( 万件 )× 当月每件产品的利润 z ( 元 ), 求月利润 w ( 万元 ) 与月份 x ( 月 ) 的关系式 ; (3) 当 x 为何值时 , 月利润 w 有最大值 , 最大值为多少 ? x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 z 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 10 10 (2) 若月利润 w ( 万元 ) = 当月销量 y ( 万件 )× 当月每件产品的利润 z ( 元 ), 求月利润 w ( 万元 ) 与月份 x ( 月 ) 的关系式 ; x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 z 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 10 10 (3) 当 x 为何值时 , 月利润 w 有最大值 , 最大值为多少 ? | 考向精练 | 生长率 p 0 . 2 0 . 25 0 . 3 0 . 35 提前上市的天数 m ( 天 ) 0 5 10 15 ①请运用已学的知识 , 求 m 关于 p 的函数 表达式 ; ②请用含 t 的代数式表示 m. ① ② 图 15-5 (3) 天气寒冷 , 大棚加温可改变农作物生长速度 . 在 (2) 的条件下 , 原计划大棚恒温 20℃ 时 , 每天的成本为 200 元 , 该作物 30 天后上市时 , 根据市场调查 : 每提前一天上市售出 ( 一次售完 ), 销售额可增加 600 元 . 因此给大棚继续加温 , 加温后每天成本 w ( 元 ) 与大棚温度 t (℃) 之间的关系如图② . 问提前上市多少天时增加的利润最大 ? 并求这个最大利润 ( 农作物上市售出后大棚暂停使用 ) . ① ② 图 15-5 生长率 p 0 . 2 0 . 25 0 . 3 0 . 35 提前上市的天数 m ( 天 ) 0 5 10 15 ①请运用已学的知识 , 求 m 关于 p 的函数 表达式 ; ②请用含 t 的代数式表示 m. ① ② 图 15-5 (3) 天气寒冷 , 大棚加温可改变农作物生长速度 . 在 (2) 的条件下 , 原计划大棚恒温 20℃ 时 , 每天的成本为 200 元 , 该作物 30 天后上市时 , 根据市场调查 : 每提前一天上市售出 ( 一次售完 ), 销售额可增加 600 元 . 因此给大棚继续加温 , 加温后每天成本 w ( 元 ) 与大棚温度 t (℃) 之间的关系如图② . 问提前上市多少天时增加的利润最大 ? 并求这个最大利润 ( 农作物上市售出后 大棚暂停使用 ) . ① ② 图 15-5 考向三　抛物线型实际问题 例 3 [2018· 衢州 ] 某游乐园有一个直径为 16 米的圆形喷水池 , 喷水池的周边有一圈喷水头 , 喷出的水柱为抛物线 , 在距水池中心 3 米处达到最高 , 高度为 5 米 , 且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合 , 如图 15-6 所示 , 以水平方向为 x 轴 , 喷水池中心为原点建立直角坐标系 . (1) 求水柱所在抛物线 ( 第一象限部分 ) 的函数表达式 . (2) 王师傅在水池内维修设备期间 , 喷水管意外喷水 , 为了不被淋湿 , 身高 1 . 8 米的王师傅站立时必须在离 水池中心多少米以内 ? 图 15-6 (3) 经检修评估 , 游乐园决定对喷水设施做如下设计改进 : 在喷出水柱的形状不变的前提下 , 把水池的直径扩大到 32 米 , 各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物 ( 高度不变 ) 处汇合 , 请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度 . 图 15-6 例 3 [2018· 衢州 ] 某游乐园有一个直径为 16 米的圆形喷水池 , 喷水池的周边有一圈喷水头 , 喷出的水柱为抛物线 , 在距水池中心 3 米处达到最高 , 高度为 5 米 , 且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合 , 如图 15-6 所示 , 以水平方向为 x 轴 , 喷水池中心为原点建立直角坐标系 . (2) 王师傅在水池内维修设备期间 , 喷水管意外喷水 , 为了不被淋湿 , 身高 1 . 8 米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内 ? 图 15-6 例 3 [2018· 衢州 ] 某游乐园有一个直径为 16 米的圆形喷水池 , 喷水池的周边有一圈喷水头 , 喷出的水柱为抛物线 , 在距水池中心 3 米处达到最高 , 高度为 5 米 , 且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合 , 如图 15-6 所示 , 以水平方向为 x 轴 , 喷水池中心为原点建立直角坐标系 . (3) 经检修评估 , 游乐园决定对喷水设施做如下设计改进 : 在喷出水柱的形状不变的前提下 , 把水池的直径扩大到 32 米 , 各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物 ( 高度不变 ) 处汇合 , 请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度 . 图 15-6 | 考向精练 | 图 15-7 B