中考数学专题复习练习：圆柱圆锥的侧面展开图 9页

典型例题一 例 矩形的边，，以为轴旋转一周得到的圆柱体的表面积是（   ）‎ ‎（A）       （B）‎ ‎（C）       （D）‎ 分析与解答：圆柱表面积是两底面积之和加上侧面积.圆柱的侧面展开图是矩形.因此，圆柱的侧面积是矩形的面积，即底面周长（）与圆柱的高（母线）的积，解之选（C）.‎ 典型例题二 例 已知矩形ABCD一边AB=10cm，AD=6 cm，求以此矩形为侧面所围成圆柱的表面积．‎ 解：（1）以AD为圆柱高围成圆柱，则底面圆的半径r=‎ 则圆柱表面积为．‎ ‎（2）以AB为圆柱高围成圆柱，则底面圆的半径r=‎ 则圆柱表面积为．‎ 说明：①圆柱表面积的计算；②分类思想；③圆柱各元素的关系和计算．‎ 典型例题三 例 （1）如果圆柱底面半径为4cm，它的侧面积为，那么圆柱的母线长为（ ）.‎ ‎（A）16cm （B）16cm （C）8cm （D）8cm ‎（2）如果圆柱底面直径为6cm，母线长为10cm，那么圆柱的侧面积为（ ）‎ ‎（A）30 （B）60 （C）90 （D）120‎ 分析 圆柱侧面展开图是矩形，（1）可直接用公式求出母线长为8cm，故选（C），（2）中，由直径求出半径是关键，应选（B）.‎ 典型例题四 例 已知一个圆柱的轴截面是一个面积为16cm2的正方形，求它们侧面积．‎ 解：∵圆柱的轴截面是正方形，且面积为16cm2‎ ‎ ∴圆柱的高为4cm，圆柱底面直径也是4cm即底面半径为2cm．‎ ‎∴圆柱的侧面积=2π×2×4＝16πcm2．‎ 说明：此题为基础题．应用圆柱轴截面的特征，圆柱各元素的关系，侧面积计算．‎ 典型例题五 例 （1）若圆锥的底面半径是3cm，母线长是5cm，则它的侧面展开图的面积是.‎ ‎（2）若圆锥的母线长为5cm，高为3cm，则其侧面展开图中扇形的圆心角是 度.‎ 分析 首先弄清圆的侧面展开图是扇形，（1）中可直接用求得，（2）中先求底面圆半径，扇形弧长，再由弧长公式求圆内角为288°.‎ 典型例题六 例 一个圆锥的高是10㎝，侧面展开图是半圆，求圆锥的侧面积.‎ 分析：如图，欲求圆锥的侧面积，即求母线长l，底面半径r.由圆锥的形成过程可知，圆锥的高、母线和底面半径构成直角三角形即，且关键找出l与r的关系，又其侧面展开图是半圆，可得关系，即.‎ 解：设圆锥底面半径r，扇形弧长为C，母线长为l，‎ 由题意得又 得 ①‎ 在中， ②‎ 由①、②得：‎ ‎∴所求圆锥的侧面积为 典型例题七 例 一个圆锥的侧面展开图是半径为18cm，圆心角为240°的扇形，求这个圆锥的轴截面积．‎ 解：∵扇形的半径为18cm，圆心角为240°，∴扇形的弧长L=‎ ‎∵扇形弧长等于底面圆周长，∴圆锥的母线长为18cm，底面半径=cm ‎∴圆锥的高为（cm），‎ ‎∴圆锥的轴截面积S=（cm2）‎ 说明：巩固圆锥的各元素之间的关系，弧长公式和解直角三角形等知识的应用．‎ 典型例题八 例 已知一个三角形的边长分别为3 cm、4 cm、5 cm， 求以一边所在的直线为轴旋转一周形成的几何体的全面积．‎ 略解：如图，在△ABC中，AB=5，AC=4，BC=3，‎ ‎∵AB2=AC2+BC2，∴∠C=90°．‎ ‎（1）当以AC所在的直线为轴旋转一周时，形成的几何体是以底面半径为3，母线长为5的圆锥．‎ ‎（cm2）．‎ ‎（2）当以BC所在的直线为轴旋转一周时，形成的几何体是以底面半径为4，母线长为5的圆锥．‎ ‎（cm2）．‎ ‎（3）当以AB所在的直线为轴旋转一周时，形成的几何体是同底面的两个圆锥的侧组成的几何体，母线长分别为4、3．‎ 圆锥的底面半径=‎ ‎（cm2）．‎ 说明：①分类思想；②圆锥的侧面积和表面积．‎ 典型例题九 例 一个圆锥形的零件，经过轴的剖面是一个等腰直角三角形，求它的侧面展开图的中心角．‎ 解：设圆锥的母线SA=l，底面半径为r，‎ 则底边周长c=2πr，即为展开扇形的弧长，这个扇形的半径为l，它的中心角为α，则 c= l，‎ 又△ASB为等腰直角三角形，∴l =r．‎ ‎∴，∴．‎ 说明：圆锥展开图的应用，圆锥的侧面展开图是一个扇形，这个扇形的半径等于圆锥母线的长，扇形的弧长等于圆锥底面周长，千万不要借把圆锥底面的半径当作扇形的半径．‎ 典型例题十 例 已知：斜边，以直线为轴旋转一周得一表面积为的圆锥，则这个圆锥的高等于           .‎ ‎    分析与解答：圆锥的表面积是底面积与圆锥侧面积之和.圆锥的侧面展开图是扇形.圆锥的侧面积是扇形的面积，即等于底面周长×母线长的一半.‎ ‎    此题在分析中要结合图形（如图）弄清欲求圆锥的高即为的长，关键在于求底面半径，不妨设，则，即可求出，解之得高＝12cm.‎ 典型例题十二 例 一个圆锥的底面半径为10cm，母线长20cm，求：（1）圆锥的表面积；（2）圆锥的高；（3）轴与一条母线所夹的角；（4）侧面展开图扇形的圆心角.‎ 解 （1）‎ ‎（2）如图，OS为圆锥的高，在Rt中，（cm）.‎ ‎（3）设轴与一条母线所夹的角为，在Rt中，‎ ‎（4）设侧面展开图扇形的圆心角度数为，则由得，‎ ‎∴侧面展开图扇形的圆心角为180°.‎ 说明：本题考查与圆锥有关的计算问题，解题关键是掌握与圆锥有关的性质与公式.‎ 典型例题十二 例 圆锥的轴截面是等腰，EG 是AB上一点，且，那么在锥面上A、M两点间的最短距离是多少？‎ 分析：设圆锥的侧面展开图是扇形A点落在点，则所求、M之间的最短距离就是侧面展开图中线段M的长度.‎ 解：如图，扇形的圆心角 ‎，在中，过作于N，则 中，‎ 典型例题十三 例 一个圆锥形工件的轴截面是一个等腰直角三角形，这个直角三角形的斜边长为10厘米，现为这个工件刷油漆，若每平方厘米要2.5克油漆，问至少要油漆多少克（备用数据：取3.14，取1.41，结果精确到0.1）‎ 解 设圆锥的底面半径为r，母线长为l，表面积为S.‎ ‎∵圆锥的轴截面是等腰直角三角形，∴由勾股定理得 ‎∴（负值已舍）.‎ 又 ‎ 则 答 至少要油漆473.0克.‎ 说明：本题考查圆锥表面积计算的应用，易错点是忽视精确度误得472.98克.‎ 选择题 ‎1．在矩形中，，分别以直线，为轴旋转一周得两个圆柱，这两个圆柱的底面积与侧面积分别有什么关系？（）‎ A．底面积相等，侧面积也相等 B．底面积不等，侧面积相等 C．底面积相等，侧面积不相等 D．底面积不等，侧面积也不等 ‎2．如图，已知圆锥的高为，底面半径为，则圆锥侧面展开图的面积为（）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．一个圆锥的高为，侧面展开后是一个半圆，则圆锥的表面积是（）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎4．在中，，， ，分别以，所在的直线为轴旋转一周，所得的圆锥的侧面积依次记为，，则和的大小关系为（）‎ A． B． C． D．以上情况都有可能 ‎5．一个圆柱的侧面展开图是正方形，那么它的侧面积和底面积的比是（ ）‎ ‎（A）1 （B） （C） （D）4‎ ‎6．在△ABC中，把△ABC绕直线AC旋转一周得到一个圆锥，其表面积为；把△ABC绕直线AB一周得到另一个圆锥，其表面积为，则（ ） ‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎7．已知一个扇形的半径为60厘米，圆心角为150°，若用它做成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为（ ）‎ ‎（A）12.5厘米 （B）25厘米 （C）50厘米 （D）75厘米 ‎8．一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，这个圆锥的侧面展开图扇形的圆心角是（ ）‎ ‎（A）60° （B）90° （C）120° （D）180°‎ ‎9．如果圆柱的底面直径为4，母线长为2，那么圆柱的侧面展开图的面积等于（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）8‎ ‎10．一张矩形纸片，两边长分别为2cm和4cm，以它的一边所在直线为轴旋转一周，所得的圆柱的表面积一定是（ ）‎ ‎（A）或 ‎（B）或 ‎（C）或 ‎（D）或 参考答案：‎ ‎1．B 2. B 3. B 4. A 5．C； 6．A； 7．B； 8．D. 9．A 10．A.‎ 填空题 ‎1．用边长分别为和的矩形卷成圆柱，则圆柱的底面面积是 .‎ ‎2．如果圆锥的高为8㎝，圆锥的底面半径为6㎝，那么它的侧面展开图的面积为 .‎ ‎3．已知矩形ABCD，一边AB=30㎝，另一边AD=9㎝，以直线AB为轴旋转一周所得到的圆柱的表面积为 （结果用表示）.‎ ‎4．已知一矩形的长为AB=6，宽AD=4，若以它垂直于一组对边的对称轴为轴旋转180°，得到的立体图形的表面积为 .‎ ‎5．用一个圆心角为120°，半径为4的扇形做一个圆锥，那么这个圆锥的底面周长为 .‎ ‎6．用过轴线的平面把一个圆锥剖开得到一个等腰直角三角形，则这个圆锥的底面半径是高的 倍，母线是高的 倍.‎ ‎7. 圆柱的高与底面直径相等，如果它的侧面积为，则底面积是________‎ ‎8. 矩形的边，，以直线为轴旋转一周，所得的圆柱的侧面积是_______‎ ‎9. 底面直径是，高是的圆锥，沿它的轴剖开得到一个______三角形，该三角形的面积是______‎ ‎10. 一个圆锥形零件的高为，若经过轴的剖面是一个等腰直角三角形，则这个圆锥的底面半径为______，母线长为______，侧面积为______，表面积为_____‎ ‎11. 若一圆锥的侧面积为，母线长为3，则侧面展开图的圆心角为________.‎ ‎12．若一个圆锥的母线长是5cm，底面半径是3cm，则它的侧面展开图的面积是 .‎ ‎13．一位同学制作一圆锥模型，这个模型的侧面是用一个半径为9cm，圆心角为240°的扇形铁皮制作，再用一块圆铁片做底，那么这块圆铁片的半径为 .‎ ‎14．已知圆柱底面半径为，高为10，则圆柱侧面积是 .‎ 参考答案:‎ ‎1． 2．； 3．； 4．； 5．；6．1，.7. 8. 9. 等腰 60 10. ，， 11. . 12． 13．6cm 14．40.‎ 解答题 ‎1．已知圆柱的底面半径为2cm，圆柱的高为3cm．求它的侧面积．‎ ‎2．已知圆柱的底面直径为4cm，圆柱的高为5cm．求它的全面积．‎ ‎3．已知圆拄的高为4cm，侧面积为40πcm2．求它的全面积．‎ ‎4．已知矩形ABCD中，AB=4cm，BC=2cm，以AB为轴旋转一周，补上底面，求所成的圆柱的全面积；再以BC为轴旋转一周，补上底面．求所成的圆柱的全面积．比较一下两个圆柱全面积的大小．‎ ‎5．已知圆锥的母线长为6cm；底面半径为2cm．求它侧面展开图的圆心角的度数．‎ ‎6．已知扇形的半径为4cm，圆心角为120°，用它做成一个圆锥．求圆锥的底面面积．‎ ‎7．已知圆锥的高为6cm，底面半径为8cm．求这个圆锥的侧面积．‎ ‎8．在如图所示的矩形中，，，是它的一条对称轴。以为轴旋转一周得一圆柱，再以为轴，旋转半周又得一圆柱，分别求出这两个圆柱的表面积。‎ ‎9．已知矩形的一边是另一边的两倍，以矩形长边的垂直平分线为轴，将矩形旋转，得一侧面积的圆柱，求这个矩形的边长。‎ ‎10．已知菱形的周长为20厘米，有一角为，若以较长的对角线为轴把菱形旋转一周，求所成的旋转体的表面积。‎ ‎11．已知圆锥的底面半径为，圆锥的侧面展开图的圆心角为，求圆锥母线的长。‎ ‎12．一个圆锥的高为厘米，侧面展开图是半圆，求：母线与底面半径之比；锥角的大小及圆锥的表面积.‎ ‎13．已知圆柱的侧面展开图是一个边长为a的正方形，求这个圆柱的底面半径与圆柱的母线之比.‎ ‎14．圆锥的母线与底面直径相等，求这个圆锥侧面展开图确定的扇形的弧所对的圆心角.‎ ‎15．如图，已知圆锥的母线，底面半径，求圆锥的侧面展开图的扇形圆心角.‎ 参考答案与提示：‎ ‎1.12πcm2．2. 28πcm2．3. 50πcm2．4. （8+8/π）cm2 （8+2/π）cm2 第一个表面积大．5.120°．6. 64π/9 cm2．7. 80πcm2． 8．；9．、10． 11．‎ ‎12．如图所示：AO为圆锥的高，经过AO的剖面是等腰△ABC，则AB为锥面的母线l，BO为底面半径r.‎ ‎∵ 圆锥的侧面展开图是半圆，‎ 即.‎ 即AB=2OB，‎ ‎∴∠BAO=30°，故∠BAC=60°，即锥角为60°.‎ 在△AOB中，‎ ‎13．圆柱的侧面展开图是一个边长为a的正方形，‎ ‎∴ 圆柱的母线长为a，底面圆的周长为a，则底面圆的半径为 ‎∴圆柱的底面圆的半径与圆柱的母线之比为：‎ ‎14．设圆的母线长为a，则底面半径为.‎ ‎∴展开图确定的扇形的弧长为，扇形所在圆的半径为a，设弧所对的圆心角为，则 ‎∴‎ ‎∴扇形的弧所对的圆心角为180°.‎ ‎15．设扇形半径为，弧长为，则，.‎ ‎∵，∴.‎