九年级数学上册第一章特殊平行四边形2菱形的性质与判定第2课时习题课件新版北师大版 19页

1 　菱形的性质与判定 第 2 课时 1. 菱形的判定 : (1) 定义 : 有一组 _____ 相等的平行四边形是菱形 . (2) 判定定理 : ① 对角线 _________ 的平行四边形是菱形 . ②_____ 相等的四边形是菱形 . 2. 菱形的面积 : 菱形的面积等于两条对角线 ___________. 邻边 互相垂直 四边 乘积的一半 【 思维诊断 】 ( 打“√”或“ ×”) 1. 一组邻边相等 , 一组对边平行的四边形是菱形 . 　 ( ) 2. 有一组邻边相等的四边形是菱形 . 　 ( ) 3. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形 . 　 ( ) 4. 一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形 . 　 ( ) × × √ √ 知识点一 菱形的判定与应用 【 示范题 1】 (2013 · 营口中考 ) 如图 ,△ABC 中 ,AB=AC,AD 是△ ABC 外角的平分线 , 已知∠ BAC=∠ACD. (1) 求证 :△ABC≌△CDA. (2) 若∠ B=60°, 求证 : 四边形 ABCD 是菱形 . 【 解题探究 】 (1) 在△ ABC 和△ CDA 中 , 已知∠ BAC=∠ACD,AC 为公共边 , 还要证明什么条件 , 才能证明△ ABC≌△CDA. 提示 : 还要证明∠ DAC=∠ACB. 先由 AB=AC, 得到∠ B=∠ACB, 再根据三角形外角性质求出∠ FAC=2∠ACB=2∠DAC, 推出∠ DAC= ∠ACB, 根据 ASA 证明△ ABC 和△ CDA 全等 . (2) 由∠ B=60°, 可得 AB=BC, 还要证明什么条件 , 才能证明四边形 ABCD 是菱形 . 提示 : 还要证明四边形 ABCD 是平行四边形 , 由已知条件推出 AB∥CD,AD∥BC 即可 . 【 尝试解答 】 (1)∵AB=AC,∴∠B=∠ACB, ∴∠FAC=∠B+∠ACB=2∠ACB,∵AD 平分∠ FAC, ∴∠FAC=2∠CAD,∴∠CAD=∠ACB, ∵ 在△ ABC 和△ CDA 中 , ∴△ABC≌△CDA. (2)∵∠DAC=∠ACB( 已证 ),∴AD∥BC, ∵∠BAC=∠ACD,∴AB∥CD, ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 , ∵∠B=60°,AB=AC,∴△ABC 是等边三角形 , ∴AB=BC,∴ 平行四边形 ABCD 是菱形 . 【 想一想 】 在本题中 , 当∠ B=60° 时 ,CD 是△ ABC 外角的平分线吗 ? 为什么 ? 提示 : CD 是△ ABC 外角的平分线 . ∵△ABC 是等边三角形 , ∴∠ACB=∠BAC=∠ACD=60°, ∴∠DCE=60°, ∴∠ACD=∠DCE, ∴CD 是△ ABC 外角的平分线 . 【 微点拨 】 1. 菱形的定义是常用的一种判定方法 . 2. 仅有邻边相等或对角线垂直的四边形不一定是菱形 . 3. 菱形的判定和性质常结合在一起应用 . 【 方法一点通 】 菱形的常用判定方法 已有条件 需要条件 平行四边形 邻边相等 对角线互相垂直 每条对角线平分一组对角 一般四边形 四条边都相等 对角线互相垂直平分 对角线互相平分 , 且每条对角线平分一组对角 注 : 因菱形的特殊性在边和对角线上 , 因此不论是菱形的性质还是判定 , 一般是从 “ 边 ” 和 “ 对角线 ” 的角度解题 . 知识点二 与菱形面积有关的计算 【 示范题 2】 如图所示 , 已知菱形的周长为 40cm, 两对角线之比为 3∶4. 求菱形 ABCD 的面积 . 【思路点拨】 根据菱形的性质 , 求出菱形的边长→根据勾股定 理求出两条对角线的长度→根据菱形的面积公式 S= ab(a,b 分 别为菱形的两条对角线的长度 ) 求出结果 . 【 自主解答 】 ∵ 菱形的周长为 40cm,∴AB=10cm. ∵AC∶BD=3∶4,∴AO∶BO=3∶4, ∵AC⊥BD,∴ 在 Rt△AOB 中 , 有 OB 2 +OA 2 =AB 2 . 设 AO=3x,BO=4x, 即 (3x) 2 +(4x) 2 =100, ∴x=2, ∴OA=6cm,OB=8cm. ∴AC=12cm,BD=16cm. S 菱形 ABCD = AC×BD=96(cm 2 ). 【 想一想 】 对角线互相垂直的四边形的面积是否都能用两对角线长度乘积的一半来计算 ? 请举例说明 . 提示 : 可以 , 如图所示 , 在四边形 ABCD 中 ,AC⊥BD. ∵AC⊥BD,∴S △ABD = AO · BD, S △BCD = OC · BD, ∴S 四边形 ABCD =S △ABD +S △BCD = AO · BD+ OC · BD= BD · (AO+OC) = BD · AC. 【 备选例题 】 (2013 · 安顺中考 ) 如图 , 在△ ABC 中 ,D,E 分别是 AB,AC 的中点 ,BE=2DE, 延长 DE 到点 F, 使得 EF=BE, 连接 CF. (1) 求证 : 四边形 BCFE 是菱形 . (2) 若 CE=4,∠BCF=120°, 求菱形 BCFE 的面积 . 【 解析 】 (1)∵D,E 分别是 AB,AC 的中点 , ∴DE∥BC 且 2DE=BC, 又∵ BE=2DE,EF=BE,∴EF=BC,EF∥BC, ∴ 四边形 BCFE 是平行四边形 , 又∵ BE=FE,∴ 四边形 BCFE 是菱形 . (2)∵∠BCF=120°,∴∠EBC=60°, ∴△EBC 是等边三角形 , ∴ 菱形的边长为 4, 高为 2 , ∴S 菱形 BCFE =4×2 =8 . 【 方法一点通 】 菱形的面积公式 (1) 菱形的面积 = 底 × 高 . (2) 如果菱形两条对角线的长分别为 a 和 b, 那么菱形的面积 = ab.