九年级数学上册 2413 弧弦圆心角教学 新版新人教版 18页

24.1.3 　弧、弦、圆心角 知识点一 知识点二 知识点三 知识点一 圆的旋转对称性 旋转对称图形 : 把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后 , 与原图形重合的图形 . 圆是中心对称图形 , 对称中心是圆心 . 不仅如此 , 把圆绕圆心旋转任意角度 , 所得的图形都与原图形重合 ( 旋转对称性 ) . 名师解读 : 由前面所学知识可知圆的对称性包括轴对称性、中心对称性和旋转对称性 , 圆的很多性质都是由它们得出的 , 其中旋转对称性也是车轮做成圆形的原因 . 知识点一 知识点二 知识点三 例 1 　 下列图形中既是轴对称图形 , 又是旋转对称图形的是 ( 　　 ) A. ①② B. ①②③ C. ②③④ D. ①②③④ 解析 : 先根据图形确定是否为轴对称图形 , 在是轴对称图形的基础上再看是否绕中心旋转任意角度能与原图形重合 : ① 不是轴对称图形 , 是旋转对称图形 ; ② 是轴对称图形 , 是旋转对称图形 ; ③ 是轴对称图形 , 是旋转对称图形 ; ④ 是轴对称图形 , 是旋转对称图形 . 答案 : C 知识点一 知识点二 知识点三 解答这类问题 , 可以简单地认为是 “ 找对称轴 ” 和 “ 旋转中心 ” , 先确定是其中一种具有特质的图形 , 再看是否具备另一种图形的特质 . 知识点一 知识点二 知识点三 知识点二 圆心角的定义 顶点在圆心的角叫做圆心角 . 名师解读 : 理解圆心角时注意 : (1) 只要角的顶点在圆心 , 这样的角就是圆心角 . (2) 由于圆周的 所对的圆心角为 1 ° , 圆周的 叫做 1 ° 的弧 , 所以圆心角的度数等于它所对的弧的度数 . 知识点一 知识点二 知识点三 知识点一 知识点二 知识点三 解答这类问题 , 本质就是根据分数乘法的意义求周角的几分之几 . 知识点一 知识点二 知识点三 知识点三 弧、弦、圆心角之间的关系 在同圆或等圆中 , 相等的圆心角所对的弧相等 , 所对的弦相等 . 在同圆或等圆中 , 如果两条弧相等 , 那么它们所对的圆心角相等 , 所对的弦相等 ; 在同圆或等圆中 , 如果两条弦相等 , 那么它们所对的圆心角相等 , 所对的优弧和劣弧分别相等 . 定理可表示为 : 知识点一 知识点二 知识点三 知识点一 知识点二 知识点三 名师解读 : (1) 圆心角、弧、弦三者关系理解为 : ① 圆心角相等 , ② 所对的弧相等 , ③ 所对的弦相等 , 即三项 “ 知一推二 ” , 一项相等 , 其余两项皆相等 . 其正确性源于圆的旋转不变性 . 即 : 圆绕其圆心旋转任意角度 , 所得图形与原图形完全重合 . (2) 注意应用此关系的前提条件是在同圆或等圆中 , 没有前提条件 , 所得的结论不一定成立 . (3) 注意应用此关系可以证明角相等 , 线段相等 , 弧相等 . 知识点一 知识点二 知识点三 知识点一 知识点二 知识点三 在同圆或等圆中 , 如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等 , 那么它们所对应的其余各组量都分别相等 . 所以解答这类问题 , 只要说明其中一组量相等即可 . 拓展点一 拓展点二 拓展点三 拓展点一 弧、弦、圆心角之间的关系的灵活运用 例 1 　 如图 , 弦 CD=EF , 请至少找出图中 5 对具有相等关系的量 . 分析 : 根据圆心角、弧、弦的关系进行推理 , 逐步得到所需答案 . 拓展点一 拓展点二 拓展点三 拓展点二 与弧、弦、圆心角之间的关系有关的计算题 例 2 　 如图 , 在 △ AOB 中 , AO=AB , 以点 O 为圆心 , OB 为半径的圆交 AB 于点 D , 交 AO 于点 E , AD=OB. 试说明 , 并求 ∠ A 的度数 . 拓展点一 拓展点二 拓展点三 解 : 连接 OD , 如图所示 , 设 ∠ A=x , ∵ AD=OB , ∴ DO=DA , ∴ ∠ DOA=x , ∴ ∠ BDO= 2 x , ∴ ∠ B= 2 x , 又 ∵ AO=AB , ∴ ∠ BOE= ∠ B= 2 x , ∴ ∠ BOD= 2 x-x=x= ∠ DOE , ∴ . 在 △ OBD 中 , x+ 2 x+ 2 x= 180 ° , ∴ x= 36 ° , 即 ∠ A= 36 ° . 拓展点一 拓展点二 拓展点三 拓展点三 与弧、弦、圆心角之间的关系有关的证明题 例 3 　 如图 , 已知 BD , CE 是 ☉ O 的两条弦 , OA 平分 ∠ DAE. 求证 : AB=AC. 分析 : 作 OM ⊥ BD 于 M , ON ⊥ CE 于 N , 根据角平分线的性质得到 OM=ON , 根据圆心角、弧、弦之间的关系得到 BD=CE , 证明 △ AMO ≌ △ ANO , 得到 AM=AN , 得到答案 . 拓展点一 拓展点二 拓展点三 证明 : 作 OM ⊥ BD 于 M , ON ⊥ CE 于 N , ∵ OA 平分 ∠ DAE , ∴ OM=ON , ∴ BD=CE. ∵ OM ⊥ BD , ON ⊥ CE , ∴ △ AMO ≌ △ ANO , ∴ AM=AN , ∴ AB=AC. 拓展点一 拓展点二 拓展点三 在圆中证明两条弦相等 , 一般通过证明两条弦所对应的弧相等来证明 .