中考数学专题复习练习：圆心角弦弧弦心距之间的关系 17页

圆心角定理 ‎(弧、弦、圆心角关系定理)‎ 基本内容：‎ ‎1、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。‎ ‎2、在同圆或等圆中，如果两条弧相等，则它们所对的圆心角相等，所对的弦相等。‎ ‎3、在同圆或等圆中，如果两条弦相等，则它们所对的圆心角相等，所对的弧相等。‎ 在理解时要注意：‎ ‎⑴前提：在同圆或等圆中；‎ ‎⑵条件与结论：在①两条弧相等；②两条弦相等；③两个圆心角相等中，只要有一个成立，则有另外两个成立。‎ 基本概念理解：‎ ‎1．在同圆或等圆中，若的长度＝的长度，则下列说法正确的个数是（ ）‎ ‎①的度数等于；②所对的圆心角等于所对的圆心角；③和是等弧；‎ ‎（2题图）‎ ‎④所对的弦心距等于所对的弦心距。‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎2．如图，在两半径不同的同心圆中，，则（ ）‎ A． B． ‎ C．的度数=的度数 D．的长度=的长度 ‎3．下列语句中，正确的有（ ）‎ ‎ （1）相等的圆心角所对的弧相等；（2）平分弦的直径垂直于弦；‎ ‎ （3）长度相等的两条弧是等弧； （4）经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴．‎ ‎ （A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个 ‎4．已知弦AB把圆周分成1:5的两部分，这弦AB所对应的圆心角的度数为 ．‎ ‎5．在⊙O中，的度数240°，则的长是圆周的 份．‎ 概念的延伸及其基本应用：‎ ‎1．在同圆或等圆中，如果圆心角等于另一圆心角的2倍，则下列式子中能成立的是（ ）‎ ‎2．在同圆或等圆中，如果，则与的关系是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．在⊙中，圆心角，点到弦的距离为4，则⊙的直径的长为（ ）‎ A． B． C．24 D．16‎ ‎4．在⊙中，两弦，，分别为这两条弦的弦心距，则，的关系是（ ）‎ A． B． C． D．无法确定 ‎5．已知：⊙O的半径为‎4cm，弦AB所对的劣弧为圆的，则弦AB的长为 cm，AB的弦心距为 cm．‎ ‎6．如图，在⊙O中，AB∥CD，的度数为45°，则∠COD的度数为 ．‎ 典型例题精析：‎ ‎（6题图）‎ 例题1、如图，已知：在⊙O中，OA⊥OB，∠A=35°，求和的度数.‎ 解：连结OC，‎ 在Rt△AOB中，∠A=35°‎ ‎∴∠B=55°，又∵OC=OB，‎ ‎（例题1图）‎ ‎∴∠COB=180°-2∠B=70°，∴的度数为70°，‎ ‎∠COD=90°-∠COB=90°-70°=20°，‎ ‎∴的度数为20°. ‎ 说明：连结OC，通过求圆心角的度数求解。此题是基本题目，目的是巩固基础知识.‎ 例题2、如图，已知：在⊙O中，=2，试判断∠AOB与∠COD，AB与2CD之间的关系，并说明理由.‎ 分析：根据条件确定图形，观察、分析、猜想，特别是解：∠AOB=2∠COD， AB<2CD，理由如下：‎ 如图，在⊙O上取一点C ’，使=.∴∠COD=∠DOC’‎ ‎∵=2，∴，=+=.‎ ‎（例题2图）‎ ‎∴AB=CC’. ∠AOB=∠CO C’=∠COD+∠DOC’=2∠COD 又∵在△CD C’中，CD+DC’> CC’，∴CC’ <2CD，即AB<2CD.‎ 说明：①证明两条线段的不等关系，常常把两条线段放到一个三角形中。‎ ‎②此题进一步理解定理及其推论的应用条件，在“相等”问题中的不等量.由=2可得∠AOB=2∠COD是正确的，但由=2得出AB=2CD，是错误的，培养学生在学习中的迁移能力.‎ 例题3、如图，已知：AB是⊙O直径，M、N分别是AO、BO的中点，CM⊥AB，DN⊥AB，求证：=.‎ 分析：要证弧相等，可以证弧对应的弦相等，弧对应的圆心角相等.‎ 证法一：连结AC、OC、OD、BD，‎ ‎∵M、N分别是AO、BO的中点，CM⊥AB，DN⊥AB，‎ ‎∴AC= OC、OD=BD 又∵OC=OD，∴AC= BD，∴=.‎ 证法二：连结OC、OD，‎ ‎（例题3图1）‎ ‎∵M、N分别是AO、BO的中点，∴OM=AO，ON=BO，‎ ‎∵OA=OB，∴OM=ON，‎ ‎∵CM⊥AB，DN⊥AB，∴OC=OD，‎ ‎∴Rt△COM≌Rt△DON，∴∠COA=∠DOB，∴=.‎ 证法三、如图，分别延长CM、DN交⊙O于E、F，‎ ‎∵M、N分别是AO、BO的中点，∴OM=AO，ON=BO，‎ ‎∵OA=OB，∴OM=ON，‎ 又∵CM⊥AB，DN⊥AB，∴CE=DF，∴=‎ ‎∵=，=，∴=.‎ 说明：此题是利用本节定理及推论应用的优秀题目，题目不难，但方法灵活，培养学生灵活解决问题的能力和基本的辅助线的作法.‎ 例题4、如图，C是⊙O直径AB上一点，过C点作弦DE，使CD＝CO，若的度数为40°，求的度数．‎ 分折： 要求的度数，可求它所对的圆心角∠BOE的度数，如图作辅助线，通过等量转换得出结果．‎ 解： 连OE、OD并延长DO交⊙O于F．‎ ‎ ∵的度数为40°，∴∠AOD=40°．‎ ‎ ∵CD＝CO， ∴∠ODE＝∠AOD＝40°．‎ ‎ ∵OD＝OE， ∴∠E＝ ∠ODE＝40°．‎ ‎（例题4图）‎ ‎ ∴∠EOF=∠E+∠ODE=80°，∠BOF= ∠AOD＝40°，‎ ‎ 则∠BOE=∠EOF +∠BOF =80°+40°=120°，∴的度数为120°．‎ 说明：此题充分体现了圆中的等量转换以及圆中角度的灵活变换．‎ 例题5、如图，在⊙中，直径垂直于并交于；直径交于，且，求的度数.‎‎（例题5图）‎ 解 连结.‎ 于，且.‎ ‎，，‎ 又.‎ ‎，‎ ‎ ‎ 的度数是.‎ 说明：由于圆心角的度数与它所对的弧的度数相等，而我们对角是比较熟悉的，所以求弧的度数的问题往往转化为求它所对的圆心角度数的问题.‎ 例题6、已知：如图，、分别是⊙的弦、的中点，，求证：.‎ 分析：由弦，想到利用弧，圆心角、弦、弦心距之间的关系定理，又、分别为、的中点，如连结，，则有，，，故易得结论.‎ 证明 连结、，‎ ‎（例题6图）‎ 为圆心，、分别为弦、的中点，‎ ‎.‎ 说明：有弦中点，常用弦心距利用垂径定理及圆心角、弧、弦、弦心距之间关系定理来证题.‎ 例题7、如图，已知⊙中，，、分别交、于点，，求证：是等腰三角形.‎ ‎（例题7图）‎ 分析：由，应得：，，因此，只要证明就可以证明是等腰三角形.‎ 说明：在本题中，请注意垂径定理基本图形在证明中的作用.‎ 例题8、如图，已知为⊙的弦，从圆上任一点引弦，作的平分线交⊙于点，连接. ‎ 求证：.‎ 证明：连结.‎ ‎∵ ∴ .‎ ‎∵ 是的平分线，‎ ‎∴ .∴∥.‎ ‎∵ ∴ .‎ ‎∴ ∴ ‎ 说明：本题考查在同圆中等弧对等弦及垂径定理的综合应用，解题关键是连结，证.易错点是囿于用全等三角形的办法证明与相等而使思维受阻或证明繁杂.‎ 作业：‎ ‎1．已知⊙的半径为，弦的长也为，则=_________，弦心距是_______‎ ‎2． 在⊙中，弦所对的劣弧为圆的，圆的半径为，则=_________‎ ‎3．圆的一条弦把圆分为度数的比为的两条弧，如果圆的半径为，则弦长为______，该弦的弦心距为__________‎ ‎4．如图，直径，垂足为，，则的度数为_______，的度数为________‎ ‎5．在矩形、等腰直角三角形、圆、等边三角形四种几何图形中，只有一条对称轴的几何图形是________‎ ‎6．⊙中弦是半径的垂直平分线，则的度数为_______‎ ‎7．已知⊙的半径为，的度数是，则弦的长是________‎ ‎8．如果一条弦将圆周分成两段弧，它们的度数之比为，那么此弦的弦心距的长度与此弦的长度的比是________‎ ‎9．已知：在直径是10的⊙O中，的度数是60°．求弦AB的弦心距．‎ ‎10．已知：如图，⊙O中，AB是直径，CO⊥AB，D是CO的中点，DE∥AB，求证：=2．‎ ‎11．如图，⊙内两条相等的弦与相交于，求证：‎ ‎12．如图，⊙和⊙是等圆，是两圆心的中点，过任作一直线分别交⊙于，，交⊙于，，求证：=‎ ‎13．如图，已知⊙的直径为，的度数为，求弦的弦心距的长。‎ 例 如图，已知：在⊙O中，=2，试判断∠AOB与∠‎ COD，AB与2CD之间的关系，并说明理由.‎ 分析：根据条件确定图形，观察、分析、猜想，特别是两条线段的不等关系，常常把两条线段放到一个三角形中.‎ 解：∠AOB=2∠COD， AB<2CD，理由如下：‎ 如图，在⊙O上取一点C ’，使=.∴∠COD=∠DOC’‎ ‎∵=2，∴，=+=.‎ ‎∴AB=CC’. ∠AOB=∠CO C’=∠COD+∠DOC’=2∠COD 又∵在△CD C’中，CD+DC’> CC’，∴CC’ <2CD，即AB<2CD.‎ 说明：此题进一步理解定理及其推论的应用条件，在“相等”问题中的不等量.由=2可得∠AOB=2∠COD是正确的，但由=2得出AB=2CD，是错误的，培养学生在学习中的迁移能力.‎ 例 如图，已知：AB是⊙O直径，M、N分别是AO、BO的中点，CM⊥AB，DN⊥AB，求证：=.‎ 分析：要证弧相等，可以证弧对应的弦相等，弧对应的圆心角相等.‎ 证法一：连结AC、OC、OD、BD，‎ ‎∵M、N分别是AO、BO的中点，CM⊥AB，DN⊥AB，‎ ‎∴AC= OC、OD=BD 又∵OC=OD，∴AC= BD，∴=.‎ 证法二：连结OC、OD，‎ ‎∵M、N分别是AO、BO的中点，∴OM=AO，ON=BO，‎ ‎∵OA=OB，∴OM=ON，‎ ‎∵CM⊥AB，DN⊥AB，∴OC=OD，‎ ‎∴Rt△COM≌Rt△DON，∴∠COA=∠DOB，∴=.‎ 证法三、如图，分别延长CM、DN交⊙O于E、F，‎ ‎∵M、N分别是AO、BO的中点，∴OM=AO，ON=BO，‎ ‎∵OA=OB，∴OM=ON，‎ 又∵CM⊥AB，DN⊥AB，∴CE=DF，∴=‎ ‎∵=，=，∴=.‎ 说明：此题是利用本节定理及推论应用的优秀题目，题目不难，但方法灵活，培养学生灵活解决问题的能力和基本的辅助线的作法.‎ 例 如图，已知：在⊙O中，OA⊥OB，∠A=35°，求和的度数.‎ 分析：连结OC，通过求圆心角的度数求解.‎ 解：连结OC，‎ 在Rt△AOB中，∠A=35°‎ ‎∴∠B=55°，又∵OC=OB，‎ ‎∴∠COB=180°-2∠B=70°，∴的度数为70°，‎ ‎∠COD=90°-∠COB=90°-70°=20°，‎ ‎∴的度数为20°.‎ 说明：此题是基本题目，目的是巩固基础知识.‎ 例 如图，C是⊙O直径AB上一点，过C点作弦DE，使CD＝CO，若的度数为40°，求的度数．‎ 分折： 要求的度数，可求它所对的圆心角∠BOE的度数，如图作辅助线，通过等量转换得出结果．‎ 解： 连OE、OD并延长DO交⊙O于F．‎ ‎ ∵的度数为40°，∴∠AOD=40°．‎ ‎ ∵CD＝CO， ∴∠ODE＝∠AOD＝40°．‎ ‎ ∵OD＝OE， ∴∠E＝ ∠ODE＝40°．‎ ‎ ∴∠EOF=∠E+∠ODE=80°，∠BOF= ∠AOD＝40°，‎ ‎ 则∠BOE=∠EOF +∠BOF =80°+40°=120°，∴的度数为120°．‎ 说明：此题充分体现了圆中的等量转换以及圆中角度的灵活变换．‎ 典型例题五 例 （北京市朝阳区试题，2002）已知：如图，内接于⊙，是⊙的直径，点、分别在、的延长线上，交⊙于点、，交于点，是的中点，，，设，，和是方程的两个实数根. ‎ ‎（1）求和的长；‎ ‎（2）求的长.‎ 解：‎ ‎ （1）依题意，有一元二次方程根与系数关系，得 ‎，①‎ ‎， ②‎ ‎， ③‎ 又. ④‎ 由②、③、④得 . ‎ 当时，①成立. ‎ 把代入原方程解得 ,‎ ‎∴，. ‎ ‎（2）解法一：‎ 连结，∴. ‎ ‎∵是⊙的直径，∴. ‎ ‎∵， ∴. 即. ‎ ‎∴. ‎ 在中，，又. ‎ ‎∴. 由勾股定理得. ‎ 在中，，‎ 由勾股定理得. ‎ 在中，. ‎ 设，则，由勾股定理得. ‎ ‎∵是的中点，∴. ‎ ‎∴.‎ ‎∴. 解得. ‎ ‎∴. …………………………11分 ‎∴，，‎ ‎∴∽. ‎ ‎∴. ‎ ‎∴. …………………………14分 解法二：‎ 同解法一求出，. ‎ 连结. ‎ ‎∵，且，‎ ‎∴‎ ‎∵为⊙直径，‎ ‎∴，. ‎ ‎∴. ……………………11分 以下同解法一可求得.‎ 说明：这是一道综合性较强的题目，主要考查一元二次方程的韦达定理和圆的一些知识。‎ 典型例题六 例 如图，在⊙中，直径垂直于并交于；直径交于，且，求的度数.‎ 解 连结.‎ 于，且.‎ ‎，，‎ 又.‎ ‎，‎ ‎ ‎ 的度数是.‎ 说明：由于圆心角的度数与它所对的弧的度数相等，而我们对角是比较熟悉的，所以求弧的度数的问题往往转化为求它所对的圆心角度数的问题.‎ 典型例题七 例 如图，已知⊙中，，、分别交、于点，，求证：是等腰三角形.‎ 分析：由，应得：，，因此，只要证明就可以证明是等腰三角形.‎ 说明：在本题中，请注意垂径定理基本图形在证明中的作用.‎ 典型例题八 例 已知：如图，、分别是⊙的弦、的中点，，求证：.‎ 分析：由弦，想到利用弧，圆心角、弦、弦心距之间的关系定理，又、分别为、的中点，如连结，，则有，，，故易得结论.‎ 证明 连结、，‎ 为圆心，、分别为弦、的中点，‎ ‎.‎ 说明：有弦中点，常用弦心距利用垂径定理及圆心角、弧、弦、弦心距之间关系定理来证题.‎ 典型例题九 例 如图，已知为⊙的弦，从圆上任一点引弦，作的平分线交⊙于点，连接. ‎ 求证：.‎ 证明：连结.‎ ‎∵ ∴ .‎ ‎∵ 是的平分线，‎ ‎∴ .∴∥.‎ ‎∵ ∴ .‎ ‎∴ ∴ ‎ 说明：本题考查在同圆中等弧对等弦及垂径定理的综合应用，解题关键是连结，证.易错点是囿于用全等三角形的办法证明与相等而使思维受阻或证明繁杂.‎ 典型例题十 例 如图1，四边形内接于⊙，‎ ‎（1）若把和交换了位置，的大小是否变化？为什么？（2）求证：。‎ 解（1）由圆的旋转不变性知：与交换位置后，它们的和仍等于，故的大小不发生变化。‎ ‎（2）当交换位置以后（如图2），，则四边形变为上底为1，下底为9，两腰为8的等腰梯形。作于， 图1‎ 于。‎ 则。‎ 在中，，‎ ‎∴ 。即。‎ 说明：本题考查了圆的旋转不变性，解题关键是透彻理解题意并正确画出变化后 图2‎ 的图形，易错点是画错或画不出变化后的图形。‎ 选择题 ‎1、如图在△ABC中，∠A=70°，⊙O截△ABC的三边所得的弦长相等，则∠BOC=（ ）．‎ ‎（A）140° （B）135°‎ ‎（C）130° （D）125°‎ ‎2、下列语句中，正确的有（ ）‎ ‎ （1）相等的圆心角所对的弧相等；（2）平分弦的直径垂直于弦；‎ ‎ （3）长度相等的两条弧是等弧； （4）经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴．‎ ‎ （A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个 ‎3.在同圆或等圆中，如果圆心角等于另一圆心角的2倍，则下列式子中能成立的是（）‎ ‎4.在同圆或等圆中，如果，则与的关系是（）‎ A． B． C． D．‎ ‎5.在⊙中，圆心角，点到弦的距离为4，则⊙的直径的长为（）‎ A． B． C．24 D．16‎ ‎6.在同圆或等圆中，若的长度＝的长度，则下列说法正确的个数是（）‎ ‎①的度数等于；②所对的圆心角等于所对的圆心角；③和是等弧；④所对的弦心距等于所对的弦心距。‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎7.在⊙中，两弦，，分别为这两条弦的弦心距，则，的关系是（）‎ A． B． C． D．无法确定 ‎8.如图，在两半径不同的同心圆中，，则（）‎ A． B． ‎ C．的度数=的度数 D．的长度=的长度 答案:‎ ‎1、D； 2、A； 3. B 4. C 5. B 6. D 7. A 8. C 填空题 ‎1、已知弦AB把圆周分成1:5的两部分，这弦AB所对应的圆心角的度数为 ．‎ ‎2、在⊙O中，的度数240°，则的长是圆周的 ．‎ ‎3、已知：⊙O的半径为4cm，弦AB所对的劣弧为圆的，则弦AB的长为 cm，AB的弦心距为 cm．‎ ‎4、如图，在⊙O中，AB∥CD，的度数为45°，则∠COD的度数为 ．‎ ‎5、如图在△ABC中，∠A=70°，⊙O截△ABC的三边所得的弦长相等，则∠BOC=（ ）．‎ ‎（A）140° （B）135°‎ ‎（C）130° （D）125°‎ ‎6. 已知⊙的半径为，弦的长也为，则=_________，弦心距是_______‎ ‎7. 在⊙中，弦所对的劣弧为圆的，圆的半径为，则=_________‎ ‎8. 圆的一条弦把圆分为度数的比为的两条弧，如果圆的半径为，则弦长为______，该弦的弦心距为__________‎ ‎9. 如图，直径，垂足为，，则的度数为_______，的度数为________‎ ‎10.在矩形、等腰直角三角形、圆、等边三角形四种几何图形中，只有一条对称轴的几何图形是________‎ ‎11. ⊙中弦是半径的垂直平分线，则的度数为_______‎ ‎12.已知⊙的半径为，的度数是，则弦的长是________‎ ‎13.如果一条弦将圆周分成两段弧，它们的度数之比为，那么此弦的弦心距的长度与此弦的长度的比是________‎ 答案:‎ ‎1、60°； 2、2/3； 3、，2； 4、90°；5. ， 6. 7. ；8. ； 9. 10. 等腰直角三角形 11. 12. 13. .‎ 解答题 ‎1、已知：在直径是10的⊙O中，的度数是60°．求弦AB的弦心距．‎ ‎2、已知：如图，⊙O中，AB是直径，CO⊥AB，D是CO的中点，DE∥AB，求证：=2．‎ ‎3．如图，⊙内两条相等的弦与相交于，求证：‎ ‎4．如图，⊙和⊙是等圆，是两圆心的中点，过任作一直线分别交⊙于，，交⊙于，，求证：=‎ ‎5．如图，已知⊙的直径为，的度数为，求弦的弦心距的长。‎ 参考答案：1、； ‎ ‎2、提示：连结OE，则OE=2OD，sin∠OED=OD/OE=1/2，∴∠OED=30°，∠EOC=60°，则∠AOE=30°，所以=2．‎ ‎3．提示：作、的弦心距 ‎4．提示：作、的弦心距 ‎5．‎ ‎1、若⊙O的半径为4㎝，其中一条弧长为2π㎝，则这条弧所对的圆心角的度数是________；‎ ‎2．如图，有一座石拱桥的桥拱是以O为圆心、OA为半径的一段圆弧。‎ ‎⑴请你确定弧的中点；(要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明)‎ ‎⑵若∠AOB=120°，OA=4米，请求出石拱桥的高度。‎ 参考答案：‎ ‎1． ； 2．（1）略 （2）2米。‎