九年级数学上册第一章特殊平行四边形3正方形的性质与判定第2课时习题课件新版北师大版 16页

3 　正方形的性质与判定 第 2 课时 1. 正方形的判定定理 : (1) 对角线 _____ 的菱形是正方形 . (2) 对角线 _____ 的矩形是正方形 . (3) 有一个角是 _____ 的菱形是正方形 . 相等 垂直 直角 2. 中点四边形与原四边形的关系 : (1) 任意四边形的中点四边形是 ___________. (2) 对角线相等的四边形的中点四边形是 _____. (3) 对角线互相垂直的四边形的中点四边形是 _____. (4) 对角线互相垂直且相等的四边形的中点四边形是 _______. 平行四边形 菱形 矩形 正方形 【 思维诊断 】 ( 打“√”或“ ×”) 1. 邻边相等的矩形是正方形 .( ) 2. 一组邻边相等且有一个角是直角的四边形是正方形 .( ) 3. 一条对角线平分一组对角的矩形是正方形 .( ) 4. 顺次连接平行四边形四边中点得到的是正方形 .( ) √ × √ × 知识点一 正方形的判定与应用 【 示范题 1】 (2013 · 南京中考 ) 如图 , 在四边形 ABCD 中 ,AB=BC, 对角线 BD 平分∠ ABC,P 是 BD 上一点 , 过点 P 作 PM⊥AD,PN⊥CD, 垂足分别为 M,N. (1) 求证 :∠ADB=∠CDB. (2) 若∠ ADC=90°, 求证 : 四边形 MPND 是正方形 . 【 解题探究 】 (1)∠ADB 和∠ CDB 分布在两个三角形中 , 先证明什么条件 , 才能证明∠ ADB=∠CDB? 提示 : 根据角平分线的性质和全等三角形的判定方法证明△ ABD≌△CBD, 由全等三角形的性质即可得到∠ ADB=∠CDB. (2) 由∠ ADC=90° 和已知条件可得四边形 MPND 是什么样的四边形 ? 再证明什么条件 , 才能证明四边形 MPND 是正方形 . 提示 : 由∠ ADC=90° 和已知条件可得四边形 MPND 是矩形 , 再由 PM=PN 可得四边形 MPND 是正方形 . 【 尝试解答 】 (1)∵ 对角线 BD 平分∠ ABC,∴∠ABD=∠CBD, 在△ ABD 和△ CBD 中 , ∴△ABD≌△CBD, ∴∠ADB=∠CDB. (2)∵PM⊥AD,PN⊥CD,∴∠PMD=∠PND=90°, ∵∠ADC=90°,∴ 四边形 MPND 是矩形 . 又∵∠ ADB=∠CDB,∴PM=PN,∴ 四边形 MPND 是正方形 . 【 想一想 】 从对角线角度怎样判定正方形 ? 提示 : (1) 对角线互相平分、垂直且相等的四边形是正方形 . (2) 对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形 . (3) 对角线相等的菱形是正方形 . (4) 对角线互相垂直的矩形是正方形 . 【 微点拨 】 1. 如果已知四边形是矩形 , 再证明其是菱形 , 即可判定其是正方形 . 2. 如果已知四边形是菱形 , 再证明其是矩形 , 即可判定其是正方形 . 3. 如果已知一个一般四边形 , 只要再证明其既是菱形又是矩形 , 即可判定其是正方形 . 【 方法一点通 】 判定正方形的一般思路 知识点二 中点四边形 【 示范题 2】 如图 , 在四边形 ABCD 中 ,AD∥BC, 对角线 AC,BD 交于点 O, 且 AC=BD,AC⊥BD,E,F,G,H 分别是 AB,BC,CD,DA 的中点 . 求证 : 四边形 EFGH 是正方形 . 【 思路点拨 】 先由三角形的中位线定理求出四边相等 , 然后由 AC⊥BD 判定四边形 EFGH 是正方形 . 【 自主解答 】 在△ ABC 中 ,E,F 分别是 AB,BC 的中点 , 故可得 :EF= AC, 同理 FG= BD,GH= AC,HE= BD, ∵AC=BD,∴EF=FG=GH=HE,∴ 四边形 EFGH 是菱形 . 在△ ABD 中 ,E,H 分别是 AB,AD 的中点 , 则 EH∥BD, 同理 GH∥AC, 又∵ AC⊥BD,∴∠BOC=90°,∴∠EHG=∠BOC=90°, ∴ 四边形 EFGH 是正方形 . 【 想一想 】 在本题中 , 如果没有 AC=BD 这一条件 , 那么四边形 EFGH 是什么形状的四边形 ? 请说明理由 . 提示 : 四边形 EFGH 是矩形 , ∵E,F,G,H 分别是 AB,BC,CD,DA 的中点 , ∴ 四边形 EFGH 是平行四边形 . ∵AC⊥BD,∴∠BOC=90°, ∴∠EHG=∠BOC=90°, ∴ 四边形 EFGH 是矩形 . 【 备选例题 】 在四边形 ABCD 中 ,E,F,G,H 分别是 AB,BC,CD,DA 的中点 , 顺次连接 EF,FG,GH,HE. 试添加一个条件 , 使四边形 EFGH 是菱形 . 【 解析 】 添加条件为 AC=BD. 证明 : 连接 AC,BD, 由 E,F,G,H 分别是所在边的中点 , 知 EF∥AC, 且 EF= AC,GH∥AC, 且 GH= AC,∴GH∥EF, 且 GH=EF, 四边形 EFGH 是 平行四边形 . 同理 EH= BD, 又∵ AC=BD,∴EF=EH,∴ 四边形 EFGH 是菱形 . 【 方法一点通 】 中点四边形的 “ 两点性质 ” 1. 中点四边形的周长等于原四边形对角线之和 . 2. 中点四边形的面积为原四边形面积的一半 .