中考数学专题复习练习：角的比较和运算 16页

关于角的比较的典型例题一 例 老师让同学们用量角器画出以下各角：∠AOB＝65°，∠AOC＝50°，∠AOD＝，∠AOE＝90°，小明在画时发现OC、OD、OE三条射线中，有一条可以落在∠AOB的内部，有一条可以与OB重合，有一条一定落在∠AOB的外部，你知道他的答案吗？‎ 解：OC可以落在∠AOB内部，OD可以与OB重合，OE一定落在∠AOB的外部．‎ 说明：（1）使用量角器量角时要注意：①对中（角的顶点对准量角器的中心）；②重合（角的一边与量角器上的零度线重合）；③读数（角的另一边所在线的度数）．（2）本题在画图时可先固定∠AOB，其他三个角与∠AOB有一条公共边OA，而另一边的位置与角的大小有关：当∠AOC＜∠AOB时，OC边可以落在∠AOB的内部，也可以落在∠AOB的外部；当∠AOD＝∠AOB时，OD边可能与OA边重合，也可能落在∠AOB的外部；当∠AOE＞∠AOB时，OE边必然落在∠AOB的外部．（3）对于没给出图形的问题，画图时须把满足条件的各种情况分别考虑出来，以防止漏解．‎ 关于角的比较的典型例题二 例 请你用三角板画165°的角 画法1 （如图）‎ ‎（1）利用三角板，画∠AOB＝45°；‎ ‎（2）在∠AOB的内部画∠AOC＝30°；‎ ‎（3）反向延长射线OB，得射线OD．‎ ‎∠COD就是所要画的角．‎ 画法2 （如图）‎ ‎（1）利用三角板，画∠AOB＝90°；‎ ‎（2）在∠AOB的外部画∠BOC＝45°；‎ ‎（3）在∠AOC的外部画∠DOC＝30°．‎ ‎∠AOD就是所要画的角．‎ 画法3（如图）‎ ‎（1）利用三角板，画∠AOB＝60°；‎ ‎（2）在∠AOB的外部，画∠BOC＝60°；‎ ‎（3）在∠AOC的外部，画∠COD＝45°．‎ ‎∠AOD就是所要画的角．‎ 说明：（1）一副三角板只有30°、45°、60°、90°的角，要画出165°的角，关键是把165°用30°、45°、60°、90°、180°角的和或差表示出来．如本题中165°可表示为180°－（45°－30°）；90°＋30°＋45°；60°＋60°＋45°，则产生了以上三种画法；（2）除了上述画法之外，本题还有其他画法，你试试；（3）实际上用一副三角板可以作出（15n）°（n是整数，n≤12）的角．‎ 关于角的比较的典型例题三 例 如图，OC、OD、OE四等分∠AOB，OF平分∠DOE．请你观察图形，说出图中共有哪几条角平分线，它们分别是哪些角的角平分线？图中有角的三等分线吗？如果有，请你指出来．‎ 解：能成为角平分线的射线有四条，分别为：OC是∠AOD的平分线，OD是∠COE和∠AOB的平分线，OE是∠DOB的平分线，OF是∠DOE和∠COB的平分线．所以图中共有六个角有角平分线．图中有角的三等分线，分别为：OC、OD是∠AOE的三等分线，OD、OE是∠COB的三等分线．‎ 说明：与线段相仿，注意观察顺序，以避免重复和遗漏；学会识图，善于从图形中发现一些隐含条件是解题的关键．‎ 关于角的比较的典型例题四 例 如图，OM是的平分线，射线OC在内，ON是的平分线，已知，求的度数．‎ 分析：如图标注，即求．已知条件可转化为 ‎．，综合可求．‎ 解：由于ON平分，因此．‎ 又由于OM是的平分线，因此已知则．‎ 所以消去，得 得，即为40度．‎ 说明：①图形中角较多时，用阿拉伯数字标注角，使问题简便．‎ ‎②充分利用角平分线的定义．‎ 关于角的比较的典型例题五 例 钟面上从2点到3点之间，何时时针与分针夹成60°角？‎ 分析：分别求出时针与分针每分钟所旋的角度然后利用夹角60°的条件．‎ 解：分针60分钟正好旋转一圈，因此每分钟旋转6°．时针12小时＝720分旋转一周，因此每分钟旋转0.5°．2点时，时针与分针夹角为60°，要使夹再成60°，（如图）分针转过的角度要超过时针转过的角度120°．‎ 所以，‎ 则2点分，时针与分针夹角为60°．‎ 说明：①分针与时针每分钟旋转的角度差为5.5°；‎ ‎②从整点开始，根据题意，求出分针与时针要旋转的度数差．‎ 关于角的比较的选择题 ‎1．下列说法错误的是（ ）．‎ A．角的大小与角的两边的长短无关 B．角的大小与它们的度数的大小是一致的 C．角的平分线是一条直线 D．角的和、差、倍、分的度数，等于它的度数的和、差、倍分 ‎2．已知是从顶点O引出的一条射线，若，则的度数为（ ）．‎ A．40° B．80° C．20°或80° D．40°或80°‎ ‎3．已知平分，且，则与 的关系为（ ）．‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎4．如图，已知，射线OE、OF分别平分和，且，则的度数为（ ）．‎ A．20° B．30° C．40° D．45°‎ ‎5．如图，已知，则等于（ ）．‎ A．180° B．120° C．90° D．不能确定 ‎6．如图，OC是的平分线，OB是的平分线，且，则等于（ ）‎ A．60° B．80° C．90° D．120°‎ 参考答案 ‎1．C 2．D 3．C 4．B 5．A 6．C 关于角的比较的填空题 ‎1．如图所示，则．‎ ‎2．如图所示，已知，则，又如果，则．‎ ‎3．已知是的平分线，OF为的平分线，则．‎ ‎4．如图，OD、OE分别是和的平分线，，求的度数．‎ 解：平分平分 ‎∴（角平分线的性质）‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎5．时钟的时针每分钟转____度，分针每分钟转__________度，2点20分时，时针与分针所成的角是__________度．‎ ‎6．如果BD是的平分线，那么＝___________＝____________；‎ 参考答案：‎ ‎1．‎ ‎2．4，‎ ‎3．10°或50°‎ ‎4．，25°50°，130°‎ ‎5．0.5，6，50‎ ‎6．∠DBC，∠ABC，2，∠DBC 关于角的比较的解答题 ‎1．如图，是∠BOD的平分线，OD平分∠AOC，请你观察图中相等的角有几对？‎ ‎2．若＝25°12′，＝25.12°，＝25.2°，试比较的大小．‎ ‎3．已知，你知道∠AOC的度数是多少吗？‎ ‎4．如图，OC平分∠AOB，OD是∠BOC内的一条射线，且，试判断∠AOB是∠COD的几倍？‎ ‎5．如图，是平角，OB是经过点O的一条射线，OD平分，射线OE在的内部，且，求的度数．‎ ‎6．如图，，且，求的度．‎ ‎7．如图，直线AB、CD相交于与小于10°，求的度数．‎ ‎8．如图，直线AB与CD相交于O，OA平分，求的度数．‎ ‎9．如图，将书的一角斜折过去，使角的顶点A落在处，BC是折痕，且BD平分，求的度数．‎ ‎10．如图，将三角板ABC绕直角顶点B旋转，使C与C′重合，A与A′重合，试判断的大小．‎ ‎11．在绿茵场上，足球队员带球进攻，总是尽力向球门靠近，你知道为什么吗？‎ ‎12．有以下四个作图：①画一个45°的角，再把它三等分；②画一个15°的角，再把它三等分；③画一个周角，再把它三等分；④画一个平角，再把它三等分．只用三角板画图，你知道哪一个作不出来吗？‎ ‎13．如图，把一张矩形纸片ABCD沿BD折叠，使C点落到E处，BE与AD相交于点O，试写出两组相等的线段，两组相等的角．‎ ‎14．如图，打台球时，白球沿着虚线方向去打黑球．已知入射角等于反射角，请你利用尺规作图来判断黑球经过一次反弹之后能否进入右下角的洞口？‎ ‎15．如图，已知∠AOB＝64°，平分，平分，平分，平分，试判断的大小，若∠AOB的度数为，按如上方法作平分，试用含的式子表示的大小．‎ 参考答案 ‎1．，‎ ‎2．3对 ‎3．‎ ‎4．75°或15°‎ ‎5．72° ‎ ‎6．140° ‎ ‎ 7． ‎ ‎8．80° ‎ ‎9．90°‎ ‎10．6倍 ‎11．180°‎ ‎12．球员尽力向球门靠近，一是距离球门近，有利于射门；二是对球门的张角变大；球容易射中．‎ ‎13．②‎ ‎14．；‎ ‎15．不能、11.4°，‎ 关于余角和补角的典型例题一 例 如图，是互补的两个角，OD平分，试求∠EOC的度数．‎ 解： 法一：∵∠DOE＝66°，∴∠BOD＋∠BOE＝66°．‎ ‎∵OD平分∠AOB，∴，‎ 又∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴∠AOB＋∠EOC＝132°，∴∠BOE＝180°－132°＝48°，‎ ‎∴∠EOC＝48°×2＝96°．‎ 法二：设∠EOC＝x°，则．‎ 由题意，得 ‎，‎ 解得x＝96，‎ ‎∴．‎ 法三：设∠BOE＝x°，∠BOD＝y°．‎ 由题意，可列方程组 解得x＝48，‎ ‎∴∠EOC＝96°．‎ 说明：对于等量关系较多，计算较复杂的角度计算题，可采用多种方法．解法一利用已知和图形中角的和、差、倍、分关系，结合推理进行计算；解法二利用方程思想解几何题，沟通了代数与几何间的联系，使解题过程简化；解法三设元合理，使角与角之间的关系清晰，换算、转化直观，解答简洁明了．‎ 关于余角和补角的典型例题二 例 如图，O是直线AB上的一点，∠AOE＝∠FOD＝90°，OB平分∠COD，请你观察图中与∠DOE互余的角有哪些？与∠DOE互补的角有哪些？‎ 解：与∠DOE互余的角有三个，分别为：∠EOF、∠BOD、∠BOC；与∠DOE互补的角有两个，分别为：∠BOF、∠COE．‎ 说明：互为余角和互为补角只是一种数量关系，与两个角的大小有关，而与这两个角的位置无关．如本题中找∠DOE的补角时，直接从图上找不到，此时我们可以根据余角的性质，将∠DOE转换成与之相等的∠AOF，从图上可观察到∠AOF的补角为∠BOF，又由已知可得∠EOF＝∠BOC，则，这样得到另一个容易忽视的∠DOE的补角∠COE．‎ 关于余角和补角的典型例题三 例 ∠1和∠2互余，∠2和∠3互补，∠4和∠1互补，∠3＝153°，求∠4．‎ 分析：由∠1＋∠2＝90°，∠2＋∠3＝180°，∠4＋∠1＝90°．找出∠4与∠3的关系．‎ 解：由于∠2和∠3互补，因此∠2＋∠3＝180°，得∠2＝180°－∠3．‎ 由于∠1和∠2互余，因此∠1＋∠2＝90°，得∠1＝90°－∠2＝90°－（180°－∠3）－∠3－90°．‎ 由于∠4和∠1互补，因此∠4＋∠1＝180°，‎ 得∠4＝180°－∠1－180°－（∠3－90°）＝270°－∠3．‎ 已知∠3＝153°，则∠4＝270°－153°＝117°．‎ 说明：①充分利用互余，互补定义；②先推导∠4，∠3的关系，再求∠4；可先用∠3＝153°求∠2，进而求∠1，最后求∠4．‎ 关于余角和补角的典型例题四 例 小华从A点出发向北偏东50°方向走了‎80米到达B地，从B地又向西走了‎100米到达C地．‎ ‎（1）用1∶2000的比例尺（即图上‎1cm等于实际距离‎20米）画出示意图；（2）请你用刻度尺量出AC的距离；（3）你知道C点距A点的实际距离是多少米吗？（精确到‎1米）‎ C点的方向角为多少度呢？（精确到1° ）‎ 解： （1）如图，以 A为顶点，AN为一边，在直角∠NAM内作∠NAB＝50°，且使AB＝‎4cm．过B点用三角板作∠BTA＝90°，延长BT到C，使BC＝‎5cm；‎ ‎（2）用刻度尺量得AC＝‎3 cm；‎ ‎（3）C点距A点的实际距离为‎60米，C点在A点的北偏西40°方向（或∠NAC＝40°）．‎ 说明：（1）用角度表示方向时，在哪一点观测就在哪一点画互成直角的两条南北向直线和东西向直线，无论观测点选在何处，所作的南北向直线或东西向直线都是平行的；（2）在写方向时，南北方向为起始方向，只能说北偏东、北偏西、南偏东、南偏西．如题中北偏东50°，不能写成东偏北40°；（3）对于45°方向角，东西方向为起始方向，要说东北、西北、东南、西南．如南偏东45°可以写成东南方向；（4）要真正理解方向角的含义的实质，这种表示方法在航海及测量中会经常遇到．‎ 关于余角和补角的填空题 ‎1．同角或等角的补角____，同角或____的余角相等．‎ ‎2．若，与互为余角，则与的关系____．‎ ‎3．如果与互余，则，若它们互补，则x的补角为_________．‎ ‎4．如果与互为余角，并且比小20°，而与互为补角，则．‎ ‎5．已知与互补，若与的比是2：3，则．‎ ‎6．如图，与都是直角，与互余的角有______，若，则．‎ ‎7．一个角的补角是它的5倍，则这个角的度数是____________．‎ ‎8．已知互为余角的两个角的差为20°，则这两个角的度数分别为_______和________．‎ 参考答案 ‎1．相等，等角 ‎2．相等 ‎3．34°，56°‎ ‎4．35°，55°，125°‎ ‎5．72°，108°‎ ‎6．，110°‎ ‎7．30°‎ ‎8．55°，35°‎ 关于余角和补角的选择题 ‎1．下列说法正确的是（ ）‎ A．一个角既有余角又有补角，它的补角一定比其余角大 B．若，则互补 C．把一个角分成两个角的射线，叫做这个角的平分线．‎ D．若两个角相等，则这两个角的余角的补角也相等 ‎2．锐角的补角比它的余角（ ）‎ A．大90° B．小90° C．大 D．小 ‎3．一个锐角的补角与这个锐角的余角之间的差是（ ）．‎ A．45° B．60° C．90° D．无法确定 ‎4．若与互为补角，且，则的余角是（ ）．‎ A． B． C． D．‎ ‎5．如果两个角的和与这两个角的差互补，则这两个角一定是（ ）．‎ A．必有一个是直角 B．都是直角 C．一个锐角，一个钝角 D．都是钝角 ‎6．下列说法不正确的是（ ）．‎ A．钝角没有余角，但一定有补角 B．两个角相等且互补，则它们都是直角 C．锐角的补角比该锐角的余角大 D．一个锐角的余角一定比这个锐角大 ‎7．如图，于D，图中的余角有几个（ ）．‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎8．若互补的两角有一条公共边，则这两个角的平分线所形成的角为（ ）．‎ A．一定是直角 B．一定是锐角 C．一定是钝角 D．是直角或者锐角 ‎9．如图，，则的度数是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．甲看乙的方向是北偏东30°，则乙看甲的方向是（ ）‎ A．南偏东60° B．南偏东30°‎ C．南偏西30° D．南偏西60°‎ ‎11．海洋中有一只船，先从A点出发向西北方向航行2海里到达B点，再由B点向正北方向航行3海里到达C点，再由C点向东南方向航行2海里到达D点，这时D点在A点的（ ）‎ A．正北方向 B．北偏东方向 C．北偏西方向 D．正东方向 参考答案：‎ ‎1．A 2．A 3．C 4．D 5．A 6．D 7．B 8．D 9．C 10．C 11．A 关于余角和补角的解答题 ‎1．∠＝79°25′，则∠的补角是多少？‎ ‎2．一个角的余角比它的补角的1/3还少20°，这个角的度数是多少？‎ ‎3．一个角的余角比它的补角的还少20°，求这个角的度数．‎ ‎4．如果两个角的余角的度数之比为3：2，这两个角的补角的度数之比为9：8，求这两两个角的度数．‎ ‎5．个人从A出发向北偏东60°方向走了一段距离到B点，再从B点出发，向南偏西15°方向走了一段距离到C点，请画出图形，并用量角器量出∠ABC的度数．‎ ‎6．小刚有一张地图，如图，图上有A、B、C三地，但地图被墨迹污染，C地具体位置看不清了，但知道C地在A地的北偏东30°，在B地的南偏东45°，你能帮助他确定C地的位置吗？‎ ‎7．海上有A、B两只船正在航行，在某一时刻，从A船观测出B船位于A船的北偏东30°，请指出此时在B船上观测，A船位于B船的方位是什么？‎ ‎8．如图，在两条公路的路口处量得，A路的一条路沿与B路的一条路沿所成的夹角∠1＝65°（公路两边是平行的），你知道A路的另一条路沿与B路沿构成的角是多少度？‎ ‎9．如图所示，由点O引出六条射线，且平分平分，若（包括在内），求的度数．‎ ‎10．的余角的3倍等于的余角，求的度数．‎ ‎11．如图，AOB是一条直线，OC是一条射线，，①求证：与互余②指出图中所有互余的角和互补的角．‎ ‎12．测量员沿着一块地的周围测绘，从A向东走‎600米到B，再从B向东南走‎500米到C，再从C向西南走‎800米到D，用1厘米代表‎100米画图，你知道DA的长（精确到‎10米）和DA的方向吗？（精确到1°）‎ ‎13．将一张长方形纸片按如图的方式折叠，BC、BD为折痕，试判断∠CBD的度数是多少？‎ ‎14．如图，O是直线AB上一点，OC是任一条射线，OD、OE分别是∠AOC和∠BOC的平分线．‎ ‎（1）请你找出图中∠AOD的补角，∠BOE的补角；‎ ‎（2） ∠BOC＝50°，试求∠COD和∠EOC的度数分别是多少？并观察它们的关系；‎ ‎（3）当∠AOB不是平角时，如图所示，OD，OE依然是∠AOC和∠BOC的平分线，试探究∠DOE与∠AOB的关系．‎ ‎15．根据余角和补角的定义可知：10°角的补角为170°，余角为80°；15°角的补角为165°，余角为75°；32°角的补角为148°，余角为58°；40°角的补角为140°，余角为50°．‎ 观察以上几组数据，你能得到怎样的结论？请用任意角α代替题中的10°、15°、32°、40°来说明你的结论？‎ ‎16．如图，一种玩具的内外都等分成10格且都可绕着O点转动，若内圈按逆时针方向旋转，外圈按顺时针方向旋转，且内圈旋转的速度比外圈快了3倍，当射线OB、OA按圈中的方向时开始转动，转动到∠AOB成直角位置时停止，请在圈中画出OB、OA的位置，并指出OB、OA各转过多少格？‎ 参考答案 ‎1．10°35′‎ ‎2．75°‎ ‎3．75° ‎ ‎4．45°，60°‎ ‎5．45°‎ ‎6．略 ‎7．南偏西30°‎ ‎8．115°‎ ‎9．由得故 ‎10． ‎ ‎11．①‎ ‎∴与互余 ‎②互余的角有：与，与，与，与．‎ 互补的角有：与，与，与，与，与 ‎12．略 ‎13．90°‎ ‎14．（1）和 （2）65°，25°，互余 （3）‎ ‎15．一个角的补角总比它的余角大90°，‎ ‎16．设OA转过x°，则OB反向转过4x°, ．所以OA按顺时针转过半格，OB按逆时针转过两格．‎