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- 2021-11-12 发布
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2019年湖南省湘潭市中考数学试卷
一、选择题(本大题共8小题,每小题有且只有一个正确答案,请将正确答案的选项代号涂在答题卡相应的位置上,每小题3分,满分24分)
1.(3分)下列各数中是负数的是( )
A.|﹣3| B.﹣3 C.﹣(﹣3) D.
2.(3分)下列立体图形中,俯视图是三角形的是( )
A. B.
C. D.
3.(3分)今年湘潭市参加初中学业水平考试的九年级学生人数约24000人,24000用科学记数法表示为( )
A.0.24×105 B.2.4×104 C.2.4×103 D.24×103
4.(3分)下列计算正确的是( )
A.a6÷a3=a2 B.(a2)3=a5 C.2a+3a=6a D.2a•3a=6a2
5.(3分)已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+c=0有两个相等的实数根,则c=( )
A.4 B.2 C.1 D.﹣4
6.(3分)随着长株潭一体化进程不断推进,湘潭在交通方面越来越让人期待.将要实施的“两干一轨”项目中的“一轨”,是将长沙市地铁3号线南延至湘潭北站,往返长潭两地又将多“地铁”这一选择.为了解人们选择交通工具的意愿,随机抽取了部分市民进行调查,并根据调查结果绘制如下统计图,关于交通工具选择的人数数据,以下结论正确的是( )
A.平均数是8 B.众数是11 C.中位数是2 D.极差是10
7.(3分)如图,将△OAB绕点O逆时针旋转70°到△OCD的位置,若∠AOB=40°,则∠AOD=( )
A.45° B.40° C.35° D.30°
8.(3分)现代互联网技术的广泛应用,催生了快递行业的高速发展.据调查,湘潭某家小型快递公司的分拣工小李和小江,在分拣同一类物件时,小李分拣120个物件所用的时间与小江分拣90个物件所用的时间相同,已知小李每小时比小江多分拣20个物件.若设小江每小时分拣x个物件,则可列方程为( )
A.= B.=
C.= D.=
二、填空题(本大题共8小题,请将答案写在答题卡相应的位置上,每小题3分,满分24分)
9.(3分)函数y=中,自变量x的取值范围是 .
10.(3分)若a+b=5,a﹣b=3,则a2﹣b2= .
11.(3分)为庆祝新中国成立70周年,某校开展以“我和我亲爱的祖国”为主题的“快闪”活动,七年级准备从两名男生和三名女生中选出一名同学领唱,如果每一位同学被选中的机会均等,则选出的恰为女生的概率是 .
12.(3分)计算:()﹣1= .
13.(3分)将一次函数y=3x的图象向上平移2个单位,所得图象的函数表达式为 .
14.(3分)四边形的内角和是 .
15.(3分)如图,在四边形ABCD中,若AB=CD,则添加一个条件 ,能得到平行四边形ABCD.(不添加辅助线,任意添加一个符合题意的条件即可)
16.(3分)《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作,其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式是:弧田面积=(弦×矢+矢2).孤田是由圆弧和其所对的弦围成(如图中的阴影部分),公式中“弦”指圆弧所对弦长,“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差,运用垂径定理(当半径OC⊥弦AB时,OC平分AB)可以求解.现已知弦AB=8米,半径等于5米的弧田,按照上述公式计算出弧田的面积为 平方米.
三、解答题(本大题共10小题,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤请将解答过程写在答题卡相应位置上,满分72分)
17.(6分)解不等式组,并把它的解集在数轴上表示出来.[来源:Z.xx.k.Com]
18.(6分)阅读材料:运用公式法分解因式,除了常用的平方差公式和完全平方公式以外,还可以应用其他公式,如立方和与立方差公式,其公式如下:
立方和公式:x3+y3=(x+y)(x2﹣xy+y2)
立方差公式:x3﹣y3=(x﹣y)(x2+xy+y2)
根据材料和已学知识,先化简,再求值:﹣,其中x=3.
19.(6分)我国于2019年6月5日首次完成运载火箭海上发射,这标志着我国火箭发射技术达到了一个崭新的高度.如图,运载火箭从海面发射站点M
处垂直海面发射,当火箭到达点A处时,海岸边N处的雷达站测得点N到点A的距离为8千米,仰角为30°.火箭继续直线上升到达点B处,此时海岸边N处的雷达测得B处的仰角增加15°,求此时火箭所在点B处与发射站点M处的距离.(结果精确到0.1千米)(参考数据:≈1.41,≈1.73)
20.(6分)每年5月份是心理健康宣传月,某中学开展以“关心他人,关爱自己”为主题的心理健康系列活动.为了解师生的心理健康状况,对全体2000名师生进行了心理测评,随机抽取20名师生的测评分数进行了以下数据的整理与分析:
①数据收集:抽取的20名师生测评分数如下
85,82,94,72,78,89,96,98,84,65,
73,54,83,76,70,85,83,63,92,90.
②数据整理:将收集的数据进行分组并评价等第:
分数x
90≤x<100
80≤x<90
70≤x<80
60≤x<70
x<60
人数
5
a
5
2
1
等第
A
B
C
D
E
③数据分析:绘制成不完整的扇形统计图:
④依据统计信息回答问题
(1)统计表中的a= .
(2)心理测评等第C等的师生人数所占扇形的圆心角度数为 .
(3)学校决定对E等的师生进行团队心理辅导,请你根据数据分析结果,估计有多少师生需要参加团队心理辅导?
21.(6分)如图,将△ABC沿着AC边翻折,得到△ADC,且AB∥CD.
(1)判断四边形ABCD的形状,并说明理由;
(2)若AC=16,BC=10,求四边形ABCD的面积.
22.(6分)2018年高一新生开始,湖南全面启动高考综合改革,实行“3+1+2”的高考选考方案.“3”是指语文、数学、外语三科必考;“1”是指从物理、历史两科中任选一科参加选考,“2”是指从政治、化学、地理、生物四科中任选两科参加选考
(1)“1+2”的选考方案共有多少种?请直接写出所有可能的选法;(选法与顺序无关,例如:“物、政、化”与“物、化、政”属于同一种选法)
(2)高一学生小明和小杰将参加新高考,他们酷爱历史和生物,两人约定必选历史和生物.他们还需要从政治、化学、地理三科中选一科参考,若这三科被选中的机会均等,请用列表或画树状图的方法,求出他们恰好都选中政治的概率.
23.(8分)如图,在平面直角坐标系中,⊙M与x轴的正半轴交于A、B两点,与y轴的正半轴相切于点C,连接MA、MC,已知⊙M半径为2,∠AMC=60°,双曲线y=(x>0)经过圆心M.
(1)求双曲线y=的解析式;
(2)求直线BC的解析式.
24.(8分)湘潭政府工作报告中强调,2019年着重推进乡村振兴战略,做优做响湘莲等特色农产品品牌.小亮调查了一家湘潭特产店A、B两种湘莲礼盒一个月的销售情况,A种湘莲礼盒进价72元/盒,售价120元/盒,B种湘莲礼盒进价40元/盒,售价80元/盒,这两种湘莲礼盒这个月平均每天的销售总额为2800元,平均每天的总利润为1280元.
(1)求该店平均每天销售这两种湘莲礼盒各多少盒?
(2)小亮调査发现,A种湘莲礼盒售价每降3元可多卖1盒.若B种湘莲礼盒的售价和销量不变,当A种湘莲礼盒降价多少元/盒时,这两种湘莲礼盒平均每天的总利润最大,最大是多少元?
25.(10分)如图一,抛物线y=ax2+bx+c过A(﹣1,0)B(3.0)、C(0,)三点
(1)求该抛物线的解析式;
(2)P(x1,y1)、Q(4,y2)两点均在该抛物线上,若y1≤y2,求P点横坐标x1的取值范围;
(3)如图二,过点C作x轴的平行线交抛物线于点E,该抛物线的对称轴与x轴交于点D,连结CD、CB,点F为线段CB的中点,点M、N分别为直线CD和CE上的动点,求△FMN周长的最小值.
26.(10分)如图一,在射线DE的一侧以AD为一条边作矩形ABCD,AD=5,CD=5,点M是线段AC上一动点(不与点A重合),连结BM,过点M作BM的垂线交射线DE于点N,连接BN.
[来源:Z§xx§k.Com]
(1)求∠CAD的大小;
(2)问题探究:动点M在运动的过程中,
①是否能使△AMN为等腰三角形,如果能,求出线段MC的长度;如果不能,请说明理由.
②∠MBN的大小是否改变?若不改变,请求出∠MBN的大小;若改变,请说明理由.
(3)问题解决:
如图二,当动点M运动到AC的中点时,AM与BN的交点为F,MN的中点为H,求线段FH的长度.
2019年湖南省湘潭市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共8小题,每小题有且只有一个正确答案,请将正确答案的选项代号涂在答题卡相应的位置上,每小题3分,满分24分)
1.(3分)下列各数中是负数的是( )
A.|﹣3| B.﹣3 C.﹣(﹣3) D.
【考点】11:正数和负数;14:相反数;15:绝对值.菁优网版权所有
【分析】根据负数的定义可得B为答案.
【解答】解:﹣3的绝对值=3>0;
﹣3<0;
﹣(﹣3)=3>0;
>0.
故选:B.
【点评】本题运用了负数的定义来解决问题,关键是要有数感.
2.(3分)下列立体图形中,俯视图是三角形的是( )
A. B.
C. D.
【考点】U1:简单几何体的三视图.菁优网版权所有
【分析】俯视图是从物体上面看所得到的图形,据此判断得出物体的俯视图.
【解答】解:A、立方体的俯视图是正方形,故此选项错误;
B、圆柱体的俯视图是圆,故此选项错误;
C、三棱柱的俯视图是三角形,故此选项正确;
D、圆锥体的俯视图是圆,故此选项错误;
故选:C.
【点评】本题考查了几何体的三种视图,掌握定义是关键.注意所有的看到的棱都应表现在三视图中.
3.(3分)今年湘潭市参加初中学业水平考试的九年级学生人数约24000人,24000用科学记数法表示为( )
A.0.24×105 B.2.4×104 C.2.4×103 D.24×103
【考点】1I:科学记数法—表示较大的数.菁优网版权所有
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>10时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.
【解答】解:将24000用科学记数法表示为:2.4×104,
故选:B.
【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值.
4.(3分)下列计算正确的是( )
A.a6÷a3=a2 B.(a2)3=a5 C.2a+3a=6a D.2a•3a=6a2
【考点】35:合并同类项;47:幂的乘方与积的乘方;48:同底数幂的除法;49:单项式乘单项式.菁优网版权所有
【分析】根据同底数幂的除法,幂的乘方,合并同类项法则和单项式乘以单项式分别求每个式子的值,再判断即可.
【解答】解:A、结果是a3,故本选项不符合题意;
B、结果是a6,故本选项不符合题意;
C、结果是5a,故本选项不符合题意;
D、结果是6a2,故本选项符合题意;
故选:D.
【点评】本题考查了同底数幂的除法,幂的乘方,合并同类项法则和单项式乘以单项式等知识点,能够正确求出每个式子的值是解此题的关键.
5.(3分)已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+c=0有两个相等的实数根,则c=( )
A.4 B.2 C.1 D.﹣4
【考点】AA:根的判别式.菁优网版权所有
【分析】根据方程有两个相等的实数根结合根的判别式即可得出关于c的一元一次方程,解方程即可得出结论.
【解答】解:∵方程x2﹣4x+c=0有两个相等的实数根,
∴△=(﹣4)2﹣4×1×c=16﹣4c=0,
解得:c=4.
故选:A.
【点评】本题考查了根的判别式以及解一元一次方程,由方程有两个相等的实数根结合根的判别式得出关于c的一元一次方程是解题的关键.
6.(3分)随着长株潭一体化进程不断推进,湘潭在交通方面越来越让人期待.将要实施的“两干一轨”项目中的“一轨”,是将长沙市地铁3号线南延至湘潭北站,往返长潭两地又将多“地铁”这一选择.为了解人们选择交通工具的意愿,随机抽取了部分市民进行调查,并根据调查结果绘制如下统计图,关于交通工具选择的人数数据,以下结论正确的是( )
A.平均数是8 B.众数是11 C.中位数是2 D.极差是10
【考点】W2:加权平均数;W4:中位数;W5:众数;W6:极差.菁优网版权所有
【分析】从条形统计图中可以知道共调查40人,选择公交7人,火车2人,地铁13人,轻轨11人,其它7人,
极差为13﹣2=11,故D不正确;出现次数最多的是13,即众数是13,故B不正确,从小到大排列,第20、21个数都是13,即中位数是13,故C是不正确的;
(7+2+13+11+7)÷5=8,即平均数是8,故A事正确的.
【解答】解:(7+2+13+11+7)÷5=8,即平均数是8,故A事正确的.
出现次数最多的是13,即众数是13,故B不正确,
从小到大排列,第20、21个数都是13,即中位数是13,故C是不正确的;
极差为13﹣2=11,故D不正确;
故选:A.
【点评】考查平均数、众数、中位数、极差的意义和求法,正确掌握这几个统计量的意义是解决问题的前提.
7.(3分)如图,将△OAB绕点O逆时针旋转70°到△OCD的位置,若∠AOB=40°,则∠AOD=( )
A.45° B.40° C.35° D.30°
【考点】R2:旋转的性质.菁优网版权所有
【分析】首先根据旋转角定义可以知道∠BOD=70°,而∠AOB=40°,然后根据图形即可求出∠AOD.
【解答】解:∵△OAB绕点O逆时针旋转70°到△OCD的位置,
∴∠BOD=70°,
而∠AOB=40°,
∴∠AOD=70°﹣40°=30°.
故选:D.
【点评】此题主要考查了旋转的定义及性质,其中解题主要利用了旋转前后图形全等,对应角相等等知识.
8.(3分)现代互联网技术的广泛应用,催生了快递行业的高速发展.据调查,湘潭某家小型快递公司的分拣工小李和小江,在分拣同一类物件时,小李分拣120个物件所用的时间与小江分拣90个物件所用的时间相同,已知小李每小时比小江多分拣20个物件.若设小江每小时分拣x个物件,则可列方程为( )
A.= B.=
C.= D.=
【考点】B6:由实际问题抽象出分式方程.菁优网版权所有
【分析】根据题意,可以列出相应的分式方程,本题得以解决.
【解答】解:由题意可得,
,
故选:B.
【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程,解答本题的关键是明确题意,列出相应的分式方程.
二、填空题(本大题共8小题,请将答案写在答题卡相应的位置上,每小题3分,满分24分)
9.(3分)函数y=中,自变量x的取值范围是 x≠6 .
【考点】E4:函数自变量的取值范围.菁优网版权所有
【分析】根据分母不等于0列式计算即可得解.
【解答】解:由题意得,x﹣6≠0,
解得x≠6.
故答案为:x≠6.
【点评】本题考查了函数自变量的取值范围,一般从三个方面考虑:
(1)当函数表达式是整式时,自变量可取全体实数;
(2)当函数表达式是分式时,考虑分式的分母不能为0;
(3)当函数表达式是二次根式时,被开方数非负.
10.(3分)若a+b=5,a﹣b=3,则a2﹣b2= 15 .
【考点】4F:平方差公式.菁优网版权所有
【分析】先根据平方差公式分解因式,再代入求出即可.
【解答】解:∵a+b=5,a﹣b=3,
∴a2﹣b2
=(a+b)(a﹣b)
=5×3
=15,
故答案为:15.
【点评】本题考查了平方差公式,能够正确分解因式是解此题的关键.
11.(3分)为庆祝新中国成立70周年,某校开展以“我和我亲爱的祖国”为主题的“快闪”
活动,七年级准备从两名男生和三名女生中选出一名同学领唱,如果每一位同学被选中的机会均等,则选出的恰为女生的概率是 .
【考点】X4:概率公式.菁优网版权所有
【分析】随机事件A的概率P(A)=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数.
【解答】解:选出的恰为女生的概率为,
故答案为.
【点评】本题考查了概率,熟练运用概率公式计算是解题的关键.
12.(3分)计算:()﹣1= 4 .
【考点】6F:负整数指数幂.菁优网版权所有
【分析】根据负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数,可得答案.
【解答】解:()﹣1==4,
故答案为:4.
【点评】本题考查了负整数指数幂,利用了负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数.
13.(3分)将一次函数y=3x的图象向上平移2个单位,所得图象的函数表达式为 y=3x+2 .
【考点】F9:一次函数图象与几何变换.菁优网版权所有
【分析】根据“上加下减”的平移规律进行解答即可.
【解答】解:将正比例函数y=3x的图象向上平移2个单位后所得函数的解析式为y=3x+2,
故答案为:y=3x+2.
【点评】本题考查的是一次函数的图象与几何变换,熟知“上加下减”的原则是解答此题的关键.
14.(3分)四边形的内角和是 360° .
【考点】L3:多边形内角与外角.菁优网版权所有
【分析】根据n边形的内角和是(n﹣2)•180°,代入公式就可以求出内角和.
【解答】解:(4﹣2)×180°=360°.
故四边形的内角和为360°.
故答案为:360°.
【点评】本题主要考查了多边形的内角和公式,是需要识记的内容,比较简单.
15.(3分)如图,在四边形ABCD中,若AB=CD,则添加一个条件 AD=BC ,能得到平行四边形ABCD.(不添加辅助线,任意添加一个符合题意的条件即可)
【考点】L6:平行四边形的判定.菁优网版权所有
【分析】可再添加一个条件AD=BC,根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形,四边形ABCD是平行四边形.
【解答】解:根据平行四边形的判定,可再添加一个条件:AD=BC.
故答案为:AD=BC(答案不唯一).
【点评】此题主要考查平行四边形的判定.是一个开放条件的题目,熟练掌握判定定理是解题的关键.
16.(3分)《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作,其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式是:弧田面积=(弦×矢+矢2).孤田是由圆弧和其所对的弦围成(如图中的阴影部分),公式中“弦”指圆弧所对弦长,“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差,运用垂径定理(当半径OC⊥弦AB时,OC平分AB)可以求解.现已知弦AB=8米,半径等于5米的弧田,按照上述公式计算出弧田的面积为 10 平方米.
【考点】KQ:勾股定理;M3:垂径定理的应用;MN:弧长的计算.菁优网版权所有
【分析】根据垂径定理得到AD=4,由勾股定理得到OD==3,求得OA﹣OD=2,根据弧田面积=(弦×矢+矢2)即可得到结论.
【解答】解:∵弦AB=8米,半径OC⊥弦AB,
∴AD=4,
∴OD==3,
∴OA﹣OD=2,
∴弧田面积=(弦×矢+矢2)=×(8×2+22)=10,
故答案为:10.
【点评】此题考查垂径定理的应用,关键是根据垂径定理和扇形面积解答.
三、解答题(本大题共10小题,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤请将解答过程写在答题卡相应位置上,满分72分)
17.(6分)解不等式组,并把它的解集在数轴上表示出来.
【考点】C4:在数轴上表示不等式的解集;CB:解一元一次不等式组.菁优网版权所有
【分析】先求出两个不等式的解集,再求其公共解.
【解答】解:,
解不等式①得,x≤3,
解不等式②,x>﹣1,
所以,原不等式组的解集为﹣1<x≤3,
在数轴上表示如下:
.
【点评】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法,其简便求法就是用口诀求解.求不等式组解集的口诀:同大取大,同小取小,大小小大中间找,大大小小找不到(无解).
18.(6分)阅读材料:运用公式法分解因式,除了常用的平方差公式和完全平方公式以外,还可以应用其他公式,如立方和与立方差公式,其公式如下:
立方和公式:x3+y3=(x+y)(x2﹣xy+y2)
立方差公式:x3﹣y3=(x﹣y)(x2+xy+y2)
根据材料和已学知识,先化简,再求值:﹣,其中x=3.
【考点】54:因式分解﹣运用公式法;6D:分式的化简求值.菁优网版权所有
【分析】根据题目中的公式可以化简题目中的式子,然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题.
【解答】解:﹣
=
=
=,
当x=3时,原式==2.
【点评】本题考查分式的化简求值,解答本题的关键是明确分式化简求值的方法.
19.(6分)我国于2019年6月5日首次完成运载火箭海上发射,这标志着我国火箭发射技术达到了一个崭新的高度.如图,运载火箭从海面发射站点M处垂直海面发射,当火箭到达点A处时,海岸边N处的雷达站测得点N到点A的距离为8千米,仰角为30°.火箭继续直线上升到达点B处,此时海岸边N处的雷达测得B处的仰角增加15°,求此时火箭所在点B处与发射站点M处的距离.(结果精确到0.1千米)(参考数据:≈1.41,≈1.73)
【考点】TA:解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题.菁优网版权所有
【分析】利用已知结合锐角三角函数关系得出BM的长.
【解答】解:如图所示:连接MN,由题意可得:∠AMN=90°,∠ANM=30°,∠BNM
=45°,AN=8km,
在直角△AMN中,MN=AN•cos30°=8×=4(km).
在直角△BMN中,BM=MN•tan45°=4km≈6.9km.
答:此时火箭所在点B处与发射站点M处的距离约为6.9km.
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题,要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形.
20.(6分)每年5月份是心理健康宣传月,某中学开展以“关心他人,关爱自己”为主题的心理健康系列活动.为了解师生的心理健康状况,对全体2000名师生进行了心理测评,随机抽取20名师生的测评分数进行了以下数据的整理与分析:
①数据收集:抽取的20名师生测评分数如下
85,82,94,72,78,89,96,98,84,65,
73,54,83,76,70,85,83,63,92,90.
②数据整理:将收集的数据进行分组并评价等第:
分数x
90≤x<100
80≤x<90
70≤x<80
60≤x<70
x<60
人数
5
a
5
2
1
等第
A
B
C
D
E
③数据分析:绘制成不完整的扇形统计图:
④依据统计信息回答问题
(1)统计表中的a= 7 .
(2)心理测评等第C等的师生人数所占扇形的圆心角度数为 90° .
(3)学校决定对E等的师生进行团队心理辅导,请你根据数据分析结果,估计有多少师生需要参加团队心理辅导?
【考点】V5:用样本估计总体;V7:频数(率)分布表;VB:扇形统计图.菁优网版权所有
【分析】(1)根据D组人数以及百分比求出总人数,再求出a即可.
(2)根据圆心角=360°×百分比计算即可.
(3)利用样本估计总体的思想解决问题即可.
【解答】解:(1)总人数=2÷10%=20(人),a=20×35%=7,
故答案为7.
(2)C所占的圆心角=360°×=90°,
故答案为90°.
(3)2000×=100(人),
答:估计有100名师生需要参加团队心理辅导.
【点评】本题考查扇形统计图,样本估计总体的思想,频数分布表等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型.
21.(6分)如图,将△ABC沿着AC边翻折,得到△ADC,且AB∥CD.
(1)判断四边形ABCD的形状,并说明理由;
(2)若AC=16,BC=10,求四边形ABCD的面积.
【考点】JA:平行线的性质;PB:翻折变换(折叠问题).菁优网版权所有
【分析】(1)由折叠的性质得出AB=AD,BC=CD,∠BAC=∠DAC,∠BCA=∠DCA
,由平行线的性质得出∠BAC=∠DAC,得出∠BAC=∠DAC=∠BCA=∠DCA,证出AD∥BC,AB=AD=BC=CD,即可得出结论;[来源:学_科_网Z_X_X_K]
(2)连接BD交AC于O,由菱形的性质得出AC⊥BD,OA=OB=AC=8,OB=OD,由勾股定理求出OB==6,得出BD=2OB=12,由菱形面积公式即可得出答案.
【解答】解:(1)四边形ABCD是菱形;理由如下:
∵△ABC沿着AC边翻折,得到△ADC,
∴AB=AD,BC=CD,∠BAC=∠DAC,∠BCA=∠DCA,
∵AB∥CD,
∴∠BAC=∠DAC,
∴∠BAC=∠DAC=∠BCA=∠DCA,
∴AD∥BC,AB=AD=BC=CD,
∴四边形ABCD是菱形;
(2)连接BD交AC于O,如图所示:
∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,OA=OC=AC=8,OB=OD,
∴OB===6,
∴BD=2OB=12,
∴四边形ABCD的面积=AC×BD=×16×12=96.
【点评】本题考查了翻折变换的性质、菱形的判定与性质、平行线的性质、勾股定理等知识;熟练掌握翻折变换的性质,证明四边形ABCD是菱形是解题的关键.
22.(6分)2018年高一新生开始,湖南全面启动高考综合改革,实行“3+1+2”的高考选考方案.“3”是指语文、数学、外语三科必考;“1”是指从物理、历史两科中任选一科参加选考,“2”是指从政治、化学、地理、生物四科中任选两科参加选考
(1)“1+2”的选考方案共有多少种?请直接写出所有可能的选法;(选法与顺序无关,例如:“物、政、化”与“物、化、政”属于同一种选法)
(2)高一学生小明和小杰将参加新高考,他们酷爱历史和生物,两人约定必选历史和生物.他们还需要从政治、化学、地理三科中选一科参考,若这三科被选中的机会均等,请用列表或画树状图的方法,求出他们恰好都选中政治的概率.
【考点】X6:列表法与树状图法.菁优网版权所有
【分析】(1)利用树状图可得所有等可能结果;
(2)画树状图展示所有等可能结果,从中找到符合条件的结果数,再根据概率公式求解可得.
【解答】解:(1)画树状图如下,
由树状图知,共有12种等可能结果;
(2)画树状图如下
由树状图知,共有9种等可能结果,其中他们恰好都选中政治的只有1种结果,
所以他们恰好都选中政治的概率为.
【点评】本题考查了列表法与树状图法:利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n,再从中选出符合事件A或B的结果数目m,求出概率.
23.(8分)如图,在平面直角坐标系中,⊙M与x轴的正半轴交于A、B两点,与y轴的正半轴相切于点C,连接MA、MC,已知⊙M半径为2,∠AMC=60°,双曲线y=(x>0)经过圆心M.
(1)求双曲线y=的解析式;
(2)求直线BC的解析式.
【考点】GB:反比例函数综合题.菁优网版权所有
【分析】(1)先求出CM=2,再判断出四边形OCMN是矩形,得出MN,进而求出点M的坐标,即可得出结论;
(2)先求出点C的坐标,再用三角函数求出AN,进而求出点B的坐标,即可得出结论.
【解答】解:(1)如图,过点M作MN⊥x轴于N,
∴∠MNO=90°,
∵⊙M切y轴于C,
∴∠OCM=90°,
∵∠CON=90°,
∴∠CON=∠OCM=∠ONM=90°,
∴四边形OCMN是矩形,
∴AM=CM=2,∠CMN=90°,
∵∠AMC=60°,
∴∠AMN=30°,
在Rt△ANM中,MN=AM•cos∠AMN=2×=,
∴M(2,),
∵双曲线y=(x>0)经过圆心M,
∴k=2×=2,
∴双曲线的解析式为y=(x>0);
(2)如图,过点B,C作直线,
由(1)知,四边形OCMN是矩形,
∴CM=ON=2,OC=MN=,
∴C(0,),
在Rt△ANM中,∠AMN=30°,AM=2,
∴AN=1,
∵MN⊥AB,
∴BN=AN=1,OB=ON+BN=3,
∴B(3,0),
设直线BC的解析式为y=k'x+b,
∴,
∴,
∴直线BC的解析式为y=﹣x+.
【点评】此题是反比例函数综合题,主要考查了矩形的判定和性质,锐角三角函数,待定系数法,求出点M的坐标是解本题的关键.
24.(8分)湘潭政府工作报告中强调,2019年着重推进乡村振兴战略,做优做响湘莲等特色农产品品牌.小亮调查了一家湘潭特产店A、B两种湘莲礼盒一个月的销售情况,A种湘莲礼盒进价72元/盒,售价120元/盒,B种湘莲礼盒进价40元/盒,售价80元/盒,这两种湘莲礼盒这个月平均每天的销售总额为2800元,平均每天的总利润为1280元.
(1)求该店平均每天销售这两种湘莲礼盒各多少盒?[来源:Z.xx.k.Com]
(2)小亮调査发现,A种湘莲礼盒售价每降3元可多卖1盒.若B种湘莲礼盒的售价和销量不变,当A种湘莲礼盒降价多少元/盒时,这两种湘莲礼盒平均每天的总利润最大,最大是多少元?
【考点】9A:二元一次方程组的应用;HE:二次函数的应用.菁优网版权所有
【分析】(1)根据题意,可设平均每天销售A礼盒x盒,B种礼盒为y盒,列二元一次方程组即可解题
(2)根据题意,可设A种礼盒降价m元/盒,则A种礼盒的销售量为:(10+)盒,再列出关系式即可.
【解答】解:(1)根据题意,可设平均每天销售A礼盒x盒,B种礼盒为y盒,
则有,解得
故该店平均每天销售A礼盒10盒,B种礼盒为20盒.
(2)设A种湘莲礼盒降价m元/盒,利润为W元,依题意
总利润W=(120﹣m﹣72)(10+)+800
化简得W=m2+6m+1280=﹣(m﹣9)2+1307
∵a=<0
∴当m=9时,取得最大值为1307,
故当A种湘莲礼盒降价9元/盒时,这两种湘莲礼盒平均每天的总利润最大,最大是1307元.
【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用.最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答,我们首先要吃透题意,确定变量,建立函数模型,然后结合实际选择最优方案.
25.(10分)如图一,抛物线y=ax2+bx+c过A(﹣1,0)B(3.0)、C(0,)三点
(1)求该抛物线的解析式;
(2)P(x1,y1)、Q(4,y2)两点均在该抛物线上,若y1≤y2,求P点横坐标x1的取值范围;
(3)如图二,过点C作x轴的平行线交抛物线于点E,该抛物线的对称轴与x轴交于点D,连结CD、CB,点F为线段CB的中点,点M、N分别为直线CD和CE上的动
点,求△FMN周长的最小值.
【考点】F8:一次函数图象上点的坐标特征;H3:二次函数的性质;H5:二次函数图象上点的坐标特征;H8:待定系数法求二次函数解析式;PA:轴对称﹣最短路线问题.菁优网版权所有
【分析】(1)将三个点的坐标代入,求出a、b、c,即可求出关系式;
(2)可以求出点Q(4,y2)关于对称轴的对称点的横坐标为:x=﹣2,根据函数的增减性,可以求出当y1≤y2时P点横坐标x1的取值范围;
(3)由于点F是BC的中点,可求出点F的坐标,根据对称找出F关于直线CD、CE的对称点,连接两个对称点的直线与CD、CE的交点M、N,此时三角形的周长最小,周长就等于这两个对称点之间的线段的长,根据坐标,和勾股定理可求.
【解答】解:(1)∵抛物线y=ax2+bx+c过A(﹣1,0)B(3.0)、C(0,)三点
∴ 解得:a=,b=,c=;[来源:学科网ZXXK]
∴抛物线的解析式为:y=x2+x+.
(2)抛物线的对称轴为x=1,抛物线上与Q(4,y2)相对称的点Q′(﹣2,y2)
P(x1,y1在该抛物线上,y1≤y2,根据抛物线的增减性得:
∴x1≤﹣2或x1≥4
答:P点横坐标x1的取值范围:x1≤﹣2或x1≥4.
(3)∵C(0,),B,(3,0),D(1,0)
∴OC=,OB=3,OD,=1
∵F是BC的中点,
∴F(,)
当点F关于直线CE的对称点为F′,关于直线CD的对称点为F″,直线F′F″与CE、CD交点为M、N,此时△FMN的周长最小,周长为F′F″的长,由对称可得到:F′(,),F″(0,0)即点O,
F′F″=F′O==3,
即:△FMN的周长最小值为3,
【点评】考查待定系数法求函数的关系式、二次函数的性质、对称性,勾股定理以及最小值的求法等知识,函数的对称性,点关于直线的对称点的求法是解决问题的基础和关键.
26.(10分)如图一,在射线DE的一侧以AD为一条边作矩形ABCD,AD=5,CD=5,点M是线段AC上一动点(不与点A重合),连结BM,过点M作BM的垂线交射线DE于点N,连接BN.
(1)求∠CAD的大小;
(2)问题探究:动点M在运动的过程中,
①是否能使△AMN为等腰三角形,如果能,求出线段MC的长度;如果不能,请说明理由.
②∠MBN的大小是否改变?若不改变,请求出∠MBN的大小;若改变,请说明理由.
(3)问题解决:
如图二,当动点M运动到AC的中点时,AM与BN的交点为F,MN的中点为H,求线段FH的长度.
【考点】LO:四边形综合题.菁优网版权所有
【分析】(1)在Rt△ADC中,求出∠DAC的正切值即可解决问题.
(2)①分两种情形:当NA=NM时,当AN=AM时,分别求解即可.
②∠MBN=30°.利用四点共圆解决问题即可.
(3)首先证明△ABM是等边三角形,再证明BN垂直平分线段AM,解直角三角形即可解决问题.
【解答】解:(1)如图一(1)中,
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠ADC=90°,
∵tan∠DAC===,
∴∠DAC=30°.
(2)①如图一(1)中,当AN=NM时,
∵∠BAN=∠BMN=90°,BN=BN,AN=NM,
∴Rt△BNA≌Rt△BNM(HL),
∴BA=BM,
在Rt△ABC中,∵∠ACB=∠DAC=30°,AB=CD=5,
∴AC=2AB=10,
∵∠BAM=60°,BA=BM,
∴△ABM是等边三角形,
∴AM=AB=5,
∴CM=AC﹣AM=5.
如图一(2)中,当AN=AM时,易证∠AMN=∠ANM=15°,
∵∠BMN=90°,
∴∠CMB=75°,∵∠MCB=30°,
∴∠CBM=180°﹣75°﹣30°=75°,
∴∠CMB=∠CBM,
∴CM=CB=5,
综上所述,满足条件的CM的值为5或5.
②结论:∠MBN=30°大小不变.
理由:如图一(1)中,∵∠BAN+∠BMN=180°,
∴A,B,M,N四点共圆,
∴∠MBN=∠MAN=30°.
如图一(2)中,∵∠BMN=∠BAN=90°,
∴A,N,B,M四点共圆,
∴∠MBN+∠MAN=180°,
∵∠DAC+∠MAN=180°,
∴∠MBN=∠DAC=30°,
综上所述,∠MBN=30°.
(3)如图二中,
∵AM=MC,
∴BM=AM=CM,
∴AC=2AB,
∴AB=BM=AM,
∴△ABM是等边三角形,
∴∠BAM=∠BMA=60°,
∵∠BAN=∠BMN=90°,
∴∠NAM=∠NMA=30°,
∴NA=NM,
∵BA=BM,
∴BN垂直平分线段AM,
∴FM=,
∴NM==,
∵∠NFM=90°,NH=HM,
∴FH=MN=.
【点评】本题属于四边形综合题,考查了矩形的性质,全等三角形的判定和性质,解直角三角形,等边三角形的判定和性质,锐角三角函数,等腰三角形的判定和性质等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,学会用分类讨论的思想思考问题,属于中考压轴题.
声明:试题解析著作权属菁优网所有,未经书面同意,不得复制发布
日期:2019/7/29 14:24:07;用户:学无止境;邮箱:419793282@qq.com;学号:7910509
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