九年级数学上册第一章特殊平行四边形1菱形的性质与判定第2课时菱形的判定教学课件新版北师大版 24页

1.1 菱形的性质与判定 第一章 特殊平行四边形 第 2 课时 菱形的判定 导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 1. 理解并掌握菱形的两个判定方法 . （重点） 2. 会用这些菱形的判定方法进行有关的证明和 计算 . （难点） 学习目标 问题： 什么是菱形？菱形有哪些性质？ 菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形 . 菱形的性质： 1. 轴对称图形 . 2. 四边相等 . 3. 对角线 互相垂直平分 . A B C D 导入新课 动手做一做 思考：剪下来的是什么图形？ 菱形的判定定理 一 问题： 根据菱形的定义 , 邻边相等的平行四边形是菱形 . 除此之外 , 你认为还有什么条件可以判断一个平行四边形是菱形 ? 1. 小明的想法 平行四边形的不少性质定理与判定定理都是 互逆命题 . 受此启发 , 我猜想 : 四边相等的四边形是菱形 , 对角线垂直的平行四边形是菱形 . 讲授新课 2. 小颖的想法 我觉得 , 对角线互相垂直的平行四边形有可能是菱形 . 但“四边相等的平行四边形是菱形”实际上与“邻边相等的平行四边形是菱形 ” 一样 . 3. 你是怎么想的 ? 你认为小明的想法如何 ? 猜想 1: 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 . 猜想 2: 四边相等的四边形是菱形 . 通过探究，容易得到： 对角线 互相垂直 的平行四边形是菱形 活动 1: 用一长一短两根木条，在它们的中点处固定一个小钉，做成一个可转动的十字，四周围上橡皮筋，做成一个四边形．转动木条，木条端点围成的四边形是平行四边形吗？什么时候变成菱形？ 验证活动 1 平行四边形 菱形 A B C O D 已知：右图中四边形 ABCD 是平行四边形 , 对角线 AC 与 BD 相交 于点 O , AC ⊥ BD . 求证： □ ABCD 是菱形 . 证明： ∵四边形 ABCD 是平行四边形 . ∴ OA = OC . 又 ∵ AC ⊥ BD , ∴ BD 是线段 AC 的垂直平分线 . ∴ BA = BC . ∴四边形 ABCD 是菱形（菱形的定义） . 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 . 定理 证明猜想 1 定理运用格式： ∵四边形 ABCD 是平行四边形 , 又∵ AC ⊥ BD , ∴四边形 ABCD 是菱形 . ( 对角线互相垂直的平行四边形为菱形 ) A B C O D 练一练 √ 判断对错： （ 1 ）对角线互相垂直的四边形是菱形。 （ ） （ 2 ）对角线垂直且平分的四边形是菱形 。 （ ） （ 3 ）对角线互相平分的平行四边形是菱形。 （ ） （ 4 ）对角线垂直且相等的四边形是菱形。 （ ） （ 5 ）有一条对角线平分一组对角的四边形 是菱形。 （ ） × × × √ 小刚 ：分别以 A 、 C 为圆心 , 以大于 AC 的长为半径作弧 , 两条 弧分别相较于点 B , D , 依次 连接 A 、 B 、 C 、 D 四点 . 活动 2 ： 已知线段 AC , 你能用尺规作图的方法作一个菱形 ABCD , 使 AB 为菱形的一条对角线？ C A B D 思考： 1. 你是怎么做的 , 你认为小刚的作法对吗？ 2. 怎么验证四边形 ABCD 是菱形？ 提示： AB = BC = CD = AD 验证活动 2 证明： ∵ AB = BC = CD = AD ; ∴ AB = CD , BC=AD . ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形（平行四边形的判定） . 又 ∵ AB = BC , ∴ 四边形 ABCD 是菱形 ( 菱形的定义 ). A B C D 已知：右图中四边形 ABCD , AB = BC = CD = AD . 求证：四边形 ABCD 是菱形 . 四边相等的四边形是菱形 . 定理 证明猜想 2 定理的运用格式 ∵ AB = BC = CD = DA ， ∴四边形 ABCD 是菱形 ( 四边相等的四边形为菱形 ). A B C D 证明：在 △ AOB 中 . ∵ AB = , OA =2, OB =1 . ∴ AB 2 = AO 2 + OB 2 . ∴ △ AOB 是直角三角形 , ∠ AOB 是直角 . ∴ AC ⊥ BD . ∴ □ ABCD 是菱形 ( 对角线垂直的平行四边形是菱形 ). 例 1 ： 已知：如右图 , 在 □ ABCD 中 , 对角线 AC 与 BD 相交于点 O , AB = , OA =2, OB =1. 求证： □ ABCD 是菱形 . A B C O D 典例精析 2 例 2 ： 已知：如图 , 在 △ ABC , AD 是角平分线 , 点 E 、 F 分别在 AB 、 AD 上 , 且 AE = AC , EF = ED . 求证：四边形 CDEF 是菱形 . A C B E D F 证明： ∵ ∠ 1= ∠ 2 , 又 ∵ AE = AC , ∴ △ ACD ≌ △ AED (SAS) . 同理△ ACF ≌ △ AEF (SAS) . ∴ CD = ED , CF = EF . 又 ∵ EF = ED , ∴ 四边形 ABCD 是菱形（四边相等的四边形是菱形） . 1 四条边都相等 菱形 一组邻边相等 对角线互相垂直 对角线互相平分 一组对边平行且相等 两组对边分别平行或相等 四边形 平行四边形 两组对角分别相等 归纳总结 1. 下列条件中 , 不能判定四边形 ABCD 为菱形的是 （　） A. AC ⊥ BD , AC 与 BD 互相平分 B. AB = BC = CD = DA C. AB = BC , AD = CD , AC ⊥ BD D. AB = CD , AD = BC , AC ⊥ BD A B C O D C 当堂练习 2. 如图所示：在 □ ABCD 中添加一个条件使其成为菱形： 添加方式 1 ： . 添加方式 2 ： . A B C O D AB=BC AC ⊥ BD 3. 如图 , 已知平行四边形 ABCD 的对角线 AC 的垂直平分线与边 AD 、 BC 分别交于点 E 、 F , 求证：四边形 AFCE 是菱形． A B C D E F O 1 2 证明 : ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形 , ∴ AE∥FC . ∴ ∠ 1=∠2 . ∵ EF 垂直 平分 AC , ∴ AO = OC . ∴ EO = FO . ∴四边形 AFCE 是平行四边形 . 又∵ EF ⊥ AC ∴ 四边形 AFCE 是菱形 . A B C D O E 4. 如图，已知平行四边形 ABCD 的对角线相交于点 O ，且 AB = BD , DE ∥ AC , CE ∥ BD . 求证：四边形 OCED 是菱形 . 证明： ∵ DE ∥ AC ， CE∥ BD ， ∴ 四边形 OCED 是平行四边形， ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， AB = BD , ∴ OC = OD ， ∴ 四边形 OCED 是菱形． 5. 如图， △ ABC 中， AC 的垂直平分线 MN 交 AB 于点 D ，交 AC 于点 O ， CE∥AB 交 MN 于点 E ，连接 AE 、 CD . 求证：四边形 ADCE 是菱形 . B C A D O E M N 【分析】根据垂直平分线的性质可得 AE = CE ， AD = CD ， OA = OC ， ∠ AOD =∠ EOC =90° . 再结合 CE∥AB ，可证得 △ ADO ≌ △ CEO ，从而根据由一组对边平行且相等知，四边形 ADCE 是平行四边形 . 再结合 ∠ AOD =90° 可证得四边形 ADCE 为菱形． 证明： ∵ MN 是 AC 的垂直平分线， ∴ AE = CE ， AD = CD ， OA = OC ， ∠ AOD =∠ EOC =90°. ∵ CE∥AB ， ∴∠ DAO =∠ ECO ， ∴△ ADO ≌ △ CEO （ ASA ）． ∴ AD = CE ， OD = OE ， ∵ OD = OE ， OA = OC ， ∴ 四边形 ADCE 是平行四边形 又 ∵∠ AOD =90° ， ∴ 四边形 ADCE 是菱形． A D O E M 6. 已知线段 AC , 你能用尺规作图的方法做一个菱形 ABCD , 使 AC 为菱形的一条对角线吗 ? A C B D 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 . 定理 1 ：对角线互相垂直的平行四边形 是菱形 . 定理 2 ：四边相等的四边形是菱形 . 菱形的判定 定义 定理 课堂小结