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  • 2021-11-12 发布

中考数学专题复习练习:二次三项式的因式分解

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例 1 在实数范围内分解因式:‎ ‎(1);‎ ‎(2).‎ 分析 对于二次三项式的因式分解,如果在有理数范围内不能分解,一般情况要用求根公式,这种方法首先令=0,求出两根,再写成=.‎ 解 (1)∵ 方程的根是 ‎ ‎ ‎∴ ‎ ‎∴‎ ‎(2) ∵ 方程的根是 ‎ ‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎ ‎ 说明 分解结果是否把二次项系数乘进括号内,取决于能否把括号内的分母化去.‎ 例 2把分解因式.‎ 分析 此二次三项式中有两个字母和,在分解时可以把它看作是其中一个字母(如)的二次三项式,而另一个字母()可看作是已知数.‎ 解 ∵ 关于的方程的根是 ‎ ‎ ‎,‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 说明 分解的结果不要丢掉两个一次因式里的.‎ 例3 当取何值时,二次三项式(1)在实数范围内能分解?(2)不能分解?(3)能分解成一个完全平方式?这个完全平方式是什么?‎ 分析 二次三项式能否分解的关键是对应的二次方程是否有解,而方程是否有解由其的符号决定.‎ 解 设 则 若,即时方程有两个不相等的实数根.‎ 此时在实数范围内能分解.‎ ‎(2)当时,不能分解.‎ ‎(3)当时,方程为.‎ ‎.‎ 此时为一个完全平方式.‎ 典型例题四 例 已知二次三项式分解因式为,则b、c的值为( )‎ A. B.‎ C. D.‎ 分析与解答 可利用多项式的因式分解是多项式乘法的逆变形这一关系解.‎ ‎ ‎ ‎∴ 且.‎ ‎∴ 选D.‎ 典型例题五 例 已知二次三项式是一个完全平方式,试求的值.‎ 分析:若二次三项式为一个完全平方式,则其相应方程的判别式 解 对于一元二次方程,其中,,,‎ 原二次三项式是一个完全平方式,‎ ‎ ,即 ‎,‎ 故当或时,二次三项式是一个完全平方式.‎ 说明:若,则二次三项式为完全平方式;反之,若为完全平方式,则.‎ 典型例题六 例 取何值时,方程(‎ 为有理数)的根为有理数?‎ 分析:根据一元二次方程的求根公式,若使方程的根为有理数,需使方程的判别式是关于的完全平方式,即为有理数;又根据二次三项式的因式分解公式知,若使为完全平方式,需使关于的方程的根,即方程的判别式,进而求得的值.‎ 解 把原方程化为一般式,得 若使方程有有理根,只需使为关于的完全平方式.‎ 若使是关于的完全平方式,需使 ‎,即 当时,方程有有理根.‎ 说明:上述求解中多次利用根的判别式,这里有一个结论,即二次三项式为完全平方式.‎ 典型例题七 例 在实数范围内分解因式:‎ 分析:在实数范围内分解二次三项式的问题,通常是采用公式法,在实数范围内分解因式,是指分解的结果中各因式的数字系数可以是实数范围内的任意实数.‎ 解 把原式化为 ‎,‎ 的两根为,,‎ 原式.‎ 说明:本题不是直接给出二次三项式要求分解因式,而是需要综合运用因式分解的方法进行分解.对于题中所给的多项式,若直接展开后重新分组分解,则计算量较大,且有一定的难度.上述求解中,是注意到两个二次三项式中仅一次项不同,采用了整体代换方法构造出含的二次三项式,从而达到分解因式的目的.同时,因式分解要分解到每一个因式都不能再分解之止.‎ 选择题 ‎1.是以下那个多项式分解因式形成的( )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎2. 分解因式:()‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎3.在实数范围内分解因式,正确的结果是( )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎4. 以与为根的一元二次方程是()‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎5. 分解因式:()‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎6. 分解因式:()‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎7. 分解因式:()‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎8. 若一元二次方程的两根为和4,则二次三项式可分解为()‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎9.多项式在实数范围内分解因式正确的结果是( )‎ A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ 答案:‎ ‎1. A; 2. D 3. B ;4. A ;5. D;6. A; 7. B; 8. B; 9. B.‎ 判断题 ‎1. 是关于的二次三项式。()‎ ‎2.不一定是关于的二次多项式。()‎ ‎3. 方程的二根为,,则().‎ ‎4. .‎ ‎5..‎ ‎6.().‎ ‎7.‎ ‎().‎ ‎8. 在实数范围内分解因式:()‎ ‎9.方程可变形为。()‎ ‎10.二次三项式在实数范围内总能分解因式。()‎ 答案:‎ ‎1.√;2.√;3. √ 4. ×; 5. × 6. √ 7. ×8. × 9. √; 10 .×.‎ 解答题 ‎1.分解因式:‎ ‎(1);(2);(3).‎ ‎2.已知二次三项式是一个完全平方式,求m的值。‎ ‎3.在实数范围内分解因式。‎ ‎4.已知多项式分解因式后,有一因式是,请把多项式分解因式。‎ ‎5.已知,且,,求的值。‎ ‎6.已知,,求的值。‎ ‎7.设、为整数,且是6的倍数,求证:是18的倍数。‎ 答案:‎ ‎1.(1);‎ ‎(2);‎ ‎(3) .‎ ‎2.‎ ‎∵ 原二次三项式是完全平方式,‎ ‎∴ 。‎ ‎3.‎ ‎4.提示:用待定系数法。‎ 设 展开比较系数可解得 ‎ ‎ ‎5.0 3.‎ ‎6.即是6的倍数,是3的倍数,所以是18的倍数.‎